RUOTE DENTATE Perdite e rendimento

Dipartimento di Ingegneria Meccanica,
Nucleare e della Produzione
RUOTE DENTATE
Perdite e rendimento
Prof. Ing. Enrico MANFREDI
Integrazione degli argomenti trattati al Cap. 15
del testo di Juvinall e Marshek:
“Fondamenti della progettazione
dei componenti delle macchine”
Rendimenti 1
Rendimento degli ingranaggi
• Definizioni e cause di perdita:
L L res mot − L
η
= =
L L
L
mot
dissipato
= L
mot
rotolament o
dissipato
+ L
⎡ L
= 1−
⎢
⎣ L
+ L
strisciame nto
dissipato
perditefluidodina
miche
• Perdite pari a ≈ 0,5% ÷5% del lavoro o della potenza trasmessa.
• A moto lento la causa prevalente è lo strisciamento tra i denti.
• Le perdite fluidodinamiche aumentano fortemente con la velocità.
• Fattori chiave: tipo di dentatura, lubrificazione, v periferica, finitura.
• Il rendimento è migliore in recesso ? correzione delle dentature.
• Sono preferibili le ruote cilindriche rispetto alle coniche, a denti dritti
piuttosto che curvilinei; a dentatura interna, piuttosto che esterna.
• Caso peggiore: vite senza fine-ruota elicoidale; con rapporto
trasmissione 100:1 si può avere η < 50% (irreversibilità statica).
mot
⎤
⎥
⎦
Rendimenti 2

Procedura per il calcolo del rendimento
• Se M è la coppia motrice, il rendimento si può scrivere:
L
η =
L
L
=
L
motoreeffettivo
( M0
⋅θ
) M
=
( M ⋅θ
) M
res motoreideale
0
mot
• Si considerano separatamente il meccanismo ideale (perdite
nulle) e quello reale (ad es.: con attrito).
• Si assume che la coppia resistente sia la stessa nei due casi.
• Si calcolano le coppie motrici a regime sia per il meccanismo
ideale (M 0) , sia per il meccanismo reale (M).
• Si opera in modo analogo se, invece delle coppie, si devono
considerare forze motrici e resistenti (es.: piano inclinato)
• Nella parte seguente è presentato il calcolo semplificato del
rendimento per le sole perdite per strisciamento di un
ingranaggio cilindrico a dentatura esterna dritta.
=
Rendimenti 3
Ingranaggi: caso ideale senza attriti
Forza
motrice
b m
s accesso
Momento rispetto ad O
s recesso
O
M = F ⋅b
0
Rendimenti 4
m
La situazione è identica in
accesso ed in recesso

Velocità di
strisciamento
Attrito negli ingranaggi: in accesso
Forza
motrice
Velocità di
strisciamento
b m
M = F ⋅b
− f ⋅ F ⋅b
accesso
Forza d’attrito
O
Momento rispetto ad O
b a
Rendimenti 5
Attrito negli ingranaggi: in recesso
Forza
motrice
b m
M = F ⋅b
+ f ⋅ F ⋅b'
recesso
O
b’ a
Rendimenti 6
m
Momento rispetto ad O
m
Gli strisciamenti e l’attrito
hanno versi opposti a
quelli in accesso
Forza d’attrito
a
a

Procedura per il calcolo del rendimento di ingranaggi
contatto in un punto P in accesso (1)
R 2 sen senΦ−CP CP
F 2-1
R 1 cos cosΦ
C P
O 1
O 1
Φ
R 2 sen senΦ−CP CP
F 2-1
R 1 cos cosΦ
C P
O 2
R 1 sen
M
M
R 2 cos cosΦ
O 2
Φ
fF 2-1
1
2
senΦ+ Φ+CP CP
R 1 sen
M
M
R 2 cos cosΦ
fF 2-1
1
2
senΦ+ Φ+CP CP
= F ⋅ R cosΦ
− f ⋅ F ⋅(
R senΦ
+ CP)
1
= F ⋅ R cosΦ
− f ⋅ F ⋅(
R senΦ
− CP)
2
Coppie delle forze delle
dentature rispetto agli assi delle
ruote 1 (motrice) e 2 (condotta)
Qui si mostrano le forze agenti
sulla ruota motrice
Rendimenti 7
Procedura per il calcolo del rendimento di ingranaggi
contatto in un punto P in accesso (2)
= F ⋅ R cosΦ
− f ⋅ F ⋅(
R senΦ
+ CP)
1
= F ⋅ R cosΦ
− f ⋅ F ⋅(
R senΦ
− CP)
M
1
= M
2
2
R
R
1
2
Rendimenti 8
1
1
[ 1−
f ( tgΦ
+ CP/ ( R1
cosΦ))
]
[ 1−
f ( tgΦ
−CP/
( R cosΦ))
]
Relazione tra coppia motrice e
coppia resistente in presenza
d’attrito di strisciamento
2
2
2

