Przestrzenie zwarte
Przestrzenie zwarte
Przestrzenie zwarte
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
PRZESTRZENIE ZWARTE<br />
Zdzisław Dzedzej<br />
Politechnika Gdańska<br />
Gdańsk, 2012
1 PODSTAWY<br />
2 FUNKCJE<br />
3 POKRYCIA<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta,<br />
jeśli z każdego ciągu {} w można wybrać podciąg<br />
zbieżny { } w .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta,<br />
jeśli z każdego ciągu {} w można wybrać podciąg<br />
zbieżny { } w .<br />
Ogólniej (pozornie):<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta,<br />
jeśli z każdego ciągu {} w można wybrać podciąg<br />
zbieżny { } w .<br />
Ogólniej (pozornie): podzbiór ⊂ jest zwarty,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta,<br />
jeśli z każdego ciągu {} w można wybrać podciąg<br />
zbieżny { } w .<br />
Ogólniej (pozornie): podzbiór ⊂ jest zwarty, jeśli<br />
dla każdego ciągu {} ⊂ <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta,<br />
jeśli z każdego ciągu {} w można wybrać podciąg<br />
zbieżny { } w .<br />
Ogólniej (pozornie): podzbiór ⊂ jest zwarty, jeśli<br />
dla każdego ciągu {} ⊂ istnieje podciąg { } taki,<br />
że<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta,<br />
jeśli z każdego ciągu {} w można wybrać podciąg<br />
zbieżny { } w .<br />
Ogólniej (pozornie): podzbiór ⊂ jest zwarty, jeśli<br />
dla każdego ciągu {} ⊂ istnieje podciąg { } taki,<br />
że = ∈ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta,<br />
jeśli z każdego ciągu {} w można wybrać podciąg<br />
zbieżny { } w .<br />
Ogólniej (pozornie): podzbiór ⊂ jest zwarty, jeśli<br />
dla każdego ciągu {} ⊂ istnieje podciąg { } taki,<br />
że = ∈ .<br />
Przykłady.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta,<br />
jeśli z każdego ciągu {} w można wybrać podciąg<br />
zbieżny { } w .<br />
Ogólniej (pozornie): podzbiór ⊂ jest zwarty, jeśli<br />
dla każdego ciągu {} ⊂ istnieje podciąg { } taki,<br />
że = ∈ .<br />
Przykłady. 1. Odcinek ([, ], | |) jest przestrzenią zwartą.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta,<br />
jeśli z każdego ciągu {} w można wybrać podciąg<br />
zbieżny { } w .<br />
Ogólniej (pozornie): podzbiór ⊂ jest zwarty, jeśli<br />
dla każdego ciągu {} ⊂ istnieje podciąg { } taki,<br />
że = ∈ .<br />
Przykłady. 1. Odcinek ([, ], | |) jest przestrzenią zwartą.<br />
2. Odcinek (, ) nie jest przestrzenią zwartą.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta,<br />
jeśli z każdego ciągu {} w można wybrać podciąg<br />
zbieżny { } w .<br />
Ogólniej (pozornie): podzbiór ⊂ jest zwarty, jeśli<br />
dla każdego ciągu {} ⊂ istnieje podciąg { } taki,<br />
że = ∈ .<br />
Przykłady. 1. Odcinek ([, ], | |) jest przestrzenią zwartą.<br />
2. Odcinek (, ) nie jest przestrzenią zwartą.<br />
3. ( , ) , gdy jest nieskończony, nie jest przestrzenią<br />
zwartą.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta,<br />
jeśli z każdego ciągu {} w można wybrać podciąg<br />
zbieżny { } w .<br />
Ogólniej (pozornie): podzbiór ⊂ jest zwarty, jeśli<br />
dla każdego ciągu {} ⊂ istnieje podciąg { } taki,<br />
że = ∈ .<br />
Przykłady. 1. Odcinek ([, ], | |) jest przestrzenią zwartą.<br />
2. Odcinek (, ) nie jest przestrzenią zwartą.<br />
3. ( , ) , gdy jest nieskończony, nie jest przestrzenią<br />
zwartą. Gdy jest skończony, to jest to przestrzeń<br />
zwarta.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Twierdzenie.<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Domknięty podzbiór przestrzeni metrycznej<br />
<strong>zwarte</strong>j jest zbiorem zwartym.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Domknięty podzbiór przestrzeni metrycznej<br />
<strong>zwarte</strong>j jest zbiorem zwartym.<br />
Dowód.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Domknięty podzbiór przestrzeni metrycznej<br />
<strong>zwarte</strong>j jest zbiorem zwartym.<br />
Dowód. Niech ⊂ -domknięty w <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Domknięty podzbiór przestrzeni metrycznej<br />
<strong>zwarte</strong>j jest zbiorem zwartym.<br />
Dowód. Niech ⊂ -domknięty w i zwarta.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Domknięty podzbiór przestrzeni metrycznej<br />
<strong>zwarte</strong>j jest zbiorem zwartym.<br />
Dowód. Niech ⊂ -domknięty w i zwarta.<br />
Weźmy ciąg {} w .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Domknięty podzbiór przestrzeni metrycznej<br />
<strong>zwarte</strong>j jest zbiorem zwartym.<br />
Dowód. Niech ⊂ -domknięty w i zwarta.<br />
Weźmy ciąg {} w . Ze zwartości istnieje podciąg<br />
{ } taki, że = ∈ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Domknięty podzbiór przestrzeni metrycznej<br />
<strong>zwarte</strong>j jest zbiorem zwartym.<br />
Dowód. Niech ⊂ -domknięty w i zwarta.<br />
Weźmy ciąg {} w . Ze zwartości istnieje podciąg<br />
{ } taki, że = ∈ .<br />
Ale wyrazy tego są w ,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Domknięty podzbiór przestrzeni metrycznej<br />
<strong>zwarte</strong>j jest zbiorem zwartym.<br />
Dowód. Niech ⊂ -domknięty w i zwarta.<br />
Weźmy ciąg {} w . Ze zwartości istnieje podciąg<br />
{ } taki, że = ∈ .<br />
Ale wyrazy tego są w , a zatem i granica ∈ . <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Domknięty podzbiór przestrzeni metrycznej<br />
<strong>zwarte</strong>j jest zbiorem zwartym.<br />
Dowód. Niech ⊂ -domknięty w i zwarta.<br />
Weźmy ciąg {} w . Ze zwartości istnieje podciąg<br />
{ } taki, że = ∈ .<br />
Ale wyrazy tego są w , a zatem i granica ∈ . <br />
Twierdzenie.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Domknięty podzbiór przestrzeni metrycznej<br />
<strong>zwarte</strong>j jest zbiorem zwartym.<br />
Dowód. Niech ⊂ -domknięty w i zwarta.<br />
Weźmy ciąg {} w . Ze zwartości istnieje podciąg<br />
{ } taki, że = ∈ .<br />
Ale wyrazy tego są w , a zatem i granica ∈ . <br />
Twierdzenie. Jeżeli ( , ) jest zwarta,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Domknięty podzbiór przestrzeni metrycznej<br />
<strong>zwarte</strong>j jest zbiorem zwartym.<br />
Dowód. Niech ⊂ -domknięty w i zwarta.<br />
Weźmy ciąg {} w . Ze zwartości istnieje podciąg<br />
{ } taki, że = ∈ .<br />
Ale wyrazy tego są w , a zatem i granica ∈ . <br />
Twierdzenie. Jeżeli ( , ) jest zwarta, to jest zupełna.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Domknięty podzbiór przestrzeni metrycznej<br />
<strong>zwarte</strong>j jest zbiorem zwartym.<br />
Dowód. Niech ⊂ -domknięty w i zwarta.<br />
Weźmy ciąg {} w . Ze zwartości istnieje podciąg<br />
{ } taki, że = ∈ .<br />
Ale wyrazy tego są w , a zatem i granica ∈ . <br />
Twierdzenie. Jeżeli ( , ) jest zwarta, to jest zupełna.<br />
Dowód.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Domknięty podzbiór przestrzeni metrycznej<br />
<strong>zwarte</strong>j jest zbiorem zwartym.<br />
Dowód. Niech ⊂ -domknięty w i zwarta.<br />
Weźmy ciąg {} w . Ze zwartości istnieje podciąg<br />
{ } taki, że = ∈ .<br />
Ale wyrazy tego są w , a zatem i granica ∈ . <br />
Twierdzenie. Jeżeli ( , ) jest zwarta, to jest zupełna.<br />
Dowód. Weźmy ciąg {} ⊂ spełniający warunek<br />
Cauchy’ego.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Domknięty podzbiór przestrzeni metrycznej<br />
<strong>zwarte</strong>j jest zbiorem zwartym.<br />
Dowód. Niech ⊂ -domknięty w i zwarta.<br />
Weźmy ciąg {} w . Ze zwartości istnieje podciąg<br />
{ } taki, że = ∈ .<br />
Ale wyrazy tego są w , a zatem i granica ∈ . <br />
Twierdzenie. Jeżeli ( , ) jest zwarta, to jest zupełna.<br />
Dowód. Weźmy ciąg {} ⊂ spełniający warunek<br />
Cauchy’ego. Ze zwartości możemy wybrać podciąg<br />
→ ∈ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Domknięty podzbiór przestrzeni metrycznej<br />
<strong>zwarte</strong>j jest zbiorem zwartym.<br />
Dowód. Niech ⊂ -domknięty w i zwarta.<br />
Weźmy ciąg {} w . Ze zwartości istnieje podciąg<br />
{ } taki, że = ∈ .<br />
Ale wyrazy tego są w , a zatem i granica ∈ . <br />
Twierdzenie. Jeżeli ( , ) jest zwarta, to jest zupełna.<br />
Dowód. Weźmy ciąg {} ⊂ spełniający warunek<br />
Cauchy’ego. Ze zwartości możemy wybrać podciąg<br />
→ ∈ . Udowodnimy , że → .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Weźmy ε > <br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Weźmy ε > <br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
∃∀,≥ (, ) < ε<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Weźmy ε > <br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
∃∀,≥ (, ) < ε<br />
∃∀≥ ( , ) < ε<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Weźmy ε > <br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
∃∀,≥ (, ) < ε<br />
∃∀≥ ( , ) < ε<br />
Wybierzmy ≥ ( , ).<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Weźmy ε > <br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
∃∀,≥ (, ) < ε<br />
∃∀≥ ( , ) < ε<br />
Wybierzmy ≥ ( , ).<br />
Wtedy dla , ≥ mamy ≥ i<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Weźmy ε > <br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
∃∀,≥ (, ) < ε<br />
∃∀≥ ( , ) < ε<br />
Wybierzmy ≥ ( , ).<br />
Wtedy dla , ≥ mamy ≥ i<br />
(, ) ≤ (, ) + ( , )<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Weźmy ε > <br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
∃∀,≥ (, ) < ε<br />
∃∀≥ ( , ) < ε<br />
Wybierzmy ≥ ( , ).<br />
Wtedy dla , ≥ mamy ≥ i<br />
(, ) ≤ (, ) + ( , ) < ε<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE<br />
<br />
<br />
<br />
+ ε<br />
<br />
< ε
Weźmy ε > <br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
∃∀,≥ (, ) < ε<br />
∃∀≥ ( , ) < ε<br />
Wybierzmy ≥ ( , ).<br />
Wtedy dla , ≥ mamy ≥ i<br />
(, ) ≤ (, ) + ( , ) < ε<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE<br />
<br />
<br />
<br />
+ ε<br />
<br />
< ε
Wniosek.<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek. Jeśli ( , ) - przestrzeń metryczna i ⊂ <br />
pozbiór zwarty,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek. Jeśli ( , ) - przestrzeń metryczna i ⊂ <br />
pozbiór zwarty, to jest domknięty w <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek. Jeśli ( , ) - przestrzeń metryczna i ⊂ <br />
pozbiór zwarty, to jest domknięty w <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek. Jeśli ( , ) - przestrzeń metryczna i ⊂ <br />
pozbiór zwarty, to jest domknięty w <br />
Twierdzenie.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek. Jeśli ( , ) - przestrzeń metryczna i ⊂ <br />
pozbiór zwarty, to jest domknięty w <br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ograniczona.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek. Jeśli ( , ) - przestrzeń metryczna i ⊂ <br />
pozbiór zwarty, to jest domknięty w <br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ograniczona.<br />
Dowód.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek. Jeśli ( , ) - przestrzeń metryczna i ⊂ <br />
pozbiór zwarty, to jest domknięty w <br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ograniczona.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest ograniczona.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek. Jeśli ( , ) - przestrzeń metryczna i ⊂ <br />
pozbiór zwarty, to jest domknięty w <br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ograniczona.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest ograniczona.<br />
Wybierzmy ∈ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek. Jeśli ( , ) - przestrzeń metryczna i ⊂ <br />
pozbiór zwarty, to jest domknięty w <br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ograniczona.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest ograniczona.<br />
Wybierzmy ∈ . Wtedy istnieje ∈ taki , że<br />
