Fraktale 3D

Fraktale 3D
Tomasz Mazurek
promotor: dr inż. Tomasz Martyn

Plan prezentacji
● Wstęp do geometrii fraktalnej.
● Krótki przegląd fraktali 2D.
– konstrukcje klasyczne;
– atraktory IFS;
– L-systemy;
– zbiory Julii i Mandelbrota;
– zastosowania fraktali.
● Fraktale 3D
– uogólnienie atraktorów IFS i L-systemów na
trzy wymiary;
– kwaternionowe zbiory Julii i Mandelbrota (Tetrabrot);
– techniki wizualizacji.

Definicja fraktala
Fraktal (wg Mandelbrota) – obiekt geometryczny
posiadający cechę samopodobieństwa, którego
wymiar nie jest liczbą całkowitą.
Problem – co oznacza termin „samopodobieństwo” i
jak wymiar może nie być całkowity?

Definicja samopodobieństwa
Samopodobieństwo – oznacza, że część obiektu jest
podobna do całości.
Jest to nadal definicja nieścisła:
– jakie jest kryterium wyboru części do porównania?
– jakiej definicji podobieństwa używamy?

Wymiar niecałkowity?
Istnieje wiele definicji wymiaru, m.in.:
– wymiar topologiczny;
– wymiar pojemnościowy;
– wymiar samopodobieństwa;
– wymiar Hausdorfa-Besicovitcha.
Większość z definicji wymiarów dopuszcza
wymiary niecałkowite.

Samopodobieństwo odcinka
Związek między liczbą
fragmentów, a
współczynikiem redukcji.
a= 1 s D
D= loga
log1/ s =log3 log3 =1

Krzywa Kocha
Dla krzywej Kocha D nie jest
całkowite!
D= loga
log1/ s =log4 log3 ≈1,2619

Wymiar Hausdorfa
Tzw. wymiar fraktalny. Trudny do obliczenia,
wymaga dodatkowych definicji.
∞
h s A=inf {∑
i =0
diamU i
s }
h s A=lim
s0
h s A

Zbiór Cantora
Daje w granicy pył
punktów – zbiór
równoliczny z
odcinkiem, ale nigdzie
gęsty.

Krzywa Hilberta
Jedna z krzywych
wypełniających
przestrzeń – stanowi
dowód równoliczności
kwadratu i odcinka.

Trójkąt Sierpińskiego

Atraktory IFS
Układ IFS - skończony zbiór przekształceń w 1
, ...,
w n
działających na zbiorach punktów, postaci:
x n1
=a∗x n
b∗y n
c y n1
=d∗x n
e∗y n
d

Atraktory IFS
Operator Hutchinsona – suma poszczególnych
operatorów w i
. Działa również na zbiorach
punktów.
W A=w 1
A∪w 2
A∪...∪w N
A

Atraktory IFS
Atraktor IFS to zbiór będący niezmienniczym pod
wpływem operatora Hutchinsona W(A). W(A)
przekształca punkty atraktora w inne punkty
atraktora. Dla klasy przekształceń zwanej
przekształceniami zwężającymi atraktor jest
osiągalny przez przekształcanie dowolnego zbioru
początkowego.

Trójkąt Sierpińskiego
Trzy przekształcenia:
w 0
x , y = x /2−0,25 , y/2
w 1
x , y = x /20,25 , y/2
w 2
x , y =x /2, y /23/4

Paprotka Barnsleya
Cztery przekształcenia:
w 1
: sx=0,5sy =0,25=80tx =−0,1ty=0,1
w 2
: sx=0,875sy=0,833 =−2tx=0ty=0,33
w 3
: sx=−0,5 sy =0,25=80tx =0,1ty=0
w 4
:sx =0,01 sy=0,2=1tx =0ty=−0,25

Kompresja fraktalna
●
●
●
●
koncepcja zapisu danego obrazu za pomocą wzoru
na fraktal;
realizowalna za pomocą IFS rozszerzonej o
pojęcia jasności i kontrastu;
zawsze możliwa do realizacji – w najgorszym
przypadku za pomocą w*h przekształceń;
problemem pozostaje minimalizacja liczby
przekształceń.

L-systemy
L-systemy zostały opracowane przez Aristida
Lindenmayera do opisu wzrostu roślin. Są opisane
jako zbiór produkcji nad pewnym alfabetem, wraz
z symbolem początkowym (aksjomatem).
Produkcje są postaci:
Symbol Ciąg
symboli

L-systemy
Np. krzywa Kocha może być opisana
L-systemem nad alfabetem +, -, F z aksjomatem F
i z jedną znaczącą produkcją:
F FF−−FF

L-systemy
L-systemy z
odpowiednio
dobranym alfabetem i
produkcjami mogą
tworzyć bardzo
realistyczne obrazy
roślin.

