Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013 - Geometría

Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013
Angel Montesdeoca
Lunes, 1 de Octubre del 2012
1 Dados los planos π1 ≡ 3x − 2y − 4z + 8 = 0, π2 ≡ x + 5y − 6z − 4 = 0. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el
punto A(3, 5, −2) y es paralela a los dos planos. (Applet JavaView)
2 Estudiar la posición relativa de las rectas r ≡
JavaView)
x − 1
2
= y + 2
3
= z − 2
5
y s ≡ x + 3 =
y − 4
2
z + 8
= . (Applet
3
3 Sobre los catetos AB y AC de un triángulo rectángulo ABC, se construyen exteriormente dos cuadrados ABDE y
ACF G. Probar que las rectas CD y BF y la altura correspondiente a la hipotenusa son concurrentes. (GeoGebra)
4 Estudiar la posición relativa de los planos siguientes: ax + y + z = 1, x + ay + z = 1, x + y + az = 1.
5 Consideremos el plano π ≡ x − 2y − z = 1 y la recta r ≡ x − 1 = 2 − y, z = 2x − 2. Hallar:
1. Ecuación de la recta perpendicular a r contenida en π y en coplanaria con r.
2. Ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre el plano π.
3. Ángulo que forma la recta r con su proyección ortogonal.
4. Punto simétrico del (0, 2, −1) respecto a la recta r.
(Applet JavaView)
6 Se proyecta la recta r, intersección de los planos x+2y−z−1 = 0, x−y−2z = 0, sobre el plano π ≡ 2x−y−3z+6 = 0,
paralelamente al vector v = (1, 2, 1). Determinar dicha proyección. (Applet JavaView)
7 Ecuación de la proyección ortogonal sobre el plano x − 2y + z − 1 = 0 de la recta x = 2 − 2y = 2z − 4. (Applet
JavaView)
8 Considerar la recta: ℓ : (x − 1)/2 = (y + 5)/(−5) = (z + 3)/4 y el plano π : 2x + 4y + 4z = 5
a) Estudiar la posición relativa de ℓ y π
b) Calcular la ecuación implícita de un plano π1 que es perpendicular a π y contiene a ℓ. (Applet JavaView)
9 Hallar las ecuaciones de la recta r coplanaria con la recta AB, A(2, −1, 0), B(1, 3, −1) y con la recta intersección de
los planos 2x + 2y − z + 1 = 0, −x + y + 4z − 2 = 0, y que pasa por el punto P (2, 4, 5). (Applet JavaView)
10 Dadas las rectas r ≡ x = t, y = 2t, z = 3t y s ≡ x = 1 − t, y = 2t, z = 3t. Encontrar un punto P sobre r y otro Q
sobre s, tales que la distancia entre P y Q sea 10.
11 Ecuación del plano paralelo a la recta r ≡ 2x − y + 3z − 5 = 0, 4x − y − 2z = 0 y que pasa por los puntos P (2, 0, −3)
y Q(1, 4, 0).
12 Verificar que las rectas r ≡ x = 2 + z, y = −1 − 3z y r ′ ≡ x + 2y + z − 4 = 0, 3x + 3y + 2z − 7 = 0 son concurrentes.
Ecuación del plano que ellas de terminan.
13 En el espacio afín real IR 3 se consideran los puntos P (0, 0, 0), Q(0, 0, 2), R(2, 0, 0), S(0, 2, 0). Demostrar que los
puntos medios A, B, C, D de los puntos P y Q, Q y R, R y S, S y P , respectivamente, forman un paralelogramo y
determinar la ecuación del plano que lo contiene.
14 Dadas las rectas en el plano r1 ≡ x − 2y − 2 = 0 y r2 ≡ x + y − 3 = 0 y el vector v = (2, 5), encontrar un punto P1
en r1 y un punto P2 en r2, tales que −−−→
P1P2= v.
15 Hallar la ecuación del plano π paralelo a la recta r ≡ (x + 2)/3 = (y − 3)/2 = z y que pasa por la recta
s ≡ x = −2z + 1, y = z − 2.
Si la ecuación de π es x − 5y + 7z − 11 = 0, obtener la ecuación del plano perpendicular a π y que pasa por la misma
recta r.
1

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16 En el espacio euclídeo ordinario, y respecto a una referencia ortonormal, se consideran las rectas r ≡ x − y + z =
1, 2x + y − z = 2 y s ≡ (x − 2)/3 = (y + 1)/2 = z/2. Hállese a ∈ IR para que exista un plano que contenga a r y sea
perpendicular a s; ecuación, en tal caso, de dicho plano y su punto de intersección con la recta s.
17 Recta paralela a los planos x + 2y − 5z = 0, 2x + y = 1 y que pasa por el punto (1, 1, 0).
18 Determinar las ecuaciones de los tres planos que pasan por los puntos (1, −1, 1) y (1, 2, 4) y son paralelos a los ejes.
(Applet JavaView)
19 Dados tres puntos P, Q y R, trazar por R una recta equidistante a P y Q.
20 Se consideran la recta r, el plano π y un punto P , dados por:
3x + y + z = 1
r :
x + y + z = 2
, π : 2x + y − 3z = 0, P (1, −1, 3).
Hallar las ecuaciones de la recta perpendicular a r, paralela a π y que pasa por P .
21 Hállese la ecuación del plano que pasa por el punto (4, 2, 3) y por la recta 2x + 3y − 4z = 1, 5x − y + 2z = 3.
22 Determinar la ecuación del plano que pasa por (1, −2, 3), es perpendicular a 3x + 2y + 5z = 1 y paralelo a la recta
4x − 3y + 2z = 7, 5x + 2y + 3z = 6.
23 Hallar la posición relativa de la recta y el plano siguientes y si se cortan hallar el punto de corte.
(Applet JavaView)
ℓ ≡ (x − 1)/3 = y + 2 = (z − 1)/(−4), π ≡ x + 2y − 3z = 11.
24 Dada la recta ℓ : 2x − 5y − 1 = 0, x + 5z + 7 = 0 y el plano π : x − 3y − z + 6 = 0, hallar la ecuación del plano
paralelo a π y que dista 3 de la recta ℓ. (Applet JavaView)
25 En el espacio ordinario se consideran las rectas
x − y + z = 1
ℓ1 :
2x + y − z = 2
ℓ2 :
x − 2
3
= y + 1
2
Hallar a ∈ IR para que exista un plano π que contenga a ℓ1 y sea perpendicular a ℓ2. Calcular la ecuación del plano
π que lo verifica.
Resp. a = −2 y π : 3x + 2y − 2z = 3.
26 En un espacio ordinario hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(1, 0, −1), es perpendicular al plano
π : x − y + 2z + 1 = 0 y es paralelo a la recta ℓ dada por las ecuaciones x − 2y = 0; z = 0.
Resp. 2x − 4y − 3z = 5.
27 Considerar la familia de planos 2λx + (λ + 1)y − 3(λ − 1)z + 2λ − 4 = 0 en el espacio ordinario. Determinar el plano
de esta familia que es paralelo a la recta ℓ : x + 3z − 1 = 0, y − 5z + 2 = 0.
Resp. 4x + 3y − 3z = 0.
28 Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 1, 1), es paralela al plano π : x − y + z − 3 = 0 y corta la recta
ℓ : x = 1, y = 3.
Resp. x = 1, y = z.
29 Consideremos el plano ampliado deducido del plano afín ordinario. Hallar las coordenadas homogéneas de los puntos
impropios definidos por las siguientes rectas:
a) 3x − y + 1 = 0 b) x = 2 c) 2y + 3 = 0 d) x − 2y − 3 = 0.
Resp. a) (0 : 1 : 3), b) (0 : 0 : 1), c) (0 : 1 : 0), d) (0 : 2 : 1).
30 En el espacio ampliado deducido del espacio afín ordinario, hallar las coordenadas homogéneas del punto impropio
de las rectas
a) x = 3z + 1, y = −z + 4.
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= z
a .

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b) 2x − y + 3z = 1, x + 3y − z = 2.
Resp. a) (0 : 3 : −1 : 1), b) (0 : −8 : 5 : 7).
31 En el espacio cuatridimensonal IR 4 un punto tiene coordenadas (x, y, z, t). Consideremos los hiperplanos:
x + y + z + t = 0, x + 2y + 3z + 4t = 0.
Encontrar dos puntos impropios distintos que pertenezca a la intersección de los dos hiperplanos.
Resp. Puntos de la recta λ(0 : 2 : −3 : 0 : 1) + µ(0 : 1 : −2 : 1 : 0)
32 Determinar las ecuaciones de la homografía que transforma los puntos A(0 : 0 : 1), B(0 : 1 : 0), C(1 : 0 : 0), D(1 : 1 : 1)
respectivamente en los puntos B, C, D, A. Hallar los elementos dobles de la misma.
/ Applet CabriJava
⎛ ⎞ ⎛
⎝ x′0
x ′1
1 −1 0
1 0 −1
⎞ ⎛
⎝ x0
x 1
⎞
Resp. ρ
x ′2
⎠ = ⎝ ⎠
1 0 0 x2 ⎠. Pto. doble (1 : 0 : 1). Recta doble [1 : −1 : 1].
33 Una afinidad (homografía en el plano afín ampliado que conserva la recta impropia) variable tiene al origen de
coordenadas como doble; hace corresponder al punto del infinito del eje “x” el del eje “y” y recíprocamente; al punto
U(1, 1) le corresponde el punto U ′ variable a lo largo de la recta x + y = 0. Se pide:
1) Qué forman las homólogas de la recta x + y + 1 = 0.
