1o Φυλλάδιο Ασκήσεων

5. Ας υποθέσουµε ότι ο χρόνος µετάβασης µαθητού από το σπίτι στο σχολείο ακολουθεί
κανονική κατανοµή. Από προηγούµενη έρευνα έχει διαπιστωθεί ότι ο µέσος χρόνος µετά-
ϐασης είναι 12 ′ . ΄Οµως, µετά την κατασκευή µιας νέας κεντρικής οδού, σε τυχαίο δείγµα
25 µεταβάσεων ακολουθώντας τη νέα διαδροµή, παρατηρήθηκε µέσος χρόνος µετάβασης
11 ′ και τυπική απόκλιση 1 ′ . Σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%, παρέχουν τα δεδοµένα αυτά
ένδειξη ότι ο µέσος χρόνος µετάβασης στο σχολείο έχει όντως µειωθεί ;
6. ∆ίνεται το τυχαίο δείγµα X˜
= (X 1 , . . . , X n ) από την κατανοµή µε πυκνότητα 3θ 3 /x 4 ,
x ≥ θ, θ > 0. Για το πρόβληµα H 0 : θ = θ 0 κατά H 1 : θ = θ 1 (θ 1 > θ 0 ) ϑεωρούµε τον
έλεγχο
όπου X (1) = min{X 1 , X 2 , . . . , X n }.
⎧
⎨
1, αν X (1) > c
) = φ(X˜ ⎩0, διαφορετικά.
α) Να υπολογιστεί η σταθερά c, έτσι ώστε ο έλεγχος να έχει ισχύ δ, 0 < δ < 1.
ϐ) Για αυτή την τιµή του c, να υπολογιστεί το µέγεθος του ελέγχου και η πιθανότητα
σφάλµατος τύπου ΙΙ.
7. ∆ίνεται το τυχαίο δείγµα X˜
= (X 1 , . . . , X n ) από την κατανοµή µε πυκνότητα x 2 /(9θ 3 ),
0 < x < 3θ, θ > 0. Για το πρόβληµα H 0 : θ = θ 0 κατά H 1 : θ = θ 1 (θ 1 > θ 0 ) ϑεωρούµε τον
έλεγχο
όπου X (n) = max{X 1 , X 2 , . . . , X n }.
⎧
⎨
1, αν X (n) > c
) = φ(X˜ ⎩0, διαφορετικά.
α) Να υπολογιστεί η σταθερά c, έτσι ώστε ο έλεγχος να έχει πιθανότητα σφάλµατος
τύπου ΙΙ, έστω δ, 0 < δ < 1.
ϐ) Για αυτή την τιµή του c, υπολογίστε την ισχύ και το µέγεθος του παραπάνω ελέγχου.
8. Καπνοβιοµηχανία ισχυρίζεται ότι τα τσιγάρα της περιέχουν κατά µέσον όρο το πολύ
25 mgr νικοτίνης. Σε τυχαίο δείγµα 16 τσιγάρων η µέση τιµή της νικοτίνης ήταν 26.4 mgr
µε τυπική απόκλιση 2 mgr. Εάν η ποσότητα νικοτίνης ακολουθεί κανονική κατανοµή,
σε επίπεδο σηµαντικότητας (µέγεθος) 5%, παρέχουν τα δεδοµένα του δείγµατος επαρκή
ένδειξη κατά του ισχυρισµού της ϐιοµηχανίας ;
(z 0.05 = 1.645, z 0.025 = 1.960, t 15,0.05 = 1.753, t 15,0.025 = 2.131)
2