Matrice d'inerzia di un disco con foro triangolare

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La posizione del baricentro G della lamina può essere calcolata tenendo conto che il sistema è costituito da un disco con baricentro in O (a distanza CO = R dal punto C), a cui è stato asportato un triangolo con baricentro nel punto R dal vertice C): H (a distanza CH = 2 2 CO = 3 3 CG = 1 m (mD · CO − m T · CH) = 1 π m 2 m · R − · m π − 1 π − 1 3 R = 3π − 2 R R = R + 3(π − 1) 3(π − 1) . La distanza del baricentro G dal centro O del disco è OG = CG − CO = R 3(π − 1) . La matrice d’inerzia del disco, rispetto al polo O e alla terna solidale { k1, k2, k3} in figura, è: I D 1 O = diag 4 mDR 2 , 1 4 mDR 2 , 1 2 mDR 2 . Sostituendo l’espressione di m D si ha: I D O = π 4(π − 1) mR2 diag(1, 1, 2) . La matrice d’inerzia del triangolo ABC, rispetto al polo O e alla terna solidale in figura, è: I T 1 O = diag 12 mTa 2 , 1 12 mTa 2 , 1 6 mTa 2 , dove a = CB = √ OB 2 + OC 2 = √ R 2 + R 2 = R √ 2 è la misura del lato obliquo del triangolo ABC. Sostituendo l’espressione di m T si ha: I T O = 1 6(π − 1) mR2 diag(1, 1, 2) . 2
Per le proprietà delle figure “forate”, la matrice d’inerzia della lamina è data dalla differenza tra la matrice d’inerzia del disco e quella del triangolo asportato, calcolate rispetto allo stesso polo O: IO = I D O − IT O = 3π − 2 12(π − 1) mR2 diag(1, 1, 2) . Utilizzando la legge di trasformazione della matrice d’inerzia è ora possibile calcolare la matrice d’inerzia della lamina rispetto al suo baricentro G: IO, jh = IG, jh + m(d 2 δjh − djdh) , dove m è la massa della lamina e d = G − O = 3 h=1 dh kh è il vettore posizione di G rispetto a O. Dalla figura risulta facilmente che il vettore d è dato da d = OG = −OG · k2 , con OG = R 3(π − 1) . La legge di trasformazione della matrice d’inerzia consente di ricavare IG dal risultato ottenuto per IO: IG = IO − m diag(d 2 , 0, d 2 ) 3π − 2 12(π − 1) mR2 diag(1, 1, 2) − mR2 diag(1, 0, 1) . 9(π − 1) 2 Sottraendo i termini corrispondenti delle due matrici si ottiene IG = mR2 3π − 2 diag , 3(π − 1) 4 3π − 2 , 4 3π − 2 = − 2 1 1 diag , 0, 3(π − 1) 3(π − 1) mR2 3(π − 1) diag 3(π − 1)(3π − 2) − 4 , 12(π − 1) 3π − 2 , 4 3(π − 1)(3π − 2) − 2 , 6(π − 1) da cui segue infine IG = mR2 6(π − 1) diag 2 9π − 15π + 2 , 6(π − 1) 3π − 2 3 , 2 (3π − 4)(3π − 1) . 3(π − 1)
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