( , ) ≥ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek. Jeśli ( , ) - przestrzeń metryczna i ⊂ <br />
pozbiór zwarty, to jest domknięty w <br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ograniczona.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest ograniczona.<br />
Wybierzmy ∈ . Wtedy istnieje ∈ taki , że<br />
( , ) ≥ .<br />
∃ ( , ) ≥ ,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek. Jeśli ( , ) - przestrzeń metryczna i ⊂ <br />
pozbiór zwarty, to jest domknięty w <br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ograniczona.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest ograniczona.<br />
Wybierzmy ∈ . Wtedy istnieje ∈ taki , że<br />
( , ) ≥ .<br />
∃ ( , ) ≥ , i ( , ) ≥ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek. Jeśli ( , ) - przestrzeń metryczna i ⊂ <br />
pozbiór zwarty, to jest domknięty w <br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ograniczona.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest ograniczona.<br />
Wybierzmy ∈ . Wtedy istnieje ∈ taki , że<br />
( , ) ≥ .<br />
itd...<br />
∃ ( , ) ≥ , i ( , ) ≥ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek. Jeśli ( , ) - przestrzeń metryczna i ⊂ <br />
pozbiór zwarty, to jest domknięty w <br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ograniczona.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest ograniczona.<br />
Wybierzmy ∈ . Wtedy istnieje ∈ taki , że<br />
( , ) ≥ .<br />
∃ ( , ) ≥ , i ( , ) ≥ .<br />
itd...<br />
Dostajemy ciąg nieskończony {}<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek. Jeśli ( , ) - przestrzeń metryczna i ⊂ <br />
pozbiór zwarty, to jest domknięty w <br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ograniczona.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest ograniczona.<br />
Wybierzmy ∈ . Wtedy istnieje ∈ taki , że<br />
( , ) ≥ .<br />
∃ ( , ) ≥ , i ( , ) ≥ .<br />
itd...<br />
Dostajemy ciąg nieskończony {} taki, że (, ) ≥ <br />
gdy = .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek. Jeśli ( , ) - przestrzeń metryczna i ⊂ <br />
pozbiór zwarty, to jest domknięty w <br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ograniczona.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest ograniczona.<br />
Wybierzmy ∈ . Wtedy istnieje ∈ taki , że<br />
( , ) ≥ .<br />
∃ ( , ) ≥ , i ( , ) ≥ .<br />
itd...<br />
Dostajemy ciąg nieskończony {} taki, że (, ) ≥ <br />
gdy = .<br />
Z tego ciągu nie da się wybrać podciągu zbieżnego,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek. Jeśli ( , ) - przestrzeń metryczna i ⊂ <br />
pozbiór zwarty, to jest domknięty w <br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ograniczona.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest ograniczona.<br />
Wybierzmy ∈ . Wtedy istnieje ∈ taki , że<br />
( , ) ≥ .<br />
∃ ( , ) ≥ , i ( , ) ≥ .<br />
itd...<br />
Dostajemy ciąg nieskończony {} taki, że (, ) ≥ <br />
gdy = .<br />
Z tego ciągu nie da się wybrać podciągu zbieżnego, bo<br />
żaden podciąg nie spełnia warunku Cauchy’ego. <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Definicja.<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Zbiór ⊂ ( , ) nazywamy ε-siecią,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Zbiór ⊂ ( , ) nazywamy ε-siecią, jeśli<br />
∀∈ ∃∈ (, ) < ε.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Zbiór ⊂ ( , ) nazywamy ε-siecią, jeśli<br />
Lemat.<br />
∀∈ ∃∈ (, ) < ε.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Zbiór ⊂ ( , ) nazywamy ε-siecią, jeśli<br />
∀∈ ∃∈ (, ) < ε.<br />
Lemat. Jeśli ( , ) jest zwarta,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Zbiór ⊂ ( , ) nazywamy ε-siecią, jeśli<br />
∀∈ ∃∈ (, ) < ε.<br />
Lemat. Jeśli ( , ) jest zwarta, to dla każdego ε > <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Zbiór ⊂ ( , ) nazywamy ε-siecią, jeśli<br />
∀∈ ∃∈ (, ) < ε.<br />
Lemat. Jeśli ( , ) jest zwarta, to dla każdego ε > <br />
istnieje w skończona ε-sieć.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Zbiór ⊂ ( , ) nazywamy ε-siecią, jeśli<br />
∀∈ ∃∈ (, ) < ε.<br />
Lemat. Jeśli ( , ) jest zwarta, to dla każdego ε > <br />
istnieje w skończona ε-sieć.<br />
Dowód.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Zbiór ⊂ ( , ) nazywamy ε-siecią, jeśli<br />
∀∈ ∃∈ (, ) < ε.<br />
Lemat. Jeśli ( , ) jest zwarta, to dla każdego ε > <br />
istnieje w skończona ε-sieć.<br />
Dowód. Ustalmy ε > .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Zbiór ⊂ ( , ) nazywamy ε-siecią, jeśli<br />
∀∈ ∃∈ (, ) < ε.<br />
Lemat. Jeśli ( , ) jest zwarta, to dla każdego ε > <br />
istnieje w skończona ε-sieć.<br />
Dowód. Ustalmy ε > . Niech ∈ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Zbiór ⊂ ( , ) nazywamy ε-siecią, jeśli<br />
∀∈ ∃∈ (, ) < ε.<br />
Lemat. Jeśli ( , ) jest zwarta, to dla każdego ε > <br />
istnieje w skończona ε-sieć.<br />
Dowód. Ustalmy ε > . Niech ∈ .<br />
Punkt wybieramy tak , by ( , ) ≥ ε.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Zbiór ⊂ ( , ) nazywamy ε-siecią, jeśli<br />
∀∈ ∃∈ (, ) < ε.<br />
Lemat. Jeśli ( , ) jest zwarta, to dla każdego ε > <br />
istnieje w skończona ε-sieć.<br />
Dowód. Ustalmy ε > . Niech ∈ .<br />
Punkt wybieramy tak , by ( , ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Zbiór ⊂ ( , ) nazywamy ε-siecią, jeśli<br />
∀∈ ∃∈ (, ) < ε.<br />
Lemat. Jeśli ( , ) jest zwarta, to dla każdego ε > <br />
istnieje w skończona ε-sieć.<br />
Dowód. Ustalmy ε > . Niech ∈ .<br />
Punkt wybieramy tak , by ( , ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
= { }.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Zbiór ⊂ ( , ) nazywamy ε-siecią, jeśli<br />
∀∈ ∃∈ (, ) < ε.<br />
Lemat. Jeśli ( , ) jest zwarta, to dla każdego ε > <br />
istnieje w skończona ε-sieć.<br />
Dowód. Ustalmy ε > . Niech ∈ .<br />
Punkt wybieramy tak , by ( , ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
= { }.<br />
Punkt wybieramy tak<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Zbiór ⊂ ( , ) nazywamy ε-siecią, jeśli<br />
∀∈ ∃∈ (, ) < ε.<br />
Lemat. Jeśli ( , ) jest zwarta, to dla każdego ε > <br />
istnieje w skończona ε-sieć.<br />
Dowód. Ustalmy ε > . Niech ∈ .<br />
Punkt wybieramy tak , by ( , ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
= { }.<br />
Punkt wybieramy tak , by ( , ) ≥ ε,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Zbiór ⊂ ( , ) nazywamy ε-siecią, jeśli<br />
∀∈ ∃∈ (, ) < ε.<br />
Lemat. Jeśli ( , ) jest zwarta, to dla każdego ε > <br />
istnieje w skończona ε-sieć.<br />
Dowód. Ustalmy ε > . Niech ∈ .<br />
Punkt wybieramy tak , by ( , ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
= { }.<br />
Punkt wybieramy tak , by ( , ) ≥ ε, ( , ) ≥ ε.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Zbiór ⊂ ( , ) nazywamy ε-siecią, jeśli<br />
∀∈ ∃∈ (, ) < ε.<br />
Lemat. Jeśli ( , ) jest zwarta, to dla każdego ε > <br />
istnieje w skończona ε-sieć.<br />
Dowód. Ustalmy ε > . Niech ∈ .<br />
Punkt wybieramy tak , by ( , ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
= { }.<br />
Punkt wybieramy tak , by ( , ) ≥ ε, ( , ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Zbiór ⊂ ( , ) nazywamy ε-siecią, jeśli<br />
∀∈ ∃∈ (, ) < ε.<br />
Lemat. Jeśli ( , ) jest zwarta, to dla każdego ε > <br />
istnieje w skończona ε-sieć.<br />
Dowód. Ustalmy ε > . Niech ∈ .<br />
Punkt wybieramy tak , by ( , ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
= { }.<br />
Punkt wybieramy tak , by ( , ) ≥ ε, ( , ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
= { , }.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Zbiór ⊂ ( , ) nazywamy ε-siecią, jeśli<br />
∀∈ ∃∈ (, ) < ε.<br />
Lemat. Jeśli ( , ) jest zwarta, to dla każdego ε > <br />
istnieje w skończona ε-sieć.<br />
Dowód. Ustalmy ε > . Niech ∈ .<br />
Punkt wybieramy tak , by ( , ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
= { }.<br />
Punkt wybieramy tak , by ( , ) ≥ ε, ( , ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
= { , }.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
itd:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Punkt wybieramy tak ,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
itd:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Punkt wybieramy tak , by ∀<<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
itd:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Punkt wybieramy tak , by ∀< (, ) ≥ ε.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
itd:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Punkt wybieramy tak , by ∀< (, ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
itd:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Punkt wybieramy tak , by ∀< (, ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
= { , , ..., −}.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
itd:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Punkt wybieramy tak , by ∀< (, ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
= { , , ..., −}.<br />
Jeśli ten algorytm można kontynuować w nieskończoność,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
itd:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Punkt wybieramy tak , by ∀< (, ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
= { , , ..., −}.<br />
Jeśli ten algorytm można kontynuować w nieskończoność,<br />
to otrzymamy ciąg {}, z którego nie da się wybrać<br />
podciągu zbieżnego.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
itd:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Punkt wybieramy tak , by ∀< (, ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
= { , , ..., −}.<br />
Jeśli ten algorytm można kontynuować w nieskończoność,<br />
to otrzymamy ciąg {}, z którego nie da się wybrać<br />
podciągu zbieżnego.<br />
Zatem nie mogłaby być zwarta.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
itd:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Punkt wybieramy tak , by ∀< (, ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
= { , , ..., −}.<br />
Jeśli ten algorytm można kontynuować w nieskończoność,<br />
to otrzymamy ciąg {}, z którego nie da się wybrać<br />
podciągu zbieżnego.<br />
Zatem nie mogłaby być zwarta.<br />
Stąd ∃<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
itd:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Punkt wybieramy tak , by ∀< (, ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
= { , , ..., −}.<br />
Jeśli ten algorytm można kontynuować w nieskończoność,<br />
to otrzymamy ciąg {}, z którego nie da się wybrać<br />
podciągu zbieżnego.<br />
Zatem nie mogłaby być zwarta.<br />
Stąd ∃ = { , , ..., } jest ε-siecią.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
itd:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Punkt wybieramy tak , by ∀< (, ) ≥ ε.<br />
Jeśli takiego nie ma , to dowód jest zakończony:<br />
= { , , ..., −}.<br />
Jeśli ten algorytm można kontynuować w nieskończoność,<br />
to otrzymamy ciąg {}, z którego nie da się wybrać<br />
podciągu zbieżnego.<br />
Zatem nie mogłaby być zwarta.<br />
Stąd ∃ = { , , ..., } jest ε-siecią. <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Twierdzenie.<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ośrodkowa.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ośrodkowa.<br />
Dowód.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ośrodkowa.<br />
Dowód. Stosujemy lemat dla ε = <br />
<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ośrodkowa.<br />
Dowód. Stosujemy lemat dla ε = <br />
<br />
/. WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE<br />
otrzymując zbiór
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ośrodkowa.<br />
Dowód. Stosujemy lemat dla ε = <br />
<br />
/. Niech<br />
:= ∪ / ∪ ... ∪ / ∪ ...<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE<br />
