transfert du rayonnement électromagnétique

Ahmed Chouket
cours : Le rayonnement électromagnétique
Chapitre 3 : Le rayonnement électromagnétique
I) Généralités
Le rayonnement est un mode de transfert particulièrement important dans de nombreuses situations
industrielles à hautes températures (fours par exemple) mais aussi géophysiques (refroidissement
nocturne de la Terre). Le rayonnement est à la base de nombreuses m´méthodes de mesures de
température (caméra infra-rouge, pyromètre à filament) qui sont non-intrusives et permettent d’opérer
à distance, d’où l’importance d’étudier soigneusement le rayonnement.
Le rayonnement thermique est de nature électromagnétique en raison de l’agitation de la matière sous
l’effet de la température. Une onde électromagnétique consiste en un champ électrique E⃗ , un champ
magnétique B⃗ et un vecteur d’onde k⃗ , tous trois perpendiculaires. L’onde se propage dans la direction
du vecteur d’onde avec une vitesse c qui varie selon le milieu qu’elle traverse. Cette vitesse vaut
v = c⁄ n où c est la vitesse de la lumière dans le vide et n l’indice du milieu. La fréquence f d’une
onde électromagnétique ne varie pas avec le milieu qu’elle traverse. Elle est liée à v par la relation :
λ = vT = v f = c
nf
où λ est la longueur d’onde électromagnétique. On voit donc que la longueur d’onde sera fonction du
milieu traversé.
Seules les longueurs d’onde comprises entre 0.4μm et 0.8μm sont visibles par l’œil. La figure illustre
la variété de rayonnements existants.
Figure: Divers rayonnements électromagnétiques classés selon leur longueur d’onde.
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II) Structure du rayonnement
1) Transfert énergétique par ondes électromagnétiques
On a vu dans Équations de Maxwell qu'il existe une énergie électromagnétique et que cette énergie
peut se déplacer. Ce déplacement d'énergie est caractérisé par le vecteur de Poynting π⃗ .
Par exemple, les ondes planes permettent un transfert de l'énergie et un dipôle oscillant rayonne de
l'énergie par le biais d'un champ électromagnétique.
Le rayonnement est un mode d'échange d'énergie par émission et absorption de radiations
électromagnétiques. L'échange thermique par rayonnement se fait suivant le processus :
‣ Emission. Il y a conversion de l'énergie fournie à la source en énergie électromagnétique
‣ Transmission. La transmission de cette énergie électromagnétique se fait par propagation des
ondes avec éventuellement absorption par le milieu traversé.
‣ Réception. A la réception, il y a conversion du rayonnement électromagnétique incident en
énergie thermique (absorption).
2) Origine du rayonnement : Modèle corpusculaire et la transition électronique
Il existe une dualité onde-corpuscule pour les ondes électromagnétiques : celles-ci peuvent être
modélisées par le déplacement de photons.
Le photon est une particule sans masse mais contenant une énergie (c'est en quelque sorte un « grain
d'énergie »). À une onde électromagnétique de fréquence ν et de longueur d'onde λ = c⁄ υ est associé
un déplacement de photons d'énergie.
3) Loi de Planck de la transition électronique
Le passage du niveau d'énergie E à un niveau d'énergie ε = E − ∆E = hν = hc⁄ λ s'accompagne de
l'émission d'un rayonnement de fréquence ν et d'énergie hν où h = 6,626176 × 10 −34 J s est la
constante de Planck.
Le rayonnement trouve son origine lors d'une transition électronique entre deux états d'énergie d'une
molécule ou d'un atome.
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III) Interaction entre systèmes et champs
Les systèmes matériels peuvent interagir avec les champs électromagnétiques par le biais de deux
phénomènes :
– l'émission thermique : l'agitation thermique des particules chargées d'un système peut émettre un
rayonnement électromagnétique. Tout système rayonne donc un champ électromagnétique, il y a alors
conversion d'énergie interne en énergie électromagnétique ;
– l'absorption : un système matériel peut absorber une partie du champ électromagnétique qu'il reçoit,
il y a ici conversion d'énergie électromagnétique en énergie interne.
