KONCEPT IZ TERMODINAMIKE

Primjer 1.Zrak (R=287 J/(kgּK), κ=1,4) se iz atmosfere ( p 0=1,01 bar, T 0=288 K) usisava kroz cijevpromjera D =100 mm, duljine L =2 m, prema slici. Treba odrediti maksimalno mogući maseniprotok m maxkroz cijev uz pretpostavku adijabatskog strujanja pri prosječnom koeficijentu otporaλ =0,0163. Odredite veličine stanja u ulaznom i izlaznom presjeku cijevi pri tom maksimalnommasenom protoku. Strujanje kroz difuzor do ulaznog presjeka cijevi smatrajte izentropskim.p0T01 D2LUradak:Iz zadanih podataka zaključuje se da se radi o Fannovu strujanju kroz cijev, kod kojega će kodmaksimalno mogućeg masenog protoka u izlaznom presjeku vladati kritični uvjeti ( M2=1), štoznači da će duljina cijevi L odgovarati kritičnoj duljini Lkrza Machov broj M1koji vlada uulaznom presjeku, tako da vrijediLkr Lλ = λ = 0,326D DM1Na temelju gornjeg podatka traži se u tablici za Fannovo strujanje Machov broj M1kod kojegaće parametar λ Lkr / D biti jednak 0,326. Sljedeća tablica prikazuje dio tablice s podacima zaFannovo strujanje, iz koje se može s dovoljnom točnošću uzeti da je Machov broj M1=0,65, zakoji je λLkr / D =0,3246.Fannoovo strujanje, κ= 1.40M λL kr/D T/T kr v/v kr p/p kr p 0/p0kr0.64 0.3533 1.109 0.6740 1.646 1.1450.65 0.3246 1.107 0.6837 1.618 1.1360.66 0.2979 1.104 0.6934 1.592 1.127Budući je strujanje kroz difuzor izentropsko, totalni tlak i temperatura ostaju isti do ulaznogpresjeka, a u tom presjeku je prema gornjoj tablici određen Machov broj, te je moguće izračunatii statičke veličine stanja. To se može učiniti primjenom analitičkih izraza ili s pomoću tablice zaizentropsko koja je načinjena na temelju tih izraza. Sljedeća tablica prikazuje dio tablice zaizentropsko strujanje iz koje se vide odnosi statičkih i totalnih veličina stanjaTablica za izentropsko strujanje κ= 1.40M p/p 0 T/T 0 ρ /ρ 0 A/Akr0.65 0.7528 0.9221 0.8164 1.136

Temeljem gornje tablice mogu se izračunati statički tlak i temperaturap1 = 0,7528 p 0= 0,760 bar (a)T = 0,9221T= 266 K1 0Gustoća se računa iz jednadžbe stanja savršenog plina, koja glasip1ρ1= =0,998 kg/m 3 ,RT1Brzina strujanja zraka u ulaznom presjeku je na temelju Machova broja i brzine zvukav1 = M1c1 = M1κ RT1 =212 m/ste je maseni protok2D πm = m max= ρ1v1=1,66 kg/s4Kao što je rečeno u izlaznom presjeku vladaju kritični uvjeti, te iz prije dane tablice za Fannovostrujanje direktno slijedipp1, 618T1T2 = Tkr= = 240 K1,107v1v2 = vkr= = 310 m/s0,6837ρ2 = ρkr = 0,6837ρ1= 0,683 kg/m 312= pkr= = 0,470 bar (b)gdje je iskorištena činjenica da je prema jednadžbi kontinuiteta v 1/ v kr= ρ kr/ ρ . Za kontroluproračuna može se provjeriti vrijednost Machova broja u izlaznom presjeku, za koju vrijediv v= = =1,002 2M2c2 κ RT2Napomena: Kada se proračun vrši s pomoću tablica, a pogotovo ako se iz tablica bira redakprema najbližoj vrijednosti, bez linearne interpolacije, tada će i točnost rezultata biti neštomanja. Rezultate nema smisla ispisivati s više od tri signifikantne znamenke, iako se proračuntreba vršiti sa svim znamenkama. Tako je npr. prema izrazu (a) tlak p 1zaokružen na triznamenke, ali je u izrazu (b) tlak p1uvršten sa svim znamenkama, a dobiveni tlak p2zaokružen.

