La risposta potrebbe influenzare i limiti della conoscenza - Kataweb

oltre i
LIMITI
complessità
chi siamo
che cosa faremo
dove andiamo
Macchine
dell’infinito
Le macchine possono risolvere velocemente problemi di tipo sì-o-no?
La risposta potrebbe influenzare i limiti della conoscenza umana
di John Pavlus
n giorno nevoso del
marzo 1956, a Princeton,
in New Jersey, un uomo
basso, con un aspetto un po’
da gufo, chiamato Kurt Gödel,
scrisse la sua ultima lettera a un
amico morente. Gödel si rivolgeva
con grande formalità a John
von Neumann, sebbene i due si
conoscessero da decenni, dato
che erano colleghi all’Institute
for Advanced Study di Princeton.
Entrambi erano geni della
matematica, ed erano stati fondamentali
nello sviluppo della
supremazia statunitense in campo
tecnologico e militare negli
anni successivi alla seconda guerra
mondiale. Ora però von Neumann
aveva un tumore, e c’era poco che anche
un genio come Gödel potesse fare, a parte
esprimere gentili aspettative un po’ troppo
ottimistiche e poi cambiare argomento.
Caro von Neumann,
è con massima tristezza che ho appreso
della vostra malattia… Ho saputo che
negli ultimi mesi vi siete sottoposto a un
trattamento radicale, e sono felice che questo
trattamento abbia avuto successo come
sperato, e che ora vi sentiate meglio.
Dato che ora, come ho saputo, vi sentite
più forte, mi permetto di scrivervi riguardo
a un problema matematico, su cui la vostra
opinione sarebbe di mio grande interesse…
La descrizione di questo problema fatta
da Gödel è decisamente incomprensibile
per i non matematici (forse stava semplicemente
tentando di distrarre von Neumann
dalla sua malattia, impegnandolo in
una versione altamente specialistica delle
quattro chiacchiere fra amici…). In sintesi,
Gödel si chiedeva quanto tempo sarebbe
servito a un’ipotetica macchina per dare
risposte a un qualsiasi problema. La sua
conclusione sembra qualcosa che arriva
dalla fantascienza.
Se una (simile) macchina esistesse davvero…
questo avrebbe conseguenze della
massima importanza. In particolare significherebbe
ovviamente che… il lavoro mentale
di un matematico che riguarda domande
di tipo sì-o-no, potrebbe essere completamente
sostituito da una macchina.
Con «lavoro mentale» Gödel non intendeva
banali calcoli come fare due più due.
Parlava invece del salto intuitivo che i matematici
compiono quando illuminano aree
completamente nuove della conoscenza.
Venticinque anni prima i teoremi di incompletezza
di Gödel, oggi famosi, avevano
Illustrazione di Kyle Bean; Kyle Bean (set); Ryan Hopkinson (fotografia)
62 Le Scienze 531 novembre 2012 www.lescienze.it Le Scienze 63

oltre i
LIMITI
chi siamo
John Pavlus è scrittore e autore
cinematografico che si occupa
principalmente di scienza, tecnologia
e design. I suoi lavori sono stati pubblicati
su «Wired», «Nature», «Technology
Review» e altre testate.
in breve
Il problema «P contro NP» si chiede se
problemi impegnativi, ma le cui soluzioni
possono essere velocemente verificate
(come per esempio i puzzle) siano anche, in
sintesi, facilmente risolvibili.
Nonostante decenni di studi, nessuno è
stato in grado di provare che le due categorie
siano differenti. Se non lo fossero, le
macchine potrebbero acquistare un enorme
potere.
Il problema non riguarda solo chi tenta di
decifrare codici, o i motori di ricerca sul Web.
Suggerisce infatti un limite fondamentale per
l’evoluzione biologica, le leggi fisiche e la
natura della conoscenza.
che cosa faremo
dove andiamo
trasformato la matematica per sempre. Si
poteva costruire una macchina per produrre
a richiesta simili intuizioni in grado di
cambiare il mondo?
Gödel aveva spedito la lettera da qualche
settimana quando von Neumann si
fece visitare al Walter Reed Army Medical
Center di Washington, dove morì in meno
di un anno, senza aver mai risposto all’interrogativo
del suo amico. Ma il problema
sarebbe sopravvissuto a entrambi. Oggi
conosciuta come «P contro NP», la domanda
di Gödel finì per diventare un principio
organizzatore dell’informatica moderna.
