Calcolo di Autovalori ed Autovettori

126 CAPITOLO 5. CALCOLO DI AUTOVALORI E AUTOVETTORI
5.4 Riduzione in forma tridiagonale e di
Hessenberg
Se una matrice è hermitiana e tridiagonale, l’approssimazione dei suoi
autovalori ed autovettori, sia col metodo di Jacobi che con altri metodi,
risulta più agevole che per una matrice hermitiana qualunque non sparsa. Per
questo motivo una generica matrice hermitiana A viene di solito trasformata
in una matrice tridiagonale simile.
Fra i vari modi per effettuare la riduzione di A alla forma tridiagonale
riportiamo qui il metodo di Givens, considerato, per semplicità, nel caso
reale. In questo metodo si usano ancora le matrici di rotazione per ottenere
termini nulli ma, a differenza di quanto si è visto nel metodo di Jacobi, un
elemento che è stato annullato a un certo passo non viene più modificato
nelle successive trasformazioni. Ciò si ottiene annullando ordinatamente i
termini non nulli fra gli elementi aij con i − j ≥ 2, considerati per colonne,
nel seguente ordine
a31,a41,...,an1;a42,a52,...,an2;...;an,n−2,
usando, rispettivamente, le matrici di rotazione
G23,G24,...,G2n;G34,G35,...,G3n;...;Gn−1,n. (5.19)
Poiché ad ogni passo viene annullato un elemento e il suo simmetrico,
bastano al più (n−2)(n−1)
rotazioni per trasformare A in una matrice simile
2
A1 di forma tridiagonale, conservando la simmetria.
In questo processo gli indici della matrice di rotazione e quelli dell’ele-
mento da annullare non sono gli stessi come nel metodo di Jacobi, ma la
matrice G (k)
rs viene costruita in modo che risulti
a (k+1)
s,r−1 = 0, k = 1, 2,...,
(n − 2)(n − 1)
; (5.20)
2
se fosse già a (k)
s,r−1 = 0 si pone G (k)
rs = I (cioè ϕ = 0).
Utilizzando la (5.16) ove si ponga j = r − 1, la (5.20) fornisce
che è soddisfatta per
cos ϕ =
a (k+1)
s,r−1 = a (k)
s,r−1 cos ϕ − a (k)
r,r−1 sin ϕ = 0 ,
a (k)
r,r−1
a (k)
2 s,r−1 +
a (k)
, sin ϕ =
2
r,r−1
a (k)
s,r−1
a (k)
2 s,r−1 +
a (k)
.
2
r,r−1