Primjer 2Zrak (R=287 J/(kgּK), κ=1,4) u adijabatskom strujanju pri prosječnom koeficijentu trenjaλ =0,0229 izlazi iz cijevi promjera D =150 mm u atmosferu masenim protokom m = 6,09 kg/s.Ako je tlak u mlazu jednak tlaku okoline p = 1,01 bar, a statička temperatura mlaza u izlaznomapresjeku 30 ºC, odrediti Machov broj M1, temperaturu T1i tlak p1u presjeku koji je na duljiniL = 10 m ispred izlaznog presjeka.Uradak:1 D2LNeka je s jedan označen presjek koji se nalazi na udaljenosti L =10 m ispred izlaznog presjekaoznačenog s dva. Produžimo u mislima cijev do nekog presjeka 3, koji se nalazi desno odpresjeka dva, u kojem vladaju kritični uvjeti. Budući je kritična duljina udaljenost presjeka ukojem vlada neki Machov broj, do kritičnog presjeka (u kojem je Machov broj jednak jedan),jasno je da će kritična duljina od presjeka jedan biti za veća za L od kritične duljine mjerene odizlaznog presjeka dva. Iz zadanih podataka je moguće naći Machov broj M2u izlaznompresjeku, temeljem kojeg se iz tablice za Fannovo strujanje može naći kritična duljina mjerenaod izlaznog presjeka, a uvećanjem te duljine za 10 m dobije se kritična duljina mjerena odpresjeka 1, čime je određen Machov broj , odnosno sve ostale tražene veličine.M 1Apsolutna temperatura mlaza je T 273+30=303 K, pa je brzina zvuka c2= κ RT =2=2349 m/s.Gustoća zraka u izlaznom presjeku jeppρ = 2 a2RT= 2RT=1,16 kg/m 3 ,2a brzina istjecanja plina u izlaznom presjeku je prema jednadžbi kontinuitetavm= =296,7 m/sD πρ242 2Na temelju Machova broja M2= v2 c2=0,85 slijede podaci iz tablice za Fannovo strujanjeKritična duljina za presjek jedan jeFannoovo strujanje, κ= 1.40M λL kr/D T/T kr v/v kr p/p kr p 0/p0kr0.85 0.03633 1.048 0.8704 1.205 1.021

Lkr Lkr L10λ = λ + λ = 0,03633+ 0,0229 = 1,563D D D0,15M1 M2te je prema tablici za Fannovo strujanjeFannoovo strujanje, κ= 1.40M λL kr/D T/T kr v/v kr p/p kr p 0/p0kr0.44 1.692 1.155 0.4729 2.443 1.4740.45 1.566 1.153 0.4833 2.386 1.4490.46 1.451 1.151 0.4936 2.333 1.425Machov brojM 1približno jednak 0,45. Tražene veličine u presjeku jedan suTTkrM 1,1531T1 = T2= 303 =333,4 KT 1,048Tkr M 2ppkrM 2,3861p1 = p2= 1, 01 =2,00 barp 1,205pkr M 2

Primjer 3Zrak (R=287 J/(kgּK), κ=1,4) struji iz velikog spremnika, u kojem je temperatura zraka ϑ0= 20ºC, kroz konvergentnu mlaznicu i priključnu cijev duljine L = 8 m, promjera D =150 mm uatmosferu gdje vlada tlak pa= 1,01 bar. Pretpostavite izentropsko strujanje kroz mlaznicu, a ucijevi adijabatsko strujanje pri prosječnom koeficijentu trenja λ =0,02. Odredite maseni protokm kroz mlaznicu sa i bez priključne cijevi za slučajeve ta je tlak p0u spremniku: a) p0=8,5 bar;b) p0=1,24 bar.p0T01 D2LpaUradak:Fizikalno je jasno da će maseni protok kroz mlaznicu biti veći kad ne bude priključne cijevi,odnosno kada tlak u spremniku bude veći. Totalna temperatura zraka u spremniku je u svimslučajevima T0= 273+ ϑ0= 293 K. Redom će se riješiti svi slučajevi.Slučaj a) p0=8,5 bar, bez priključne cijeviProračun istjecanja kroz konvergentnu mlaznicu svodi se na ispitivanje odnosa kritičnog tlaka itlaka okoline. Iz tablice za izentropsko strujanje za M = 1, slijedi da je p / p0 = pkr / p0=0,5283,odakle je p = 4,49 bar, što je veće od zadanog atmosferskog tlaka, što znači da će u izlaznomkrmlazu vladati kritični uvjeti ( M1= 1, p1 = pkr, ρ1 = ρkr, T1 = Tkri v 1= v kr= c kr= κ RT k r), amlaz će naknadno ekspandirati izvan mlaznice. Za kritične uvjete vrijede odnosiTablica za izentropsko strujanje κ= 1.40M p/p 0 T/T 0 ρ /ρ 0 A/A kr1.00 0.5283 0.8333 0.6339 1.000Odakle je temperatura u izlaznom presjeku T 1= 0,8333⋅ T 0=244 K. Gustoća zraka u izlaznompresjeku je prema jednadžbi stanjaρp11= ρkr= =6,41 kg/m 3RT1Brzina zraka u izlaznom presjeku je v1= κ RT = 313 m/s, tako da je traženi maseni protokkr

