LINGKARAN - Raphael

LINGKARAN
Oleh
Otong Suhyanto, M.Si

DEFINISI
UNSUR-UNSUR
LINGKARAN
TUGAS
KELILING
LINGKARAN
LUAS LINGKARAN
LATIHAN 1
SUDUT PUSAT DAN
SUDUT KELILING
LATIHAN 2
GARIS SINGGUNG
LINGKARAN DALAM
DAN LUAR SEGITIGA

DEFINISI LINGKARAN
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama dari suatu titik tetap.
Titik tetap tersebut dinamakan pusat
lingkaran

BAGIAN-BAGIAN LINGKARAN
• Jari-jari lingkaran
• Busur lingkaran
• Tali busur
• Diameter/garis tengah
• Juring lingkaran
• Tembereng
• Apotema

JARI-JARI LINGKARAN
Ruas garis yang menghubungkan pusat
lingkaran ke sebarang titik pada lingkaran
O
B
Jari-Jari Lingkaran

Busur lingkaran
Garis lengkung yang melalui titik-titik pada
lingkaran
A
B
Busur Lingkaran

Tali busur
Ruas garis yang menghubungkan
sebarang dua titik pada lingkaran
A
B
Tali Busur

Diameter / garis tengah
Tali busur yang melalui pusat lingkaran.
Panjang diameter sebuah lingkaran sama
dengan dua kali panjang jari-jari lingkaran
tersebut.
A
O
B
Diameter

Juring Lingkaran
Daerah lingkaran yang dibatasi oleh busur
lingkaran dan dua buah jari-jari lingkaran yang
melalui ujung busur lingkaran tersebut
A
O
B
Juring Lingkaran

Tembereng
Daerah lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran dan
tali busur yang melalui kedua ujung busur lingkaran
A
O
B
Tembereng

Apotema
Ruas garis terpendek yang menghubungkan
pusat lingkaran ke sebuah titik pada tali busur.
A
O
B
Apotema

Tugas
Gambarkan sebuah lingkaran beserta
bagian-bagian seperti yang diuraikan di
atas.

Keliling Lingkaran
Misalkan r adalah jari-jari sebuah lingkaran
dan d adalah diameternya.
– Keliling lingkaran, disimbolkan dengan K,
dirumuskan dengan
K = 2 π r atau K = π d
dimana π adalah sebuah bilangan nyata
yang dapat didekati dengan 3,14 atau 22/7
Contoh Soal

Contoh Soal
Hitunglah keliling lingkaran dengan jari-jari
14 cm!
Penyelesian:
Keliling: K = 2 π r = 2 x 22/7 x 14 = 88 cm

LUAS LINGKARAN
Luas lingkaran, disimbolkan dengan L,
dirumuskan dengan
Contoh Soal
L = πr 2 atau L = ¼ πd 2

Contoh Soal Luas
Hitunglah luas lingkaran dengan jari jari 14 cm.
Penyelesaian:
Luas: L = πr 2 = 22/7 x 14 x 14
= 616 cm 2

Contoh 2
Tentukan jari-jari dan diameter lingkaran yang
mempunyai keliling 154 cm. Gunakan π = 22/7!
Penyelesaian:
Keliling K = 2 π r = 2 x 22/7 x r = 154 cm
Maka r = (154 x 7/22) : 2 = 24,5 cm

Soal Latihan
1. Diamater sebuah uang logam adalah 2,8 cm.
Hitunglah keliling dan luasnya.
2. Sebuah mobil memiliki ban yang diameternya 45
cm. Tentukan panjang lintasan yang ditempuh
mobil jika bannya berputar 2000 kali.
3. Seseorang mengendarai sepeda motor sepanjang
6,6 km. Jika panjang jari-jari roda motornya 35
cm, berapa kali ban motor berputar?
4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh lingkaran
berjari-jari 7 dan lingkaran berjari-jari 10 jika pusat
kedua lingkaran berimpit.
5. Sebuah taman berbentuk lingkaran dengan luas
1386 m 2 . Hitung keliling taman itu.

