Cristallo di quarzo modello matematico - Hobby Elettronica

posto:
C
E
C p ⋅C
s
=
C + C
p s
la 1.3 assume la seguente forma:
ZT = − j
ω C
2
1 − ω LsCs 2
+ C 1 − ω L C
X
( ω)
( s p)( s E )
2
1 − ω LsCs = −
ω ω
2
( Cs + Cp )( 1 − LsCE )
=
=
jX
N
D
( )
Cleto Azzani Xtal 2
1.4
ω 1.5
( ω)
( ω)
il valore di ω per cui N(ω)=0 rappresenta uno zero della X(ω); fisicamente tale pulsazione è una pulsazione
di risonanza serie. Tale valore è dato dalla espressione:
1
ω s =
1.7
LsCs i valori di ω per cui D(ω)=0 rappresentano i poli della X(ω); fisicamente tali pulsazioni, ove assumano valori
diversi da zero, corrispondono a situazioni di risonanza parallelo (antirisonanza). Eguagliando a zero il
denominatore si ottiene quindi:
1
ω p =
ω = 0 1.8
L C
s E
Alla luce delle 1.7 e 1.8 l’espressione 1.6 può essere riscritta nel seguente modo:
2
ω
1 − 2
ω s
X(
ω)
= −
2 ⎛ ω ⎞
ω(
Cs + Cp
) ⎜
⎜1
− ⎟ 2
⎝ ω
⎟
p ⎠
Ci poniamo l’obiettivo di rappresentare su di un grafico l’andamento di X(ω) al variare di ω. Innanzitutto
dobbiamo osservare che poichè Ce risulta minore di Cs la pulsazione di risonanza serie risulterà inferiore alla
pulsazione di risonanza parallelo:
C < C → ω < ω 1.10
E S S P
Per valori di ω prossimi a zero risulta:
2
ω
ω ≅ 0 → 1 − ≅ 1
2
ω
2
ω
ω ≅ 0 → 1 − ≅ 1
2
ω
s
p
l’espressione 1.9 può essere riscritta nel seguente modo:
1
X(
ω)
≅ −
ω C + C
( s p )
Nel grafico di fig. 4 è rappresentato l’andamento di X(ω) per valori di ω prossimi a 0.
1.6
1.9
1.11
1.12
1.13