polinomi di Bernstein e curve di Beziér

che <strong>di</strong>mostra l’asserto.Ora abbiamo visto all’inizio del paragrafo che la matrice del cambiamento<strong>di</strong> base da <strong>polinomi</strong> <strong>di</strong> <strong>Bernstein</strong> a monomi risulta nonegativa (ve<strong>di</strong> nota).Quin<strong>di</strong>, lavorando in [0 , 1] dove entrambe le basi sono non negative si deduceche il numero <strong>di</strong> con<strong>di</strong>zionamento K relativo alla base <strong>di</strong> <strong>Bernstein</strong> risultaminore <strong>di</strong> quello relativo alla base dei monomi. Nel caso <strong>di</strong> un intervallo[a , b] qualsiasi stesso confronto si può fare fra la baseM i (x) :=(x − a)i(b − a) i , i = 0, . . . , n ,e la base <strong>di</strong> <strong>Bernstein</strong> generalizzata,( )Bi n 1 n(x) :=(x − a) i (b − x) n−i , i = 0, . . . , n ,(b − a) n iche sono entrambe nonnegative in [a , b].2 Sistemi <strong>di</strong> funzioni totalmente positiviPrima <strong>di</strong> definire un sistema <strong>di</strong> funzioni totalmente positivo su un certointervallo I ⊂ IR abbiamo bisogno <strong>di</strong> alcune definizioni e <strong>di</strong> qualche risultatopreliminare nell’ambito dell’algebra lineare.Definizione 1. Siano k ed n due interi con k ≤ n. In<strong>di</strong>cheremo con Q k,n ilseguente insieme <strong>di</strong> multiin<strong>di</strong>ci a k componenti,Q k,n := {α = (α 1 , . . . , α k ) T ∈ IN k | 1 ≤ α 1 < · · · < α k ≤ n} .Un multiin<strong>di</strong>ce α ∈ Q k,n può essere quin<strong>di</strong> pensato come una strutturautile a stalilire come estrarre k righe (colonne) da una matrice avente in tutton righe (colonne). Proseguendo in questo utilizzo, data quin<strong>di</strong> una matriceA ∈ IR n×m e α ∈ Q k,n , β ∈ Q k,m (dove k ≤ min{n , m}), in<strong>di</strong>cheremo conA[α|β] la sottomarice quadrata k × k definita come segue,⎛⎞a α1 ,β 1, · · · , a α1 ,β k⎜⎟A[α|β] := ⎝ . . . ⎠ .a αk ,β 1, · · · , a αk ,β k6