Procedura per il calcolo del rendimento di ingranaggi
contatto in un punto P in accesso (3)
R 2 sen senΦ−CP CP
F 2-1
R 1 cos cosΦ
P’
C P
O 1
C
O 1
Φ
Φ
O 2
R 1 sen
M
M
R 2 cos cosΦ
fF 2-1
1
2
= F ⋅ R cosΦ
− f ⋅ F ⋅(
R senΦ
+ CP)
M
senΦ+ Φ+CP CP
M
M
1
2
1
1
= F ⋅ R cosΦ
− f ⋅ F ⋅(
R senΦ
− CP)
2
= M
M
2
R
R
1
2
[ 1−
f ( tgΦ
+ CP/R1
cosΦ)
]
[ 1−
f ( tgΦ
−CP/R
cosΦ)
]
R
1
10 = M 2 ; η
R2
Rendimenti 9
1
2
L
=
L
2
mot.
ideale
motore
M
=
M
Coppia motrice con attrito nullo ed
espressione del rendimento
Procedura per il calcolo del rendimento di ingranaggi
contatto in un punto P’ in recesso
R 2 senΦ+CP’
R 1 cosΦ
O 2
R 2 cosΦ
M
= F ⋅ R cosΦ
+ f ⋅F
⋅(
R senΦ
− CP')
1
= F ⋅ R cosΦ
+ f ⋅ F ⋅(
R senΦ
+ CP')
1
R 1 senΦ−CP’
= M
2
2
R
R
1
2
Rendimenti 10
1
2
10
[ 1+
f ( tgΦ
− CP'
/R1
cosΦ)
]
[ 1+
f ( tgΦ
+ CP'
/R cosΦ
) ]
R
1
M 10 = M 2 ; η =
R2
M
M
1
10
2
1

Rendimenti istantanei
• Considerando solo gli strisciamenti in accesso il rendimento è:
1−
f ( tgΦ
+ CP / R1
cos Φ)
ηaccesso
=
1−
f ( tgΦ
− CP / R1
cos Φ)
• Invece in recesso il rendimento è :
1+
f ( tgΦ
−CP'
/ R1
cos Φ)
ηrecesso
=
1+
f ( tgΦ
+ CP '/
R cos Φ)
– Il valore in recesso è un po’ maggiore di quello in accesso.
• CP e CP’ sono aliquote del segmento dei contatti, che si divide in una
parte in accesso ed una in recesso.
• Il segmento dei contatto è pari a GR volte il passo di base (GR =
grado di ricoprimento)
• Per il coefficiente d’attrito si può assumere un valore medio (con
buona lubrificazione f medio ≈ 0,06)
1
Rendimenti 11
Perdite per strisciamento
e valore medio del rendimento
Considerando i lavori delle coppie motrice M 1 e resistente
M 2 su un arco di ingranamento θ = s/R pari ad un passo:
L
η
2
( M1ds
+ M1ds)
p 1
= M 2 ; L1
=
R R ∫ ∫
medio
1
2
L2
= = 1−
f
L
1
medio
⎛ 1
⎜
⎝ R
accesso recesso
1
1 ⎞ s
+
R ⎟
2 ⎠
2
accesso
+ s
p
2
recesso
N.B. Qui si assume un grado di ricoprimento unitario con f=costante.
Relazioni analoghe nel caso di GR≠1
Rendimenti 12

