linjer och plan i rummet

2 Tisdag v.6
Detta är standardformen, och i detta specialfall då det finns ett samband med var planet skär
koordinataxlarna så kallar Adams denna form även för Intercept form.
Normalformen blir t.ex.
,
eftersom normalen är .
Efter nästa föreläsning kommer vi ha ett allmänt och smidigt verktyg att få fram normalen till
ett plan – nämligen kryssprodukten.
Linjer i rummet:
Geometriskt så bestäms en linje av två punkter och (ej samma), eller ekvivalent en av
dem och en riktningsvektor, t.ex. . Linjen på parameterform är
,
där är en allmän punkt på linjen. Även detta kan vi skriva på skalär form om vi vill.
I introduktionen till linjära ekvationssystem såg vi linjer som skärningar mellan plan. Två plan
skär varandra i en linje om deras normalvektorer inte är parallella. Annars så samanfaller
planen eller har tom skärning. Ekvationerna för en linje på standardform är
.
Det är lätt att se att punkterna samt ligger på denna linje.
Alltså ska ses om en "startpunkt", och vektorn som en riktningsvektor.
Observera att detta är väsentligen två ekvationer, och inte tre!
ex. Bestäm standardformen för linjen som går genom och .
Riktningsvektor: . Alltså är ekvationerna
.
ex. Bestäm det kortaste avståndet från punkten till linjen i exemplet ovan.
Låt och vara dess ortogonala projektion på linjen ovan. Låt även vara en
allmän punkt på linjen. Ortogonaldekompositionen av är
Pythagoras sats ger att
.
Alltså gäller det att är den närmaste punkten! Enligt formeln för ortogonalprojektion har vi
Detta ger att
Se Example 8, C: 10.4 i Adams för en alternativ metod. Möjligtvis är dess fördel inte värd
besväret att lära sig en ny metod, dessutom måste man först kunna kryssprodukt.
.
.