Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013 - Geometría

Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013 3
b) 2x − y + 3z = 1, x + 3y − z = 2.
Resp. a) (0 : 3 : −1 : 1), b) (0 : −8 : 5 : 7).
31 En el espacio cuatridimensonal IR 4 un punto tiene coordenadas (x, y, z, t). Consideremos los hiperplanos:
x + y + z + t = 0, x + 2y + 3z + 4t = 0.
Encontrar dos puntos impropios distintos que pertenezca a la intersección de los dos hiperplanos.
Resp. Puntos de la recta λ(0 : 2 : −3 : 0 : 1) + µ(0 : 1 : −2 : 1 : 0)
32 Determinar las ecuaciones de la homografía que transforma los puntos A(0 : 0 : 1), B(0 : 1 : 0), C(1 : 0 : 0), D(1 : 1 : 1)
respectivamente en los puntos B, C, D, A. Hallar los elementos dobles de la misma.
/ Applet CabriJava
⎛ ⎞ ⎛
⎝ x′0
x ′1
1 −1 0
1 0 −1
⎞ ⎛
⎝ x0
x 1
⎞
Resp. ρ
x ′2
⎠ = ⎝ ⎠
1 0 0 x2 ⎠. Pto. doble (1 : 0 : 1). Recta doble [1 : −1 : 1].
33 Una afinidad (homografía en el plano afín ampliado que conserva la recta impropia) variable tiene al origen de
coordenadas como doble; hace corresponder al punto del infinito del eje “x” el del eje “y” y recíprocamente; al punto
U(1, 1) le corresponde el punto U ′ variable a lo largo de la recta x + y = 0. Se pide:
1) Qué forman las homólogas de la recta x + y + 1 = 0.
2) Ecuación de la proyectividad subordinada en el origen.
Resp. x ′ = ty, y ′ = −tx, 1) x − y − 1/t = 0, 2) y = mx ↦→ y = −mx.
34 En coordenadas no homogéneas, hallar al ecuación de la homografía que tiene por puntos dobles el origen y los
impropios de cada uno de los ejes OX y OY , teniendo además como puntos homólogos (1, 1) ↦→ (2, −3).
Resp. x ′ = 2x, y ′ = −3y.
35 Hallar la ecuación de la afinidad determinada por los pares de puntos homólogos (1, 0, 0) ↦→ (1, −1, 0), (1, 1, 0) ↦→
(1, 0, 0), (1, 0, 1) ↦→ (1, 1, 1)
Resp. x ′ = x + 2y − 1, y ′ = y.
36 Se dan dos puntos P y Q y dos rectas r y s del plano, tales que los puntos no están en las rectas y que las tres rectas
P Q, r y s no son concurrentes. A cada punto X se le hace corresponder el punto X ′ tal que P X y QX ′ se cortan en r
y P X ′ y QX en s. Probar que se trata de una homografía y hallar los elementos dobles.
37 Encontrar la condición necesaria y suficiente para que mediante una transformación afín a cualquier recta le
corresponda una recta paralela a ella. ¿De qué transformaciones particulares se trata?
38 Sean 4 puntos A, B, C y D sobre una circunferencia C. Se trazan las rectas ABy CD, que se cortan en un punto P .
Probar que los triángulos P AC y P BD son semejantes.
39 Sea ABC un triángulo y sea P sobre AC. Sean M y N los puntos medios de AP y BC respectivamente. Sabiendo
que BAC = BMN, demostrar que los triángulos P BM y BMC son semejantes.
/ Applet CabriJava
40 Se dan, en el plano, dos rectas paralelas a y b y dos puntos P y Q. Se proyecta un punto A de a sobre b desde P y
Q, obteniéndose, respectivamente, los puntos B y C. Demostrar que las medianas del triángulo ABC, cuando A varía,
cortan a la recta P Q en tres puntos fijos. / Applet CabriJava
41 Grupo de movimientos en IR 2 que dejan fijo cada uno de los siguientes conjuntos:
A) Un triángulo equilátero. B) Un cuadrado. C) Dos rectas que se cortan. D) Una recta y un punto no contenida
en ella.
42 Inscribir un cuadrado en un triángulo, de tal modo que un lado del cuadrado esté sobre la base del triángulo y los
otros dos vértices en los otros lados del triángulo. / Applet CabriJava
43 Dada la recta x = a, un punto M(ξ, η) se proyecta ortogonalmente sobre x = a en D y se traza OM que corta a
x = a en C. Una paralela a OX por C corta a OD en N. Hallar las ecuaciones de la transformación M ↦→ N. ¿Cuál
es la ecuación del lugar geométrico de N cuando M describe la circunferencia (x − b) 2 + y 2 = b 2 ? / Applet CabriJava
http://webpages.ull.es/users/amontes Angel Montesdeoca. La Laguna, 2012