otrzymując zbiór
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ośrodkowa.<br />
Dowód. Stosujemy lemat dla ε = <br />
<br />
/. Niech<br />
:= ∪ / ∪ ... ∪ / ∪ ...<br />
Każdy ze zbiorów / jest skończony,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE<br />
otrzymując zbiór
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ośrodkowa.<br />
Dowód. Stosujemy lemat dla ε = <br />
<br />
/. Niech<br />
:= ∪ / ∪ ... ∪ / ∪ ...<br />
otrzymując zbiór<br />
Każdy ze zbiorów / jest skończony, zatem jest<br />
przeliczalny.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ośrodkowa.<br />
Dowód. Stosujemy lemat dla ε = <br />
<br />
/. Niech<br />
:= ∪ / ∪ ... ∪ / ∪ ...<br />
otrzymując zbiór<br />
Każdy ze zbiorów / jest skończony, zatem jest<br />
przeliczalny.<br />
Weżmy ∈ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ośrodkowa.<br />
Dowód. Stosujemy lemat dla ε = <br />
<br />
/. Niech<br />
:= ∪ / ∪ ... ∪ / ∪ ...<br />
otrzymując zbiór<br />
Każdy ze zbiorów / jest skończony, zatem jest<br />
przeliczalny.<br />
Weżmy ∈ .<br />
∀∃ ∈ / ⊂ <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ośrodkowa.<br />
Dowód. Stosujemy lemat dla ε = <br />
<br />
/. Niech<br />
:= ∪ / ∪ ... ∪ / ∪ ...<br />
otrzymując zbiór<br />
Każdy ze zbiorów / jest skończony, zatem jest<br />
przeliczalny.<br />
Weżmy ∈ .<br />
∀∃ ∈ / ⊂ ∧ (, ) < <br />
.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ośrodkowa.<br />
Dowód. Stosujemy lemat dla ε = <br />
<br />
/. Niech<br />
:= ∪ / ∪ ... ∪ / ∪ ...<br />
otrzymując zbiór<br />
Każdy ze zbiorów / jest skończony, zatem jest<br />
przeliczalny.<br />
Weżmy ∈ .<br />
∀∃ ∈ / ⊂ ∧ (, ) < <br />
.<br />
Wtedy = (z tw. o trzech ciągach)<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ośrodkowa.<br />
Dowód. Stosujemy lemat dla ε = <br />
<br />
/. Niech<br />
:= ∪ / ∪ ... ∪ / ∪ ...<br />
otrzymując zbiór<br />
Każdy ze zbiorów / jest skończony, zatem jest<br />
przeliczalny.<br />
Weżmy ∈ .<br />
∀∃ ∈ / ⊂ ∧ (, ) < <br />
.<br />
Wtedy = (z tw. o trzech ciągach), czyli ∈ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ośrodkowa.<br />
Dowód. Stosujemy lemat dla ε = <br />
<br />
/. Niech<br />
:= ∪ / ∪ ... ∪ / ∪ ...<br />
otrzymując zbiór<br />
Każdy ze zbiorów / jest skończony, zatem jest<br />
przeliczalny.<br />
Weżmy ∈ .<br />
∀∃ ∈ / ⊂ ∧ (, ) < <br />
.<br />
Wtedy = (z tw. o trzech ciągach), czyli ∈ .<br />
Zatem = ,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ośrodkowa.<br />
Dowód. Stosujemy lemat dla ε = <br />
<br />
/. Niech<br />
:= ∪ / ∪ ... ∪ / ∪ ...<br />
otrzymując zbiór<br />
Każdy ze zbiorów / jest skończony, zatem jest<br />
przeliczalny.<br />
Weżmy ∈ .<br />
∀∃ ∈ / ⊂ ∧ (, ) < <br />
.<br />
Wtedy = (z tw. o trzech ciągach), czyli ∈ .<br />
Zatem = , czyli jest ośrodkiem. <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Twierdzenie.<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła, i ⊂ zwarty,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła, i ⊂ zwarty, to<br />
() ⊂ jest zwarty.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła, i ⊂ zwarty, to<br />
() ⊂ jest zwarty.<br />
Dowód.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła, i ⊂ zwarty, to<br />
() ⊂ jest zwarty.<br />
Dowód. Rozważmy ciąg {} ⊂ ().<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła, i ⊂ zwarty, to<br />
() ⊂ jest zwarty.<br />
Dowód. Rozważmy ciąg {} ⊂ ().<br />
∀<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła, i ⊂ zwarty, to<br />
() ⊂ jest zwarty.<br />
Dowód. Rozważmy ciąg {} ⊂ ().<br />
∀ ∃∈<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła, i ⊂ zwarty, to<br />
() ⊂ jest zwarty.<br />
Dowód. Rozważmy ciąg {} ⊂ ().<br />
∀ ∃∈ () = .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła, i ⊂ zwarty, to<br />
() ⊂ jest zwarty.<br />
Dowód. Rozważmy ciąg {} ⊂ ().<br />
Ale jest zwarty,<br />
∀ ∃∈ () = .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła, i ⊂ zwarty, to<br />
() ⊂ jest zwarty.<br />
Dowód. Rozważmy ciąg {} ⊂ ().<br />
∀ ∃∈ () = .<br />
Ale jest zwarty, stąd istnieje podciąg zbieżny<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła, i ⊂ zwarty, to<br />
() ⊂ jest zwarty.<br />
Dowód. Rozważmy ciąg {} ⊂ ().<br />
∀ ∃∈ () = .<br />
Ale jest zwarty, stąd istnieje podciąg zbieżny →<br />
.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła, i ⊂ zwarty, to<br />
() ⊂ jest zwarty.<br />
Dowód. Rozważmy ciąg {} ⊂ ().<br />
∀ ∃∈ () = .<br />
Ale jest zwarty, stąd istnieje podciąg zbieżny →<br />
.<br />
Zatem z ciągłości mamy<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła, i ⊂ zwarty, to<br />
() ⊂ jest zwarty.<br />
Dowód. Rozważmy ciąg {} ⊂ ().<br />
∀ ∃∈ () = .<br />
Ale jest zwarty, stąd istnieje podciąg zbieżny →<br />
.<br />
Zatem z ciągłości mamy ( ) = ( ).<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła, i ⊂ zwarty, to<br />
() ⊂ jest zwarty.<br />
Dowód. Rozważmy ciąg {} ⊂ ().<br />
∀ ∃∈ () = .<br />
Ale jest zwarty, stąd istnieje podciąg zbieżny →<br />
.<br />
Zatem z ciągłości mamy ( ) = ( ).<br />
Ale ( ) = ,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła, i ⊂ zwarty, to<br />
() ⊂ jest zwarty.<br />
Dowód. Rozważmy ciąg {} ⊂ ().<br />
∀ ∃∈ () = .<br />
Ale jest zwarty, stąd istnieje podciąg zbieżny →<br />
.<br />
Zatem z ciągłości mamy ( ) = ( ).<br />
Ale ( ) = , czyli ma podciąg zbieżny w (). <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła, i ⊂ zwarty, to<br />
() ⊂ jest zwarty.<br />
Dowód. Rozważmy ciąg {} ⊂ ().<br />
∀ ∃∈ () = .<br />
Ale jest zwarty, stąd istnieje podciąg zbieżny →<br />
.<br />
Zatem z ciągłości mamy ( ) = ( ).<br />
Ale ( ) = , czyli ma podciąg zbieżny w (). <br />
Wniosek 1.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła, i ⊂ zwarty, to<br />
() ⊂ jest zwarty.<br />
Dowód. Rozważmy ciąg {} ⊂ ().<br />
∀ ∃∈ () = .<br />
Ale jest zwarty, stąd istnieje podciąg zbieżny →<br />
.<br />
Zatem z ciągłości mamy ( ) = ( ).<br />
Ale ( ) = , czyli ma podciąg zbieżny w (). <br />
Wniosek 1. Jeśli : → jest homeomorfizmem,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła, i ⊂ zwarty, to<br />
() ⊂ jest zwarty.<br />
Dowód. Rozważmy ciąg {} ⊂ ().<br />
∀ ∃∈ () = .<br />
Ale jest zwarty, stąd istnieje podciąg zbieżny →<br />
.<br />
Zatem z ciągłości mamy ( ) = ( ).<br />
Ale ( ) = , czyli ma podciąg zbieżny w (). <br />
Wniosek 1. Jeśli : → jest homeomorfizmem, to <br />
jest zwarta wtedy i tylko wtedy,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeżeli : → ciągła, i ⊂ zwarty, to<br />
() ⊂ jest zwarty.<br />
Dowód. Rozważmy ciąg {} ⊂ ().<br />
∀ ∃∈ () = .<br />
Ale jest zwarty, stąd istnieje podciąg zbieżny →<br />
.<br />
Zatem z ciągłości mamy ( ) = ( ).<br />
Ale ( ) = , czyli ma podciąg zbieżny w (). <br />
Wniosek 1. Jeśli : → jest homeomorfizmem, to <br />
jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwarta. <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Wniosek 2<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa).<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty, a zatem domknięty<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty, a zatem domknięty i<br />
ograniczony.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty, a zatem domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Zatem istnieją = (),<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty, a zatem domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Zatem istnieją = (), = ()<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty, a zatem domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Zatem istnieją = (), = ()<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty, a zatem domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Zatem istnieją = (), = () oraz ( ) ⊂<br />
[, ]<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty, a zatem domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Zatem istnieją = (), = () oraz ( ) ⊂<br />
[, ]<br />
Z definicji kresu<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty, a zatem domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Zatem istnieją = (), = () oraz ( ) ⊂<br />
[, ]<br />
Z definicji kresu ∀ε><br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty, a zatem domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Zatem istnieją = (), = () oraz ( ) ⊂<br />
[, ]<br />
Z definicji kresu ∀ε>∃<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty, a zatem domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Zatem istnieją = (), = () oraz ( ) ⊂<br />
[, ]<br />
Z definicji kresu ∀ε>∃ ≤ () < ε.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty, a zatem domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Zatem istnieją = (), = () oraz ( ) ⊂<br />
[, ]<br />
Z definicji kresu ∀ε>∃ ≤ () < ε. Stosując to dla<br />
ε = /<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty, a zatem domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Zatem istnieją = (), = () oraz ( ) ⊂<br />
[, ]<br />
Z definicji kresu ∀ε>∃ ≤ () < ε. Stosując to dla<br />
ε = / dostajemy ciąg <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty, a zatem domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Zatem istnieją = (), = () oraz ( ) ⊂<br />
[, ]<br />
Z definicji kresu ∀ε>∃ ≤ () < ε. Stosując to dla<br />
ε = / dostajemy ciąg taki, że () → .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty, a zatem domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Zatem istnieją = (), = () oraz ( ) ⊂<br />
[, ]<br />
Z definicji kresu ∀ε>∃ ≤ () < ε. Stosując to dla<br />
ε = / dostajemy ciąg taki, że () → .<br />
Ale z można wybrać podciąg zbieżny<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty, a zatem domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Zatem istnieją = (), = () oraz ( ) ⊂<br />
[, ]<br />
Z definicji kresu ∀ε>∃ ≤ () < ε. Stosując to dla<br />
ε = / dostajemy ciąg taki, że () → .<br />
Ale z można wybrać podciąg zbieżny (zwartość!)<br />
→ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty, a zatem domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Zatem istnieją = (), = () oraz ( ) ⊂<br />
[, ]<br />
Z definicji kresu ∀ε>∃ ≤ () < ε. Stosując to dla<br />
ε = / dostajemy ciąg taki, że () → .<br />
Ale z można wybrać podciąg zbieżny (zwartość!)<br />
→ .<br />
Z definicji Heine’go ciągłości<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty, a zatem domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Zatem istnieją = (), = () oraz ( ) ⊂<br />
[, ]<br />
Z definicji kresu ∀ε>∃ ≤ () < ε. Stosując to dla<br />
ε = / dostajemy ciąg taki, że () → .<br />
Ale z można wybrać podciąg zbieżny (zwartość!)<br />
→ .<br />
Z definicji Heine’go ciągłości ( ) → ( ), więc ( ) =<br />
.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli ( , )<br />
jest zwarta i : → R ciągła, to jest ograniczona i<br />
przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą.<br />
Dowód. ( ) ⊂ R jest zwarty, a zatem domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Zatem istnieją = (), = () oraz ( ) ⊂<br />
[, ]<br />
Z definicji kresu ∀ε>∃ ≤ () < ε. Stosując to dla<br />
ε = / dostajemy ciąg taki, że () → .<br />
Ale z można wybrać podciąg zbieżny (zwartość!)<br />
→ .<br />
Z definicji Heine’go ciągłości ( ) → ( ), więc ( ) =<br />
.<br />
Analogicznie dla kresu górnego. <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go).<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła i jest zwarta,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła i jest zwarta, to jest jednostajnie ciągła.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła i jest zwarta, to jest jednostajnie ciągła.<br />