Rendimento delle trasmissioni ingranaggi
• Le perdite possono essere:
– dipendenti dal carico (per lo più dovute allo strisciamento delle
dentature);
– indipendenti dal carico (per lo più fluidodinamiche o dovute ai
cuscinetti).
– N.B. Perciò il rendimento è minore con carichi bassi.
• Le perdite fluidodinamiche variano all’incirca con la terza
potenza della velocità periferica.
• Il lavoro dissipato si trasforma in calore, perciò:
Perdite
– è necessario il raffreddamento (sistema lubrificazione);
– occorre, a volte, valutare la temperatura delle dentature.
Rendimenti 13
Perdite di potenza complessive: esempio
(riduttore aeronautico: 3500 kW, 13000 giri/min)
kW
10
5
4 Cuscinetti
h » 0,99
Ingranaggio
Aerodinamiche +
+ rotolamento
Strisciamento
v P elevata, cost.
Potenza trasm.
0 1500 3000 kW
Inoltre: energia dissipata da pompe e circuito lubrificazione
Da: N.E. Anderson et al., Jou. of Mechanisms etc., Sett. 1986, pp.
. 424
Rendimenti 14

Rendimenti dei rotismi epicicloidali (1)
• Le perdite di un rotismo epicicloidale e quelle dello
stesso rotismo reso ordinario sono analoghe.
• Detto (1−η 0 ) il fattore di perdita del rotismo ordinario, se
ω 1 è la velocità della ruota motrice, la potenza dissipata
si può scrivere come segue:
P
dissipata
= M
mot
ω
1
( 1−η
) = M ( ω −ω
)( 1−η
)
⎡ω
⎤
1 −ω
P
perciò sarà:
η = 1−
⎢ ( 1−η0
)⎥
⎣ ω1
⎦
La velocità di rotazione del portatreno ωP dipende
dal rapporto di trasmissione i0 del rotismo reso
ordinario;
ωP si può trovare tramite la nota formula di Willis.
mot
1
Rendimenti 15
Rendimenti dei rotismi epicicloidali (2)
• Di regola il rendimento h è uguale o leggermente
superiore a quello h 0 del rotismo ordinario.
• Per certi valori del rapporto di trasmissione i 0 il
rendimento è basso, nullo o perfino negativo:
h
1
h 0
+1
Rendimenti 16
P
0
1 / i 0

Temperatura
arrivo lubrificante
Temperatura del dente
Gocce calde centrifugate
Flusso calore
T = T media + ΔT locale ≈ T lubrif. + ΔT locale
superficie
Hertziana
v strisciamento
v periferica
Rendimenti 17
Aumento della temperatura locale (T flash )
Faccia attiva del dente
2a
superficie
Hertziana
v strisciamento
T flash = f(attrito, pressione, velocità e lunghezza di
strisciamento, capacità e conducibilità termica)
(Formula di Blok)
Rendimenti 18

Forze,
coeff.
attrito
Strisciamento
Temperature
Temp.
integrale
v periferica
Accesso Recesso
Coeff. attrito
Forza / unità
larghezza dente
V relativa
strisciamento
T flash di Blok
ΔT media
T lubrificante
Arco di ingranamento
Rendimenti 19
Usura e micropitting delle dentature
e lubrificazione elastoidrodinamica (EHD)
• Viscosità dell’olio aumenta con la pressione (GPa); deformazione elastica;
moto relativo; formazione meato di spessore h EHD
• h EHD = f (viscosità olio, coeff. aumento viscosità con pressione, carico
unitario, rigidezza materiali, velocità relativa) (formula di Dowson et al.).
• Il parametro Λ misura il rapporto tra h EHD ed altezza media delle
rugosità superficiali dei due corpi.
• Si ha separazione completa se Λ maggiore di 3÷5 (usura nulla).
• Nelle dentature spesso Λ minore di 1 ; usura, micropitting,
surriscaldamento.
• Fattori chiave di durata: finitura, additivi del lubrificante, rodaggio.
Rendimenti 20

Lubrificazione
Ridurre il numero di guarnizioni e
preferire O-ring per evitare perdite olio
Oli minerali con
viscosità medio alta.
Lubrificanti
sintetici (temp. alte /
basse)
Additivi mirati.
A sbattimento
Olio
A grasso fluido
(semi-liquido)
v P£15 m/s
A getto d’olio
fino ad oltre 100 m/s
v P£ 5 m/s
Emulsione
v periferica
Rendimenti 21
Riferimenti
• Funaioli et. al., Meccanica applicata alle macchine.
• Niemann, Winter, Elementi di macchine, II e III voll.
• Henriot, Manuale pratico degli ingranaggi
• Townsend (coord.), Dudley’s Gear Handbook.
Rendimenti 22