Il massimo ritardo medio dei numeri del Lotto - digiTANTO.it

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Figura 1 200 400 600 800 1000 1200 Nel seguito prendiamo in considerazione n estrazioni di 5 numeri su una ruota e definiamo: mr1(n) il valore atteso del massimo ritardo medio (ovvero la media dei massimi ritardi che si presentano) di un numero prefissato; rj(x,n) il numero di ritardi di lunghezza x di un numero prefissato; mra(n) il valore atteso del massimo ritardo medio di un numero qualsiasi; rj(x,n) il numero di ritardi di lunghezza x di un numero qualsiasi. Modello probabilistico per un numero Il modello che segue è stato messo a punto da Elio (risultati simili per altra via sono stati ottenuti anche da Adam). Sia g [n, r] la probabilità che entro la n-esima estrazione ci sia stato almeno un ritardo di lunghezza almeno r. Questo evento si verifica se e solo se il ritardo r si è presentato almeno una volta in qualcuna delle estrazioni tra 1 ed n-l, oppure se si presenta alla n-esima estrazione. Valgono le condizioni iniziali: In{1]:= g[n_,r_]:=O/; n
2 -2 -4 -6 -8 10 Figura 2 Out[4]= -40.7291 + 17.463 Log[x] La bontà del fit (in blu) rispetto ai valori teorici (in giallo) è evidente dal grafico di Figura 1. Conteggio dei ritardi per un numero Ora studiamo una stima asintotica (cioè che vale per x ed n grandi) di rj(x,n). Si nota che: 2 rj(x,n/2) ~ rj(x,n) ~ 2rj(x,n/2) + 1 E quindi, la dipendenza da n può essere solo lineare. Supponiamo ora di avere aspettato un numero per x-1 estrazioni, la probabilità che non si presenti alla successiva è p=1-q e questa probabilità deve coincidere con il rapporto tra il numero atteso di ritardi lunghi x e il numero totale di ritardi attesi (infatti quel numero o ritarda x oppure x+1 oppure x+2 ...). Quindi indipendentemente da n e da x deve valere: rj·(x,n) -oo---=p=l-q 168 Lrj(i,n) I=X 120 110 100 90 80 70 Figura 3 che è una relazione ricorrente di ordine infinito. Sostituiamo a rj(x,n) un'espressione del tipo n a b X e risolviamo con Mathematica 3.0 (chi sa l'analisi lo poteva fare anche a mano). In[2]:= l-q==n a bAx/SUm[n a bAi,{i,x,=}] Out[2]= 1-q==1-b Vale allora rj(x,n)=n a b r e resta il problema di de- terminare a. Sia rj(i,x,n) il numero medio dei ritardi di lunghezza esattamente x del numero j che si presentano in n estrazioni (ovvero 5 n numeri) ad un tempo t tale che t mod n = i. Per un dato numero j vale rj(i,x,n) = Floor[n/x) p2 qX. Si nota che se un ritardo viene contato in un qualche rj(i,x,n) non può apparire in nessun altro rj(k,x,n) con k;éi. I possibili valori di i vanno da O a x+ 1 e trascurando il Floor e i problemi ai bordi si ottiene la stima finale: Ora si può vedere per quale valore di r il numero atteso di ritardi lunghi r ha un valore costante C: In[1]:= Expand [PowerExpand [x/ • MCmicrocomputer n. 191 - gennaio 1999
Page 1: a cura di Francesco Romani Il massi

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