TD 3 : Matrices et Déterminants Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 ...

TD 3 : Matrices et Déterminants
Exercice 1
Determiner (selon le réel a) le rang des matrices suivantes:
A =
⎛
⎜
⎝
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
⎞ ⎛
⎟
⎠ , B = ⎜
⎝
1 1 0 1
3 2 −1 3
a 3 −2 0
−1 0 −4 3
⎞
⎛
⎟
⎠ et C =
⎝ 2 0 −3 −1 7
1 4 −1 2 4
−2 3 2 1 4
⎞
⎠ .
Exercice ( 2 ) A B
Soit M =
une matrice carrée décomposée en blocs. On suppose
C D
que A est inversible. Montrer que rang(M) = rang(A) + rang(D − CA −1 B).
Exercice 3
Soit M ∈ M n (K) une matrice de trace nulle.
1) Montrer qu'il existe une matrice colonne X 1 telle que MX 1 ne soit pas
colinéaire à X 1 .
( ) 0 . . .
2) En déduire que M est semblable à une matrice M =
. où
. M 1
M 1 ∈ M n−1 (K) et tr(M 1 ) = 0.
3) Montrer que M est semblable à une matrice diagonale nulle.
4) Montrer qu'il existe deux matrices carrées A et B telles que M = AB −
BA.
Exercice 4
Soit M une matrice carrée réelle de taille n antisymétrique.
1) Montrer que I n + M est inversible( si MX = 0, calculer t (MX)(MX)).
2) Soit A = (I n − M)(I n + M) −1 . Montrer que t AA = I n .
Exercice 5
Soit A une matrice carrée de taille n sur un corps commutatif K telle que
A k = I n (k ≠ 0). On pose B = I n + A + A 2 + . . . + A k−1 . Soient u, v les
endomorphismes de K n de matrices A et B dans la base canonique.
1) Montrer que : Ker(u−id) = Imv, Im(u−id) = Kerv, Kerv⊕Imv = K n .
2) En déduire: trB = k rangA.
Exercice 6
1) Soit f l'application linéaire de R 4 dans R⎛
3 dont la matrice relativement
aux bases canoniques (I, J, K, L) et (i, j, k) est ⎝ 4 5 −7 7 ⎞
2 1 −1 3 ⎠ .
1 −1 2 1
On dénit deux nouvelles bases: B = (I, J, 4I + J − 3L, −7I + K + 5L) et
B ′ = 4i + 2j + k, 5i + j − k, k).
Quelle est la matrice de f relativement à B et B ′ .
1

2) Soient A =
⎛
⎜
⎝
et B sont semblables.
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
⎞ ⎛
⎟
⎠ et B = ⎜
⎝
1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 1
⎞
⎟
⎠ . Montrer que A
Exercice 7
Calculer les déterminants suivants:
a 1 0 0 . . . 0 0 0
Cn 0 Cn 1 . . . Cn
p 1 a 1 0 . . . 0 0 0
Cn+1 0 Cn+1 1 . . . C p 0 1 a 1 . . . 0 0 0
n+1
.
,
0 0 1 a . . . 0 0 0
,
. . . .
.
∣ Cn+p 0 Cn+p 1 . . . C p ∣
.
.
.
. . . .
.
.
.
n+p
0 0 . . . 0 . . . 1 a 1
∣
∣ 0 0 . . . 0 . . . 0 1 a ∣
0 1 2 . . . n − 1
1 0 1
.
. 2 1 1 .. 2
.
. .
.. . .. 1
∣ n − 1 . . . 2 1 0 ∣
∣
a 1 b 1 . . . . . . b 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b 2 a 2 + b 2 b 2 . . . b 2
.
.
..
. ..
,
.
.
.. bn−1
b n . . . . . . b n a n + b n
Exercice 8
Soient A, B ∈ M n (R).
1) Montrer que si AB ( = BA ) alors det(A 2 + B 2 ) ≥ 0.
A B
2) Si on pose M =
, montrer que detM = det(A + B)det(A − B).
B A
3) Montrer que si A est triangulaire alors comA l'est aussi.
4) Calculer com(com(A) dans le cas où A est inversible.
5) Si rangA ≤ n − 2, démontrer que comA = 0.
6) Si rangA = n − 1, démontrer que rang(comA) = 1.
7) Dans le cas général, démontrer que com(comA) = det(A) n−2 A.
8) Si A et B sont inversibles, démontrer que com(AB) = (comA)(comB).
Exercice 9
Soient ( A, B, ) C, D ∈ M n (K) avec A inversible et AC = CA. On considère
A B
M =
∈ M
C D
2n (K). Montrer que det(M) = det(AD − CB).
Exercice 10
Soient u, v deux endomorphismes d'un C-espace vectoriel E de dimension
nie, u inversible, v nilpotent et uov = vou.
1) Démontrer que det(v) = 0. Chercher le polynôme caractéristique de v et
en déduire que det(id E + v) = 1.
2) Démontrer que det(u + v) = detu.
3) Si F et G sont supplémentaires et stables par un endomorphisme quelconque
f de E, alors detf = (detf) |F (detf) |G .
2