Ha fatto nascere un’intera nuova area di
ricerca, chiamata teoria della complessità
computazionale: una fusione di matematica,
scienza e ingegneria che cerca di
provare, con assoluta certezza, che cosa i
computer possano e non possano fare in
condizioni realistiche.
Ma P contro NP riguarda molto di più
che quegli aggeggi di plastica e silicio che
chiamiamo computer. Il problema ha implicazioni
pratiche per fisica e biologia
molecolare, crittografia, sicurezza nazionale,
evoluzione, limiti della matematica e
forse addirittura per la natura della realtà.
In teo ria, questa singola questione fissa i
limiti di quello che saremo in grado di calcolare.
E nel XXI secolo i limiti del calcolo
somigliano sempre di più ai limiti stessi
della conoscenza umana.
La scommessa
Michael Sipser era solo un laureando,
ma sapeva che presto qualcuno avrebbe
risolto il problema P contro NP. Addirittura
pensava che poteva essere proprio lui a
farlo. Era l’autunno del 1975, e stava discutendo
il problema con Leonard Adleman,
compagno di corso al Dipartimento
informatico dell’Università della California
a Berkeley. «Mi ero fissato con il problema
P contro NP, in qualche modo mi sentivo
in grado di capirlo seguendo una strada
che andava oltre quella che gli altri stavano
seguendo», dice Sipser, che attualmente
dirige il Dipartimento di matematica del
Massachusetts Institute of Technology. Era
così sicuro di se stesso da fare una scommessa
con Adleman: P contro NP sarebbe
stato risolto entro la fine del XX secolo,
se non prima. La posta: un’oncia (circa 30
grammi) di oro puro.
La scommessa di Sipser aveva un che
di poetico, perché P contro NP è di per sé
un problema che riguarda la velocità con
cui possono essere risolti altri problemi. A
volte seguire una lista di passi da compie-
re ci porta al risultato finale in un tempo
relativamente breve. Pensiamo alla nota
della spesa: si spuntano via via gli alimenti
acquistati, fino a quando si raggiunge la
fine della lista. I teorici della complessità
etichettano questi problemi come P, che
sta per «tempo polinomiale», che è poi un
modo matematicamente esatto di dire che
non importa quanto lunga la lista della
spesa diventi, il tempo che ci vorrà a spuntare
tutti gli alimenti non crescerà mai a un
tasso ingestibile.
Al contrario, molti più problemi potrebbero
o non potrebbero essere pratici da risolvere
semplicemente spuntando oggetti
da una lista, ma il controllo della soluzione
è comunque facile. Un puzzle è un buon
esempio: anche se richiede un bel po’ di
fatica per essere messo insieme, è sempre
facile capire se sia risolto o meno, basta
guardarlo. I teorici della complessità chiamano
questi problemi facilmente controllabili,
«tipo puzzle», problemi NP.
Quattro anni prima della scommessa
di Sipser con Adleman, il matematico
Stephen Cook aveva dimostrato che questi
due tipi di problemi sono collegati: ogni
problema P, facilmente risolvibile, è anche
un problema NP, facilmente controllabile.
La questione P contro NP che era emersa
dall’intuizione di Cook, e che da allora è
rimasta in sospeso, si chiede se vale anche
il contrario: tutti i problemi facilmente
controllabili, sono anche facilmente risolvibili?
Intuitivamente, la risposta sembra
negativa. Riconoscere un puzzle risolto
(«Ehi, ce l’hai fatta!») non è proprio la stessa
cosa che fare tutto il lavoro per trovarne
la soluzione. In altre parole, P non sembra
uguale a NP.
Sipser era affascinato dal fatto che nessuno
era stato in grado di dimostrare dal
punto di vista matematico quell’osservazione
apparentemente ovvia. E senza una
prova rimaneva la possibilità, per quanto
improbabile o strana, che tutti i problemi
NP potessero in realtà essere problemi P
sotto mentite spoglie. P e NP potrebbero
essere uguali, e dato che i computer possono
risolvere velocemente qualsiasi problema
in P, P uguale a NP implica che la
capacità dei computer di risolvere problemi
è enormemente più grande di quanto avessimo
immaginato. Sarebbero esattamente
quello che Gödel descriveva nella sua lettera
a von Neumann: oracoli meccanici che
potrebbero rispondere con efficienza più o
meno a ogni domanda posta loro, ammesso
che si possano programmare per verificarne
la soluzione.
