Volledige inhoud (pdf) - Pythagoras

More documents

Recommendations

Info

000 Van alles over twee cirkels In het vlak liggen twee elkaar snijdende cirkels Ci en C2. ^ is een van de snijpunten. Twee punten Pj en P2 doorlopen de cirkels Cj resp. C2 in dezelfde omloopszin met constante snelheden. Zij beginnen tegelijkertijd in A en komen na één omloop ook weer gelijktijdig in A terug. Bewijs dat er een vast punt P in het vlak is zo, dat P op elk tijdstip gelijke afstanden heeft totP, enP2. Dit was de derde opgave van de 21e Internationale Wiskunde Olympiade. Het komt vaak voor dat er verschillende oplossingsmethoden gevonden worden bij een Olympiadevraagstuk, maar deze opgave spant in dit opzicht misschien wel de kroon. Letterlijk tientallen verschillende oplossingen werden er door de deelnemers op papier gezet. Sommigen werkten met een coördinatenstelsel, anderen gebruikten complexe getallen, en er waren ook erg veel verschillende meetkundige oplossingen. De manier waarop waarschijnlijk de meeste van onze lezers het vraagstuk zouden aanpakken, is als volgt. Kies een geschikt coördinatenstelsel, neem een tweetal bijzondere posities voor Pi en P2, bepaal hiermee het gezochte punt P en toon ten slotte aan dat P inderdaad op elk moment gelijke afstanden heeft tot Pi en P2. Op deze methode ga ik verder niet in, hoewel het bewijs best zo gegeven kan worden. Je moet daarbij erg handig en nauwkeurig werken, want anders verzand je snel in geweldige rekenpartijen. Erg mooi is deze methode in elk geval niet. Laten we het daarom eens anders proberen. Een spiegeling en een rotatie Hoe is de situatie? Op elk van de twee cirkels loopt een punt met constante snelheid. Na één omloop komen de twee punten tegelijk weer in het uitgangspunt A terug. Ze hebben dus dezelfde hoeksnelheid en op elk moment zijn de hoeken 84 PiAfi/1 en P2M2A daarom gelijk. Een punt P ligt even ver van Pi als van P2 betekent dat P op de middelloodlijn m van P1P2 ligt (fig. 1). Het is dus de bedoeling om aan te tonen dat alle middelloodlijnen m door één punt gaan. Je moet om dit te bewijzen natuurlijk eerst een idee krijgen waar dat punt P zou kunnen liggen. Als inderdaad alle lijnen m door één punt P gaan, kun je P al vinden als snijpunt van twee posities van m. Kunnen we bijzondere posities van Pi en P2 vinden waarbij M gemakkelijk te bepalen is? Eén positie ligt erg voor de hand: precies halverwege de omloop. Pi en P2 liggen dan diametraal tegenover A. Als je fig. 2 netjes hebt getekend, lijkt het wel ofP^ door het tweede snijpunt B van de twee cirkels gaat. Dit is inderdaad waar, want Pi en Pj ontstaan uit Af] enAf2 dooreen vermenigvuldiging met een factor 2 vanuit A. M1M2 gaat door het midden van AB, dus P1P2 gaat door B. De middelloodlijn m van P1P2 staat dus niet alleen loodrecht op P1P2, maar ook op M1M2
Fig. 3. I en hij is daarom evenwijdig aan AB. Het snijpunt S van P1P2 en m is het midden van P1P2, en S is dus bij deze vermenigvuldiging ontstaan als beeld van het midden O van M1M2. Je ziet hierdoor dat de lijn m en de lijn door A en B symmetrisch liggen t.o.v. de middelloodlijn van M1M2. We hebben dus ontdekt dat het gezochte punt P moet liggen op het beeld van AB na spiegeling in de middelloodlijn van M1M2. Laten we de cirkels Ci en C2 ook eens in deze lijn spiegelen. Spiegelbeelden geven we aan met accenten: C,'^2', ,4'en fi'(fig. 3). Voordat we nu de ingeslagen weg vervolgen en gaan zoeken naar andere bijzondere posities voor Pi en P2 om nog een stand van hun middelloodlijn m te bepalen, is het goed eens te kijken of we op de gevonden lijn m geen bijzondere punten aantreffen die het gezochte punt P zouden kunnen zijn. A' en B' zijn zeker bijzondere punten. Zou één van hen het gezochte punt kunnen zijn? Kies eens een willekeurige positie van Pi en P2 en bekijk de driehoeken A'MiPi en P2'MiA (fig. 4). Roteer nuA'M^j om Afi totdat Pi met A samenvalt. Het punt A' ligt dan op P2' want L AM1P1 = L AM2P2 = LA'MyPi'. De driehoeken A'MiPi en P^MiA zijn dus congruent, en A 'Pi = AP2' ■ Maar AP 2' is het spiegelbeeld vanA'P2, dus AP2' =A'P2 en blijkbaar is A' het gezochte punt P! Wat is B' voor een punt? Op de lijn m van fig. 3 ligt nog een bijzonder punt, namelijk B'. Dit punt heeft de eigenschap dat het steeds gelijke afstanden heeft tot P, en P2 als P] en P2 in tegengestelde zin de cirkels doorlopen (ook weer met gelijke hoeksnelheid bij gelijktijdige start in A). Het bewijs hiervan is net zo eenvoudig: je moet er erg in hebben dat MiB'M2A een parallellogram is (want de overstaande zijden zijn gelijk) (zie fig. 5). De overstaande hoeken AMiB' en AM2B' zijn dus ook gelijk. Omdat P! en P2 met dezelfde hoeksnelheid bewegen,geldt ZP^!^ = Z^Afj^. 85
Page 1 and 2: jaargang 19 / februari 1980 wiskund
Page 3 and 4: "Spiralen uit vierkanten Als je de
Page 5 and 6: Pythagoras Olympiade Wedstrijdvoorw
Page 7 and 8: Er bestaat echter een criterium om
Page 9 and 10: 6000- 4000 3000 2000 1000 0 10000 2
Page 11 and 12: O 10000 20000 30000 40000 50000 Fig
Page 13: Tijdmeting bij zwemwedstrijden 1 He
Page 17 and 18: c / k A 1 Mi \ f \ Denkertje k /M2
Page 19 and 20: Fig. 4. Fig. 5. Fig. 6. ook beide g
Page 21 and 22: De lengtehoek wordt gerekend vanaf
Page 23 and 24: Het astrolabium Wie wel eens een as
Page 25 and 26: INDEX RETE TYMPAAN immiiiiiiiiiiiii
Page 27 and 28: Computers in de Samenleving Onder b

Volledige inhoud (pdf) - Pythagoras

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?