2) Ecuación de la proyectividad subordinada en el origen.
Resp. x ′ = ty, y ′ = −tx, 1) x − y − 1/t = 0, 2) y = mx ↦→ y = −mx.
34 En coordenadas no homogéneas, hallar al ecuación de la homografía que tiene por puntos dobles el origen y los
impropios de cada uno de los ejes OX y OY , teniendo además como puntos homólogos (1, 1) ↦→ (2, −3).
Resp. x ′ = 2x, y ′ = −3y.
35 Hallar la ecuación de la afinidad determinada por los pares de puntos homólogos (1, 0, 0) ↦→ (1, −1, 0), (1, 1, 0) ↦→
(1, 0, 0), (1, 0, 1) ↦→ (1, 1, 1)
Resp. x ′ = x + 2y − 1, y ′ = y.
36 Se dan dos puntos P y Q y dos rectas r y s del plano, tales que los puntos no están en las rectas y que las tres rectas
P Q, r y s no son concurrentes. A cada punto X se le hace corresponder el punto X ′ tal que P X y QX ′ se cortan en r
y P X ′ y QX en s. Probar que se trata de una homografía y hallar los elementos dobles.
37 Encontrar la condición necesaria y suficiente para que mediante una transformación afín a cualquier recta le
corresponda una recta paralela a ella. ¿De qué transformaciones particulares se trata?
38 Sean 4 puntos A, B, C y D sobre una circunferencia C. Se trazan las rectas ABy CD, que se cortan en un punto P .
Probar que los triángulos P AC y P BD son semejantes.
39 Sea ABC un triángulo y sea P sobre AC. Sean M y N los puntos medios de AP y BC respectivamente. Sabiendo
que BAC = BMN, demostrar que los triángulos P BM y BMC son semejantes.
/ Applet CabriJava
40 Se dan, en el plano, dos rectas paralelas a y b y dos puntos P y Q. Se proyecta un punto A de a sobre b desde P y
Q, obteniéndose, respectivamente, los puntos B y C. Demostrar que las medianas del triángulo ABC, cuando A varía,
cortan a la recta P Q en tres puntos fijos. / Applet CabriJava
41 Grupo de movimientos en IR 2 que dejan fijo cada uno de los siguientes conjuntos:
A) Un triángulo equilátero. B) Un cuadrado. C) Dos rectas que se cortan. D) Una recta y un punto no contenida
en ella.
42 Inscribir un cuadrado en un triángulo, de tal modo que un lado del cuadrado esté sobre la base del triángulo y los
otros dos vértices en los otros lados del triángulo. / Applet CabriJava
43 Dada la recta x = a, un punto M(ξ, η) se proyecta ortogonalmente sobre x = a en D y se traza OM que corta a
x = a en C. Una paralela a OX por C corta a OD en N. Hallar las ecuaciones de la transformación M ↦→ N. ¿Cuál
es la ecuación del lugar geométrico de N cuando M describe la circunferencia (x − b) 2 + y 2 = b 2 ? / Applet CabriJava
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44 Se conocen los simétricos de un segmento respecto a los lados de un triángulo, determinar éste sin conocer la
ubicación del segmento original. / Applet CabriJava
45 Se considera el conjunto G de los movimientos del plano que transforman cualquier punto de un triángulo equilátero
ABC en otro punto del mismo triángulo. Demostrar que G tiene estructura de grupo respecto a la composición de
aplicaciones.
Obtener las ecuaciones de tales movimientos respecto a la referencia cartesiana rectangular con origen O en el centro
del triángulo y vector unitario en el eje de abscisas el −→
OA.
46 En el espacio afín real ordinario se considera el plano π ≡ 2x + y + 3z − 4 = 0, y el vector v = (2, −1, 1). Hallar las
ecuaciones de la simetría con relación al plano π y al vector direccional v.
47 Dado en el plano dos rectas r y r ′ y un punto M, se determinan los puntos P y P ′ en r y r ′ , respectivamente, tales
que M es el punto medio de ellos. Se proyectan ortogonalmente P y P ′ sobre r ′ y r, respectivamente, obteniéndose los
puntos Q ′ y Q y sea M ′ el punto medio de éstos.
Demostrar que la correspondencia σ : M ↦−→ M ′ es una semejanza, composición de una homotecia de centro en el
punto de corte de las rectas r y r ′ y la simetría axial respecto a una de sus bisectrices. / Applet CabriJava
48 En el plano afín real ordinario se considera la aplicación
(x, y) ↦→ f((x, y)) = (x ′ , y ′ ) = ((1 + a)x − y + 1, abx + (1 − b)y + b).
Determinar el conjunto de puntos invariantes por f. Mostrar que la dirección −−−−→
P f(P ) es fija cuando P varia Para
que valores de a y b f es biyectiva. Aplicación lineal asociada (si es afín). Baricentro de los puntos f((0, 0)) y f((0, 2)).
49 En el plano afín real euclídeo, respecto a la referencia ortogonal {O, e1, e2}, se considera la aplicación afín f definida
por las ecuaciones:
x ′ = 1
5 (−3x + 4y + 4), y′ = 1
(4x + 3y − 2)
5
Demostrar que f es una isometría. ¿Cuál es el conjunto de puntos invariantes por f?
50 En el plano afín euclídeo, respecto a una referencia ortogonal {O, e1, e2}, se considera la aplicación (x, y) ↦→
f((x, y)) = (x − y, x + y).
¿De qué transformación geométrica se trata? Indicar los elementos invariantes.
Si A es un punto fijo, determinar el conjunto de puntos M tales que A, M y f(M) estén alineados.
51 Sean (x, y) las coordenadas de un punto en el plano afín euclídeo ordinario, respecto a la referencia ortogonal
{O, e1, e2}, r1, r2, r3 los giros de centros respectivos, A1(2, 0), A2(0, 2), A3(−2, 0) y cuyos ángulos son π/2, π, π/2, respectivamente;
sean además, s1, s2, s3 las simetría s ortogonales con respecto a las rectas de ecuaciones respectivas
y = 0, x + y = 2, −x + y = 2.
Definir analíticamente las aplicaciones r1, r2, r3, s1, s2, s3.
Determinar las aplicaciones s1 ◦ s2, s2 ◦ s3, s1 ◦ s1.
Determinar la aplicación r1 ◦ r2 ◦ r3.
52 Sea f una aplicación afín biyectiva de un espacio afín A en si mismo y h una homotecia de razón k. Establecer que
f ◦ h ◦ f −1 es una homotecia. ¿Cuál es su centro? ¿Cuál es su razón?
53 Demostrar que en un espacio afín de dimensión 2, toda aplicación afín queda determinada por tres puntos no
alineados y sus imágenes.
Determinar en el plano afín real ordinario la aplicación afín que lleva los puntos A(0, 0), B(1, 0) y C(0, 1) en los
puntos A ′ (0, 0), B ′ (1, 1) y C ′ (−1, −1).
54 Dadas en el plano afín real ordinario, respecto referencia {O, e1, e2}, la aplicación afín f, definida por (x, y) ↦→
f((x, y)) = (2x + 1, y − 2), y la homotecia h de centro O(0, 0) y razón 3. Comprobar que f ◦ h ◦ f −1 es una homotecia.
Determinar su centro y su razón.
55 Dado en endomorfismo en IR 2 , (x, y) ↦→ ˜ f(x, y) = (x − y, 2x), encontrar la aplicación afín del plano afín A2(IR) en
sí mismo asociada a ˜ f que lleva el punto A(1, 2) en A ′ (3, 5).
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56 Sea hace girar la recta r ≡ x = az +p, y = bz +q alrededor del eje OZ, un ángulo θ, en sentido positivo. Determinar
θ de manera que después del giro la recta que perpendicular a su posición original.
57 Construir un triángulo equilátero cuyos vértices estén en cada una de tres rectas paralelas.
58 Construir un cuadrado tal que uno de sus vértices esté en un punto dado y los dos vértices adyacentes a aquél estén
en dos rectas dadas.
¿Cuál es el área del cuadrado en función de las distancias del punto dado a las dos rectas y del ángulo entre éstas?
59 Construir un triángulo rectángulo isósceles, con el vértice del ángulo recto en un punto fijo, y los otros dos vértices
en dos rectas dadas, respectivamente.
60 Lugar geométrico de las imágenes del punto (1, 1) por todos los giros en el plano euclídeo ordinario de ángulo
θ = π/2 y centro sobre la recta x + y = 1. / Applet CabriJava
61 Consideremos la familia de afinidades en IR 2 , de ecuaciones x ′ = cy + p, y ′ = x + q. Determinar los valores de los
parámetros para los cuales estas afinidades son movimientos y estudiarlos.
62 Encontrar las ecuaciones del movimiento que lleva el triángulo ABC, de la figura, en el triángulo A ′ B ′ C ′ .
Las ecuaciones que se obtienen corresponden a un movimiento inverso sin puntos fijos; es pues la composición de
una simetría axial compuesta con una traslación. Encontrar el eje de simetría y el vector de traslación.
Obtener el movimiento que llega un triángulo en otro como producto de un giro por una simetría axial. ¿Cuáles son
las ecuaciones de ambos?
63 Encontrar el centro de la semejanza directa que lleva dos triángulos rectángulos ABC y A ′ B ′ C ′ , situados de tal
forma que sus hipotenusas están en dos rectas que se cortan según un ángulo de 30 ◦ y dispuesto de forma que las
distancias al punto de corte de las rectas de B es 1, de C es 6, de B ′ es 2 y de C ′ es 4.5.