64 Le Scienze 531 novembre 2012
Sipser sapeva che questo risultato era
estremamente improbabile. Eppure dimostrare
il caso opposto molto più probabile,
cioè che P non è uguale a NP, sarebbe stato
ugualmente rivoluzionario.
Come i teoremi di incompletezza di
Gödel, che avevano rivelato che la matematica
deve contenere proposizioni vere
ma non dimostrabili, una prova che mostra
che P non è uguale a NP esporrebbe una
verità obiettiva che riguarda i limiti della
conoscenza. Risolvere un puzzle e riconoscerne
uno che è già risolto sono due cose
Universo compUtazionale
Le basi temporali
della complessità
Quanto tempo è necessario per risolvere un problema? Questa è la domanda che si pongono i ricercatori
quando classificano i problemi in classi computazionali. Come esempio si consideri un
semplice compito di suddivisione: si ordini una lista di numeri casuali dal più piccolo al più grande.
Con la crescita della lista, il tempo necessario per ordinarla aumenta a una velocità gestibile, forse
come il quadrato delle dimensioni della lista. Questa proprietà colloca il problema nella classe
«P», perché può essere risolto in un tempo polinomiale. Problemi molto più ostici, come il cosiddetto
«problema del commesso viaggiatore» (si veda il box a p. 66), richiedono esponenzialemente più
tempo per essere risolti mentre crescono di complessità. Questi problemi «NP-completi» diventano
rapidamente tanto difficili da gestire che non potrebbero essere risolti nemmeno da miliardi di processori
che lavorassero per miliardi di anni.
che tipo di problema è?
Più difficili da risolvere
np
Questi
problemi
hanno una
qualità
essenziale: se si
propone una risposta
a un qualsiasi
problema NP, si può
rapidamente
verificare se la
risposta sia vera o
falsa.
np-completi
Questo sottoinsieme di problemi NP
«difficili-da-risolvere» funziona come un
passepartout: ogni problema NP può
essere tradotto in un problema NP-completo.
Così, se qualcuno dovesse trovare una
soluzione veloce per un problema
NP-completo, sarebbe in grado di
risolvere velocemente tutti i problemi
NP. P sarebbe uguale a NP.
p
Questi problemi
possono essere
facilmente risolti. Si noti che
tutti i problemi facilmente
risolvibili sono anche velocemente
verificabili, così tutti i problemi P
sono anche NP. Il contrario
quasi certamente non è
vero.
fondamentalmente diverse, e non ci sono
scorciatoie per arrivare alla conoscenza,
non importa quanto potenti i nostri computer
diventeranno.
Dimostrare una negazione è sempre
difficile, ma Gödel ce l’aveva fatta. Così a
Sipser, quando nel 1975 aveva scommesso
con Adleman, 25 anni sembravano un
tempo più che sufficiente per portare a termine
il lavoro. Se non avesse potuto provare
che P non è uguale a NP, ci sarebbe
riuscito qualcun altro. E comunque sarebbe
diventato più ricco di un’oncia d’oro.
Complicazione
in rapida crescita
Adleman condivideva l’interesse di
Sipser, ma non la sua fiducia, a causa di
una criptica prova matematica. Il lavoro di
Cook che stabiliva che i problemi P sono
tutti NP dimostrava anche l’esistenza di
uno speciale tipo di problemi facilmente
controllabili, chiamati NP-completi. Questi
problemi si comportano come un mazzo
di chiavi magiche: se si trovasse un algoritmo
veloce per risolverne uno, quell’algoritmo
sbloccherebbe la soluzione di
ogni altro problema NP, provando che P è
uguale a NP.
C’è solo un piccolo inconveniente da risolvere:
i problemi NP-completi sono tra i
più difficili che chiunque in campo informatico
abbia mai visto. E, una volta scoperti,
sono cominciati ad apparire ovunque.
Subito dopo la pubblicazione della ricerca
di Cook, uno dei mentori di Adleman
a Berkeley, Richard M. Karp, pubblicò uno
studio fondamentale che dimostrava che
21 classici problemi computazionali erano
tutti NP-completi. Presto ne seguirono
altre decine, poi centinaia. «Fu come aver
tolto il dito dalla fessura di una diga», dice
Adleman. Programmare voli aerei, sistemare
scatoloni in un camion, risolvere schemi
di Sudoku, progettare un chip per computer,
assegnare i posti a sedere a un pranzo
di matrimonio, giocare a Tetris e migliaia
di altri problemi pratici del mondo reale si
sono dimostrati NP-completi.
