Banco de Questões 2013 - Obmep

Nível 1 – Soluções 103
Fila 1
Fila 2
Assim o tabuleiro de Ximena ficou pronto!
Coluna
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9 8
30 Vamos construir escadas – Solução
a) Começamos com uma observação: A primeira escada é composta de apenas um
quadradinho. A segunda escada é obtida, a partir da primeira adicionando um
novo nível contendo dois quadradinhos. Assim ela tem 1 + 2 = 3 quadradinhos. A
terceira escada é obtida, a partir da segunda adicionando um novo nível contendo
três quadradinhos, logo ela tem 1 + 2 + 3 = 6 quadradinhos. Esse mesmo racicínio
funciona para as demais escadas.
Assim, para calcular a área da quinta escada, observamos que temos 5 quadradinhos
no primeiro nível, 4 quadradinhos no segundo nível, 3 quadradinhos no
terceiro nível, 2 quadradinhos no segundo nível, e um quadradinho no primeiro
nível. No total, a escada está constituída por 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 quadradinhos.
Cada quadradinho tem 1 cm 2 de área. Portanto, a área total da escada é 15 cm 2 .
Para calcular o perímetro podemos contar o número de segmentos verticais e o
número de segmentos horizontais que compõem o contorno da quinta escada.
Como temos cinco degraus, há 5 segmentos verticais e mais 5 segmentos horizontais
compondo os degraus. Note ainda que para cada segmento horizontal em
um degrau, existe um segmento horizontal na base da escada. De maneira análoga,
para cada segmento vertical em um degrau, existe um segmento vertical na lateral
direita da escada. No total, temos então 5 + 5 segmentos verticais e 5 + 5 segmentos
horizontais. Portanto, o perímetro total da escada é (5 + 5 + 5 + 5) = 20 cm.
Observação: Podemos generalizar o argumento para calcular a área e o perímetro
da n-ésima escada. Nesse caso, na base da escada, teremos n quadradinhos, no
segundo nível teremos n − 1, e assim sucessivamente, até termos 1 quadradinho no
topo. Então, a n-ésima escada está constituída por 1 + 2 + · · · + n quadradinhos.
Para calcular esta soma, escrevemos os números como a seguir, repetindo os
números da soma ao contrário:
1 + 2 + 3 + · · · + n − 2 + n − 1 + n
n + n − 1 + n − 2 + · · · + 3 + 2 + 1
Observe que a soma de dois números numa coluna qualquer dá sempre n + 1. Logo,
se somarmos todos os números acima, como temos n linhas, teremos como resposta
n(n+1). Como cada número aparece duas vezes na soma acima, o resultado n(n+1)
corresponde a duas vezes a soma que queremos. Ou seja,
1 + 2 + · · · + n =
n(n + 1)
.
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