m= ρ v1 12D π=35,5 kg/s4Slučaj a) p0=8,5 bar, s priključnom cijeviBudući je tlak u spremniku visok logično je pretpostaviti da će u izlaznom presjeku ponovovladati kritični uvjeti ( M2= 1, p2 = pkr, ρ2 = ρkr, T2 = Tkri v2 = ckr= κ RT2 ). Vrijedno jenapomenuti da ovi kritični uvjeti koji vladaju u presjeku 2, nisu isti kritičnim uvjetima uprethodnom slučaju. Strujanje kroz mlaznicu je izentropsko, što znači da će totalni tlak itemperatura u presjeku jedan biti isti kao u spremniku, a od presjeka jedan do izlaznog presjekadva, totalni tlak će opadati zbog trenja. Pretpostavka o kritičnom izlaznom presjekupodrazumijeva da je tlak u mlazu veći ili jednak tlaku okoline, što treba provjeriti.Ako je izlazni presjek kritičan, tada duljina L cijevi odgovara kritičnoj duljini pri Machovubroju u presjeku jedan, tj. vrijediM 1LkrλDM1L= λ =1,067DNa temelju čega se iz tablice za Fannovo strujanje može očitati vrijednost Machova broja M1Fannoovo strujanje, κ= 1.40M λL kr/D T/T kr v/v kr p/p kr p 0/p0kr0.49 1.154 1.145 0.5243 2.184 1.3590.50 1.069 1.143 0.5345 2.138 1.3400.51 0.9904 1.141 0.5447 2.094 1.321približno M1= 0,50. Budući je zadano stanje u spremniku, veličine stanja u presjeku jedan će seodrediti na temelju poznatog Machova broja i izentropskih relacija. Iz tablice za izentropskostrujanje za M = 0,50 slijedi1Tablica za izentropsko strujanje κ= 1.40M p/p 0 T/T 0 ρ /ρ 0 A/Akr0.50 0.8430 0.9524 0.8852 1.340temeljem čega je p1 = 0,8430⋅ p0= 7,166 bar, i T1= 0,9524⋅ T0= 279 K, odakle jeρ1= p1/( RT1)=8,95 kg/m 3 , v m21= M1 κ RT1=167,4 m/s i na kraju = ρ1vD1π /4=26,5 kg/s.Očito je došlo do smanjenja masenog protoka u odnosu na slučaj bez priključne cijevi. No, da bise potvrdila pretpostavka o kritičnom izlaznom presjeku nužno je još provjeriti tlak u mlazu. Iztablice za Fannovo strujanje iz podataka p / p za M1= 0,5 slijedipp2,13812= pkr= =3,35 barkršto je veće od zadanog atmosferskog tlaka, pa je potvrđena pretpostavka o kritičnom presjeku.