Dowód.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła i jest zwarta, to jest jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest jednostajnie ciągła :<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła i jest zwarta, to jest jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest jednostajnie ciągła :<br />
∃ε><br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła i jest zwarta, to jest jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest jednostajnie ciągła :<br />
∃ε>∀δ><br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła i jest zwarta, to jest jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest jednostajnie ciągła :<br />
∃ε>∀δ>∃, ′<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła i jest zwarta, to jest jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest jednostajnie ciągła :<br />
∃ε>∀δ>∃, ′ (, ′ ) < δ<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła i jest zwarta, to jest jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest jednostajnie ciągła :<br />
∃ε>∀δ>∃, ′ (, ′ ) < δ i ( (), ( ′ )) ≥ ε.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła i jest zwarta, to jest jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest jednostajnie ciągła :<br />
∃ε>∀δ>∃, ′ (, ′ ) < δ i ( (), ( ′ )) ≥ ε.<br />
Przy ustalonym ε > bierzemy δ = / :<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła i jest zwarta, to jest jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest jednostajnie ciągła :<br />
∃ε>∀δ>∃, ′ (, ′ ) < δ i ( (), ( ′ )) ≥ ε.<br />
Przy ustalonym ε > bierzemy δ = / :<br />
∀<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła i jest zwarta, to jest jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest jednostajnie ciągła :<br />
∃ε>∀δ>∃, ′ (, ′ ) < δ i ( (), ( ′ )) ≥ ε.<br />
Przy ustalonym ε > bierzemy δ = / :<br />
∀ (, ′ ) < <br />
<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła i jest zwarta, to jest jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest jednostajnie ciągła :<br />
∃ε>∀δ>∃, ′ (, ′ ) < δ i ( (), ( ′ )) ≥ ε.<br />
Przy ustalonym ε > bierzemy δ = / :<br />
∀ (, ′ ) < <br />
<br />
i ( (), ( ′ )) ≥ ε.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła i jest zwarta, to jest jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest jednostajnie ciągła :<br />
∃ε>∀δ>∃, ′ (, ′ ) < δ i ( (), ( ′ )) ≥ ε.<br />
Przy ustalonym ε > bierzemy δ = / :<br />
∀ (, ′ ) < <br />
<br />
i ( (), ( ′ )) ≥ ε.<br />
Z ciągu można wybrać podciąg zbieżny → .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła i jest zwarta, to jest jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest jednostajnie ciągła :<br />
∃ε>∀δ>∃, ′ (, ′ ) < δ i ( (), ( ′ )) ≥ ε.<br />
Przy ustalonym ε > bierzemy δ = / :<br />
∀ (, ′ ) < <br />
<br />
i ( (), ( ′ )) ≥ ε.<br />
Z ciągu można wybrać podciąg zbieżny → .<br />
Wtedy również ′ → .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła i jest zwarta, to jest jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest jednostajnie ciągła :<br />
∃ε>∀δ>∃, ′ (, ′ ) < δ i ( (), ( ′ )) ≥ ε.<br />
Przy ustalonym ε > bierzemy δ = / :<br />
∀ (, ′ ) < <br />
<br />
i ( (), ( ′ )) ≥ ε.<br />
Z ciągu można wybrać podciąg zbieżny → .<br />
Wtedy również ′ → .<br />
Stąd ( ) = () = ( ′ ),<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła i jest zwarta, to jest jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest jednostajnie ciągła :<br />
∃ε>∀δ>∃, ′ (, ′ ) < δ i ( (), ( ′ )) ≥ ε.<br />
Przy ustalonym ε > bierzemy δ = / :<br />
∀ (, ′ ) < <br />
<br />
i ( (), ( ′ )) ≥ ε.<br />
Z ciągu można wybrać podciąg zbieżny → .<br />
Wtedy również ′ → .<br />
Stąd ( ) = () = ( ′ ),<br />
Ale ( ( ), ( ′ ) ≥ ε > .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie (uogólnione Heine’go). Jeśli : → <br />
ciągła i jest zwarta, to jest jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Przypuśćmy, że nie jest jednostajnie ciągła :<br />
∃ε>∀δ>∃, ′ (, ′ ) < δ i ( (), ( ′ )) ≥ ε.<br />
Przy ustalonym ε > bierzemy δ = / :<br />
∀ (, ′ ) < <br />
<br />
i ( (), ( ′ )) ≥ ε.<br />
Z ciągu można wybrać podciąg zbieżny → .<br />
Wtedy również ′ → .<br />
Stąd ( ) = () = ( ′ ),<br />
Ale ( ( ), ( ′ ) ≥ ε > . Sprzeczność. <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Heine’go - Borela.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Heine’go - Borela. Podzbiór ⊂ (R , )<br />
jest zwarty<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Heine’go - Borela. Podzbiór ⊂ (R , )<br />
jest zwarty wtedy i tylko wtedy , gdy jest domknięty i<br />
ograniczony.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Heine’go - Borela. Podzbiór ⊂ (R , )<br />
jest zwarty wtedy i tylko wtedy , gdy jest domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Dowód.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Heine’go - Borela. Podzbiór ⊂ (R , )<br />
jest zwarty wtedy i tylko wtedy , gdy jest domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Dowód. Implikacja ⇒ jest prawdziwa w dowolnej przestrzeni<br />
metrycznej.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Heine’go - Borela. Podzbiór ⊂ (R , )<br />
jest zwarty wtedy i tylko wtedy , gdy jest domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Dowód. Implikacja ⇒ jest prawdziwa w dowolnej przestrzeni<br />
metrycznej.<br />
⇐<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Heine’go - Borela. Podzbiór ⊂ (R , )<br />
jest zwarty wtedy i tylko wtedy , gdy jest domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Dowód. Implikacja ⇒ jest prawdziwa w dowolnej przestrzeni<br />
metrycznej.<br />
⇐ Niech = ( <br />
, <br />
, ..., ) ∈ <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Heine’go - Borela. Podzbiór ⊂ (R , )<br />
jest zwarty wtedy i tylko wtedy , gdy jest domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Dowód. Implikacja ⇒ jest prawdziwa w dowolnej przestrzeni<br />
metrycznej.<br />
⇐ Niech = ( <br />
, <br />
, ..., ) ∈ <br />
Ponieważ jest ograniczony , to każdy z ciągów współrzędnych<br />
jest ograniczony.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Heine’go - Borela. Podzbiór ⊂ (R , )<br />
jest zwarty wtedy i tylko wtedy , gdy jest domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Dowód. Implikacja ⇒ jest prawdziwa w dowolnej przestrzeni<br />
metrycznej.<br />
⇐ Niech = ( <br />
, <br />
, ..., ) ∈ <br />
Ponieważ jest ograniczony , to każdy z ciągów współrzędnych<br />
jest ograniczony.<br />
Zatem możemy wybrać taki podciąg , aby pierwsze<br />
współrzędne <br />
→ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Heine’go - Borela. Podzbiór ⊂ (R , )<br />
jest zwarty wtedy i tylko wtedy , gdy jest domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Dowód. Implikacja ⇒ jest prawdziwa w dowolnej przestrzeni<br />
metrycznej.<br />
⇐ Niech = ( <br />
, <br />
, ..., ) ∈ <br />
Ponieważ jest ograniczony , to każdy z ciągów współrzędnych<br />
jest ograniczony.<br />
Zatem możemy wybrać taki podciąg , aby pierwsze<br />
<br />
współrzędne <br />
→ .<br />
Z tego podciągu wybieramy podciąg taki, aby także<br />
ciąg drugich wspórzędnych był zbieżny<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Heine’go - Borela. Podzbiór ⊂ (R , )<br />
jest zwarty wtedy i tylko wtedy , gdy jest domknięty i<br />
ograniczony.<br />
Dowód. Implikacja ⇒ jest prawdziwa w dowolnej przestrzeni<br />
metrycznej.<br />
⇐ Niech = ( <br />
, <br />
, ..., ) ∈ <br />
Ponieważ jest ograniczony , to każdy z ciągów współrzędnych<br />
jest ograniczony.<br />
Zatem możemy wybrać taki podciąg , aby pierwsze<br />
<br />
współrzędne <br />
→ .<br />
Z tego podciągu wybieramy podciąg taki, aby także<br />
ciąg drugich wspórzędnych był zbieżny<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
→ ,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
→ , <br />
→ <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
itd...<br />
<br />
<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
→ , <br />
→ <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
→ , <br />
→ <br />
itd...<br />
po k takich krokach otrzymujemy nieskończony podciąg<br />
,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
→ , <br />
→ <br />
itd...<br />
po k takich krokach otrzymujemy nieskończony podciąg<br />
, który jest zbieżny po współrzędnych do punktu<br />
( , , ..., ).<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
→ , <br />
→ <br />
itd...<br />
po k takich krokach otrzymujemy nieskończony podciąg<br />
, który jest zbieżny po współrzędnych do punktu<br />
( , , ..., ).<br />
Jest to zbieżność w metryce euklidesowej.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
→ , <br />
→ <br />
itd...<br />
po k takich krokach otrzymujemy nieskończony podciąg<br />
, który jest zbieżny po współrzędnych do punktu<br />
( , , ..., ).<br />
Jest to zbieżność w metryce euklidesowej.<br />
Z domkniętości wynika, że ( , , ..., ) ∈ . <br />
Przykład. Zbiór Cantora C. To zbiór liczb dających się<br />
zapisać w postaci<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
→ , <br />
→ <br />
itd...<br />
po k takich krokach otrzymujemy nieskończony podciąg<br />
, który jest zbieżny po współrzędnych do punktu<br />
( , , ..., ).<br />
Jest to zbieżność w metryce euklidesowej.<br />
Z domkniętości wynika, że ( , , ..., ) ∈ . <br />
Przykład. Zbiór Cantora C. To zbiór liczb dających się<br />
zapisać w postaci<br />
= + <br />
+ · · · + + . . .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
→ , <br />
→ <br />
itd...<br />
po k takich krokach otrzymujemy nieskończony podciąg<br />
, który jest zbieżny po współrzędnych do punktu<br />
( , , ..., ).<br />
Jest to zbieżność w metryce euklidesowej.<br />
Z domkniętości wynika, że ( , , ..., ) ∈ . <br />
Przykład. Zbiór Cantora C. To zbiór liczb dających się<br />
zapisać w postaci<br />
gdzie ∈ {, }.<br />
= + <br />
+ · · · + + . . .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
np. liczba <br />
<br />
∈ C:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
np. liczba <br />
<br />
<br />
<br />
∈ C:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
<br />
= + + + · · ·<br />
<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
np. liczba <br />
<br />
Ale np. <br />
<br />
<br />
<br />
∈ C:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
<br />
= + +<br />
+ · · · = (, ...) <br />
/∈ C.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
np. liczba <br />
<br />
Ale np. <br />
<br />
<br />
<br />
∈ C:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
<br />
= + +<br />
+ · · · = (, ...) <br />
/∈ C. Geometryczna konstrukcja:<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
np. liczba <br />
<br />
<br />
<br />
∈ C:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
<br />
= + +<br />
+ · · · = (, ...) <br />
Ale np. <br />
/∈ C. Geometryczna konstrukcja: = [, ],<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
np. liczba <br />
<br />
<br />
<br />
∈ C:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
<br />
= + +<br />
+ · · · = (, ...) <br />
Ale np. <br />
/∈ C. Geometryczna konstrukcja: = [, ],<br />
= [, ] \ (/, /),<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
np. liczba <br />
<br />
<br />
<br />
∈ C:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
<br />
= + +<br />
+ · · · = (, ...) <br />
Ale np. <br />
/∈ C. Geometryczna konstrukcja: = [, ],<br />
= [, ] \ (/, /), itd...<br />
Każdy z odcinków w dzielimy na trzy równe odcinki<br />
i usuwamy wszystkie środkowe części (otwarte), otrzymując<br />
nowy zbiór domknięty + ⊂ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
np. liczba <br />
<br />
<br />
<br />
∈ C:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
<br />
= + +<br />
+ · · · = (, ...) <br />
Ale np. <br />
/∈ C. Geometryczna konstrukcja: = [, ],<br />
= [, ] \ (/, /), itd...<br />