Sudut Pusat dan Sudut Keliling
• Sudut pusat lingkaran adalah sudut yang
dibentuk oleh dua buah jari-jari lingkaran. Titik
sudutnya merupakan pusat lingkaran.
• Sudut keliling lingkaran adalah sudut yang
dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di
sebuah titik. Titik sudutnya terletak pada busur
lingkaran.
• Sudut pusat dan sudut keliling lingkaran yang
menghadap busur yang sama mempunyai sifat:
Ukuran sudut pusat sama dengan dua kali
ukuran sudut keliling

Contoh 1
Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari
18 cm. Sebuah juring AOB memiliki sudut pusat 40 o .
Tentukan
• Panjang busur AB
• Luas juring AOB.
Penyelesaian:
• Keliling lingkaran K = 2πr = 2 x 3,14 x 18 = 113,04 cm
• Panjang busur AB = × 113,
04 = 12,
56
o
cm
• Luas lingkaran L = πr 2 = 3,14 x 18 x 18 =1017,36 cm2.
40
• Luas juring AOB = cm2 × 1017,
36 = 113,
04
o
.
o
360
40
o
360

Contoh 2
Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O dan
jari-jari 15 cm. Sudut pusat AOB besarnya 90 o .
Tentukan luas tembereng AB.
Penyelesaian:
Luas tembereng AB = luas juring AOB – luas
segitiga AOB
= ¼ π r 2 – ½ r 2
= ¼ x 3,14 x 15 2 – ½ x 15 2
= 64,125 cm 2

Contoh 3
Pada lingkaran dengan pusat O diketahui
sudut keliling ACB ukurannya 35 o .
Tentukan ukuran sudut pusat yang
menghadap busur AOB.
Penyelesaian:
Ukuran sudut AOB = 2 x ukuran sudut
keliling ACB
= 2 x 35 o = 70 o .

Soal Latihan 2
1. Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O
dan jari-jari 14 cm. Tentukan:
– Panjang busur AB di hadapan sudut pusat 72 o
– Luas juring AOB yang sudut pusatnya 72 o
– Luas tembereng AB
– Panjang apotema dari O ke tali busur AB
1. Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O.
Ukuran sudut keliling ACB = a o dan sudut
pusat AOB = (a + 55) o . Tentukan a.

Garis Singgung Lingkaran
Garis singgung lingkaran adalah garis
yang memotong lingkaran tepat di satu
titik. Garis singgung ini tegak lurus
terhadap jari-jari lingkaran yang melalui
titik singgung.

Contoh
Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O
dengan jari-jari 6 cm dan sebuah titik A berjarak
10 cm dari O. Dari titik A dibuat garis singgung
ke lingkaran dan menyinggung lingkaran di titik
B. Tentukan panjang ruas garis AB.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan dalil Pythagoras
diperoleh:
AB 2 =OA 2 – OB 2 = 100 – 36 = 64.
Maka AB = 8 cm

Soal Latihan
1. Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat O
dan A yang berturut-turut berjari-jari 13 cm dan
5 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran adalah
17 cm, tentukan panjang garis singgung
persekutuan luarnya.
2. Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat O
dan A yang berturut-turut berjari-jari 7 cm dan 3
cm. Jika panjang OM 26 cm tentukan panjang
garis singgung persekutuan dalamnya.

LINGKARAN DALAN SEGITIGA
Di dalam setiap segitiga dapat dibuat
lingkaran yang menyinggung ketiga sisinya.
Lingkaran ini dinamakan lingkaran dalam
segitiga. Jika panjang sisi segitiga adalah a,
b, dan c maka jari-jari lingkaran dalam dapat
ditentukan dengan rumus
r
=
s(
s − a)(
s − b)(
s −
s
dimana s = ½ (a + b + c)
c)

LINGKARAN LUAR SEGITIGA
Kita dapat juga membuat lingkaran yang
melalui ketiga titik sudut segitiga.
Lingkaran ini dinamakan lingkaran luar
segitiga. Panjang jari-jari lingkaran luar
segitiga ditentukan dengan rumus
r
=
abc
4 s(
s − a)(
s − b)(
s − c)

Contoh
Diketahui sebuah segitiga dengan panjang
sisi a = 10 cm, b = 6 cm dan c = 8 cm.
Tentukan panjang jari-jari lingkaran dalam
dan lingkaran luarnya.

Penyelesaian:
s = ½ (a + b + c) = ½ (10 + 6 + 8) = 12.
• Jari-jari lingkaran dalam:
r =
s(
s − a)(
s − b)(
s −
s
c)
=
• Jari-jari lingkaran luar:
r
=
4
abc
s(
s − a)(
s − b)(
s − c)
=
4
12(
12
−
12(
12
10)(
12
−
12
−
( 10)(
6)(
8)
10)(
12
−
6)(
12
6)(
12
−
−
8)
8)
=
=
2
5

Soal Latihan
1. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah
10 cm, 17 cm dan 21 cm. Tentukan
panjang jari-jari lingkaran dalam dan
lingkaran luarnya.
2. Buktikan rumus panjang jari-jari
lingkaran dalam dan lingkaran luar
segitiga.
3. Lukislah lingkaran dalam dan lingkaran
luar segitiga yang mempunyai panjang
sisi 6 cm, 8 cm dan 10 cm.