Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013 - Geometría

Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013 10
124 En un plano se dan: una circunferencia fija C de centro O y radio r, y una recta ℓ que dista d del punto fijo O.
La tangente en un punto T de la circunferencia encuentra a ℓ en M. Hallar el lugar geométrico de los puntos donde la
perpendicular a OM en O encuentra a la tangente T M cuando T varía. Describir el lugar.
/ Applet CabriJava
Resp. Cónica bitangente a C en la intersección con la perpendicular a ℓ por O.
125 Se considera la elipse: x2 y2
+ = 1 (a = b). Se pide determinar el lugar geométrico de los puntos X del plano
a2 b2 cuya polar es perpendicular a la recta XP donde P es un punto fijo del plano de coordenadas (α, β). Estudiar el lugar
resultante.
/ Applet CabriJava
Resp. Hipérbola: (a 2 − b 2 )xy + βb 2 x − αa 2 y = 0.
126 Ecuación de la cónica con centro en (1, 1), tal que y = 1 es un eje y la polar del punto (2, 2) es la recta x+y −3 = 0.
Resp. Elipse: (x − 1) 2 + (y − 1) 2 = 1.
127 Dado el triángulo determinado por las rectas x = 0, y = 0 y x + 2y − 2 = 0, hallar el lugar geométrico de los
puntos P tales que sus proyecciones ortogonales sobre los tres lados determinan un triángulo de área constante igual a
k. Estudiar el lugar obtenido.
Resp. Circunferencia: x 2 + y 2 − 2x − y = 5k.
128 Se da la parábola y 2 = 2px y un punto A(a, b). Por el vértice O de la parábola se traza una cuerda variable OB.
Se proyecta el punto B sobre la tangente en el vértice, obteniéndose un punto C, y se une C con A. Se pide:
a) Lugar geométrico de los puntos de encuentro de las rectas OB y AC.
b) Discutir el lugar haciendo variar la posición del punto A en el plano.
/ Applet CabriJava
Resp. Cónica: 4px 2 + (2a + p)y 2 − 2bxy − 4apx − bpy = 0.
129 Desde un punto cualquiera de la directriz de la parábola y 2 = 2px, se traza la perpendicular a su polar
correspondiente. Lugar geométrico del punto de intersección de estas dos rectas.
/ Applet CabriJava
Resp. El foco de la parábola.
130 En el plano euclídeo y respecto de una referencia rectangular, obténgase la ecuación general de las cónicas que
tienen como foco y vértice, correspondientes a un mismo semieje, a dos puntos dados.
131 Determinar una hipérbola tangente a la cónica 3x 2 − 2xy + 5y 2 − x + y = 0, en los los puntos de intersección con
la recta x − 2y + 1 = 0, teniendo además una asíntota paralela al eje OX. Hallar la dirección de la otra asíntota.
Resp. Haz bitangente. 7y 2 − 10xy + 7x − 13y + 3 = 0. Asíntotas: m = 0, m = 10/7.
132 Cónica determinada por los puntos de intersección de los pares de rayos homólogos de dos haces proyectivos que
desde V (0, 0) y V ′ (punto impropio de la recta y − 2x + 3 = 0) proyectan A(1, 1), B(1, 0) y C, punto variable de la recta
y = 3. / Applet CabriJava
Resp. Si C(t, 3), (12t − 24)x 2 − (4t 2 − 4t − 6)xy + (2t 2 − 5t + 3)y 2 − (12t − 24)x + (2t 2 + t − 9)y = 0
133 Si dos cónicas tienen un punto común en el que sus tangentes son distintas, entonces ellas tienen al menos otro
punto común.
134 Haz de cónicas con cuatro puntos de contacto con la circunferencia (x − 1) 2 + y 2 − 4 = 0 en el punto (1, 2).
Resp. (2y − 4) 2 + λ (x − 1) 2 + y 2 − 4 = 0.
135 Hallar la ecuación de la cónica C que pasa por: A(1, 0, −1), B(1, 0, 1), C(1, 2, 1), D(1, 2, −1) y E(1, 3, 0).
Resp. Elipse x 2 + 3y 2 − 2x − 3 = 0. Centro (1, 0). Ejes paralelos a los de coordenadas.
136 Hallar la ecuación de la cónica tangente a tA : x − 3y = 0 en A(3, 1) que pasa por los puntos B(1, 2), C(−1, 2) y
D(2, 0).
Resp. tA.BB + λAB.AC = (x − 3y)(2 − y) + λ(x + 4y − 7)(x + 2y − 5) = 0, λ = −4/15.
http://webpages.ull.es/users/amontes Angel Montesdeoca. La Laguna, 2012