Wykład 2 i 3 (wezły, proste i płaszczyzny sieciowe)

Definicje
Sieć Bravais'go -
Nieskończona sieć punktów przestrzeni takich, że otoczenie każdego punktu jest
identyczne
Nieskończona sieć punktów przestrzeni otrzymanych wskutek przesunięcia jednego
punktu o wszystkie możliwe wektory typu:
r r r r
= n a + n b + n c
T
1 2 3
Gdzie liczby n są liczbami całkowitymi, a wektory a, b i c są to tzw. wektory prymitywne
(trzy najkrótsze wektory, nie leżące w jednej płaszczyźnie, tworzące daną sieć –jak wersory
na osiach układu współrzędnych)
Baza atomowa - Grupa atomów przyporządkowana każdemu punktowi (węzłowi) sieci
Bravais'go.
Komórka prymitywna - NAJMNIEJSZA bryła geometryczna (zazwyczaj wielościan) , która
po translacjach o wszystkie możliwe kombinacje wektorów prymitywnych (wszystkie
możliwe wektory translacji) wypełni całą przestrzeń bez dziur i nakładania się.
Komórka elementarna -Bryła geometryczna (zazwyczaj wielościan) , która po translacjach
o niektóre kombinacje wektorów prymitywnych (niektóre wektory translacji) wypełni całą
przestrzeń bez dziur i nakładania się.
Najczęściej wybiera się je tak, aby odzwierciedlały symetrię kryształu.
Sieć Bravais’go
Struktura kryształu
Baza
1

Sieci Bravais’go
a
a
a
regularne
a
a
Simple
prymitywna Cubic (P)
a
a
Wewnętrznie
Body-Centered
Cubic (I)
centrowana
(bcc)
a
a
Face-Centered
Ściennie Cubic (F)
centrowana
(fcc)
c
c
a
a
a
a
Simple
Body-Centered
Tetragonalne: (P) prymitywna Tetragonal (I) i
wewnętrznie centrowana
Sieci Bravais’go
Rombowe
a
c
b
Base-Centered
Orthorhombic
(C)
a
c
b
Face-Centered
Orthorhombic
(F)
a
c
a
120º
Hexagonal
heksagonalna
(H)
c
c
a
b
Simple
Orthorhombic
(P)
b
a
Body-Centered
Orthorhombic
(I)
a
α
α α a
a
Rhombohedral
romboedryczna
(R)
2

Sieci Bravais’go
c
c
c
β b
a
Simple Monoclinic
jednoskośne
(P)
a
β
b
Base-Centered
Monoclinic (C)
a
β
α
Triclinic (P)
trójskośna
γ
b
Reasumując, istnieje tylko:
7 kształtów komórek elementarnych
14 typów sieci Bravais'go
3

Osie krystalograficzne
Osie krystalograficzne:
układ osi współrzędnych
zaczepiony w wierzchołku
komórki elementarnej
Parametry komórek
elementarnych
Parametry komórki
elementarnej: długości
krawędzi komórki
elementarnej (są to
odległości jednostkowe na
osiach krystalograficznych),
oraz kąty pomiędzy
osiami.
4

Zestawienie niektórych danych poszczególnych
komórek elementarnych
Regularna
Tetragonalna
Rombowa
Heksagonalna
Romboedryczna
lub trygonalna
Jednoskośna
Trójskośna
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning
Położenie punktów w krysztale
Współrzędne punktów w komórce
elementarnej wyraża się tak samo jak
współrzędne punktów w układzie
współrzędnych w geometrii
analitycznej, ale jednostkami na
osiach są parametry komórki a, b, c.
5

Wskaźniki punktów
Z
b
c
1,1,1
0,0,0
Y
X
1,0,0
½,½,0
a
Wskaźniki punktów
6

Wskaźniki kierunków w
krysztale
Trzy liczby całkowite, względem siebie pierwsze [uvw].
Jeżeli prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, to
współrzędne pierwszego węzła leżącego na prostej , o ile są
całkowite, stanowią wskaźniki prostej. Jeśli nie są całkowite, to
trzeba je sprowadzić do wspólnego mianownika - liczniki
stanowią wskaźniki kierunku.
Wskaźniki kierunków w
krysztale
Jeżeli prosta nie przechodzi przez początek układu, to jej
wskaźniki wyznaczamy tak, jak współrzędne wektora i
sprowadzamy je do liczb całkowitych.
7

Kierunki
Z
[010]
0,1,1 - 1,1,0=
1,1,1 - 1,0,1=[0 1 0]
[1 0 1]
[0 1 0]
Y
X
Kierunki
Z
0, 1, 1
1 1
0 − = −
2 2
1−
0 = 1
1−
1
2
=
1
2
½, 0, ½
Pozbywamy się
ułamków,
mnożąc przez 2 i
otrzymujemy:
Y
X [1 2 1]
8

