DUE PAROLE SUL MOTO BROWNIANO. Angelo VULPIANI To ...

More documents

Recommendations

Info

È facile mostrare che per n → ∞ si ha σ 2 n → σ2 ∞ = b 2 (1 − a 2 ) =< v2 > (10) introducendo la variabile δ n = σ 2 n −σ2 ∞ , la (9) può essere riscritta nella forma δ n+1 = a 2 δ n → δ n = a 2n δ 0 (11) σ 2 n = σ2 ∞ + a2n δ 0 = σ 2 ∞ + a2n (σ 2 0 − σ2 ∞ ) . (12) Quindi la v n è distributa N(< v n >, σn) 2 con < v n > e σn 2 date dalla (7) e (12), notare che quando n → ∞, < v n >→ 0 e σn 2 → σ2 ∞ =< v2 >; detto a parole la densità di probabilità della variabile v n diventa praticamente stazionaria dopo un tempo 4, 5 volte un tempo caratteristico τ c = 1/| ln a|. Veniamo ora all’equazione (3) per lo spostamento ed assumiamo che all’istante iniziale la variabile velocità sia N(0, < v 2 >), questo è molto sensato perchè come abbiamo visto il rilassamento è rapido. ovviamente < ∆ n >= 0 e n−1 ∑ ∆ n = x n − x 0 = c v j (13) j=0 < ∆ 2 n >= c2 < ∑ ] 2 v j >= c 2 [n−1 j=0 n−1 ∑ j=0 n−1 < vj 2 > ∑ +2c2 j=0 n−j−1 ∑ k=1 < v j v j+k > (14) notiamo ora che < v j v j+k >= a k < v 2 > (basta moltiplicare per v n la (4) e poi mediare, si ottiene così < v n v n+1 >= a < v 2 >, analogamente moltiplicando per v n−1 la (4) , mediando ed utilizzando il risultato precedente si ha < v n+1 v n−1 >= a 2 < v 2 > e così via). Ricordando che N∑ a k = k=1 N∑ k=0 a k − 1 = 1 − aN+1 1 − a − 1 = a 1 − a (1 − aN ) (15) 6
la (14) diventa < ∆ 2 n >= c2 n < v 2 > +2c 2 < v 2 > a [ n−1 ∑ ] n − a n−j−1 1 − a j=0 (16) notiamo che R n = ∑ n−1 j=0 an−j−1 è una quantità finita al crescere di n. Ora dobbiammo aggiustare le costanti a , b e c, ovviamente c = ∆t . (17) Consideriamo la (4) con b = 0: può essere vista come la versione discreta di un’equazione differenziale dv dt = − 1 τ v (18.a) quindi poichè per ∆t piccolo si ha v(t + ∆t) ≃ v(t) − v(t)∆t/τ, segue che a ≃ 1 − ∆t τ (18.b) Se vogliamo che < v 2 > sia una quantità finita allora dalla (10) e la (18) segue che b deve essere b ≃ α √ ∆t . (19) Ora siamo pronti a calcolare il coefficiente di diffusione D = lim t→∞ < [x(n∆t) − x(0)] 2 > 2n∆t (20) ove ovviamente t = n∆t. Dalla (16) abbiamo < ∆ 2 n > n = c 2 < v 2 > +2c 2 < v 2 > a 1 − a (1 − R n n ) (21) Utilizzando (17,18.b,19,20,21) si ottiene D = τ < v 2 > (22) 7
Page 1 and 2: DUE PAROLE SUL MOTO BROWNIANO. Ange
Page 3 and 4: ad ottenere la legge di Einstein-Sm
Page 5: tecnica matematica non elementare,
Page 9: - K. Popper Irreversibility; or Ent

DUE PAROLE SUL MOTO BROWNIANO. Angelo VULPIANI To ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?