Zbiory Julii
Zbiory Julii to granice tzw. basenów przyciągania
dla atraktorów iterowanych przekształceń w
dziedzinie liczb zespolonych. Najpopularniejsze
są przekształcenia postaci:
z n1
= z n 2 c

Zbiory Julii
Basenem przyciągania nazywamy taki podzbiór
dziedziny przekształcenia (tu płaszczyzny
zespolonej), którego wszystkie punkty w granicy
dążą do atraktora.
Typowy algorytm wizualizacji polega na wykonaniu
np. 100 iteracji dla każdego punktu i sprawdzeniu,
czy punkt uciekł z pewnego otoczenia punktu 0.

-0.824 - 0.1711i

0.300283 + 0.48857i

0.3245+0.04855i

Zbiór Mandelbrota
Można zaobserwować (i udowodnić), że w
zależności od parametru c zbiory Julii są albo
spójne, albo stają się pyłem punktów. Można
udowodnić, że zależy to od zachowania punktu 0
+ 0i. Jeżeli punkt ten w trakcie iteracji ucieka do
nieskończoności, to zbiór Julii jest pyłem
punktów, a w przeciwnym wypadku jest spójny.

Zbiór Mandelbrota
Mandelbrot postanowił wykonać „mapę” zbiorów
Julii ustalając z 0
=0+0i i iterując po parametrze c.
Uzyskany zbiór okazał się sam posiadać własności
fraktalne oraz wiele ciekawych własności
matematycznych. Jest on znany pod nazwą
„Zbioru Mandelbrota”.

Zbiór Mandelbrota

-0.415-0.683i

Samopodobieństwo

Zastosowania fraktali
●
●
●
●
●
Dostarczanie wrażeń estetycznych.
Poszukiwanie nowych faktów metematycznych.
Język opisu kształtów i procesów przyrody.
Kompresja obrazów rzeczywistych.
Generowanie obrazów udających rzeczywiste.

Fraktale 3D
Co nam daje trzeci wymiar?
● Więcej wrażeń estetycznych.
● Poszukiwanie faktów matematycznych dla
większej liczby wymiarów lub uogólnianie
istniejących.
● Opis przyrody w trzech wymiarach.
● Kompresja danych 3D.
● Generowanie obiektów przestrzennych.

Trójwymiarowe L-systemy
Obecnie standardowa metoda generacji
trójwymiarowych drzew. Wymaga pewnych
rozszerzeń alfabetu i produkcji:
● litery parametryczne, np. R[30, 5];
● produkcje niedeterministyczne;
● obsługa gałęzi przez nawiasowanie '(' rozpoczyna
gałąź, a ')' ją kończy;
● pojęcie wieku elementu.

Trójwymiarowe L-systemy

Trójwymiarowe L-systemy

Trójwymiarowe L-systemy

Trójwymiarowe atraktory IFS
Koncepcyjnie proste, oznacza zwykłe rozwinięcie
idei dwuwymiarowych IFS na 3 wymiary.
Przekształcenia mają postać.
w i
:
x d n١ ٠٠
y n١
d d d ٠١ ٠٢ ٠٣
d d d d
= ١٠ ١١ ١٢ ١٣
∗
d d d d ٢٠ ٢١ ٢٢ ٢٣
r d d d d n١ ٣٠ ٣١ ٣٢ ٣٣
z n١
x n
y n
z n
r n

Gąbka Mengera

Sześcian Cantora

Liść fraktalny

Chwast fraktalny

Wizualizacja atraktorów IFS
(metodą z definicji)
Metoda klasyczna (z definicji):
● zaczynamy od dowolnego obrazu startowego A 0
;
●
●
przetwarzamy ten obraz operatorem Hutchinsona
W(A);
powtarzamy tak długo, aż obraz przestanie
zmieniać się w kolejnych iteracjach.

Metoda klasyczna wizualizacji IFS
●
●
●
w praktyce bardzo
powolna;
operacja przetworzenia
całego obrazu
operatorem W(A) jest
kosztowna;
trzeba ją wykonywać,
aż obraz pierwotny
zmniejszy się do
rozmiaru piksela.

Metoda probablistyczna
Korzysta z faktu, że każdy obraz zbiega do
atraktora, w tym pojedynczy punkt. Znana
również jako „gra w chaos”.
● wybierz punkt startowy;
● zaznacz na ekranie i przetwórz losowo wybranym
przekształceniem w i
;
●
wykonuj tak długo, aż uzyskasz zadowalający
obraz wynikowy (trzeba to ustalać
doświadczalnie).