Każdy z odcinków w dzielimy na trzy równe odcinki<br />
i usuwamy wszystkie środkowe części (otwarte), otrzymując<br />
nowy zbiór domknięty + ⊂ .<br />
C :=<br />
∞<br />
. (∗)<br />
=<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
np. liczba <br />
<br />
<br />
<br />
∈ C:<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
<br />
= + +<br />
+ · · · = (, ...) <br />
Ale np. <br />
/∈ C. Geometryczna konstrukcja: = [, ],<br />
= [, ] \ (/, /), itd...<br />
Każdy z odcinków w dzielimy na trzy równe odcinki<br />
i usuwamy wszystkie środkowe części (otwarte), otrzymując<br />
nowy zbiór domknięty + ⊂ .<br />
C :=<br />
∞<br />
. (∗)<br />
=<br />
C jest zwarty, bo jest domknięty i ograniczony w R.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Rodzinę zbiorów {}∈ nazywamy pokryciem<br />
, gdy <br />
= .<br />
∈<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Rodzinę zbiorów {}∈ nazywamy pokryciem<br />
, gdy <br />
= .<br />
∈<br />
Jeżeli wszystkie zbiory są otwarte w , to mówimy<br />
o pokryciu otwartym.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Rodzinę zbiorów {}∈ nazywamy pokryciem<br />
, gdy <br />
= .<br />
∈<br />
Jeżeli wszystkie zbiory są otwarte w , to mówimy<br />
o pokryciu otwartym. Jeśli wyróżnimy podzbiór indeksów<br />
⊂ , to rodzinę {}∈ nazywamy podpokryciem<br />
{}∈<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Rodzinę zbiorów {}∈ nazywamy pokryciem<br />
, gdy <br />
= .<br />
∈<br />
Jeżeli wszystkie zbiory są otwarte w , to mówimy<br />
o pokryciu otwartym. Jeśli wyróżnimy podzbiór indeksów<br />
⊂ , to rodzinę {}∈ nazywamy podpokryciem<br />
{}∈ , gdy<br />
<br />
= .<br />
∈<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Rodzinę zbiorów {}∈ nazywamy pokryciem<br />
, gdy <br />
= .<br />
∈<br />
Jeżeli wszystkie zbiory są otwarte w , to mówimy<br />
o pokryciu otwartym. Jeśli wyróżnimy podzbiór indeksów<br />
⊂ , to rodzinę {}∈ nazywamy podpokryciem<br />
{}∈ , gdy<br />
<br />
= .<br />
∈<br />
Twierdzenie Lindelöfa. Jesli ( , ) jest przestrzenią metryczną<br />
ośrodkową<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Rodzinę zbiorów {}∈ nazywamy pokryciem<br />
, gdy <br />
= .<br />
∈<br />
Jeżeli wszystkie zbiory są otwarte w , to mówimy<br />
o pokryciu otwartym. Jeśli wyróżnimy podzbiór indeksów<br />
⊂ , to rodzinę {}∈ nazywamy podpokryciem<br />
{}∈ , gdy<br />
<br />
= .<br />
∈<br />
Twierdzenie Lindelöfa. Jesli ( , ) jest przestrzenią metryczną<br />
ośrodkową , to z każdego jej pokrycia otwartego<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Rodzinę zbiorów {}∈ nazywamy pokryciem<br />
, gdy <br />
= .<br />
∈<br />
Jeżeli wszystkie zbiory są otwarte w , to mówimy<br />
o pokryciu otwartym. Jeśli wyróżnimy podzbiór indeksów<br />
⊂ , to rodzinę {}∈ nazywamy podpokryciem<br />
{}∈ , gdy<br />
<br />
= .<br />
∈<br />
Twierdzenie Lindelöfa. Jesli ( , ) jest przestrzenią metryczną<br />
ośrodkową , to z każdego jej pokrycia otwartego<br />
można wybrać podpokrycie przeliczalne.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Definicja. Rodzinę zbiorów {}∈ nazywamy pokryciem<br />
, gdy <br />
= .<br />
∈<br />
Jeżeli wszystkie zbiory są otwarte w , to mówimy<br />
o pokryciu otwartym. Jeśli wyróżnimy podzbiór indeksów<br />
⊂ , to rodzinę {}∈ nazywamy podpokryciem<br />
{}∈ , gdy<br />
<br />
= .<br />
∈<br />
Twierdzenie Lindelöfa. Jesli ( , ) jest przestrzenią metryczną<br />
ośrodkową , to z każdego jej pokrycia otwartego<br />
można wybrać podpokrycie przeliczalne.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Dowód.<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. Niech = {} będzie ośrodkiem w . Wtedy<br />
rodzina kul {(, );<br />
∈ N, ∈ N} jest przeliczalnym<br />
<br />
pokryciem .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. Niech = {} będzie ośrodkiem w . Wtedy<br />
rodzina kul {(, );<br />
∈ N, ∈ N} jest przeliczalnym<br />
<br />
pokryciem .<br />
Niech {}∈ będzie pokryciem otwartym.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. Niech = {} będzie ośrodkiem w . Wtedy<br />
rodzina kul {(, );<br />
∈ N, ∈ N} jest przeliczalnym<br />
<br />
pokryciem .<br />
Niech {}∈ będzie pokryciem otwartym. Wtedy<br />
∀∃ ∈ <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. Niech = {} będzie ośrodkiem w . Wtedy<br />
rodzina kul {(, );<br />
∈ N, ∈ N} jest przeliczalnym<br />
<br />
pokryciem .<br />
Niech {}∈ będzie pokryciem otwartym. Wtedy<br />
∀∃ ∈ <br />
Również istnieje ∈ N takie, że (, )<br />
⊂ .<br />
<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. Niech = {} będzie ośrodkiem w . Wtedy<br />
rodzina kul {(, );<br />
∈ N, ∈ N} jest przeliczalnym<br />
<br />
pokryciem .<br />
Niech {}∈ będzie pokryciem otwartym. Wtedy<br />
∀∃ ∈ <br />
Również istnieje ∈ N takie, że (, )<br />
⊂ .<br />
<br />
Niech ∈ taki, że (, ) < <br />
.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. Niech = {} będzie ośrodkiem w . Wtedy<br />
rodzina kul {(, );<br />
∈ N, ∈ N} jest przeliczalnym<br />
<br />
pokryciem .<br />
Niech {}∈ będzie pokryciem otwartym. Wtedy<br />
∀∃ ∈ <br />
Również istnieje ∈ N takie, że (, )<br />
⊂ .<br />
<br />
Niech ∈ taki, że (, ) < . Wtedy<br />
<br />
∈ (, <br />
)<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. Niech = {} będzie ośrodkiem w . Wtedy<br />
rodzina kul {(, );<br />
∈ N, ∈ N} jest przeliczalnym<br />
<br />
pokryciem .<br />
Niech {}∈ będzie pokryciem otwartym. Wtedy<br />
∀∃ ∈ <br />
Również istnieje ∈ N takie, że (, )<br />
⊂ .<br />
<br />
Niech ∈ taki, że (, ) < . Wtedy<br />
<br />
∈ (, <br />
<br />
) ⊂ (,<br />
)<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. Niech = {} będzie ośrodkiem w . Wtedy<br />
rodzina kul {(, );<br />
∈ N, ∈ N} jest przeliczalnym<br />
<br />
pokryciem .<br />
Niech {}∈ będzie pokryciem otwartym. Wtedy<br />
∀∃ ∈ <br />
Również istnieje ∈ N takie, że (, )<br />
⊂ .<br />
<br />
Niech ∈ taki, że (, ) < . Wtedy<br />
<br />
∈ (, <br />
<br />
) ⊂ (, ) ⊂ <br />
<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. Niech = {} będzie ośrodkiem w . Wtedy<br />
rodzina kul {(, );<br />
∈ N, ∈ N} jest przeliczalnym<br />
<br />
pokryciem .<br />
Niech {}∈ będzie pokryciem otwartym. Wtedy<br />
∀∃ ∈ <br />
Również istnieje ∈ N takie, że (, )<br />
⊂ .<br />
<br />
Niech ∈ taki, że (, ) < . Wtedy<br />
<br />
∈ (, <br />
<br />
) ⊂ (, ) ⊂ <br />
<br />
Pokrycie {(, )}∈ jest przeliczalne.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. Niech = {} będzie ośrodkiem w . Wtedy<br />
rodzina kul {(, );<br />
∈ N, ∈ N} jest przeliczalnym<br />
<br />
pokryciem .<br />
Niech {}∈ będzie pokryciem otwartym. Wtedy<br />
∀∃ ∈ <br />
Również istnieje ∈ N takie, że (, )<br />
⊂ .<br />
<br />
Niech ∈ taki, że (, ) < . Wtedy<br />
<br />
∈ (, <br />
<br />
) ⊂ (, ) ⊂ <br />
<br />
Pokrycie {(, )}∈ jest przeliczalne. Dla każdego <br />
wybieramy jedno takie, że (, ) ⊂ .<br />
<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Stąd<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
∞<br />
= (, <br />
)<br />
=<br />
<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Stąd<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
∞<br />
= (, <br />
∞<br />
) ⊂<br />
=<br />
<br />
=<br />
,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Stąd<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
∞<br />
= (, <br />
∞<br />
) ⊂<br />
=<br />
<br />
=<br />
,<br />
czyli { } ∞ = jest szukanym podpokryciem. <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Stąd<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
∞<br />
= (, <br />
∞<br />
) ⊂<br />
=<br />
<br />
=<br />
,<br />
czyli { } ∞ = jest szukanym podpokryciem. <br />
Definicja. Rodzina zbiorów {}∈ jest scentrowana,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Stąd<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
∞<br />
= (, <br />
∞<br />
) ⊂<br />
=<br />
<br />
=<br />
,<br />
czyli { } ∞ = jest szukanym podpokryciem. <br />
Definicja. Rodzina zbiorów {}∈ jest scentrowana,<br />
jeśli<br />
∀∈N∀,,..., ∩ ∩ · · · ∩ = ∅.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Stąd<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
∞<br />
= (, <br />
∞<br />
) ⊂<br />
=<br />
<br />
=<br />
,<br />
czyli { } ∞ = jest szukanym podpokryciem. <br />
Definicja. Rodzina zbiorów {}∈ jest scentrowana,<br />
jeśli<br />
∀∈N∀,,..., ∩ ∩ · · · ∩ = ∅.<br />
Twierdzenie. Rownoważne są warunki:<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Stąd<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
∞<br />
= (, <br />
∞<br />
) ⊂<br />
=<br />
<br />
=<br />
,<br />
czyli { } ∞ = jest szukanym podpokryciem. <br />
Definicja. Rodzina zbiorów {}∈ jest scentrowana,<br />
jeśli<br />
∀∈N∀,,..., ∩ ∩ · · · ∩ = ∅.<br />
Twierdzenie. Rownoważne są warunki:<br />
1 Z każdego pokrycia otwartego przestrzeni <br />
można wybrać podpokrycie skończone.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Stąd<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
∞<br />
= (, <br />
∞<br />
) ⊂<br />
=<br />
<br />
=<br />
,<br />
czyli { } ∞ = jest szukanym podpokryciem. <br />
Definicja. Rodzina zbiorów {}∈ jest scentrowana,<br />
jeśli<br />
∀∈N∀,,..., ∩ ∩ · · · ∩ = ∅.<br />
Twierdzenie. Rownoważne są warunki:<br />
1 Z każdego pokrycia otwartego przestrzeni <br />
można wybrać podpokrycie skończone.<br />
2 Dla każdej scentrowanej rodziny {}∈ zbiorów<br />
domkniętych <br />
∈ = ∅.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Stąd<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
∞<br />
= (, <br />
∞<br />
) ⊂<br />
=<br />
<br />
=<br />
,<br />
czyli { } ∞ = jest szukanym podpokryciem. <br />
Definicja. Rodzina zbiorów {}∈ jest scentrowana,<br />
jeśli<br />
∀∈N∀,,..., ∩ ∩ · · · ∩ = ∅.<br />
Twierdzenie. Rownoważne są warunki:<br />
1 Z każdego pokrycia otwartego przestrzeni <br />
można wybrać podpokrycie skończone.<br />
2 Dla każdej scentrowanej rodziny {}∈ zbiorów<br />
domkniętych <br />
∈ = ∅.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Dowód. 1 ⇒ 2<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 1 ⇒ 2 Niech {}∈ -rodzina zbiorów domkniętych<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 1 ⇒ 2 Niech {}∈ -rodzina zbiorów domkniętych<br />
taka, że <br />
= ∅.<br />
∈<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 1 ⇒ 2 Niech {}∈ -rodzina zbiorów domkniętych<br />
taka, że <br />
= ∅.<br />
Wtedy<br />
= \ <br />
∈<br />
<br />
∈<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 1 ⇒ 2 Niech {}∈ -rodzina zbiorów domkniętych<br />
taka, że <br />
= ∅.<br />
Wtedy<br />
∈<br />
= \ <br />
= <br />
( \ )<br />
∈<br />
∈<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 1 ⇒ 2 Niech {}∈ -rodzina zbiorów domkniętych<br />
taka, że <br />
= ∅.<br />
Wtedy<br />
∈<br />
= \ <br />
= <br />
( \ ) = <br />
,<br />
∈<br />
∈<br />
∈<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 1 ⇒ 2 Niech {}∈ -rodzina zbiorów domkniętych<br />
taka, że <br />
= ∅.<br />
Wtedy<br />
∈<br />
= \ <br />
= <br />
( \ ) = <br />
,<br />
∈<br />
∈<br />
gdzie zbiory = \ są otwarte.<br />
∈<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 1 ⇒ 2 Niech {}∈ -rodzina zbiorów domkniętych<br />
taka, że <br />
= ∅.<br />
Wtedy<br />
∈<br />
= \ <br />
= <br />
( \ ) = <br />
,<br />
∈<br />
∈<br />
∈<br />
gdzie zbiory = \ są otwarte. Zatem z 1<br />
= ∪ ∪ · · · ∪ =<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 1 ⇒ 2 Niech {}∈ -rodzina zbiorów domkniętych<br />
taka, że <br />
= ∅.<br />
Wtedy<br />
∈<br />
= \ <br />
= <br />
( \ ) = <br />
,<br />
∈<br />
∈<br />
∈<br />
gdzie zbiory = \ są otwarte. Zatem z 1<br />
= ∪ ∪ · · · ∪ = \<br />
<br />
=<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE<br />
.