Si además las longitudes de los catetos del triángulo ABC son 3 y 4, obtener los vértices A y A ′ uno del otro.
64 Considérese un triángulo y trácese la circunferencia circunscrita al mismo (que pasa por los tres vértices) y la
circunferencia que pasa por los pies de las medianas. Demostrar que dichas circunferencias son homotéticas. ¿Cuál es
el centro y la razón de homotecia? ¿Qué posición tienen los centros de las circunferencias, respecto al baricentro?
65 Un río (de márgenes paralelas) y dos puntos en tierra, uno a cada lado. Trazar un puente, perpendicular a los
márgenes,
1) para que el recorrido de un punto a otro sea mínimo,
2) para que las trayectorias en tierra sean perpendiculares,
3) para que las distancias de cada punto al comienzo del puente sea la misma.
Idem, para el caso en que el punte el puente esté trazado según una dirección dada.
66 Se consideran dos segmentos AB y A ′ B ′ en sendas rectas perpendiculares a y a ′ , respectivamente, que se cortan en
el punto O, tales que distan de O, A(1), B(2), A ′ (2), B ′ (4). Encontrar la ecuación de la semejanza directa que lleva el
segmento AB en el A ′ B ′ . ¿Cuál es su punto fijo y razón de semejanza? Encontrar un punto P en a y otro P ′ en a ′ que
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se correspondan en la semejanza y que estén alineados con la intersección de la recta perpendicular a a por B con la
recta perpendicular a a ′ por A ′ .
67 Construir un cuadrado conociendo la diferencia k entre la diagonal y un lado.
68 Dados dos puntos A y B y una recta r, determinar sobre ésta un punto C tal que el recorrido AC + CB sea el
menor posible.
69 La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide el triángulo en dos triángulos directamente semejantes,
cada uno de los cuales es inversamente semejante al triángulo dado. Describir estas tres semejanzas como producto de
un movimiento y una homotecia y determinar su centro (punto fijo).
70 Sea H el conjunto de las homotecias con centro en un punto fijo. Determinar el lugar geométrico de los centros de
las homotecias de los conjuntos:
1) η0ηη −1
0 , donde η0 es una homotecia dada y η pertenece al conjunto H.
2) τητ −1 , donde τ es una traslación dada y η pertenece al conjunto H.
71 Dados una circunferencia y un triángulo, construir un triángulo inscrito en la circunferencia que sea semejante al
primero.
72 Sean A y B dos puntos del plano. A un punto P se le asigna el punto P ′ tal que P, P ′ y A estén alineados, y que
BA sea bisectriz de P BP ′ . ¿Qué transformación es la así definida?
73 Dados en el plano dos puntos A y B y una recta r, que no pasa por ninguno de los dos, se asigna al punto M el
M ′ , transformado de A en la homotecia cuyo centro está en r (o una traslación) que convierte M en B. Probar que la
transformación σ resultante (σ(M) = M ′ ) es el producto de una homología de centro A y la traslación de vector −→
AB.
74 Si ABC es un triángulo y r es una recta que corta a sus lados BC, AC y AB en O1, O2 y O3, respectivamente, se
tiene el teorema de Menelao:
O1C O2A O3B
· · = 1.
O1B O2C O3A
Probarlo, usando el producto de las homotecias η1, η2 y η3 de centros O1, O2 y O3 y que transforman B en C, C en
A y A en B, respectivamente.
75 Dadas dos rectas en el plano no paralelas, hacemos corresponder a cada punto P el punto medio P ′ de las proyecciones
ortogonales de P sobre cada una de las rectas dadas. Obtener la correspondencia P ↦→ P ′ . ¿Cómo han de ser las dos
rectas para que la correspondencia sea una homotecia? / Applet CabriJava
76 Dados un cuadrilátero ABCD, M un punto en la recta BD y N un punto en la recta AC, tales que la recta BN
es paralela al lado AD y la recta AM, paralela al lado BC. Demostrar que las recta MN y DC son paralelas.
77 Determinar qué transformación es el producto de las simetrías respecto a los cuatro lados, tomados consecutivamente,
de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia.
78 Hallar las ecuaciones de las tangentes desde el origen a la cónica y 2 − 2xy + 2y − 4x − 2 = 0.
Resp. 2x − 3y = 0, tang. en (−3/2, −1); 2x − y = 0, asíntota.
79 Dada la cónica 2x 2 − 2xy + y 2 + 2x − 8y + 21 = 0, obtener la ecuación de la tangente en el punto (3, 5).
Resp. x − y + 2 = 0.
80 Encontrar las tangentes a la cónica x 2 − 2xy + y − 4 = 0 desde el punto (1, −2).
81 En el plano ampliado considérense la cónica que admite por ecuación 2(x 0 ) 2 + (x 1 ) 2 − (x 2 ) 2 + 2x 1 x 2 = 0 y el punto
P (1, 1, 1). Se pide: polar de P respecto de la cónica y tangentes desde P a la cónica.
Resp. Tangentes desde (1, 1, 1), 2x − y = 1, y = 1. Polar: x = −1.
82 Hallar el polo de la recta x + 2y + 7 = 0 en relación a la cónica x 2 − xy + y − 3x − 1 = 0.
Resp. (3, 4).
83 Hallar la ecuación del diámetro polar del punto impropio (0, 1, 4) en la cónica: 4y 2 − 5xy − 2x + 3y + 1 = 0.
Resp. 20x − 27y − 10 = 0.
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84 Determinar los polos de los ejes de coordenadas respecto de la cónica, 7x 2 − y 2 + 4xy − 3x + 3 = 0.
Resp. Polo de OX: (2, 4). Polo de OY : (2, −25/4).
85 Hallar el polo de la recta x + y − 2 = 0 respecto de la cónica x 2 − 2xy + 1 = 0.
Resp. (1/2, 1).
86 Hallar el polo de la recta x + 5y + 6 = 0 respecto de la cónica x 2 + y 2 − 2x + 4y + 2 = 0.
Resp. (2, 3). Circunferencia de centro (1, −2).
87 Hallar la polar del punto (1, 2) respecto a la cónica dada por x 2 + y 2 − 2xy + 2x − 1 = 0.
Resp. y = 0. Parábola de eje 2x − 2y + 1 = 0 y vértice (7/8, 3/8).
88 Lugar geométrico de los polos de la recta x + y + 1 = 0 con respectos a todas las cónicas del haz:
x 2 + 2λxy + λy 2 − 2λx + 1 = 0.
Resp. La hipérbola: 2x 2 + xy − x − 1 = 0.
89 ¿Qué valor hay que dar al parámetro λ para que la cónica x 2 + 2y 2 − λxy − x − 2 = 0 esté formada por dos rectas?
Obtener además las rectas.
Resp. λ = 3 : (x − 2y − 2)(x − y + 1) = 0; λ = −3 : (x + y + 1)(x + 2y − 2) = 0.
90 Considérese la cónica de ecuación x 2 + 2axy + 2y 2 − 2x + 2 = 0
a) Obténgase los valores de a para los que es totalmente imaginaria.
b) Obténgase los valores de a para los que es una cónica degenerada.
Resp. Si a ∈] − 1, 1[ elipses imaginarias. Si a = ±1 rectas imag., con punto real (∓2, ∓1)
91 Determinar la hipérbola equilátera que pasa por los puntos (2, 0), (−1, 0), (0, −1) y (1, 1). / Applet CabriJava
Resp. x 2 − y 2 + 6xy − x − 3y − 2 = 0
92 Hallar el valor de k para que la cónica x 2 + ky 2 + 4xy − 6x − 12y + 9 = 0 sea una recta doble.
Resp. k = 4, (x + 2y − 3) 2 = 0.
93 Dada la cónica x 2 + y 2 − 2xy − 1 = 0, demostrar que es degenerada y descomponerla en producto de dos rectas.
Resp. (x − y − 1)(x − y + 1) = 0.
94 Encontrar la cónica cuyas tangentes son la familia de rectas λx + λ 2 y + 3λ 2 − 1 = 0.
Resp. x 2 + 4y + 12 = 0.
95 Consideremos el haz de rectas paralelas al eje OX y el haz de rectas pasando por el origen. Sea la recta del primer
haz, de ordenada en el origen λ, y la recta del segundo que tiene por pendiente λ/(1 − λ). Encontrar la ecuación de la
cónica intersección de ambas rectas, cuando λ varía.
/ Applet CabriJava
Resp. y(x + y − 1) = 0.
96 Justificar el siguiente método de construcción
de una elipse (ver figura). Los
lados AD y DC de un rectángulo son
divididos en un mismo número de segmentos
de igual longitud. Unir B y A
a los puntos de división empezando por
A y D, respectivamente. Estas rectas
se cortan en el arco AP de la elipse de
semiejes QA y QP .
D C
P
✟
A Q
B
✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟
✜ ✜
✜ ✜
✜ ✜✜
✜ ❍
❍
❍
❍
❍
❍
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❵ ❵
❍
❵ ❵
❍
❵ ❵ ❵
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❵ ❵
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❵ ❵ ❵
❍
❵ ❵
❍
❵ ❍❵
❍❵
❳ ❳ ❳ ❳ ❳ ❳ ❳ ❳ ❳ ❳ ❳ ❳ ❳ ❳ ❳ ❳ ❳
. Encontrar el lugar geométrico de los puntos de intersección de rectas
97 Entre las rectas de los dos haces λx + µ(y − 1) = 0 y λ ′ (x + y) + µ ′ (y − 1) = 0 está establecida una relación
′ λ
por las ecuaciones ρ
µ ′
=
correspondientes.
