Ricardo Sa Earp - Departamento de Matemática - PUC-Rio

Professor Ricardo Sa Earp 7
sendo que vale a igualdade se e só sea p = b q .
21) Mostre que se a b>0, e a + b =1, então
a a b b
(a + b)a+b
2
22) Mostre o segunte resultado de Bohr. Se c>0então
(
|a + b| 2 (1 + c)|a| 2 + 1+ 1 )
|b| 2
c
Vamos agora demonstrar a clássica desigualdade de Hölder. sejam p, q números
reais positivos, satisfazendo 1 p + 1 q =1. Se a 1,...,a n e b 1 ,...,b n são não negativos,
então
(
n∑
n
) 1/p (
∑
n
) 1/q
∑
a i b i a p i ·
i=1
1
sendo que a igualdade éválida se e somente se b 1 = b 2 = ··· = b n =0, ou
a 1 /b 1 = a 2 /b 2 = ···a n /b n . O caso especial em que p = q =2é famoso e
chamado de desigualdade de Cauchy. A demonstração usa a desigualdade (6)
fazendo
a :=
ap i
n∑
eb:=
ap i
n∑
1
23) Complete a demonstração da desigualdade de Hölder, como exercício.
a p i
Para completar esta lista vamos tratar um pouco números racionais, irracionais
e enumerabilidade.
24) Considere S n
(m) as somas das m-ésimas potências dos n primeiros números
naturais, ou seja
S n (m) := 1 m +2 m + ...+ n m .
a) Mostre de pelo menos três maneiras distintas as seguintes identidades
para S n (2) e S n (3) :
1 2 +2 2 +3 2 + ···+ n 2 n(n + 1)(2n +1)
=
6
( ) 2 n(n +1)
1 3 +2 3 +3 3 + ···+ n 3 =
2
1
1
a q i
a p i