Metoda probablistyczna
●
●
●
dużo szybsza od
metody klasycznej;
przetwarzanie
pojedynczych punktów
jest łatwiejsze niż
całych obrazów;
punktów jest nadal za
dużo by wygenerować
obraz 3D w rozsądnym
czasie (setki milionów
punktów).

Metoda przekształceń odwrotnych
Znana również jako algorytm czasu ucieczki (ang.
escape time). Wiemy, że atraktor jest
niezmienniczy pod wpływem W(A), więc również
W -1 (A). Punkty atraktora są pod jego wpływem
przetwarzane na inne punkty atraktora. Punkty
poza atraktorem pod wpływem W(A) będą
zbiegały do atraktora, natomiast pod wpływem
W -1 (A) będą od niego uciekały do
nieskończoności. Pozwala to zaproponować
metodę sprawdzania czy dany punkt należy do
atraktora.

Metoda przekształceń odwrotnych
● Dla każdego próbkowanego punktu p.
● Utwórz ciąg jego przeciwobrazów
W -1 (p), ..., W -n (p);
● Sprawdź, czy któryś punkt przeciwobrazów
opuścił ustalone otoczenie atraktora.
Generowanie przeciwobrazów w tej formie wymaga
wykładniczej ilości obliczeń w funkcji głebokości
sprawdzania, dlatego ważne jest odpowiednie
dobranie tego parametru.

Kwaternionowe zbiory Julii

Algebra kwaternionów
Kwaterniony albo liczby podwójnie zespolone, to
wprowadzone przez Williama Hamiltona
uogólnienie liczb zespolonych na 4 wymiary.
q=ab∗ic∗ jd ∗k
q=zw∗ j
i ٢ = j ٢ =k ٢ =i∗ j∗k=−١
[ z w
] −w z

Zbiór Julii 4D
Zbiór Julii w dziedzinie kwaternionów definiujemy
analogicznie, jak w dziedzinie liczb zespolonych,
jako brzeg basenu przyciągania dla atraktora
przekształcenia postaci
q n١
=q n ٢ c

Powrót do 3D
Aby powrócić do przestrzeni trójwymiarowej
wizualizujemy np. tylko te punkty, których
ostatnia współrzędna (d), jest równa pewnej
liczbie, np. 0.
W sensie geometrycznym doknujemy przecięcia
czterowymiarowego zbioru w hiperprzestrzeni
przestrzenią określoną równaniem d = 0.

Algorytmy wizualizacji
Możliwa jest wizualizacja przez dyskretyzację
przestrzeni i testowanie przynależności punktów
dyskretnych do zbioru Julii, jednakże jest ona
kosztowna już dla przypadku dwuwymiarowego.
Zamiast tego często stosuje się algorytm
probablistycznej iteracji (gry w chaos) dla
przekształceń odwrotnych do z 2 +c.
w n١
=w−c ∨ w n١
=−w−c

Algorytm oszacowania odległości
(unbounding volumes)
Możliwe jest oszacowanie od dołu odległości
danego punktu od zbioru Julii.
d z
∣z n ∣
٢∗∣z' n
∣ log∣z n ∣
z' n١
=٢∗z n
∗z ' n

Algorytm oszacowania odległości
Oszacowanie pozwala na (stosunkowo) szybką
iterację wzdłuż promienia dla metody
Ray-Tracingu

Rezultat

Kolejne przecięcia

Obrót w hiperprzestrzeni

Przecięcie zbioru trójwymiarowego

Zbiór Tetrabrot

Uogólnienie zbioru Mandelbrota
W podobny sposób do tego, który użyliśmy do
uogólnienia zbiorów Julii możemy uogólnić zbiór
Mandelbrota. Jest to zbiór tych
(kwaternionowych) parametrów c, dla których
odpowiadający im zbiór Julii jest spójny.
K ={c:¬ P c °n 0∞}

Metoda wizualizacji
Również istnieją oszacowania odległości.
∣ w n ln∣w n ∣ j
2∗∣w∣ j
1 / 2 n w' n∣ d w 0, K 2,c
w ' n
= d
dw [ P °n c
] w=w0

Obroty hiperprzestrzenne

Literatura
●
●
●
●
●
●
H.-O. Peitgen, H. Jurgens, D. Saupe – Fraktale
granice chaosu
Tomasz Martyn – Fraktale i obiektowe algorytmy
ich wizualizacji
Jacek Kdrewicz – Fraktale i chaos
John C. Hart i in.– Ray Tracing Deterministic 3D
Fractals
Keenan Crane – Ray Tracing Quaternion Julia
Sets on GPU
Etienne Martineau – On a Bicomplex Distance
Estimation for the Tetrabrot

Pytania?