Niektóre kierunki w krysztale są sobie równoważne. Zapisujemy je
wtedy w nawiasach trójkątnych. Np.
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson
Learning
Wskaźniki Millera płaszczyzn
Trzy liczby całkowite, względem siebie pierwsze* (hkl). Jeżeli
płaszczyzna nie przechodzi przez początek układu
współrzędnych, ale jest mu najbliższa, to odwrotności
współrzędnych punktów przecięcia płaszczyzny z osiami , o ile
są całkowite, stanowią wskaźniki płaszczyzny.
9

Wskaźniki Millera płaszczyzn
Jeśli odwrotności współrzędnych punktów przecięcia
płaszczyzny z osiami nie są całkowite, to trzeba je sprowadzić do
wspólnego mianownika - liczniki stanowią wskaźniki płaszczyzny.
Płaszczyzny
Z
( 1 1 1)
Y
X
10

Wyznaczanie wskaźników
Millera
Sposób pierwszy:
1. Wyznacz współrzędne punktów
przecięcia płaszczyzny z osiami
krystalograficznymi (jako krotności
stałych sieci) .
2. Znajdź ich odwrotności
3. Przemnóż je przez wspólny
mianownik, aby otrzymać liczby
całkowite, względem siebie
pierwsze.
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson
Learning
A
1. Wskaźniki punktów przecięcia płaszczyzny z
osiami:
x = 1, y = 1, z = 1
2.1/x = 1, 1/y = 1,1 /z = 1
3. W wyniku nie ma ani ułamków, ani
wzajemnie podzielnych liczb całkowitych,
zatem wynik:
4. (111)
11

(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson
Learning
B
1. x = 1, y = 2, i z = ∞
2.1/x = 1, 1/y =1/2, 1/z = 0
3. Pozbywamy się ułamków, mnożąc wszystkie
liczby przez wspólny mianownik
1/x = 2, 1/y = 1, 1/z = 0
4. (210)
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson
Learning
C
1. Musimy przesunąć układ współrzędnych, aby
płaszczyzna nie przechodziła przez 0, 0, 0. Np. o
jedną jednostkę w kierunku osi y. Teraz, x = ∞,
y = -1 i z = ∞
2.1/x = 0, 1/y = -1, 1/z = 0
3. Nie ma ułamków.
(1 1 0)
12

Wskaźniki Millera
(102) (111)
( 11 1)
(896)
2
3
1
3
4
Wyznaczanie wskaźników
Millera
Sposób drugi (w układzie
prostokątnym):
1. Wyznacz współrzędne trzech
punktów na płaszczyźnie.
2. Wstaw je do równania płaszczyzny:
3. Ax+By+Cz=D
4. Z równania płaszczyzny wyznacz
współrzędne punktów przecięcia z
osiami x, y, z.
13

Niektóre płaszczyzny w krysztale są sobie równoważne. Zapisujemy
je wtedy w nawiasach klamrowych. Na przykład:
Uwaga: w strukturze
heksagonalnej używa się
czterech osi i czterech
wskaźników. Osie pokazane są
na rysunku.
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson
Learning
14

Płaszczyzny
A
1. a 1 = a 2 = a 3 = , c = 1
2. 1/a 1 = 1/a 2
∞= 1/a 3 = 0, 1/c = 1
3. Nie ma ułamków
4. (0001)
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing /
Thomson Learning
B
1. a 1 = 1, a 2 = 1, a 3 = -1/2, c = 1
2. 1/a 1 = 1, 1/a 2 = 1, 1/a 3 = -2, 1/c = 1
3. Nie ma ułamków
4.
(1121)
kierunek C
1. Dwa punkty 0, 0, 1 i 1, 0, 0.
2. 0, 0, 1, -1, 0, 0 = 1, 0, 1
3. Nie ma ułamków.
4.
[101
]or[2113
Rodzina płaszczyzn równoległych ma takie same wsaźniki Millera
15

Odległości między
płaszczyznami
Wskaźniki Millera pozwalają obliczyć
odległości między sąsiednimi
płaszczyznami o tych samych
wskaźnikach. Np. w strukturach
regularnych:
a
d hkl =
2 2
h + k +
l
2
gdzie a jest długością
krawędzi komórki
elementarnej
Pas płaszczyzn
W krystalografii definiuje się również
pojęcie tzw pasa płaszczyzn: są to
płaszczyzny równoległe do pewnej
prostej (oś pasa).
16

Pas płaszczyzn
Jeżeli oś pasa jest prostą o
wskaźnikach [u,v,w], to płaszczyzny
(hkl) należą do tego pasa, jeżeli:
uh+vk+wl=0
Literatura
Donald R. Askeland, Pradeep P.
Phule, The Science and Engineering
of Materials.
Z. Bojarski, M. Gigla, K. Stróż, M.
Surowiec, Krystalografia
17