Resp. x 2 − y 2 + xy + y = 0.
1 1
0 1
λ
µ
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Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013 8
98 Las ecuaciones λ ′ = 2λ − µ, µ ′ = λ + µ, establecen una correspondencia entre los puntos (0, λ, µ) y (λ ′ , 0, µ ′ )
de las rectas x 0 = 0 y x 1 = 0. Encontrar la ecuación de la cónica cuyas tangentes son las rectas que unen puntos
correspondientes.
/ Applet CabriJava
Resp. 4x 2 − 4xy + y 2 + 8x + 2y + 1 = 0.
99 Dadas dos cónicas con cuatro puntos de intersección, probar que los cuatro puntos quedan en un circunferencia si
y sólo si los ejes de las cónicas son perpendiculares.
100 Sean A, B, C, D puntos sobre una cónica C y las tangentes a C en A y C se cortan en P sobre la recta BD.
Demostrar que las tangentes a C en B y D se cortan en un punto Q sobre AC.
Resp. La polar de P es AC, recta en la está el polo de BC, que es Q.
101 Sean cuatro puntos A, B, C y D sobre una cónica C, AD y BC se cortan en P y AC y BD se cortan en Q.
Demostrar que las tangentes a C en A y B se cortan en un punto R sobre la recta P Q.
Resp. Teorema de Pascal, aplicado al cuadrilátero ABCD y las tangentes en A y B.
102 Sea una cónica no degenerada tangente a los lados BC, CA y AB de un triángulo ABC en los puntos P, Q y R,
respectivamente, demostrar que las rectas AP, BQ y CR son concurrentes.
Resp. Caso límite teorema de Brianchon.
103 Por un punto M(a, 0) sobre el eje de una parábola y 2 = 2px se trazan paralelas a las tangentes. ¿Qué lugar
describe el punto en que cada una de estas rectas corta a las rectas que pasan por el origen de coordenadas y por el
punto de contacto de la tangente correspondiente? / Applet CabriJava
Resp. La polar de M respecto a la parábola.
104 Establecer el siguiente resultado y enunciar su dual:
”Dada una cónica y un punto P de su plano no perteneciente a ella, todos los cuadrivértices inscritos en la cónica
que tienen en P un punto diagonal tienen los dos restantes puntos diagonales sobre una misma recta”.
105 Establecer: ”En todo triángulo circunscrito a una cónica las rectas que unen los vértices con los puntos de contacto
de los lados opuestos, concurren en un punto”. Enunciar el resultado dual.
(http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejco1507.pdf)
106 Clasificar las cónicas: a) 3x 2 + 2y 2 + 6xy − 4x − 2y + 1 = 0 b) 4x 2 + 9y 2 + 12xy − 4x − 6y = 0.
Resp. a) Hipérbola, b) Rectas paralelas: (2x + 3y)(2x + 3y − 2) = 0.
107 Dada la familia uniparamétrica de cónicas: Cα ≡ x 2 + y 2 − 2x cos α − 4y sen α − 3 cos 2 α = 0. Se pide:
a) Clasificar dichas cónicas. b) Determinar y clasificar el lugar geométrico de los centros de dichas cónicas.
Resp. a) Elipses. b) 4x 2 + y 2 = 4, elipse.
108 En el plano afín, clasifíquense las cónicas que admiten por ecuaciones:
/ Applet CabriJava
αx 2 + αy 2 + 2βxy + (α + β)(x + y) + 1 = 0, (α, β ∈ IR)
109 Se da la familia de cónicas x 2 + 2λxy − 2y 2 + 2λx − 1 = 0. Hallar el lugar geométrico de los polos de la recta
x + y = 0 respecto a ellas.
Resp. La hipérbola: x 2 + 2yx − x + y + 1 = 0.
110 Determinar el lugar geométrico de los polos de la recta x + y + 1 = 0 respecto de la familia de cónicas
λy 2 − 2xy + 2y + (2 − λ) = 0.
/ Applet CabriJava
Resp. La parábola: 2y 2 + 3y − x + 1 = 0.
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Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013 9
111 En el plano afín considérese la cónica C que admite por ecuación x 2 − 2y 2 + 2xy + 2x − 4y + 1 = 0. Hállese un
paralelogramo circunscrito a C cuyos lados tengan las direcciones de los vectores a(1, 0) y b(1, 1).
Resp. Limitado por las rectas: y = 0, y = −2, x = y, x − y = 2.
112 Hallar los ejes de la cónica x 2 − y 2 + 2y + 2 = 0.
Resp. x = 0, y = 1.
113 Determinar el lugar geométrico de los vértices de las familia de cónicas de ecuación y 2 +2kx(y −1)−k 2 (y −1) 2 = 0.
/ Applet CabriJava
Resp. x 2 y(2 − y) = y 2 (y 2 − 2y + 1).
114 Clasificar las siguientes cónicas:
1) 4x 2 − 4xy + y 2 + 12x − 6y + 3 = 0, 2) 5x 2 − 4xy + 4y 2 − 16y − 80 = 0,
3) 8x 2 + 6xy − 9y 2 − 24x − 36y + 9 = 0, 4) x 2 − 2xy + y 2 − 3x + 5y = 0.
En cada caso calcular, cuando exista, el centro, ejes y asíntotas.
Resp. 1) Rectas paralelas; 2) Parábola, eje: 5x − 10y + 16 = 0; 3) Hipérbola; 4) Parábola, x − y = 2
115 Clasificar las cónicas:
1) 3y 2 − xy + x − 4y + 1 = 0, 2) x 2 + y 2 − 2xy + 2x − 2y + 1 = 0,
3) x 2 − y 2 + x + 1 = 0, 4) x 2 + y 2 − 2xy + 6x − 6y + 9 = 0.
Resp. 1) (x − 3y + 1)(y − 1) = 0. 2) (x − y + 1) 2 = 0. 3) Hipérbola. 4) (x − y + 3) 2 = 0.
116 Hallar las ecuaciones reducidas en el plano euclídeo de las siguientes cónicas:
1) 9x 2 + y 2 − 6xy − 4x + y = 0. 2) 6x 2 + 6y 2 + 4xy − 16x − 16y = 0. 3) x 2 − y 2 − 2xy − 4x + 4y − 3 = 0.
Resp. 1) 50y 2 + √ 10x = 0; 2) x 2 + 2y 2 = 4; 3) √ 2x 2 − √ 2y 2 = 7.
117 Determinar centro, ejes y asíntotas si las tiene, de las cónicas:
1) x 2 + 2y 2 + 2xy − 6x − 2y + 9 = 0, 2) x 2 − y 2 − 2xy + 8x − 6 = 0, 3) x 2 + 9y 2 + 6xy + 2x − 6y = 0.
Resp. Elip:(5, −2), m = (1 ± √ 5)/2. Hip:(−2, 2), m = 1 ± √ 2, m = −1 ± √ 2. Pa:5x + 15y = 4
118 Hallar las ecuaciones de los ejes de la cónica dada por la ecuación 3x 2 − 2y 2 + 12xy − 3x + y − 2 = 0.
Resp. Hipérbola de centro (0, 1/4) y ejes 6x + 4y − 1 = 0, 8x − 12y + 3 = 0.
119 Determinar los focos de la cónica: 16x 2 − 24xy + 9y 2 − 80x − 140y + 100 = 0.
Resp. Foco: (1, 2).
120 Hallar el diámetro de la cónica x 2 − y 2 + 6xy + 4x − 6y + 8 = 0 paralelo a la recta 4x − 2y + 3 = 0.
Resp. 7x + y = 4.
121 Hallar el lugar geométrico de los polos de las normales a la parábola y 2 = 2px.
/ Applet CabriJava
Resp. 2xy 2 + 2py 2 + p 3 = 0.
122 En el plano euclídeo, y respecto de una referencia rectangular, considérese la cónica que admite por ecuación:
2x 2 − y 2 + 4xy − 12x + 12y + 3 = 0.
Se pide: Clasificar la cónica. Hallar el centro. Hallar sus ejes y vértices. Hallar sus asíntotas si las tiene.
Resp. Hipérbola. Centro: (−1, 4). Ejes: 2x + y = 2, x − 2y + 9 = 0. Asíntotas: m = 2 ± √ 6.
123 En el vértice (a, 0) de la elipse x2 y2
+ = 1 se ha trazado la tangente. Por cada uno de los puntos de esta
a2 b2 tangente se ha trazado la perpendicular a su polar correspondiente. Hallar el lugar geométrico de los pies de estas
perpendiculares. / Applet CabriJava
Resp. Circunferencia: a 2 x 2 + a 2 y 2 + a(b 2 − 2a 2 )x + a 2 (a 2 − b 2 ) = 0.
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Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013 10
124 En un plano se dan: una circunferencia fija C de centro O y radio r, y una recta ℓ que dista d del punto fijo O.
La tangente en un punto T de la circunferencia encuentra a ℓ en M. Hallar el lugar geométrico de los puntos donde la
perpendicular a OM en O encuentra a la tangente T M cuando T varía. Describir el lugar.
/ Applet CabriJava
Resp. Cónica bitangente a C en la intersección con la perpendicular a ℓ por O.
125 Se considera la elipse: x2 y2
+ = 1 (a = b). Se pide determinar el lugar geométrico de los puntos X del plano
a2 b2 cuya polar es perpendicular a la recta XP donde P es un punto fijo del plano de coordenadas (α, β). Estudiar el lugar
resultante.
