12.07.2015 Views

Principiul lui Cousin — principiu fundamental al analizei matematice

Principiul lui Cousin — principiu fundamental al analizei matematice

Principiul lui Cousin — principiu fundamental al analizei matematice

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

<strong>Principiul</strong> <strong>lui</strong> <strong>Cousin</strong> — <strong>principiu</strong> <strong>fundament<strong>al</strong></strong><strong>al</strong> an<strong>al</strong>izei <strong>matematice</strong>Florin POPOVICI 1Foarte adesea ca <strong>principiu</strong> <strong>fundament<strong>al</strong></strong> în construcţia mulţimii numerelor re<strong>al</strong>e,deci şi a an<strong>al</strong>izei <strong>matematice</strong>, este luat <strong>principiu</strong>l existenţeimarginiisuperioare.Suntcunoscute şi <strong>al</strong>te mod<strong>al</strong>ităţi de definire a mulţimii R. Scopul propus este de a informacititorul asupra unui <strong>principiu</strong>, <strong>principiu</strong>l <strong>lui</strong> <strong>Cousin</strong>, care poate înlocui cu succes pecel menţionat mai sus. Mai precis, în rândurile ce urmează ne propunem să stabilimechiv<strong>al</strong>enţa dintre <strong>principiu</strong>l <strong>lui</strong> <strong>Cousin</strong> şi cel <strong>al</strong> existenţeimarginiisuperioareşisă demonstrăm un număr de rezultate clasice <strong>al</strong>e an<strong>al</strong>izei direct pe baza acestuia.Menţionăm că <strong>principiu</strong>l <strong>lui</strong> <strong>Cousin</strong> joacă un rol important în cadrul teoriei integr<strong>al</strong>eiHenstock - Kurzweil (sau integr<strong>al</strong>ei Riemann gener<strong>al</strong>izate).Fie {x 0 ,x 1 ,...,x n } ⊂ [a, b] omulţime de puncte astfel încât a = x 0


Fie ¡ ([x i−1 ,x i ] ,z i ) | i = 1,n ¢ ¡∈ C, cux n ∈ (b − δ (b) ,b]. Dacă x n = b, atunci([xi−1 ,x i ] ,z i ) | i = 1,n ¢ este o diviziune indexată δ-fină a interv<strong>al</strong>u<strong>lui</strong> [a, b]. Dacăx n


Teorema 4 (Criteriul <strong>lui</strong> Lebesgue de integrabilitate Riemann). Dacăf : [a, b] → R este o funcţie mărginită şi există o mulţime neglijabilă LebesgueA ⊂ [a, b], astfel încât funcţia f este continuă pe[a, b] \ A, atuncifuncţia f esteintegrabilă Riemann.Demonstraţie. Fie ε ∈ (0, ∞). Fie z ∈ [a, b] \ A. Deoarece funcţia f estecontinuă în punctul z, există δ (z) ∈ (0, ∞), astfelîncâtε∀x ∈ (z − δ (z) ,z+ δ (z)) ∩ [a, b] ⇒ |f (x) − f (z)|

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!