oluzioni soluzioni so SOLUZIONI DEL NUMERO 1 34 ludoteca numero 2 marzo 2007 SOMMA DI ANGOLI Nella figura a lato la somma degli angoli a + b + c + d è sicuramente maggiore di 360°, perché tutti e quattro gli angoli sono ottusi (cioè maggiori di 90°). Rimane da decidere se la risposta corretta è la D o la E. Dal disegno si può notare che le coppie di angoli segnati in giallo, sono alterni interni e quindi uguali tra loro (lo stesso vale per la coppia di angoli indicati in rosso). Allora, l’angolo b è dato dalla somma di un angolo retto (quello verde) e di un angolo giallo; analogamente l’angolo c è dato da un angolo retto più un angolo rosso. Quindi si ha che: a + b + c + d = a + (angolo giallo + 90°) + (90° + angolo rosso) + d A questo punto, osservando che a + angolo giallo = 180° e che angolo rosso + d = 180°, si ha che: a + b + c + d =180° + 180°+ 180° = 540°. PROBLEMA DELLE OTTO REGINE Nella figura di fianco vi mostriamo una delle 20 possibili soluzioni di questo gioco (in cui ad ogni X corrisponde la posizione esatta di una delle otto regine!); provate voi a trovare le altre possibili 19 soluzioni e verificate se sono quelle giuste sul nostro sito. Questo gioco, che si dice sia stato proposto per la prima volta dal matematico Gauss, può essere risolto per tentativi, oppure utilizzando, per esempio, la tecnica del backtracking (“tornare indietro”), che consiste nel riempire, finché possibile, le caselle con le regine e, nell'impossibilità di proseguire, nel cambiare (tornare indietro appunto) l’ultima scelta fatta, eventualmente ripetendo il ragionamento a ritroso quante volte è necessario. CALCIO ALL’ITALIANA SQUADRA A B C APPUNTAMENTO A TRE Il luogo migliore dove fissare l’appuntamento per incontrarsi il più in fretta possibile è a 7 Km di distanza in senso antiorario dalla casa di Anna , per cui gli altri due amici si sposteranno entrambi in senso orario, Carlo di 1 Km e Francesco di 7 Km dalle rispettive case. L’OROLOGIO BATTE L’UNA Per sapere che ore sono occorre aspettare al massimo 60 minuti. Infatti l’orologio del campanile batte un singolo rintocco ogni quarto d’ora, mezz’ora, tre quarti d’ora o, infine, allo scoccare dell’una; quindi, per qualsiasi ora diversa dalle 12.15 e dall’1, al massimo dopo tre quarti d’ora, si sentirà un numero di rintocchi che corrisponde al valore numerico dell’ora stessa e capirà che ore sono. Se il primo rintocco suona alle 12.15 sarà necessario aspettare altri quattro rintocchi singoli, cioè 60 minuti, per sapere che sono la 1.15; se invece il primo rintocco che si sente è quello dell’1, si dovranno ancora attendere tre rintocchi singoli (saranno quindi passati 45 minuti!) più un ulteriore quarto d’ora per scoprire che sono le 2. In totale, di nuovo, saranno passati 60 minuti! CI CONOSCIAMO? Supponiamo che i sei passeggeri del nostro scompartimento si chiamino Valeria, Tommaso, Giovanni, Anna, Lorenzo e Simona. Un metodo per risolvere questo gioco consiste nell’utilizzare un grafo colorato per rappresentare la situazione proposta. Se i Tommaso Simona vertici del grafo corrispondono alle sei persone dello scompartimento, se due passeggeri si conoscono allora coloreremo di rosso lo spigolo che collega i due vertici corrispondenti ai due passeggeri, altrimenti tale spigolo sarà colorato di blu. A questo punto, allora, il problema equivale a dimostrare che nel grafo c’è Valeria Lorenzo sempre o un triangolo tutto rosso oppure ce n’è uno tutto blu. Consideriamo allora i cinque spigoli uscenti dal vertice di Valeria Giovanni Anna e osserviamo che almeno tre di questi spigoli hanno necessariamente lo stesso colore (supponiamo sia il rosso). Se questi tre spigoli rossi sono quelli che collegano Valeria a Tommaso, a Simona e ad Anna, possiamo considerare allora i tre spigoli che collegano Tommaso a Simona, Simona ad Anna e Anna a Tommaso, che connettono tra loro i tre estremi degli spigoli rossi diversi da Valeria. Se tutti e tre questi spigoli sono blu abbiamo trovato un triangolo blu e abbiamo finito; se almeno uno di questi spigoli è invece rosso, possiamo allora completare un triangolo rosso con Valeria e, ancora una volta, abbiamo risolto la questione. C E H C E G B F B B E H B B F C G H F A F H A A C F A E H E C D VITTORIE 0 1 1 F D G C C E E A D H E E C C G F PAREGGI 3 2 3 G C D F E C C B MEDIO/DIFFICILE E C F D D B F G SCONFITTE 1 1 0 A D C C B D F E B A E B F A A F D B E C C B B C MEDIO B C F E A D D F C C F B E D C B F F B A C F F D D C F C A C D E B C C A MEDIO C A B E F E B C A E B C b c a d X X X X X X X X HITORI A C C D A B D A D A A B B C A C FACILE
dossier numero 2 marzo 2007 Che si tratti di trasporti stradali, ferroviari marittimi o aerei, l’importanza dei mezzi di trasporto non smette di crescere nella società moderna. La soluzione dei problemi legati a questa espansione (fluidità della circolazione, segnali, impatti sull’ambiente ecc.) si appoggia, il più delle volte, su una modellizzazione matematica L’intelligenza dei trasporti
Change language