/ Applet CabriJava
Resp. Hipérbola: (a 2 − b 2 )xy + βb 2 x − αa 2 y = 0.
126 Ecuación de la cónica con centro en (1, 1), tal que y = 1 es un eje y la polar del punto (2, 2) es la recta x+y −3 = 0.
Resp. Elipse: (x − 1) 2 + (y − 1) 2 = 1.
127 Dado el triángulo determinado por las rectas x = 0, y = 0 y x + 2y − 2 = 0, hallar el lugar geométrico de los
puntos P tales que sus proyecciones ortogonales sobre los tres lados determinan un triángulo de área constante igual a
k. Estudiar el lugar obtenido.
Resp. Circunferencia: x 2 + y 2 − 2x − y = 5k.
128 Se da la parábola y 2 = 2px y un punto A(a, b). Por el vértice O de la parábola se traza una cuerda variable OB.
Se proyecta el punto B sobre la tangente en el vértice, obteniéndose un punto C, y se une C con A. Se pide:
a) Lugar geométrico de los puntos de encuentro de las rectas OB y AC.
b) Discutir el lugar haciendo variar la posición del punto A en el plano.
/ Applet CabriJava
Resp. Cónica: 4px 2 + (2a + p)y 2 − 2bxy − 4apx − bpy = 0.
129 Desde un punto cualquiera de la directriz de la parábola y 2 = 2px, se traza la perpendicular a su polar
correspondiente. Lugar geométrico del punto de intersección de estas dos rectas.
/ Applet CabriJava
Resp. El foco de la parábola.
130 En el plano euclídeo y respecto de una referencia rectangular, obténgase la ecuación general de las cónicas que
tienen como foco y vértice, correspondientes a un mismo semieje, a dos puntos dados.
131 Determinar una hipérbola tangente a la cónica 3x 2 − 2xy + 5y 2 − x + y = 0, en los los puntos de intersección con
la recta x − 2y + 1 = 0, teniendo además una asíntota paralela al eje OX. Hallar la dirección de la otra asíntota.
Resp. Haz bitangente. 7y 2 − 10xy + 7x − 13y + 3 = 0. Asíntotas: m = 0, m = 10/7.
132 Cónica determinada por los puntos de intersección de los pares de rayos homólogos de dos haces proyectivos que
desde V (0, 0) y V ′ (punto impropio de la recta y − 2x + 3 = 0) proyectan A(1, 1), B(1, 0) y C, punto variable de la recta
y = 3. / Applet CabriJava
Resp. Si C(t, 3), (12t − 24)x 2 − (4t 2 − 4t − 6)xy + (2t 2 − 5t + 3)y 2 − (12t − 24)x + (2t 2 + t − 9)y = 0
133 Si dos cónicas tienen un punto común en el que sus tangentes son distintas, entonces ellas tienen al menos otro
punto común.
134 Haz de cónicas con cuatro puntos de contacto con la circunferencia (x − 1) 2 + y 2 − 4 = 0 en el punto (1, 2).
Resp. (2y − 4) 2 + λ (x − 1) 2 + y 2 − 4 = 0.
135 Hallar la ecuación de la cónica C que pasa por: A(1, 0, −1), B(1, 0, 1), C(1, 2, 1), D(1, 2, −1) y E(1, 3, 0).
Resp. Elipse x 2 + 3y 2 − 2x − 3 = 0. Centro (1, 0). Ejes paralelos a los de coordenadas.
136 Hallar la ecuación de la cónica tangente a tA : x − 3y = 0 en A(3, 1) que pasa por los puntos B(1, 2), C(−1, 2) y
D(2, 0).
Resp. tA.BB + λAB.AC = (x − 3y)(2 − y) + λ(x + 4y − 7)(x + 2y − 5) = 0, λ = −4/15.
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Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013 11
137 Hallar la ecuación de la cónica que es tangente a las rectas: r1 ≡ x + y = 0, r2 ≡ y + 1 = 0, r3 ≡ x + y + 1 = 0,
r4 ≡ x + 1 = 0 y r5 ≡ 6x + 5y + 2 = 0.
Resp. 49x 2 + 4y 2 + 44xy + 58x + 28y + 25 = 0.
138 Hallar la ecuación de la cónica que es tangente a las rectas: r ≡ x + y + 2 = 0 en A(−1, −1), a s ≡ x + 2y − 2 = 0
en B(0, 1) y a u ≡ x + 2y = 0.
Resp. Hipérbola: 86x 2 + 182y + 274xy + 179y 2 − 4x − 361 = 0.
139 Encontrar la cónica que es tangente a las rectas r ≡ y − x + 1 = 0 en A(2, 1) y a s ≡ x − y + 1 = 0 en B(0, 1), y
pasa por el punto C(1, −1)
Resp. Hipérbola: 4x 2 + y 2 − 8xy + 6y − 7 = 0.
140 Encontrar la ecuación de la cónica que pasa por A(−1, 1) y que tiene dos puntos de contacto doble con C ≡
x 2 + 3y 2 − 2x − 4y + 8xy + 1 = 0 en B(1, 0) y C(0, 1).
Resp. Hipérbola: 3x 2 + 4y 2 + 9xy − 6x − 7y + 3 = 0.
141 Encontrar la ecuación de la cónica que tiene un punto triple de contacto con C ≡ 2x 2 + xy − x + y − 1 = 0 en
A(1, 1, 0) y pasa por los puntos B(0, 1, −2) y C(0, 1, 0).
Resp. Hipérbola: 2y 2 + 4xy − 9x − 10y − 9 = 0.
142 Se da un triángulo OAB en el plano afín. Se pide:
1. Calcular la ecuación general de las parábolas circunscritas a OAB.
2. Calcular el lugar geométrico de los puntos de tales parábolas cuya tangente es paralela a OA.
/ Applet CabriJava
Resp. Parábolas: m 2 x 2 + y 2 − 2mxy − am2x − by = 0. L.g.: Hipérbola 4bx 2 + 4axy − 4abx − a 2 y + ba 2 = 0
143 En el plano afín hállese la ecuación general de las cónicas que son tangentes a la recta x + y = 0 y pasan por los
puntos P (1, 0), Q(0, 1) y R(1, 3). De entre todas ellas determínese las que son parábolas. / Applet CabriJava
Resp. Parábolas: x 2 + y 2 − 2xy − x − y = 0; 49x 2 + y 2 + 14xy − 65x − 17y + 16 = 0.
144 Encontrar la ecuación de la cónica tangente a las rectas x + y = 0, x = 1 en los puntos de intersección con la recta
x + y + 1 = 0 y que pasa por el punto (1/2, 1/2).
Dar un ejemplo que sea la situación dual.
Resp. Hipérbola: 9x 2 + y 2 + 10xy − 6x − 6y + 1 = 0.
145 Encontrar la ecuación de las siguientes cónicas:
(a) Que pasa por los puntos (1, 1, 1), (−1, 3, −1), (0, 1, 1), (0, 4, −1), (0, 7, 5). Resp. x 0 (x 0 − x 1 ) = 0.
(b) Que pasa por los puntos (1, 1, 1), (−1, 3, −1), (0, 1, 1), (0, 4, −1)y es tangente en el punto (1, 1, 1) a la recta
x 1 + x 2 − 2x 0 = 0. Resp. (x 1 ) 2 − 4(x 2 ) 2 + 3x 1 x 2 − x 0 x 1 + 9x 0 x 2 − 8(x 0 ) 2 = 0.
(c) Tangente a las rectas (x 1 ) 2 − (x 2 ) 2 = 0 en la intersección de éstas con x 0 = 0, pasa por el punto (3, 1, 2). Resp.
3(x 1 ) 2 − 3(x 2 ) 2 + (x 0 ) 2 = 0.
(d) Como en (c), pero con la última condición reemplazada por la condición de que la cónica sea tangente a la recta
x 1 + 2x 2 − x 0 = 0. Resp. 3(x 1 ) 2 − 3(x 2 ) 2 + (x 0 ) 2 = 0.
(e) Tangente a las rectas x−1 = 0, x+1 = 0, y −1 = 0, y +1 = 0, 3x+4y −5 = 0. Resp. Circunferencia: x 2 +y 2 = 1
(f) Tangente a las rectas x − 1 = 0, x + 1 = 0, y − 1 = 0, 3x + 4y − 5 = 0 con el punto (2, 1) como punto de
contacto. Resp. Hipérbola: x 2 + 25y 2 + 20xy − 24x − 60y + 39 = 0.
146 Una parábola con el vértice (1, 1) pasa por el punto (2, 0), y además su eje es paralelo al eje OY . Escribir la
ecuación de la parábola.
Resp. x 2 − 2x + y = 0.
147 En el plano afín hállese la ecuación general de las hipérbolas que pasan por los puntos P (0, 0) y Q(2, 0) y cuyas
asíntotas tienen las direcciones de los vectores a = (1, 1) y b = (1, −1). Hállese el lugar geométrico de los centros de
dichas hipérbolas.
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Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013 12
/ Applet CabriJava
Resp. λy + (2 − x + y)(x + y) = 0. Lugar de los centros: x = 1.
148 Dada, en el plano euclídeo, una hipérbola, pruébese que el producto de las distancias de un punto de la hipérbola
a sus asíntotas es constante.
149 En una cónica con centro, si se proyecta un punto de la cónica desde dos puntos de la misma diametralmente
opuestos, se obtienen un par de rectas que son paralelas a un par de diámetros conjugados.
