Soluzioni in Equilibrio Nash

2 Lecture 3: Equilibri di Nash misti
deve essere una best-response a S −i , altrimenti il giocatore potrebbe modificare la sua strategia
mista diminuendo la probabilità di giocare a k e ottenendo ottenendo in questo modo un’utilità
attesa più alta. Ma, se tutte le strategie nel supporto sono best-response allora devono fornire
tutte la stessa utilità attesa. Possiamo usare questa proprietà per trovare gli equilibri di Nash
misti del gioco.
Sia S = (p, q) un Equilibrio Nash misto e supponiamo che le azioni possibili per i due giocatori
siano A 1 = (a 1 , a 2 ) e A 2 = (b 1 , b 2 ). Se il supporto della strategia p è (a 1 , a 2 ) allora u 1 (e(a 1 ), q) =
u 1 (e(a 2 ), q), dove e(a i ) è la distribuzione degenere che assegna probabilità 1 all’azione a i e 0 a
tutte le altre azioni, e quindi
q(b 1 ) · u 1 (a 1 , b 1 ) + q(b 2 )u 1 (a 1 , b 2 ) = q(b 1 )u 1 (u 2 , b 1 ) + q(b 2 ) · u 1 (a 2 , b 2 ).
Applichiamolo la precedente osservazione a Battle of Sexes utilizzando la matrice dei payoff data
in precedenza. Sia S = (p, q) un equilibrio di Nash misto senza strategie degeneri. Allora la
condizione sull’uguaglianza delle utilità ottenute dalle azioni nel supporto implica che
da cui abbiamo che
q(B) · u 1 (BB) + q(S) · u 1 (BS) = q(B) · u 1 (SB) + q(S)u 1 (SS)
5q(B) + q(S) = 2q(B) + 6q(S)
. Inoltre, poiché q(·) è una distribuzione di probabilità abbiamo che q(S)+q(B) = 1. Risolvendo
il sistema lineare otteniamo che q(B) = 5 8 e q(5) 3 8 .
Analogamente, per il giocatore 2 abbiamo che
da cui otteniamo
p(B)u 2 (BB) + q(S)u 2 (SB) = p(B)u 2 (BS) + p(S)u 2 (SS)
5p(B) + 2p(S) = p(B) + 5p(S).
Imponendo che p(·) sia una distribuzione di probabilità otteniamo che p(B) = 3 7 e p(S) = 4 7 .
Quindi (( 3 7 , 4 7 ), ( 5 8 , 3 8
)) é l’unico equilibrio di Nash misto per questo gioco.
Gli equilibri di Nash misti non esistono sempre, ma Nash, nel 1951, ha provato il seguente
teorema:
Teorema 1.1 (Teorema di Nash) Ogni gioco con un numero finito di giocatori che hanno
un insieme finito di azioni possibili ha un equilibrio Nash misto.
La dimostrazione originale é esistenziale e basata sul teorema del punto fisso di Kakutani.
Consideriamo la funzione B i : A ↦→ 2 A tale che ad ogni outcome a = (a 1 . . . a n ) associa l’insieme
delle strategie che sono best response per i al profilo di strategie a −i . Allora un profilo di
strategie (a 1 . . . a n ) ∈ A é un equilibrio Nash se ∀i, a i ∈ B i (a). Se riscriviamo queste limitazioni
in forma vettoriale possiamo dire che a ∈ B(a) che equivale a dire che è un punto fisso per la
trasformazione B. La dimostrazione di Nash è basata sul teorema de punto fisso di Kakutani
che stabilisce l’esistenza di un punto fisso per B i se
• A ⊂ R n é convesso e compatto
• ∀a ∈ A, B(a) é non vuoto e convesso.