Slučaj b) p0=1,24 bar, bez priključne cijeviKritični tlak u ovom slučaju je pkr= 0,5283⋅p0= 0,665 bar, što je manje od atmosferskog tlaka,što znači da će istjecanje kroz mlaznicu biti podzvučno, a tlak u mlazu jednak atmosferskomtlaku ( p1= pa). Iz odnosa tlakova p1/p0= 0,814 iz tablice za izentropsko strujanjeTablica za izentropsko strujanje κ= 1.40M p/p 0 T/T 0 ρ /ρ 0 A/Akr0.54 0.8201 0.9449 0.8679 1.2700.55 0.8142 0.9430 0.8634 1.2550.56 0.8082 0.9410 0.8589 1.240može se očitati Machov broj M 1=0,55. Nadalje slijedi T1 = 0,9430⋅ T0= 276 K, odakle jeρ = p /( RT ) =1,27 kg/m 3 , v = M κ RT =183,3 m/s i na kraju m= ρv D2 π = 4,12 kg/s.1 1 11 1 11 1/4Slučaj b) p0=1,24 bar, s priključnom cijeviZa slučaj postojanja priključne cijevi maseni protok kroz mlaznicu će biti manji, tako da će iMachov broj M1biti manji od 0,55, dok će izlazni Machov broj M2zbog ubrzavanja zraka bitiveći od M1, ali manji od jedan, tako da će tlak u mlazu biti jednak atmosferskom tlaku( p2 = pa). Jasno je da je razlika u kritičnim duljinama za presjeke jedan i dva jednaka L , tj.vrijediLkr Lkr L Lkr λ = λ + λ = λ + 1,067(a)D D D DM1 M2 M2Relacija (a) daje vezu između Machovih brojeva M1i M2, pri čemu još mora biti zadovoljenoda je tlak u spremniku jednak tlaku p0, a tlak na izlazu iz cijevi p2 = pa. Zadatak se rješavaiterativno, gdje se npr. može poći s pretpostavkom Machova broja M 2. Na temelju tepretpostavke se iz relacije (a) odredi Machov broj M1, a iz poznatih Machovih brojeva u dvapresjeka se može izračunati potrebni tlak p kod kojeg će uz Machove brojeve i Mpotrebni0M12potrebnitlak u mlatu biti jednak atmosferskom tlaku. Ako je tlak p0veći od tlaka p0Machov brojpotrebniM2treba smanjivati i obrnuto, ako je tlak p0manji od tlaka p0Machov broj M2trebapovećavati. Tlak p se računa iz sljedećih relacija. Za pretpostavljeni Machov broj ipotrebni0p2 = pa, može se primjenom tablica za Fannovo strujanje izračunati kritični tlak p krpremaizrazuM 2pkr=paFannop(b)pkr M 2

Fannopgdje je odnos tlakova očitan iz tablice za Fannovo strujanje pri Machovu broju M2. Uzpkr M 2pkrM1p1određene i moguće je odrediti tlak prema izrazuFannop= (c)p1 pkrpkr M1a uz određeni tlak moguće je s pomoću tablica za izentropsko strujanje odrediti tlak p0p 1potrebnipp= (d)pppotrebni10 Izentropsko0 M1Sljedeća tablica daje rezultate iterativnog određivanja Machova broja .M 1potrebniM2 λL / MkrDL / 1 pM 2krDM 10λ /barpretpostavka iz tablice Fanno iz (a) iz tablice Fanno iz (d)1,00 0,00 1,067 0,50 2,560,50 1,069 2,13 0,41 1,390,40 2,31 3,38 0,35 1,260,39 2,50 3,57 0,345 1,24Iz prvog reda tablice je vidljivo da minimalni tlak u spremniku kod kojeg će izlazni presjek bitikritičan iznosi 2,56 bar. Smanjivanjem Machova broja M2smanjuje se i potrebni tlak uspremniku, a u zadnjem retku tablice se potrebni tlak poklopio sa zadanim, pri čemu je Machovbroj =0,345. Iz tablice za izentropsko strujanjeM 1Tablica za izentropsko strujanje κ= 1.40M p/p 0 T/T 0 ρ /ρ 0 A/Akr0.34 0.9231 0.9774 0.9445 1.8230.35 0.9188 0.9761 0.9413 1.778p1 = 0,921⋅ p0= 1,14 bar, T1= 0,977⋅T 0= 286 K, odakle je ρ1= p1/( RT1)= 1,387 kg/m 3 ,v = M κ RT =117 m/s i na kraju m= ρvDπ = 2,86 kg/s.1 1 121 1/4