150 Determinar el valor de λ para que t1t2 + λp 2 = 0 sea la ecuación de la cónica C ≡ x 2 − 6xy + 2x + 2y − 1 = 0,
donde t1 = 0 y t2 = 0 son las ecuaciones de las tangentes a C desde el punto P (1, 1) y p = 0 es la ecuación de la polar
de P respecto a C.
151 Determinar la ecuación de la hipérbola con centro (1, 0), que tiene a la recta y − x + 1 = 0 como una asíntota y
que pasa por los puntos (2, 2) y (0, 2).
Obtener la otra asíntota, sus ejes y la ecuación de la hipérbola referida a los ejes.
152 René Descartes (1596-1650) dio la siguiente solución para la construcción de rectas tangentes:
Dada la ecuación de una curva, sea la parábola y 2 = 2x, para construir la tangente a la curva en el punto (2, 2),
deberemos considerar la familia de circunferencias con centro (a, 0) esté en el eje de las “x” y que pasen por el punto
(2, 2).
Sólo una de estas circunferencias intersecará a la parábola en un sólo punto (i.e. es tangente a la parábola). Cuando
encontremos esta circunferencia, afirma Descartes, la tangente a la circunferencia será la tangente a la parábola en
(2, 2).
Usando este método, encontrar la ecuación de dicha tangente.
153 Se considera la familia de rectas dada por (1 − λ 2 )x + 2λy − (4λ + 2) = 0
1. Probar que existe un punto del plano cuya distancia a todas las rectas de la familia es constante.
2. Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano por los que pasa una sola recta de la familia anterior. ¿Qué
figura geométrica es?
/ Applet CabriJava
154 Ecuación de la cónica con centro en el punto (2, 1), cuyos ejes tienen la misma dirección que los ejes coordenados
y que pasa por los puntos (3, 0) y (0, 1).
Resp. Elipse: 3x 2 + y 2 − 12x − 2y + 9.
155 En plano y respecto a un sistema de coordenadas cartesianas tenemos la cónica de ecuación 8x 2 −3y 2 −2xy−8x+2y =
0. Determinar el centro y las asíntotas. Hacer un cambio de coordenadas de origen el centro de la cónica y ejes
coordenados las asíntotas. ¿Cuál es la ecuación de la cónica en este nuevo sistema de coordenadas?
156 Determinar las tangentes comunes a las dos circunferencia (x + 1) 2 + y 2 = 4 y (x − 3) 2 + (y − 1) 2 = 1.
Resp. 14y = −4 + 8x ± √ 2(−5 + 3x) y (8x − 15y − 26)(y − 2) = 0.
157 Lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas de una parábola que pasan por su foco.
/ Applet CabriJava
158 Ecuación de la parábola de la que se conoce el eje y la tangente en uno de sus puntos.
159 Se dan dos rectas secantes a y b y un punto P que no pertenece a ninguna de ellas. Una recta d que pasa por P
corta a a y b en A y B respectivamente. Mostrar que el lugar geométrico de la intersección de la paralela a a pasando
por B con la perpendicular a a trazada por A es una hipérbola. Determinar las asíntotas de ella. / Applet CabriJava
160 Hallar la ecuación de una cónica que pase por el origen y tenga un foco en el punto F (2, −1), siendo la directriz
correspondiente a F : 3x − y − 1 = 0.
/ Applet CabriJava
Resp. Hipérbola: 22x 2 − 15xy + 2y 2 − 13x + 4y = 0.
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Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013 13
161 Dadas las parábolas y = ax 2 + b y x = cy 2 + d, que se cortan en cuatro puntos, demostrar que por ellos pasa una
circunferencia.
162 Demostrar que las hipérbolas equiláteras circunscritas a un triángulo, pasa por el punto de intersección de las
alturas. / Applet CabriJava
163 Consideremos tres puntos O, A, B alineados y A ′ y B ′ las proyecciones de A y B, respectivamente, sobre una recta
variable que pasa por O. Encontrar el lugar geométrico de los puntos P de intersección de las rectas AB ′ y A ′ B. /
Applet CabriJava
164 Dos puntos A y B describen respectivamente dos rectas fijas d y d ′ . Sea O el punto de intersección de estas rectas.
Determinar el lugar geométrico del ortocentro del triángulo OAB cuando el vértice opuesto a O del paralelogramo
trazado sobre O, A, B describe otra recta d ′′ , dada.
/ Applet CabriJava
165 Dadas tres rectas en el plano afín real de ecuaciones r ≡ 3x + 2y = 1, s ≡ y = 5 y t ≡ 6x + y = −13. Hallar los
triángulos ABC que tienen sus medianas sobre dichas rectas, el vértice A en r y el punto (−1, 2) como punto medio de
B y C.
166 Un segmento AB de longitud constante ℓ se mueve de tal manera que su extremo A permanece siempre en el eje
OX y su extremo B sobre el eje OY . Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por un punto fijo P sobre AB
tal que la razón AP : BP = k. / Applet CabriJava
167 Hallar el lugar geométrico del punto medio de una cuerda de longitud constante 2a inscrita en la parábola y = x 2 .
168 Se da la circunferencia x 2 + y 2 + ax = 0 y un punto A(α, β). Se traza por el origen O una cuerda arbitraria; sea
B el otro punto de corte de la cuerda con la circunferencia. Se proyecta B en C, sobre OY . Hallar el lugar geométrico
el punto M, intersección de OB y CA.
169 Se considera un rectángulo ABCD. Las paralelas a sus lados trazadas por un punto P , cortan a éstos (o a sus
prolongaciones) en Q, R y S, T . Hallar el lugar geométrico que deba describir P para que la rectas QS y RT sean
perpendiculares.
170 Dada la recta 2x + 2y − 3 = 0. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos tales que el cuadrado de la
distancia a la recta dada es igual al producto de distancias del mismo a los ejes.
171 En el trapecio isósceles ABCD, de base AD = 2 y BC = 4, se toma un punto variable M sobre la recta CD; y se
traza por C la paralela a MA, y por D la paralela a MB. Hallar el lugar geométrico de los puntos P de intersección
de éstas últimas rectas.
172 Lugar geométrico de los centros de gravedad de los triángulos determinados por dos ejes fijos y con un tercer lado
de longitud constante. / Applet CabriJava
173 Una recta ℓ pasa por el origen y corta a las rectas x + 1 = 0, x − y + 1 = 0, en los puntos A y B, respectivamente.
Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por el punto medio del segmento AB a medida que la recta ℓ gira en
torno al origen.
174 Un segmento de recta AB de magnitud constante se mueve apoyando sus extremos en dos ejes cartesianos
rectangulares. Hallar el lugar geométrico de la proyección del origen sobre ese segmento.
175 Se dan una recta b y un punto A en el plano. Por un punto cualquiera M de b se traza la perpendicular p a b.
Lugar geométrico de los puntos P de p tales que MP = MA. / Applet CabriJava
176 Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos de intersección de las rectas r del plano OXY que pasan
por el punto A(−1, 0) con las rectas r ′ del mismo plano que pasan por A ′ (1, 0) y tales que las pendientes de r y r ′ sean
inversas.
177 Se dan en el plano dos puntos fijos A y B y otro punto M variable que recorre una recta r. Se trazan por A y
B perpendiculares respectivas a las rectas AM y BM. Lugar geométrico del punto de encuentro de estas rectas. /
Applet CabriJava
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Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013 14
178 En el plano se dan dos puntos A y B y una recta r perpendicular a AB. Se unen A y B a un punto variable C de r
y se trazan la perpendicular a AC por A y a BC por B. Lugar geométrico de la intersección de estas perpendiculares.
179 Dos circunferencias C1 y C2 se cortan en los puntos A y B; por B se traza una recta variable L que corta de nuevo
a C1 y C2 en dos puntos P1 y P2, respectivamente. Demuéstrese que las mediatrices de los segmentos P1P2 pasan por
un punto fijo.
180 Encontrar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de cuadrados de distancias a dos rectas dadas es
constante.
181 Dados dos puntos A y B y una perpendicular r a la recta que los une, se toma un punto cualquiera M de r y se
trazan las normales AP y BP a AM y BM, respectivamente, las cuales se cortan en P , determinar el lugar geométrico
de P .
182 Hallar la ecuación del cono de revolución de vértice (1, 1, 1) y de eje x = 2z −1, y = z y cuyo ángulo de la generatriz
con el eje es 60 ◦ .
183 Clasificar y hallar la ecuación reducida de la cuádrica siguiente:
Resp. Elipsoide
2x 2 + 2y 2 + 2z 2 − 2xy − 2xz + 2yz − 6x − 4y − 4z + 5 = 0.
184 Hallar el lugar geométrico de las rectas de intersección de pares de planos perpendiculares trazados por dos rectas
que se cruzan.
185 Hallar la ecuación de un elipsoide engendrado por una elipse homotética de la x 2 + 2y 2 − 1 = 0, z = 0 del plano
XOY , con centro en el eje OZ y que corte a la 2y 2 + 5z 2 = 1, x = 0 del plano Y OZ.
186 Una hipérbola está definida por el sistema de ecuaciones x 2 −9z 2 = 1, x = y ; y una elipse de ejes a, b proporcionales
a los números 3 y 2 paralelos al eje OX y OY se mueve, al mismo tiempo que se deforma, apoyándose en la hipérbola
anterior y describiendo el centro el eje OZ. Hallar la ecuación de la superficie engendrada.