Come può questa intrigante chiave per
risolvere P contro NP sembrare allo stesso
tempo così comune e così irrisolvibile? «È
il motivo per cui mi sono interessato allo
studio del problema P contro NP», confessa
Adleman, che attualmente è professore
alla University of Southern California a Los
Angeles. «Potere e ampiezza di queste questioni
computazionali sembravano decisamente
meravigliosi. Ma sicuramente non
le capivamo, e sembrava anche che non
saremmo arrivati a capirle molto presto» (Il
pessimismo di Adleman riguardo a P contro
NP ha condotto a un’invenzione che
ha cambiato il mondo: qualche anno dopo
aver fatto la scommessa, Adleman e i suo
colleghi Ronald Rivest e Adi Shamir hanno
sfruttato l’apparente incommensurabilità
di P contro NP per creare il loro eponimo
algoritmo crittografico RSA, che ancora
oggi è usato diffusamente per banche on
line, telecomunicazioni e applicazioni di
sicurezza nazionale).
I problemi NP completi sono difficili
perché si complicano in modo rapido. Im-
www.lescienze.it Le Scienze 65

oltre i
LIMITI
chi siamo
maginiamo di essere un turista squattrinato
che sta pianificando un viaggio attraverso
un certo numero di città in Europa, e
che cerca un percorso che gli faccia attraversare
ogni città minimizzando la distanza
totale che deve percorrere. Come trovare
la strada migliore? Il metodo più semplice
è provare ogni possibilità. Con cinque città
da visitare si devono controllare solo 12
possibili itinerari. Con dieci città i percorsi
possibili crescono come funghi, e arrivano
a 180.000. Con 60 città il numero di itinerari
supera il numero di atomi nell’universo
conosciuto. Questo incubo computazionale
è conosciuto come il problema del commesso
viaggiatore, e nonostante ottant’anni
di intensi studi nessuno ha mai trovato
un metodo generale per risolverlo che funzioni
meglio del provare ogni possibilità,
una alla volta.
Questa è l’essenza perversa della NPcompletezza,
e di P contro NP: non solo
tutti i problemi NP-completi sono egualmente
impossibili da risolvere con l’eccezione
dei casi più semplici, anche se il
vostro computer ha più memoria di Dio
e l’intera vita dell’universo per provarci,
sembrano saltare fuori ovunque. In effetti,
questi problemi NP-completi, non solo
frustrano gli informatici, ma addirittura
sembrano mettere limiti alle capacità della
natura stessa.
Il codice della natura
Il pionieristico programmatore olandese
Eds ger Dijkstra aveva capito che i problemi
computazionali hanno implicazioni
che vanno oltre la matematica. Una volta
sottolineò che «l’informatica riguarda solo
i computer quanto l’astronomia riguarda
solo i telescopi». In altre parole, il calcolo
è un comportamento esibito da molti sistemi,
al di là da quelli creati da Google e
Intel. In effetti si può dire che ogni sistema
che trasformi input in output seguendo un
insieme finito di regole, compresi quelli
normalmente studiati da biologi e fisici,
stia calcolando.
Nel 1994 il matematico Peter Shor aveva
dimostrato che particelle subatomiche,
disposte secondo una configurazione ingegnosa,
potrebbero decifrare i moderni
codici crittografici. Nel 2002 Adleman
ha usato frammenti di DNA per scoprire
la soluzione ottimale di una versione del
problema del commesso viaggiatore. E
nel 2005 Scott Aaronson, esperto in calcolo
quantistico che lavora oggi al Computer
Science and Artifi cial Intelligence
Laboratory del Massachusetts Institute of
che cosa faremo
Il venditore
svedese
Se avete grandi ambizioni riguardo a un
vostro viaggio in Svezia, considerate la
possibilità di visitarla tutta, ma proprio tutta.
Alcuni ricercatori hanno provato che l’itinerario
rappresentato qui accanto è il
più breve possibile fra quelli che attraversano
tutte le 24.978 città e villaggi
svedesi. Gli scienziati non si aspettano
che qualcuno faccia veramente questo
viaggio, ma le tecniche di ricerca
che hanno sviluppato per risolvere
il problema saranno di aiuto in
altre situazioni in cui serve trovare,
per esempio, il percorso ottimale
in un contesto complicato,
nella progettazione dei microchip
o nel sequenziamento del
genoma.
dove andiamo
Technology, per calcolare con efficienza
la soluzione ottimale a un problema conosciuto
come «albero di Steiner», fra le tante
cose che avrebbe potuto scegliere, ha usato
bolle di sapone. Questi sono proprio il
tipo di problemi NP che potrebbero ingolfare
i circuiti di un computer che provasse
a risolverli. Questi sistemi naturali sanno
qualcosa su P contro NP, che i computer
non sanno?
applicazioni
Percorso ottimale
(linea)
Centri abitati (punti)
«Certamente no», risponde Aaronson.
