HET RAADsEL vAN DE mERcATORPROjEcTIE - Pythagoras

18
AfLEIDINg VAN DE mERcAtoRpRoJEctIE
Figuur 8 Op de bol met straal r hebben we
bolcoördinaten getekend. De lengtegraad is
bepaald door θ en de breedtegraad door φ.
Voor de afleiding nemen we een kleine strip
met breedte rΔθ. Hoe groot is de afstand PQ?
Bij het afleiden van de mercatorprojectie gaan we
uit van de aarde als bol (zie figuur 8). De middelste
horizontale cirkel, de evenaar, geven we
de straal r, dus de omtrek is 2πr. De straal van de
bovenste cirkel is r cos φ, dus de omtrek van deze
cirkel is 2πr cos φ.
We bepalen de afstand PQ uit de verhouding
Hieruit volgt dat PQ = r cos φΔθ.
Bekijk nu figuur 9. Bij de mercatorprojectie
eisen we dat de hoeken ten opzichte van de meridianen
constant zijn, dus we willen graag dat
α in de linkerfiguur gelijk is aan β in de rechterfiguur.
De meridianen worden op de verticale
lijnen afgebeeld. Hoe ver moet de y-coördinaat
worden opgerekt? Bekijk daartoe figuur 10. Als
we Δθ en Δφ zeer klein nemen, is PQR = 90°.
Figuur 10 We nemen Δθ en Δφ zeer klein.
Het gekromde oppervlak PQRS wordt bij benadering
een rechthoekje.
De hoeken α en β zijn gelijk, dus
en daarmee is
We schalen = 1, waarmee
Als Δφ naar 0 gaat, vinden we
y ʹ()=
1
cos .
Integreren geeft ons de formule voor y:
De integratieconstante is 0, want we beelden de
evenaar af op 0. De volledige transformatie is:
Figuur 9 We bekijken een kleine rechthoek
PQRS op het boloppervlak. De diagonaal PR
maakt hoek α met de meridiaan door S en P.
Dit gekromde rechthoekje wordt afgebeeld
op de rechthoek in het platte vlak rechts.
PYTHAGORAS
APRIL 2013