Resp. 4x 2 + 9y 2 − 117z 2 − 13 = 0
187 Hallar la ecuación de la cuádrica generada por las rectas que se apoyan en las rectas x = 0, y = 0; x = 1, y = z;
x + y = 2, z = 0. (Indicación: Eliminar a, b, p y q entre las ecuaciones de la recta x = az + p, y = bz + q y la condición
para que esta corte a las tres dadas).
188 Sea la cuádrica en de ecuación x 2 + y 2 − z 2 = 1. Demostrar que contiene a dos familias de rectas F1, y F2 y que
dos rectas de una misma familia no se cortan y dos rectas de familias diferentes se cortan siempre.
189 Determinar las generatrices rectilíneas de la cuádrica xy − xz − z = 0.
190 Dadas las rectas paralelas al plano Y OZ: x = 0, y = 0; x = 1, y = 2z; x = 2, y = z.
Hallar la ecuación del paraboloide hiperbólico que determinan las rectas que cortan a las tres rectas. Hallar el haz
de planos tangentes en puntos de la recta x = y = 0.
191 Hallar las rectas
1) Del hiperboloide reglado x 2 + y 2 − z 2 = 1 que pasan por (5, −5, 7).
2) Del paraboloide hiperbólico z = x 2 /9 − y 2 /4 que pasan por (−6, −2, 3).
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Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013 15
192 Clasificar las siguientes cuádricas y determinar su centro:
x 2 + y 2 + 2z 2 − 2xz + 4y − 3z = 0
x 2 − y 2 + z 2 − 4xz + 2yz − 2x = 0
y 2 + 4z 2 − 2xz + 2y + 5 = 0
x 2 + 3y 2 − 2x + y − z = 0
3xy − 2x + y − 5z + 2 = 0
2x 2 + 2x − 3y − z − 1 = 0
x 2 + y 2 + z 2 − 4xz − 4y + 2 = 0
y 2 + 4xz + 1 = 0x 2 − 2y 2 − 2xy + 3yz − 6x + 7y − 6z + 7 = 0
2x 2 − 18y 2 − 6xy + 6xz + 9yz − 2x + 9y − 4z − 4 = 0
2x 2 − z 2 − xy − xz + yz + 2x − y + z = 0
x 2 + y 2 + z 2 − 2xy + 2xz − 2yz − 2x + 2y − 2z + 1 = 0
2x 2 + 3y 2 + 4z 2 + xy + xz − yz + 12x − 4y + 12z + 26 = 0
x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y + 6z + 14 = 0
x 2 + 3y 2 + 4z 2 − 6yz − 2xz = 0
x 2 + y 2 + z 2 + 2xy − 6xz + 2yz + 2x − 6y + 2z + 1 = 0
y 2 − z 2 + 2xy − 2xz − 4x − 3y = 0
x 2 + 2y 2 + z 2 − 2xy + 2yz + 2x − 4y − 2z + 1 = 0
x 2 − y 2 + xz + yz + 2y − 1 = 0
x 2 + z 2 + 2xz − 4x − 4z − 2y + 2 = 0
193 En el espacio euclídeo y respecto de una referencia rectangular, hallar la ecuación del hiperboloide reglado cuyos
ejes son los de referencia, que pasa por el punto (4, 0, 3) y contiene a la elipse de ecuación:
x 2
4
+ y2
5
= 1, z = 0.
194 Ecuación de la cuádrica lugar geométrico de las rectas que unen los pares de puntos que se obtienen al cortar por
plano paralelos al x + y + z = 0, el eje OZ y la recta
x − 1
2
= y − 1
3
195 Se considera el eje OZ y la recta r : x + y − 1 = 0, z = 0. Determinar la ecuación de la cuádrica formada por las
rectas que se apoyan en las dos rectas anteriores y en la recta S : x − z − 2 = 0, y − z + 1 = 0.
= z.
196 Hallar el lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos rectas fijas.
197 Superficie de traslación generada por la parábola x 2 = 2z, y = 0 cuando su vértice se desliza sobre la parábola de
ecuación y 2 = 6z, x = 0.
198 Hallar la ecuación del cilindro de revolución cuya sección recta es una circunferencia que pasa por los puntos de
intersección del plano x + y + z − 1 = 0 con los ejes coordenados.
199 Hallar el lugar geométrico de los puntos de las rectas que se apoyan en dos rectas fijas, manteniendo la distancia
entre pares de puntos de contacto en cada recta. Siendo una de tales rectas variables la perpendicular común.
200 Ecuación de la superficie engendrada por una recta variable paralela al plano XOY y que se apoya en la recta
x = a, y = bz y en el eje OZ.
201 Ecuación del cono de vértice (1, 2, −1) y directriz y2 + 4x, z = 0.
202 Sea el conjunto A =
a11 a12
aij ∈ IR i, j = 1, 2 . Probar que es un espacio afín sobre IR 4 con la
a21 a22
operación externa Φ: A × IR 4 → A
a11 a12
203 Sea el conjunto A =
a21 a22
a11 a12
a12 a22
+ (x 1 , x 2 , x 3 , x 4
a11 + x
) =
1 a12 + x2 a21 + x3 a22 + x4
aij ∈ IR i, j = 1, 2 .
1. Probar que es un espacio afín sobre IR 3 con la operación externa
a11 a12
+ (x 1 , x 2 , x 3
a11 + 2x
) =
1 a12 + x2 a12 a22
a12 + x 2 a22 + 3x 3
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.
.

Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013 16
2. Probar que no es un espacio afín sobre IR 2 con la operación externa
a11 a12
+ (x 1 , x 2
a11 + x
) =
1 a12
a22 + x2 a12 a22
204 En el espacio afín IR2[x], de los polinomios de segundo grado con coeficientes reales, con la operación natural sobre
IR 3 comprobar la regla del paralelogramo o relación de Chasles, para los puntos P = 1 + x + x2 , Q = 2 + 3x + x2 y
R = −7 + 2x + 3x2 ; esto es que −→ −→ −→
P Q + QR= P R.
205
206
1. Sean cuatro puntos A, B, C, D de un espacio afín. Comparar los vectores u = −→
AB + −−→
DC y v = −→
AC + −−→
DB.
2. Sean A, B, C puntos de un espacio afín y k un escalar. Se consideran además puntos B ′ , C ′ tales que −−→
−−→
AC ′ = k −→
AC. Comparar los vectores −→
BC y −−→
B ′ C ′ .
1. Sean A1, . . . , An puntos de un espacio afín y λ1, . . . , λn escalares tales que
v =
n
i=1
λi
−−→
OAi no depende del punto O elegido.
a12
.
AB ′ = k −→
AB,
n
λi = 0 entonces el vector dado por
2. Sean A, B, C, D puntos de un espacio afín A asociado a un espacio vectorial E. Sea la aplicación f: A → E que
a todo punto M ∈ A se le asocia el vector f(M) = −−→
MA + −−→
MB + −−→
MC −3 −−→
MD. Probar que la función f es
constante.
207
1. Se consideran dos paralelogramos ABCD y AB ′ CD ′ que tienen los vértices A y C comunes. Probar que BB ′ DD ′
es otro paralelogramo.
2. Sean los paralelogramos ABCD y A ′ B ′ CD que tienen los vértices C y D comunes. Probar que ABB ′ A ′ es otro
paralelogramo.
208 En el espacio afín natural IR 4 se consideran los subespacios H = {(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) / x 1 + x 2 = 4, x 3 + x 4 = α} y
F = {(3 + λ, 2 − 2λ, 2λ, −1 + λ) / λ ∈ IR}. Hallar α para que el subespacio afín engendrado por H y F tenga dimensión
mínima y determinar dicho subespacio.
209 Sean H y F subespacios afines de un espacio afín A con intersección no vacía. Probar que si H y F son paralelos
a otro subespacio afín G entonces H ∩ F y H + F también son paralelos a G.
210 En el plano afín se consideran las referencias cartesianas R = {O; u, v} y R ′ = {O; u ′ , v ′ }. Hallar la condición
necesaria y suficiente para que existan otros puntos distintos de O que tengan las mismas coordenadas respecto de R
y R ′ . Hallar el lugar geométrico de estos puntos.
/ Applet CabriJava
211 Sean A, B, C puntos del plano afín. Determinar el conjunto de puntos que tienen las mismas coordenadas respecto
de las referencias cartesianas {A; −→ −→ −→ −→
AB, AC} y {B; BC, BA}.
212 Consideremos A, B puntos del plano afín A2(E) y los vectores e1, e2, u, v ∈ E. Sean (a, b) las coordenadas del
vector −→
AB en la base { e1 − u, e2 − v}. Determinar el conjunto de puntos con iguales coordenadas en las referencias
cartesianas {A; e1, e2} y {B; u, v}.
213 Sean las referencias cartesianas R = {O; u1, u2} y R ′ = {O ′ ; u ′ 1, u ′ 2} donde −−→
OO ′ = 2u1 − 3u2, u ′ 1 = u1 + 3u2,
u ′ 2 = −u1 + u2. Hallar las ecuaciones del cambio de referencia de R a R ′ y de R ′ a R.
214 Estudiar si los puntos P (1, 0, 2, 1), Q(1, 1, 3, 0), R(0, 1, 1, 0) en A4(IR) son independientes o no.
215 En un espacio afín de dimensión tres estudiar cuáles de las siguientes familias de puntos son sistemas de referencia
afín:
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i=1

Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013 17
1. {A(0, 1, 1), B(0, 0, 1), C(1, 0, 0), D(1, 1, 1)};
2. {A(1, −1, 1), B(0, 0, 1), C(1, 0, 1), D(0, 1, 1)};
3. {A(1, 1, 1), B(2, 1, 3), C(2, 2, 1), D(0, 0, 1)}.