Il suo esperimento con le bolle di sapone
era in realtà una dimostrazione per assurdo
dell’affermazione secondo cui semplici
sistemi fisici possono in qualche modo trascendere
le differenze fra P e NP. Sebbene
le bolle di sapone «calcolino» le soluzioni
perfette in pochi casi per l’albero di Steiner
minimo, smettono di funzionare rapidamente
con il crescere delle dimensioni del
66 Le Scienze 531 novembre 2012
David Applegate, AT&T Labs; Robert Bixby, Rice University; Vasek Chvatal, Concordia University;
William J. Cook, Georgia Institute of Technology
problema, proprio come farebbe un computer.
L’esperimento con il DNA effettuato
da Adleman ha sbattuto contro lo stesso
muro. L’algoritmo quantistico di Shor funziona
in tutti i casi, ma quasi certamente il
problema fattoriale che risolve non è NPcompleto.
Quindi quell’algoritmo non ci
fornisce la chiave per risolvere ogni altro
problema NP. Biologia, fisica classica e sistemi
quantistici, tutti sembrano sostenere
l’idea secondo cui non ci sono scorciatoie
per risolvere i problemi NP-completi. E
questo sarebbe vero solo se P non è uguale
a NP.
«Certo, non possiamo provarlo con assoluta
certezza», dice Aaronson. «Ma se
fossimo fisici invece che teorici della complessità,
“P non è uguale a NP” sarebbe stato
dichiarato legge di natura già da tempo,
proprio come il fatto che niente possa
superare la velocità della luce». In effetti
alcune teorie fisiche riguardo alla natura
fondamentale dell’universo, come il principio
olografico suggerito dal lavoro di
Stephen Hawking sui buchi neri, implicano
che il tessuto della realtà stessa non sia
continuo, ma discreto, composto di tasselli
simili a pixel, proprio come i bit di un computer
(si veda Lo spazio è digitale?, di Michael
Moyer, in «Le Scienze» n. 524, aprile
2012). Quindi l’apparente intrattabilità dei
problemi NP, e la limitazione della conoscenza
che questa intrattabilità implica,
potrebbe essere parte dell’universo al livello
più fondamentale.
Cervelli meccanici
Ma se l’universo stesso è soggetto ai limiti
computazionali imposti da P contro
NP, come è possibile che i problemi NPcompleti
sembrano sempre risolvibili, addirittura
nei casi in cui trovare le soluzioni
dovrebbe richiedere migliaia di miliardi di
anni o più?
Per esempio, mentre un feto umano
è in gestazione nell’utero il suo cervello
completa i collegamenti necessari alla sopravvivenza
partendo da miliardi di singoli
neuroni. Aver trovato la migliore rete
di collegamenti possibile fra tutte queste
cellule è un problema NP-completo che
l’evoluzione sembra aver risolto. «Quando
un neurone si allunga da un punto per collegarsi
a un insieme di altri punti sinaptici,
risolve sostanzialmente un problema di
ottimizzazione di un grafo, che è un NPdifficile»,
spiega il neurobiologo evolutivo
Mark Changizi. Eppure il cervello in realtà
non risolve il problema, trova un’approssimazione
molto vicina alla soluzione. (In
pratica la disposizione dei neuroni ricade
entro il tre per cento di quella ottimale.) Il
verme Cae norhabditis elegans ha solo 302
neuroni, tuttavia non ha un diagramma di
connessioni neurali perfettamente ottimizzato,
nonostante miliardi di miliardi di generazioni
siano state spinte dalla selezione
naturale ad agire sul problema. «L’evoluzione
è limitata da P contro NP», afferma
Changizi. «Però funziona ugualmente, perché
non sempre la vita richiede la perfezione
per funzionare bene».
A quanto pare non ne hanno bisogno
nemmeno i computer. Il fatto che i computer
di oggi possano fare anche solo qualcosa
di utile – e per molto meno raggiungere
le meravigliose prestazioni che diamo per
scontate nelle nostre consolle per videogiochi
o nei nostri smartphone – è la prova
che i problemi in P includono un gran
numero delle nostre necessità computazionali.