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 1 ⇒ 2 Niech {}∈ -rodzina zbiorów domkniętych<br />
taka, że <br />
= ∅.<br />
Wtedy<br />
∈<br />
= \ <br />
= <br />
( \ ) = <br />
,<br />
∈<br />
∈<br />
∈<br />
gdzie zbiory = \ są otwarte. Zatem z 1<br />
= ∪ ∪ · · · ∪ = \<br />
<br />
=<br />
.<br />
Zatem nasza rodzina nie jest scentrowana. <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Dowód. 2 ⇒ 1<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 2 ⇒ 1 Weźmy pokrycie otwarte: = <br />
∈ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 2 ⇒ 1 Weźmy pokrycie otwarte: = <br />
∈ .<br />
Przypuśćmy, że nie da się wybrać podpokrycia skończonego.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 2 ⇒ 1 Weźmy pokrycie otwarte: = <br />
∈ .<br />
Przypuśćmy, że nie da się wybrać podpokrycia skończonego.<br />
Określamy zbiory domknięte = \ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 2 ⇒ 1 Weźmy pokrycie otwarte: = <br />
∈ .<br />
Przypuśćmy, że nie da się wybrać podpokrycia skończonego.<br />
Określamy zbiory domknięte = \ . Dla dowolnego<br />
skończonego zbioru indeksów<br />
∅ = \<br />
<br />
=<br />
<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 2 ⇒ 1 Weźmy pokrycie otwarte: = <br />
∈ .<br />
Przypuśćmy, że nie da się wybrać podpokrycia skończonego.<br />
Określamy zbiory domknięte = \ . Dla dowolnego<br />
skończonego zbioru indeksów<br />
∅ = \<br />
<br />
= <br />
=<br />
<br />
( \ ) <br />
=<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 2 ⇒ 1 Weźmy pokrycie otwarte: = <br />
∈ .<br />
Przypuśćmy, że nie da się wybrać podpokrycia skończonego.<br />
Określamy zbiory domknięte = \ . Dla dowolnego<br />
skończonego zbioru indeksów<br />
∅ = \<br />
<br />
= <br />
=<br />
<br />
( \ ) = <br />
=<br />
<br />
=<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE<br />
.
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 2 ⇒ 1 Weźmy pokrycie otwarte: = <br />
∈ .<br />
Przypuśćmy, że nie da się wybrać podpokrycia skończonego.<br />
Określamy zbiory domknięte = \ . Dla dowolnego<br />
skończonego zbioru indeksów<br />
∅ = \<br />
<br />
= <br />
=<br />
<br />
( \ ) = <br />
=<br />
Zatem rodzina {}∈ jest scentrowana.<br />
<br />
=<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE<br />
.
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 2 ⇒ 1 Weźmy pokrycie otwarte: = <br />
∈ .<br />
Przypuśćmy, że nie da się wybrać podpokrycia skończonego.<br />
Określamy zbiory domknięte = \ . Dla dowolnego<br />
skończonego zbioru indeksów<br />
∅ = \<br />
<br />
= <br />
=<br />
<br />
( \ ) = <br />
=<br />
<br />
=<br />
.<br />
Zatem rodzina {}∈ jest scentrowana. Z 2 mamy<br />
<br />
∈ = ∅.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 2 ⇒ 1 Weźmy pokrycie otwarte: = <br />
∈ .<br />
Przypuśćmy, że nie da się wybrać podpokrycia skończonego.<br />
Określamy zbiory domknięte = \ . Dla dowolnego<br />
skończonego zbioru indeksów<br />
∅ = \<br />
<br />
= <br />
=<br />
<br />
( \ ) = <br />
=<br />
<br />
=<br />
.<br />
Zatem rodzina {}∈ <br />
jest scentrowana. Z 2 mamy<br />
∈ = ∅. Stąd<br />
⊇ \ <br />
∈<br />
<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 2 ⇒ 1 Weźmy pokrycie otwarte: = <br />
∈ .<br />
Przypuśćmy, że nie da się wybrać podpokrycia skończonego.<br />
Określamy zbiory domknięte = \ . Dla dowolnego<br />
skończonego zbioru indeksów<br />
∅ = \<br />
<br />
= <br />
=<br />
<br />
( \ ) = <br />
=<br />
<br />
=<br />
.<br />
Zatem rodzina {}∈ <br />
jest scentrowana. Z 2 mamy<br />
∈ = ∅. Stąd<br />
⊇ \ <br />
= <br />
( \ )<br />
∈<br />
∈<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 2 ⇒ 1 Weźmy pokrycie otwarte: = <br />
∈ .<br />
Przypuśćmy, że nie da się wybrać podpokrycia skończonego.<br />
Określamy zbiory domknięte = \ . Dla dowolnego<br />
skończonego zbioru indeksów<br />
∅ = \<br />
<br />
= <br />
=<br />
<br />
( \ ) = <br />
=<br />
<br />
=<br />
.<br />
Zatem rodzina {}∈ <br />
jest scentrowana. Z 2 mamy<br />
∈ = ∅. Stąd<br />
⊇ \ <br />
= <br />
( \ ) = <br />
.<br />
∈<br />
∈<br />
∈<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 2 ⇒ 1 Weźmy pokrycie otwarte: = <br />
∈ .<br />
Przypuśćmy, że nie da się wybrać podpokrycia skończonego.<br />
Określamy zbiory domknięte = \ . Dla dowolnego<br />
skończonego zbioru indeksów<br />
∅ = \<br />
<br />
= <br />
=<br />
<br />
( \ ) = <br />
=<br />
<br />
=<br />
.<br />
Zatem rodzina {}∈ <br />
jest scentrowana. Z 2 mamy<br />
∈ = ∅. Stąd<br />
⊇ \ <br />
= <br />
( \ ) = <br />
.<br />
∈<br />
∈<br />
Czyli {}∈ nie jest pokryciem.<br />
∈<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. 2 ⇒ 1 Weźmy pokrycie otwarte: = <br />
∈ .<br />
Przypuśćmy, że nie da się wybrać podpokrycia skończonego.<br />
Określamy zbiory domknięte = \ . Dla dowolnego<br />
skończonego zbioru indeksów<br />
∅ = \<br />
<br />
= <br />
=<br />
<br />
( \ ) = <br />
=<br />
<br />
=<br />
.<br />
Zatem rodzina {}∈ <br />
jest scentrowana. Z 2 mamy<br />
∈ = ∅. Stąd<br />
⊇ \ <br />
= <br />
( \ ) = <br />
.<br />
∈<br />
∈<br />
Czyli {}∈ nie jest pokryciem. <br />
∈<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta<br />
wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego pokrycia otwartego<br />
można wybrać podpokrycie skończone.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta<br />
wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego pokrycia otwartego<br />
można wybrać podpokrycie skończone.<br />
Dowód. ⇐<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta<br />
wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego pokrycia otwartego<br />
można wybrać podpokrycie skończone.<br />
Dowód. ⇐ Załóżmy, że nie jest zwarta,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta<br />
wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego pokrycia otwartego<br />
można wybrać podpokrycie skończone.<br />
Dowód. ⇐ Załóżmy, że nie jest zwarta, czyli istnieje<br />
ciąg {}, z którego nie da się wybrać podciągu zbieżnego.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta<br />
wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego pokrycia otwartego<br />
można wybrać podpokrycie skończone.<br />
Dowód. ⇐ Załóżmy, że nie jest zwarta, czyli istnieje<br />
ciąg {}, z którego nie da się wybrać podciągu zbieżnego.<br />
Niech := {, +, +, ...}. Wtedy są domknięte.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta<br />
wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego pokrycia otwartego<br />
można wybrać podpokrycie skończone.<br />
Dowód. ⇐ Załóżmy, że nie jest zwarta, czyli istnieje<br />
ciąg {}, z którego nie da się wybrać podciągu zbieżnego.<br />
Niech := {, +, +, ...}. Wtedy są domknięte.<br />
Rodzina {}∈N jest zstępująca, a zatem scentrowana:<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta<br />
wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego pokrycia otwartego<br />
można wybrać podpokrycie skończone.<br />
Dowód. ⇐ Załóżmy, że nie jest zwarta, czyli istnieje<br />
ciąg {}, z którego nie da się wybrać podciągu zbieżnego.<br />
Niech := {, +, +, ...}. Wtedy są domknięte.<br />
Rodzina {}∈N jest zstępująca, a zatem scentrowana:<br />
<br />
=<br />
= = ∅.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta<br />
wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego pokrycia otwartego<br />
można wybrać podpokrycie skończone.<br />
Dowód. ⇐ Załóżmy, że nie jest zwarta, czyli istnieje<br />
ciąg {}, z którego nie da się wybrać podciągu zbieżnego.<br />
Niech := {, +, +, ...}. Wtedy są domknięte.<br />
Rodzina {}∈N jest zstępująca, a zatem scentrowana:<br />
<br />
=<br />
= = ∅. Ale<br />
∞<br />
= ∅.<br />
=<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta<br />
wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego pokrycia otwartego<br />
można wybrać podpokrycie skończone.<br />
Dowód. ⇐ Załóżmy, że nie jest zwarta, czyli istnieje<br />
ciąg {}, z którego nie da się wybrać podciągu zbieżnego.<br />
Niech := {, +, +, ...}. Wtedy są domknięte.<br />
Rodzina {}∈N jest zstępująca, a zatem scentrowana:<br />
<br />
=<br />
= = ∅. Ale<br />
∞<br />
= ∅.<br />
=<br />
Z poprzedniego twierdzenia zbiory = \ tworzą<br />
pokrycie otwarte,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Przestrzeń metryczna ( , ) jest zwarta<br />
wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego pokrycia otwartego<br />
można wybrać podpokrycie skończone.<br />
Dowód. ⇐ Załóżmy, że nie jest zwarta, czyli istnieje<br />
ciąg {}, z którego nie da się wybrać podciągu zbieżnego.<br />
Niech := {, +, +, ...}. Wtedy są domknięte.<br />
Rodzina {}∈N jest zstępująca, a zatem scentrowana:<br />
<br />
=<br />
= = ∅. Ale<br />
∞<br />
= ∅.<br />
=<br />
Z poprzedniego twierdzenia zbiory = \ tworzą<br />
pokrycie otwarte, z którego nie da się wybrać podpokrycia<br />
skończonego. <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Dowód. ⇒<br />
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. ⇒ Niech {}∈ - pokrycie otwarte. Na mocy<br />
Tw. Lindelöfa możemy wybrać podpokrycie przeliczalne:<br />
= ∞<br />
= .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. ⇒ Niech {}∈ - pokrycie otwarte. Na mocy<br />
Tw. Lindelöfa możemy wybrać podpokrycie przeliczalne:<br />
= ∞ = . <br />
Przypuśćmy, że ∀ \ = = ∅.<br />
<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. ⇒ Niech {}∈ - pokrycie otwarte. Na mocy<br />
Tw. Lindelöfa możemy wybrać podpokrycie przeli-<br />
czalne: = ∞<br />
= .<br />
Przypuśćmy, że ∀ \ <br />
= = ∅.<br />
Wybieram ciąg: ∈ = \ <br />
= .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. ⇒ Niech {}∈ - pokrycie otwarte. Na mocy<br />
Tw. Lindelöfa możemy wybrać podpokrycie przeli-<br />
czalne: = ∞<br />
= .<br />
Przypuśćmy, że ∀ \ <br />