216 Sean los puntos A(1, 3, −1), B(2, 3, −2), C(2, 4, −1) y D(2, 5, −1) en A3(IR). Probar que R = {A, B, C, D} es una
referencia afín y hallar las coordenadas de P (1, 0, 1) respecto de R.
217 Se consideran las referencias afines R = {O, P1, P2} y R ′ = {P1, P2, O}. Hallar las fórmulas del cambio de sistema
de referencia.
218 Si ABCDEF es un hexágono regular con centro O y se elige como referencia cartesiana R = {O; −→
OA, −→
OB}, hallar
las coordenadas de los vértices y los vectores −→ −→ −−→ −−→ −→ −→
AB, BC, CD, DE, EF , F A en función de los básicos.
219 Sea la referencia cartesiana R = {O; u1, u2} y el conjunto de puntos X(x, y) que verifican 6x 2 − 5xy + y 2 = 1
(hipérbola). Consideremos una nueva referencia R ′ = {O, v1, v2} donde v1 = u1 + au2, v2 = bu1 + cu2 con c − ab = 0.
Hallar a, b, c para que en la nueva referencia el conjunto de puntos anterior tenga por ecuación x ′ y ′ = 1.
/ Applet CabriJava
220 Sea ABC un triángulo y A ′ , B ′ , C ′ puntos de un espacio afín A tales que −−→
BA ′ = λ −→
BC, −−→
CB ′ = λ −→
CA, −−→
AC ′ = λ −→
AB.
1. Probar que para todo punto M ∈ A, −−→
MA ′ + −−→
MB ′ + −−→
MC ′ = −−→
MA + −−→
MB + −−→
MC.
2. Demostrar que los triángulos ABC y A ′ B ′ C ′ tienen el mismo baricentro.
221 Sean A1, A2, A3 puntos de un espacio afín A y λ, µ escalares tales que λ + µ = 0. Denotemos por G1, G2 y G3
los baricentros de {A2, A3}, de {A3, A1} y de {A1, A2}, respectivamente, todos ellos con pesos (λ, µ). Probar que los
triángulos G1G2G3 y A1A2A3 tienen el mismo baricentro.
222 Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo que las coordenadas respecto de una referencia
cartesiana fijada de los puntos medios de sus lados son (−2, 1), (5, 2), (2, −3).
223 Sean A, B, C y D puntos de un espacio afín tridimensional que forman un tetraedro. Denotemos por B ′ , C ′ , D ′ los
puntos medios de AB, AC y AD, y por B ′′ , C ′′ , D ′′ , los puntos medios de los segmentos CD, DB, y BC, respectivamente.
Se pide:
1. Probar que existe un único punto G que verifique que −→
GA + −→ −→ −−→
GB + GC + GD= 0.
2. Hallar las coordenadas, respecto de la referencia cartesiana {A; −→ −→ −→
−→ −→ −→ −−→
AB, AC, AD}, de los vectores AG, BG, CG y DG.
3. Probar que G es el punto medio de los segmentos B ′ B ′′ , C ′ C ′′ y D ′ D ′′ .
224 Se consideran en un espacio afín tridimensional, O, A, B y C cuatro puntos y R{O; −→
OA, −→ −→
OB, OC}, referencia
cartesiana. Denotemos por O ′ , A ′ , B ′ y C ′ los baricentros de los triángulos ABC, BOC, COA y AOB, respectivamente.
Se pide:
1. Expresar los vectores −−→
OO ′ , −−→
O ′ A ′ , −−→
O ′ B ′ y −−→
O ′ C ′ en la referencia R.
2. Si R ′ {O ′ ; −−→
O ′ A ′ , −−→
O ′ B ′ , −−→
O ′ C ′ } es un nueva referencia cartesiana, hallar las ecuaciones que permiten pasar de R a R ′ .
3. Hallar las ecuaciones que permiten pasar de R ′ a R.
225 Dada la recta en coordenadas homogéneas x 0 − x 1 − 2x 2 = 0, referirla al sistema de coordenadas baricéntricas
definido por los puntos A0(1, 2, 1), A1(2, 3, −1), A2(3, 1, 4).
226 Sea ABC un triángulo del plano afín real ordinario y A ′ , B ′ y C ′ los puntos medios de los segmentos BC, CA y
AB, respectivamente.
1. Demostrar que existe un punto G, único, tal que −→
GA + −→
GB + −→
GC= 0.
2. Demostrar que 3 −→
GA +2 −−→
AA ′ = 3 −−→
GD +2 −−→
BB ′ = 3 −→
GC +2 −−→
CC ′ = 0.
3. Demostrar que para todo punto M del plano se verifica −−→
MA + −−→
MB + −−→
MC= 3 −−→
MG.
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Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013 18
227 Dados tres puntos A, B, C distintos y no alineados en el plano afín, comprobar que el punto A es el baricentro de
los puntos B, D = C+ −→
−→
BA y E = A+ CA, afectados de las mismas masas.
228 En un espacio afín sean G y G ′ los baricentros de los triángulos P QR y P ′ Q ′ R ′ , respectivamente. Demostrar que
−−→
P P ′ + −−→
QQ ′ + −−→
RR ′ = 3 −−→
GG ′ .
229 Determinar escalares α y β para que le baricentro de los puntos A(0, 1) y B(2, 4) del plano afín ordinario IR 2 ,
afectados de las masas α y β, respectivamente, sea el punto C(ξ, η), tal que la razón simple (ABC) = 1/2. ¿Cuáles son
las coordenadas de C?
230 En un sistema de referencia cartesiano las coordenadas de tres puntos son (1, 0), (1, 2), (2, 1) y en otro son,
respectivamente, (4, 4), (2, 4), (5, 5). ¿Cuáles son las coordenadas de uno de los origenes en función del otro?
231 Dado un triángulo ABC del plano afín real y tres puntos A ′ , B ′ y C ′ en los lados BC, AC y AB, respectivamente,
encontrar una condición necesaria y suficiente para que tengan el mismo baricentro los triángulos ABC y A ′ B ′ C ′ .
232 En la recta afín real y respecto a una referencia cartesiana {O; e} se tiene la ecuación x 3 +3x 2 +5x+8 = 0, referirla
a una nueva referencia cartesiana {O ′ ; e}, tal que el origen sea el baricentro de las tres raices en el nuevo sistema.
233 Hacer un cambio de origen en la recta afín real para que la ecuación x 2 − (α + β)x + αβ = 0 se transforme en otra
que carezca de término independiente.
234 Elegir un nuevo origen, en la recta afín real, de modo que la transformada de la ecuación x 3 − 6x 2 + 9x − 4 = 0
carezca de término de segundo grado.
235 Sean A1, . . . , Ar puntos de un espacio afín. Demostrar que las rectas que unen cada Ai con el baricentro de los
puntos restantes son concurrentes (en el baricentro de A1, . . . , Ar).
236 Dado el triángulo ABC, sean A ′ , B ′ y C ′ los puntos medios de los lados BC, AC y AB, respectivamente y M el
baricentro del triángulo ABC.
Obtener las coordenadas baricéntricas de los puntos A, B, C, A ′ , B ′ , C ′ y M y las ecuaciones de las rectas que cada
par de estos puntos determinan, respecto al sistema de referencia afín {A, B, C}. Lo mismo respecto al sistema de
referencia afín {A ′ , B ′ , C ′ }.
237 En el plano afín real se consideran tres puntos A, B y C independientes, y el punto P , baricentro de los puntos
A, B y C afectados de las masas 1, 2 y 3, respectivamente.
Determinar las coordenadas cartesianas de los cuatro puntos A, B, C y P y las ecuaciones de las seis rectas determinadas
por los pares de puntos A y B, A y C, B y C, A y P , B y P , C y P , respecto a las tres referencias cartesianas
R1 = {A; −→ −→
AB, AC}, R2 = {B; −→ −→
BA, BC}, R3 = {C; −→
CA, −→
CB}.
Si (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3) son las coordenadas de un punto genérico X del plano respecto a los sistemas de
referencia R1, R2 y R3, respectivamente, ¿cuáles son la relación entre dichas coordenadas?
238 Debilitación de la recta de Euler:
Sea una paralela al lado F G de un triángulo EF G, que interseca a los lados EF y EG en H y J respectivamente.
Sean dos rectas arbitrarias r y s que pasen por H y J que tengan por intersección P . Tomemos dos rectas t y u paralelas
a r y s por los vértices opuestos correspondientes (G y F ), que tendrán por intersección Q. Sea M la intersección de
GH y F J. Demostrar que los puntos P , Q y M son colineales, y se tiene: P M/MQ = EH/EF .
239 Debilitación de la recta de Euler:
A través de cada uno de los dos puntos medios M y N de los lados AC y BC de un triángulo ABC, pasan rectas
arbitrarias y denominamos su intersección C1. Construimos paralelas a estas rectas a través de los correspondientes
vértices opuestos (B y A, respectivamente) y llamamos a su intersección C2. Demostrar que los puntos C1, C2 y el
baricentro G están alineados. La distancia del baricentro al punto C1 es la mitad de la distancia del baricentro al punto
C2.
240 Hallar la distancia entre las rectas 2x + 3y − 21 = 0, 2x + 3z − 18 = 0 2x + 2y − 7 = 0, 2y − z − 3 = 0.
241 Demostrar que en un triángulo las tres alturas son concurrentes.
http://webpages.ull.es/users/amontes Angel Montesdeoca. La Laguna, 2012