Per il resto, un imperfetto algoritmo
di approssimazione è spesso più che sufficiente
allo scopo. In effetti questi algoritmi
«più che sufficienti» possono risolvere problemi
di ricerca e di confronto fra strutture
immensamente complessi, molti dei quali
sono tecnicamente NP-completi. Queste
soluzioni non sono sempre matematicamente
ottimali per tutti i casi, ma questo
non significa che non siano utili.
Prendiamo Google, per esempio. Secondo
molti ricercatori della complessità, i
problemi NP sono essenzialmente problemi
di ricerca. Ma secondo il direttore della ricerca
di Google, Peter Norvig, l’azienda fa
ogni sforzo per evitare di doversi trovare
ad affrontare problemi NP. «Per i nostri
utenti la velocità conta più della perfezione»,
spiega. E in effetti i ricercatori di Google
ottimizzano i loro algoritmi per una
categoria computazionale addirittura più
veloce di quella richiesta dai problemi P
(a cui ci si riferisce come «tempo lineare»),
in modo che i risultati di ricerca appaiano
quasi istantaneamente. E se si incontra un
problema che non può essere risolto in
questo modo? «O lo formuliamo in modo
da renderlo più semplice, o non ce ne preoccupiamo»,
dice Norvig.
Questa è l’eredità, e l’ironia, del problema
P contro NP. Scrivendo a Von Neumann
nel 1956 Gödel pensava che il problema
contenesse la promessa di un futuro
pieno di macchine dal ragionamento infallibile,
in grado di ripetere «il lavoro mentale
di un matematico», che producessero
insomma grandi verità fondamentali premendo
semplicemente un bottone. Invece
decenni di studio di P contro NP hanno
contribuito a creare un mondo in cui abbiamo
esteso la capacità di risolvere problemi
delle nostre macchine, ma proprio
accettandone i limiti. L’approssimazione
della vita, non la perfezione della meccanica,
è ciò che le automobili autonome di
Google usano per poter guidare da sole
nelle affollate autostrade di Los Angeles, o
che il computer Watson di IBM ha sfruttato
per indovinare le risposte che lo hanno
portato a vincere a Jeopardy, un famoso
quiz televisivo di cultura generale trasmesso
negli Stati Uniti.
Corsa all’oro
Il 2000 è arrivato ed è passato, e Sipser
ha spedito ad Adleman l’oncia d’oro. «Forse
voleva che la spedissi in un cubo di
poliestere trasparente, in modo da poterla
esporre come un trofeo sulla sua scrivania
o da qualche altra parte», dice Sipser. «Ma
non l’ho fatto». Lo stesso anno il Clay Mathematics
In stitute di Cambridge, in Massachusetts,
ha offerto una nuova taglia a
chi risolverà il problema P contro NP: un
milione di dollari. Il premio ha aumentato
l’attenzione sul problema, come sperato,
ma ha anche attirato dilettanti e svitati:
attualmente Sipser, come molti altri importanti
teorici della complessità, riceve
regolarmente e-mail non richieste in cui
perfetti sconosciuti gli chiedono un parere
su certi loro inediti tentativi di dimostrare
che P non è uguale a NP, o, peggio ancora,
di dimostrare l’opposto.
Sebbene P contro NP rimanga irrisolto,
molti ricercatori della complessità ritengono
che prima o poi se ne verrà a capo. «Non
mi sono mai veramente arreso», confida
Sipser. E aggiunge che ogni tanto tira fuori
carta e matita e torna a lavorarci. Quasi
per svago, come un cane che si accanisce
sull’osso preferito. P contro NP, in fondo, è
un problema NP: la sola via per risolverlo è
continuare a provarci. La risposta potrebbe
non arrivare mai. Tuttavia, nel caso in cui
dovesse arrivare la riconosceremo, quando
la vedremo. n
per approfondire
I limiti del computer quantistico. Aaronson S., in «Le
Scienze» n. 477, maggio 2008 .
I limiti della ragione. Chai tin G., in «Le Scienze» n.
453, maggio 2006.
The History and Status of the P versus NP Question.
Sipser M., in «Proceedings of the Twenty-Fourth Annual
ACM Symposium on Theory of Computing», pp. 603-
618, 1992.
The Efficiency of Algorithms. Lewis H.R. e
Papadimitriou H.C., in «Scientific American», Vol. 238, n.
1, pp. 96-109, gennaio 1978.
www.lescienze.it Le Scienze 67