= = ∅.<br />
Wybieram ciąg: ∈ = \ <br />
= .<br />
Z założenia istnieje podciąg → .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. ⇒ Niech {}∈ - pokrycie otwarte. Na mocy<br />
Tw. Lindelöfa możemy wybrać podpokrycie przeli-<br />
czalne: = ∞<br />
= .<br />
Przypuśćmy, że ∀ \ <br />
= = ∅.<br />
Wybieram ciąg: ∈ = \ <br />
= .<br />
Z założenia istnieje podciąg → .<br />
Zauważmy , że dla każdego ustalonego ∈ N mamy<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. ⇒ Niech {}∈ - pokrycie otwarte. Na mocy<br />
Tw. Lindelöfa możemy wybrać podpokrycie przeli-<br />
czalne: = ∞<br />
= .<br />
Przypuśćmy, że ∀ \ <br />
= = ∅.<br />
Wybieram ciąg: ∈ = \ <br />
= .<br />
Z założenia istnieje podciąg → .<br />
Zauważmy , że dla każdego ustalonego ∈ N mamy<br />
∀ ≥ ∈ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. ⇒ Niech {}∈ - pokrycie otwarte. Na mocy<br />
Tw. Lindelöfa możemy wybrać podpokrycie przeli-<br />
czalne: = ∞<br />
= .<br />
Przypuśćmy, że ∀ \ <br />
= = ∅.<br />
Wybieram ciąg: ∈ = \ <br />
= .<br />
Z założenia istnieje podciąg → .<br />
Zauważmy , że dla każdego ustalonego ∈ N mamy<br />
Zatem ∈ ∀.<br />
∀ ≥ ∈ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. ⇒ Niech {}∈ - pokrycie otwarte. Na mocy<br />
Tw. Lindelöfa możemy wybrać podpokrycie przeli-<br />
czalne: = ∞<br />
= .<br />
Przypuśćmy, że ∀ \ <br />
= = ∅.<br />
Wybieram ciąg: ∈ = \ <br />
= .<br />
Z założenia istnieje podciąg → .<br />
Zauważmy , że dla każdego ustalonego ∈ N mamy<br />
Zatem ∈ ∀.<br />
Czyli<br />
∞<br />
∈<br />
=<br />
<br />
∀ ≥ ∈ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. ⇒ Niech {}∈ - pokrycie otwarte. Na mocy<br />
Tw. Lindelöfa możemy wybrać podpokrycie przeli-<br />
czalne: = ∞<br />
= .<br />
Przypuśćmy, że ∀ \ <br />
= = ∅.<br />
Wybieram ciąg: ∈ = \ <br />
= .<br />
Z założenia istnieje podciąg → .<br />
Zauważmy , że dla każdego ustalonego ∈ N mamy<br />
=<br />
∀ ≥ ∈ .<br />
Zatem ∈ ∀.<br />
Czyli<br />
∞ ∞<br />
∈ = ( \ =<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. ⇒ Niech {}∈ - pokrycie otwarte. Na mocy<br />
Tw. Lindelöfa możemy wybrać podpokrycie przeli-<br />
czalne: = ∞<br />
= .<br />
Przypuśćmy, że ∀ \ <br />
= = ∅.<br />
Wybieram ciąg: ∈ = \ <br />
= .<br />
Z założenia istnieje podciąg → .<br />
Zauważmy , że dla każdego ustalonego ∈ N mamy<br />
=<br />
∀ ≥ ∈ .<br />
Zatem ∈ ∀.<br />
Czyli<br />
∞ ∞<br />
∞<br />
∈ = ( \ = \<br />
<br />
=<br />
=<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. ⇒ Niech {}∈ - pokrycie otwarte. Na mocy<br />
Tw. Lindelöfa możemy wybrać podpokrycie przeli-<br />
czalne: = ∞<br />
= .<br />
Przypuśćmy, że ∀ \ <br />
= = ∅.<br />
Wybieram ciąg: ∈ = \ <br />
= .<br />
Z założenia istnieje podciąg → .<br />
Zauważmy , że dla każdego ustalonego ∈ N mamy<br />
=<br />
∀ ≥ ∈ .<br />
Zatem ∈ ∀.<br />
Czyli<br />
∞ ∞<br />
∞<br />
∈ = ( \ = \ = ∅<br />
<br />
=<br />
=<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Dowód. ⇒ Niech {}∈ - pokrycie otwarte. Na mocy<br />
Tw. Lindelöfa możemy wybrać podpokrycie przeli-<br />
czalne: = ∞<br />
= .<br />
Przypuśćmy, że ∀ \ <br />
= = ∅.<br />
Wybieram ciąg: ∈ = \ <br />
= .<br />
Z założenia istnieje podciąg → .<br />
Zauważmy , że dla każdego ustalonego ∈ N mamy<br />
=<br />
∀ ≥ ∈ .<br />
Zatem ∈ ∀.<br />
Czyli<br />
∞ ∞<br />
∞<br />
∈ = ( \ = \ = ∅<br />
<br />
=<br />
Sprzeczność kończy dowód. <br />
=<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Lebesgue’a o pokryciu.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Lebesgue’a o pokryciu. Jeśli ( , ) jest<br />
zwarta, {}∈ -pokrycie otwarte<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Lebesgue’a o pokryciu. Jeśli ( , ) jest<br />
zwarta, {}∈ -pokrycie otwarte , to istnieje takie<br />
ε > , że dla każdego ∈ istnieje ∈ (, ε) ⊂ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Lebesgue’a o pokryciu. Jeśli ( , ) jest<br />
zwarta, {}∈ -pokrycie otwarte , to istnieje takie<br />
ε > , że dla każdego ∈ istnieje ∈ (, ε) ⊂ .<br />
Dowód.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Lebesgue’a o pokryciu. Jeśli ( , ) jest<br />
zwarta, {}∈ -pokrycie otwarte , to istnieje takie<br />
ε > , że dla każdego ∈ istnieje ∈ (, ε) ⊂ .<br />
Dowód. Dla każdego wybierzmy ε > takie, że<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Lebesgue’a o pokryciu. Jeśli ( , ) jest<br />
zwarta, {}∈ -pokrycie otwarte , to istnieje takie<br />
ε > , że dla każdego ∈ istnieje ∈ (, ε) ⊂ .<br />
Dowód. Dla każdego wybierzmy ε > takie, że<br />
dla pewnego ∈ .<br />
(, ε) ⊂ <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Lebesgue’a o pokryciu. Jeśli ( , ) jest<br />
zwarta, {}∈ -pokrycie otwarte , to istnieje takie<br />
ε > , że dla każdego ∈ istnieje ∈ (, ε) ⊂ .<br />
Dowód. Dla każdego wybierzmy ε > takie, że<br />
(, ε) ⊂ <br />
dla pewnego ∈ .<br />
Z pokrycia {(, ε)}∈ wybieramy podpokrycie skończone.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Lebesgue’a o pokryciu. Jeśli ( , ) jest<br />
zwarta, {}∈ -pokrycie otwarte , to istnieje takie<br />
ε > , że dla każdego ∈ istnieje ∈ (, ε) ⊂ .<br />
Dowód. Dla każdego wybierzmy ε > takie, że<br />
(, ε) ⊂ <br />
dla pewnego ∈ .<br />
Z pokrycia {(, ε)}∈ wybieramy podpokrycie skończone.<br />
Niech ε := {ε, ε, ..., ε }.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Lebesgue’a o pokryciu. Jeśli ( , ) jest<br />
zwarta, {}∈ -pokrycie otwarte , to istnieje takie<br />
ε > , że dla każdego ∈ istnieje ∈ (, ε) ⊂ .<br />
Dowód. Dla każdego wybierzmy ε > takie, że<br />
(, ε) ⊂ <br />
dla pewnego ∈ .<br />
Z pokrycia {(, ε)}∈ wybieramy podpokrycie skończone.<br />
Niech ε := {ε, ε, ..., ε }.<br />
Weżmy ∈ (, ε).<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Lebesgue’a o pokryciu. Jeśli ( , ) jest<br />
zwarta, {}∈ -pokrycie otwarte , to istnieje takie<br />
ε > , że dla każdego ∈ istnieje ∈ (, ε) ⊂ .<br />
Dowód. Dla każdego wybierzmy ε > takie, że<br />
(, ε) ⊂ <br />
dla pewnego ∈ .<br />
Z pokrycia {(, ε)}∈ wybieramy podpokrycie skończone.<br />
Niech ε := {ε, ε, ..., ε }. <br />
Weżmy ∈ (, ε). Wtedy ∃ (, ) < ε .<br />
<br />
<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Lebesgue’a o pokryciu. Jeśli ( , ) jest<br />
zwarta, {}∈ -pokrycie otwarte , to istnieje takie<br />
ε > , że dla każdego ∈ istnieje ∈ (, ε) ⊂ .<br />
Dowód. Dla każdego wybierzmy ε > takie, że<br />
(, ε) ⊂ <br />
dla pewnego ∈ .<br />
Z pokrycia {(, ε)}∈ wybieramy podpokrycie skończone.<br />
Niech ε := {ε, ε, ..., ε }. <br />
Weżmy ∈ (, ε). Wtedy ∃ (, ) < ε .<br />
<br />
<br />
(, )<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Lebesgue’a o pokryciu. Jeśli ( , ) jest<br />
zwarta, {}∈ -pokrycie otwarte , to istnieje takie<br />
ε > , że dla każdego ∈ istnieje ∈ (, ε) ⊂ .<br />
Dowód. Dla każdego wybierzmy ε > takie, że<br />
(, ε) ⊂ <br />
dla pewnego ∈ .<br />
Z pokrycia {(, ε)}∈ wybieramy podpokrycie skończone.<br />
Niech ε := {ε, ε, ..., ε }. <br />
Weżmy ∈ (, ε). Wtedy ∃ (, ) < ε .<br />
<br />
<br />
(, ) ≤ (, ) + (, )<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Lebesgue’a o pokryciu. Jeśli ( , ) jest<br />
zwarta, {}∈ -pokrycie otwarte , to istnieje takie<br />
ε > , że dla każdego ∈ istnieje ∈ (, ε) ⊂ .<br />
Dowód. Dla każdego wybierzmy ε > takie, że<br />
(, ε) ⊂ <br />
dla pewnego ∈ .<br />
Z pokrycia {(, ε)}∈ wybieramy podpokrycie skończone.<br />
Niech ε := {ε, ε, ..., ε }. <br />
Weżmy ∈ (, ε). Wtedy ∃ (, ) < ε .<br />
<br />
<br />
(, ) ≤ (, ) + (, ) < ε + ε <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Lebesgue’a o pokryciu. Jeśli ( , ) jest<br />
zwarta, {}∈ -pokrycie otwarte , to istnieje takie<br />
ε > , że dla każdego ∈ istnieje ∈ (, ε) ⊂ .<br />
Dowód. Dla każdego wybierzmy ε > takie, że<br />
(, ε) ⊂ <br />
dla pewnego ∈ .<br />
Z pokrycia {(, ε)}∈ wybieramy podpokrycie skończone.<br />
Niech ε := {ε, ε, ..., ε }. <br />
Weżmy ∈ (, ε). Wtedy ∃ (, ) < ε .<br />
<br />
<br />
(, ) ≤ (, ) + (, ) < ε + ε ≤ ε .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Lebesgue’a o pokryciu. Jeśli ( , ) jest<br />
zwarta, {}∈ -pokrycie otwarte , to istnieje takie<br />
ε > , że dla każdego ∈ istnieje ∈ (, ε) ⊂ .<br />
Dowód. Dla każdego wybierzmy ε > takie, że<br />
(, ε) ⊂ <br />
dla pewnego ∈ .<br />
Z pokrycia {(, ε)}∈ wybieramy podpokrycie skończone.<br />
Niech ε := {ε, ε, ..., ε }. <br />
Weżmy ∈ (, ε). Wtedy ∃ (, ) < ε .<br />
<br />
<br />
(, ) ≤ (, ) + (, ) < ε + ε ≤ ε .<br />
Zatem ∈ (, ε ) ⊂ dla pewnego ∈ . <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie Lebesgue’a o pokryciu. Jeśli ( , ) jest<br />
zwarta, {}∈ -pokrycie otwarte , to istnieje takie<br />
ε > , że dla każdego ∈ istnieje ∈ (, ε) ⊂ .<br />
Dowód. Dla każdego wybierzmy ε > takie, że<br />
(, ε) ⊂ <br />
dla pewnego ∈ .<br />
Z pokrycia {(, ε)}∈ wybieramy podpokrycie skończone.<br />
Niech ε := {ε, ε, ..., ε }. <br />
Weżmy ∈ (, ε). Wtedy ∃ (, ) < ε .<br />
<br />
<br />
(, ) ≤ (, ) + (, ) < ε + ε ≤ ε .<br />
Zatem ∈ (, ε ) ⊂ dla pewnego ∈ . <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Liczbę ε z poprzedniego twierdzenia nazywa się liczbą<br />
Lebesgue’a pokrycia U.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Liczbę ε z poprzedniego twierdzenia nazywa się liczbą<br />
Lebesgue’a pokrycia U.<br />
Twierdzenie (Hausdorff). Jeśli : → ciągła, <br />
zwarta,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Liczbę ε z poprzedniego twierdzenia nazywa się liczbą<br />
Lebesgue’a pokrycia U.<br />
Twierdzenie (Hausdorff). Jeśli : → ciągła, <br />
zwarta, to jednostajnie ciągła.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Liczbę ε z poprzedniego twierdzenia nazywa się liczbą<br />
Lebesgue’a pokrycia U.<br />
Twierdzenie (Hausdorff). Jeśli : → ciągła, <br />
zwarta, to jednostajnie ciągła.<br />
