Principiul lui Cousin â principiu fundamental al analizei matematice
Principiul lui Cousin â principiu fundamental al analizei matematice
Principiul lui Cousin â principiu fundamental al analizei matematice
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Principiul</strong> <strong>lui</strong> <strong>Cousin</strong> — <strong>principiu</strong> <strong>fundament<strong>al</strong></strong><strong>al</strong> an<strong>al</strong>izei <strong>matematice</strong>Florin POPOVICI 1Foarte adesea ca <strong>principiu</strong> <strong>fundament<strong>al</strong></strong> în construcţia mulţimii numerelor re<strong>al</strong>e,deci şi a an<strong>al</strong>izei <strong>matematice</strong>, este luat <strong>principiu</strong>l existenţeimarginiisuperioare.Suntcunoscute şi <strong>al</strong>te mod<strong>al</strong>ităţi de definire a mulţimii R. Scopul propus este de a informacititorul asupra unui <strong>principiu</strong>, <strong>principiu</strong>l <strong>lui</strong> <strong>Cousin</strong>, care poate înlocui cu succes pecel menţionat mai sus. Mai precis, în rândurile ce urmează ne propunem să stabilimechiv<strong>al</strong>enţa dintre <strong>principiu</strong>l <strong>lui</strong> <strong>Cousin</strong> şi cel <strong>al</strong> existenţeimarginiisuperioareşisă demonstrăm un număr de rezultate clasice <strong>al</strong>e an<strong>al</strong>izei direct pe baza acestuia.Menţionăm că <strong>principiu</strong>l <strong>lui</strong> <strong>Cousin</strong> joacă un rol important în cadrul teoriei integr<strong>al</strong>eiHenstock - Kurzweil (sau integr<strong>al</strong>ei Riemann gener<strong>al</strong>izate).Fie {x 0 ,x 1 ,...,x n } ⊂ [a, b] omulţime de puncte astfel încât a = x 0
Fie ¡ ([x i−1 ,x i ] ,z i ) | i = 1,n ¢ ¡∈ C, cux n ∈ (b − δ (b) ,b]. Dacă x n = b, atunci([xi−1 ,x i ] ,z i ) | i = 1,n ¢ este o diviziune indexată δ-fină a interv<strong>al</strong>u<strong>lui</strong> [a, b]. Dacăx n
Teorema 4 (Criteriul <strong>lui</strong> Lebesgue de integrabilitate Riemann). Dacăf : [a, b] → R este o funcţie mărginită şi există o mulţime neglijabilă LebesgueA ⊂ [a, b], astfel încât funcţia f este continuă pe[a, b] \ A, atuncifuncţia f esteintegrabilă Riemann.Demonstraţie. Fie ε ∈ (0, ∞). Fie z ∈ [a, b] \ A. Deoarece funcţia f estecontinuă în punctul z, există δ (z) ∈ (0, ∞), astfelîncâtε∀x ∈ (z − δ (z) ,z+ δ (z)) ∩ [a, b] ⇒ |f (x) − f (z)|