1.13 Klasifikace kvadrik

1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 63
4
z
2
0
10
x
0
–10
10
0
–10
Obrázek 1.34: Eliptická válcová plocha
y
Příklad 4:
Vyšetřete kvadriku
8x 2 − 8y 2 − 3z 2 − 12xy +10xz +10yz − 2x +14y − 10z − 3 = 0 (1.214)
Řešení: Pro diskriminant ∆ kvadriky (1.214) je
8 −6 5 −1
∆=
−6 −8 5 7
5 5 −3 −5
=0. (1.215)
∣ −1 7 −5 −3 ∣
Diskriminant je roven nule, tedy se jedná o singulární kvadriku.
Hodnota A 44 je rovna
8 −6 5
∆=
−6 −8 5
=0, (1.216)
∣ 5 5 −3 ∣
Determinant A 44 je roven nule — jedná se tedy o nestředovou singulární kvadriku.
Charakteristická rovnice
která má v rozepsaném stavu tvar
∣
8 − λ −6 5
−6 −8 − λ 5
5 5 −3 − λ
=0, (1.217)
∣
λ 3 +3λ 2 − 150λ =0, (1.218)
má kořeny
√
609
λ 1 = − 3 √
609
2 2 ,λ 2 = − − 3 2 2 , λ 3 =0. (1.219)
Dvě vlastní čísla λ 1 a λ 2 jsou různá od nuly, v úvahu tedy přicházejí eliptická
nebo hyperbolická válcová plocha nebo dvojice různoběžných rovin.