Dowód.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Liczbę ε z poprzedniego twierdzenia nazywa się liczbą<br />
Lebesgue’a pokrycia U.<br />
Twierdzenie (Hausdorff). Jeśli : → ciągła, <br />
zwarta, to jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Niech ε > .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Liczbę ε z poprzedniego twierdzenia nazywa się liczbą<br />
Lebesgue’a pokrycia U.<br />
Twierdzenie (Hausdorff). Jeśli : → ciągła, <br />
zwarta, to jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Niech ε > . Rozważmy otwarte pokrycie :<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Liczbę ε z poprzedniego twierdzenia nazywa się liczbą<br />
Lebesgue’a pokrycia U.<br />
Twierdzenie (Hausdorff). Jeśli : → ciągła, <br />
zwarta, to jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Niech ε > . Rozważmy otwarte pokrycie :<br />
A := { − ((, ε<br />
)}∈ .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Liczbę ε z poprzedniego twierdzenia nazywa się liczbą<br />
Lebesgue’a pokrycia U.<br />
Twierdzenie (Hausdorff). Jeśli : → ciągła, <br />
zwarta, to jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Niech ε > . Rozważmy otwarte pokrycie :<br />
A := { − ((, ε<br />
)}∈ .<br />
Określamy δ > jako liczbę Lebesgue’a tego pokrycia.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Liczbę ε z poprzedniego twierdzenia nazywa się liczbą<br />
Lebesgue’a pokrycia U.<br />
Twierdzenie (Hausdorff). Jeśli : → ciągła, <br />
zwarta, to jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Niech ε > . Rozważmy otwarte pokrycie :<br />
A := { − ((, ε<br />
)}∈ .<br />
Określamy δ > jako liczbę Lebesgue’a tego pokrycia.<br />
Niech (, ′ ) < δ.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Liczbę ε z poprzedniego twierdzenia nazywa się liczbą<br />
Lebesgue’a pokrycia U.<br />
Twierdzenie (Hausdorff). Jeśli : → ciągła, <br />
zwarta, to jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Niech ε > . Rozważmy otwarte pokrycie :<br />
A := { − ((, ε<br />
)}∈ .<br />
Określamy δ > jako liczbę Lebesgue’a tego pokrycia.<br />
Niech (, ′ ) < δ.<br />
∃∈ ′ ∈ (, δ) ⊂ − ((, ε<br />
).<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Liczbę ε z poprzedniego twierdzenia nazywa się liczbą<br />
Lebesgue’a pokrycia U.<br />
Twierdzenie (Hausdorff). Jeśli : → ciągła, <br />
zwarta, to jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Niech ε > . Rozważmy otwarte pokrycie :<br />
A := { − ((, ε<br />
)}∈ .<br />
Określamy δ > jako liczbę Lebesgue’a tego pokrycia.<br />
Niech (, ′ ) < δ.<br />
∃∈ ′ ∈ (, δ) ⊂ − ((, ε<br />
).<br />
Stąd<br />
(), ( ′ ) ∈ (, ε<br />
)<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Liczbę ε z poprzedniego twierdzenia nazywa się liczbą<br />
Lebesgue’a pokrycia U.<br />
Twierdzenie (Hausdorff). Jeśli : → ciągła, <br />
zwarta, to jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Niech ε > . Rozważmy otwarte pokrycie :<br />
A := { − ((, ε<br />
)}∈ .<br />
Określamy δ > jako liczbę Lebesgue’a tego pokrycia.<br />
Niech (, ′ ) < δ.<br />
∃∈ ′ ∈ (, δ) ⊂ − ((, ε<br />
).<br />
Stąd<br />
(), ( ′ ) ∈ (, ε<br />
) ⇒ ( (), ( ′ )) < ε.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Liczbę ε z poprzedniego twierdzenia nazywa się liczbą<br />
Lebesgue’a pokrycia U.<br />
Twierdzenie (Hausdorff). Jeśli : → ciągła, <br />
zwarta, to jednostajnie ciągła.<br />
Dowód. Niech ε > . Rozważmy otwarte pokrycie :<br />
A := { − ((, ε<br />
)}∈ .<br />
Określamy δ > jako liczbę Lebesgue’a tego pokrycia.<br />
Niech (, ′ ) < δ.<br />
∃∈ ′ ∈ (, δ) ⊂ − ((, ε<br />
).<br />
Stąd<br />
(), ( ′ ) ∈ (, ε<br />
) ⇒ ( (), ( ′ )) < ε.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeśli ( , ) zwarta i : → spełnia<br />
lokalnie warunek Lipschitza<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeśli ( , ) zwarta i : → spełnia<br />
lokalnie warunek Lipschitza , to spełnia warunek Lipschitza<br />
globalnie.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeśli ( , ) zwarta i : → spełnia<br />
lokalnie warunek Lipschitza , to spełnia warunek Lipschitza<br />
globalnie.<br />
Dowód.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeśli ( , ) zwarta i : → spełnia<br />
lokalnie warunek Lipschitza , to spełnia warunek Lipschitza<br />
globalnie.<br />
Dowód.<br />
∃∈<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeśli ( , ) zwarta i : → spełnia<br />
lokalnie warunek Lipschitza , to spełnia warunek Lipschitza<br />
globalnie.<br />
Dowód.<br />
∃∈ ∃<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeśli ( , ) zwarta i : → spełnia<br />
lokalnie warunek Lipschitza , to spełnia warunek Lipschitza<br />
globalnie.<br />
Dowód.<br />
∃∈ ∃ ∋<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeśli ( , ) zwarta i : → spełnia<br />
lokalnie warunek Lipschitza , to spełnia warunek Lipschitza<br />
globalnie.<br />
Dowód.<br />
∃∈ ∃ ∋ ∃<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeśli ( , ) zwarta i : → spełnia<br />
lokalnie warunek Lipschitza , to spełnia warunek Lipschitza<br />
globalnie.<br />
Dowód.<br />
∃∈ ∃ ∋ ∃ ∀,∈<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeśli ( , ) zwarta i : → spełnia<br />
lokalnie warunek Lipschitza , to spełnia warunek Lipschitza<br />
globalnie.<br />
Dowód.<br />
∃∈ ∃ ∋ ∃ ∀,∈ ( (), ()) ≤ · (, )<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeśli ( , ) zwarta i : → spełnia<br />
lokalnie warunek Lipschitza , to spełnia warunek Lipschitza<br />
globalnie.<br />
Dowód.<br />
∃∈ ∃ ∋ ∃ ∀,∈ ( (), ()) ≤ · (, )<br />
Rodzina {}∈ jest otwartym pokryciem .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeśli ( , ) zwarta i : → spełnia<br />
lokalnie warunek Lipschitza , to spełnia warunek Lipschitza<br />
globalnie.<br />
Dowód.<br />
∃∈ ∃ ∋ ∃ ∀,∈ ( (), ()) ≤ · (, )<br />
Rodzina {}∈ jest otwartym pokryciem .<br />
Wybieramy skończone podpokrycie {, , ..., }.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeśli ( , ) zwarta i : → spełnia<br />
lokalnie warunek Lipschitza , to spełnia warunek Lipschitza<br />
globalnie.<br />
Dowód.<br />
∃∈ ∃ ∋ ∃ ∀,∈ ( (), ()) ≤ · (, )<br />
Rodzina {}∈ jest otwartym pokryciem .<br />
Wybieramy skończone podpokrycie {, , ..., }.<br />
Niech<br />
, = ( (), ())<br />
(, )<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeśli ( , ) zwarta i : → spełnia<br />
lokalnie warunek Lipschitza , to spełnia warunek Lipschitza<br />
globalnie.<br />
Dowód.<br />
∃∈ ∃ ∋ ∃ ∀,∈ ( (), ()) ≤ · (, )<br />
Rodzina {}∈ jest otwartym pokryciem .<br />
Wybieramy skończone podpokrycie {, , ..., }.<br />
Niech<br />
, = ( (), ())<br />
(, )<br />
Wtedy<br />
= {<br />
,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeśli ( , ) zwarta i : → spełnia<br />
lokalnie warunek Lipschitza , to spełnia warunek Lipschitza<br />
globalnie.<br />
Dowód.<br />
∃∈ ∃ ∋ ∃ ∀,∈ ( (), ()) ≤ · (, )<br />
Rodzina {}∈ jest otwartym pokryciem .<br />
Wybieramy skończone podpokrycie {, , ..., }.<br />
Niech<br />
, = ( (), ())<br />
(, )<br />
Wtedy<br />
= {<br />
, }<br />
<br />
,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeśli ( , ) zwarta i : → spełnia<br />
lokalnie warunek Lipschitza , to spełnia warunek Lipschitza<br />
globalnie.<br />
Dowód.<br />
∃∈ ∃ ∋ ∃ ∀,∈ ( (), ()) ≤ · (, )<br />
Rodzina {}∈ jest otwartym pokryciem .<br />
Wybieramy skończone podpokrycie {, , ..., }.<br />
Niech<br />
, = ( (), ())<br />
(, )<br />
Wtedy<br />
jest stałą Lipschitza dla .<br />
= {<br />
, }<br />
<br />
,<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Twierdzenie. Jeśli ( , ) zwarta i : → spełnia<br />
lokalnie warunek Lipschitza , to spełnia warunek Lipschitza<br />
globalnie.<br />
Dowód.<br />
∃∈ ∃ ∋ ∃ ∀,∈ ( (), ()) ≤ · (, )<br />
Rodzina {}∈ jest otwartym pokryciem .<br />
Wybieramy skończone podpokrycie {, , ..., }.<br />
Niech<br />
, = ( (), ())<br />
(, )<br />
Wtedy<br />
= {<br />
, }<br />
<br />
,<br />
jest stałą Lipschitza dla . <br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Jeśli mamy ciąg przestrzeni metrycznych (, )<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Jeśli mamy ciąg przestrzeni metrycznych (, ), =<br />
, , , ..., to w produkcie kartezjańskim = × ×<br />
× . . .<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Jeśli mamy ciąg przestrzeni metrycznych (, ), =<br />
, , , ..., to w produkcie kartezjańskim = × ×<br />
× . . . metrykę zadaje wzór<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Jeśli mamy ciąg przestrzeni metrycznych (, ), =<br />
, , , ..., to w produkcie kartezjańskim = × ×<br />
× . . . metrykę zadaje wzór<br />
(( , , ...), ( , , ...)) :=<br />
∞<br />
=<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE<br />
(, )<br />
·<br />
+ (, ) .
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Jeśli mamy ciąg przestrzeni metrycznych (, ), =<br />
, , , ..., to w produkcie kartezjańskim = × ×<br />
× . . . metrykę zadaje wzór<br />
(( , , ...), ( , , ...)) :=<br />
∞<br />
=<br />
(, )<br />
·<br />
+ (, ) .<br />
Twierdzenie. Jeśli wszystkie są <strong>zwarte</strong>, to ich produkt<br />
kartezjański z powyższą metryką jest przestrzenią<br />
zwartą.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
PODSTAWY<br />
FUNKCJE<br />
POKRYCIA<br />
Jeśli mamy ciąg przestrzeni metrycznych (, ), =<br />
, , , ..., to w produkcie kartezjańskim = × ×<br />
× . . . metrykę zadaje wzór<br />
(( , , ...), ( , , ...)) :=<br />
∞<br />
=<br />
(, )<br />
·<br />
+ (, ) .<br />
Twierdzenie. Jeśli wszystkie są <strong>zwarte</strong>, to ich produkt<br />
kartezjański z powyższą metryką jest przestrzenią<br />
zwartą. <br />
Uwaga Dowód podaliśmy dla skończonego ciągu przestrzeni.<br />
Przykład Kostka Hilberta: = [, ] × [, ] × [, ] × ... z<br />
powyższą metryką jest zwarta.<br />
WYKŁAD Z TOPOLOGII PRZESTRZENIE ZWARTE
Change language