RESPOSTAS ESPERADAS – MATEMÁTICA - Unicamp

RESPOSTAS ESPERADAS – MATEMÁTICAa’’’)Como se observa na figura ao lado, o triângulo OPS é retângulo,pois a aresta OS é um diâmetro da circunferência centrada noponto (2, 0). Além disso, por ser a hipotenusa do triângulo OPS, aaresta OS mede 4. Assim, w = 4cos(30º) = 4 3 /2 = 2 3 .Recorrendo, então, ao triângulo OPR, que também é retângulo,obtemos as coordenadas do ponto P:y = w.sen(30º) = 2 3 .(1/2) = 3 .x = w.cos(30º) = 2 3 .( 3 /2) = 3.Resposta: Em P, x = 3 e y = 3 .b)A área da região sombreada corresponde a A C– A I, em que A Cé a área do círculo deraio 2 e A Ié a área da interseção dos dois círculos. Os pontos de interseção das duascircunferências satisfazem x 2 + y 2 = 4 e (x – 2) 2 + y 2 = 4. Assim, concluímos que x = 1 ey = ± 3 .Como o segmento de reta que liga a origem ao ponto de interseção no primeiroquadrante tem comprimento 2, podemos concluir que o cosseno do ângulo entre estesegmento e o eixo x vale 1/2, de modo que o ângulo é igual a 60º.A figura ao lado indica que A I= 2(A S– A T), onde A Sé a área do setor circular com ângulode 120º, e A Té a área do triângulo de base 2 3 e altura 1. Assim, A I= 2(π2 2 /3 – 1· 2 3/2) = 8π/3 – 2 3 . Logo a área desejada é A C– A I= π2 2 – 8π/3 + 2 3 = 4π/3 + 2 3 .Resposta: A região sombreada tem área igual a 4π/3 + 2 3 .b’)Seja A Ia área da interseção dos dois círculos, como ilustrado na figura ao lado.Dividindo A Iao meio, na horizontal, podemos inscrever na região resultante umtriângulo equilátero de arestas iguais a 2. A área desse triângulo éA2= 2 3 / 4 3 .T=Já a área da região A P, indicada na figura, é a diferença entre a área de um setorcircular e a área do triângulo equilátero, ou seja,APA2P= r θ / 2 − AT. Assim,2= 2 ( π / 3) / 2 − 3 = 2π/ 3 − 3 . Como A I= 2A T+ 4A P, temos = 8π/ 3 − 2 3 .A área desejada corresponde a A C– A I, em que A Cé a área do círculo de raio 2. Destemodo, a área desejada é π2 2 – 8π/3 + 2 3 = 4π/3 + 2 3 .A IResposta: A região sombreada tem área igual a 4π/3 + 2 3 .Respostas Esperadas • 2ª Fase