1) Réception d'un rayonnement électromagnétique
Quand un système matériel reçoit un rayonnement électromagnétique, trois phénomènes entrent en jeu
:
– la réflexion : une partie du rayonnement est renvoyée sans pénétrer dans le système,
– la transmission : une partie du rayonnement traverse le système sans être affectée,
– l'absorption : une partie du rayonnement est absorbée par le système.
Pour un flux incident Φ i , on définit les quantités suivantes (cf. tableau) :
• Flux incident : Φ i
• Flux réfléchi : Φ r
• Flux absorbé : Φ a
• Flux transmis : Φ t
• réflectivité: c’est la fraction d’énergie
réfléchie par rapport à l’énergie incidente
r = Φ r
Φ i
• absorptivité : c’est la fraction d’énergie
absorbée par rapport à l’énergie incidente
a = Φ a
Φ i
• transmittivité : c’est la fraction d’énergie
transmise par rapport à l’énergie incidente
t = Φ t
Φ i
Figure 3.3: Définition des flux
réfléchis, absorbés, transmis.
Considérons un matériau recevant un flux d’énergie électromagnétique i . Ce flux peut être réfléchi
en partie r , transmis en partie t ou absorbé en partie a .
La conservation de l’énergie impose que : i = r + t + a
r
t
a
Cette relation peut encore s’écrire : 1 r t a
i i i
La conservation de l’énergie impose : r + a + t = 1
Ces paramètres caractérisent le comportement d'un corps vis à vis du rayonnement reçu. Le coefficient
a est important en thermique : il mesure la proportion de conversion du rayonnement
électromagnétique incident en énergie thermique.
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Ces grandeurs varient selon la valeur de λ. Ainsi le verre laisse passer les UV et il est opaque aux
Infra-rouges. On doit donc définir r λ , a λ , t λ qui sont les réflectivité, absorptivité et transitivité
monochromatiques. Elles dépendent aussi de la direction d’émission.
2) Classification des corps soumis à un rayonnement
Selon la nature du corps, et selon la longueur d'onde du rayonnement incident l'un de trois
phénomènes : réflexion, transmission et absorption, peut être prépondérant.
Le Comportement du milieu lors de l'arrivée d'un rayonnement électromagnétique dépend en grande
partie de la nature de ce milieu. On distingue ainsi :
Corps transparents : un rayonnement électromagnétique arrivant sur un milieu transparent est
transmis ou réfléchi, un milieu transparent n'absorbant pas d'énergie électromagnétique.
Lorsqu'un rayonnement ne subit aucune atténuation lors de la traversée d'un milieu, on dit que
le milieu est transparent pour ce rayonnement. C'est le cas du vide pour toutes les radiations,
de certains gaz (N 2 , 0 2 notamment) dans le visible et l'infrarouge.
Corps opaques : un rayonnement arrivant sur un milieu opaque est absorbé ou réfléchi, un
milieu opaque ne transmettant pas d'énergie électromagnétique. La grande majorité des solides
et des liquides sont dits « opaques », car ils arrêtent la propagation de tout rayonnement dès
qu’il arrive à leur surface : ces corps se réchauffent par absorption du rayonnement.
Corps semi-transparents : Par contre certains corps sont partiellement transparents car l'onde
électromagnétique peut se propager dans le milieu considéré. La propagation s'accompagne
d'une absorption électromagnétique qui accroit l'énergie du milieu traversé.
Ces milieux sont des cas limites idéaux, ils servent à modéliser les milieux réels.
Les rayons lumineux interagissent avec la matière de sorte que si certains corps la laissent passer
(corps transparents) certains autres l’absorbent en partie ou en totalité (corps opaques).
1er cas : Corps opaque :t = 0 → r + a = 1. La majorite des liquides et des solides sont des
corps opaques.
‣ Si r = 0 → a = 1 ce corps opaque s’appelle un corps noir
‣ Si a = 0 → r = 1 c’est le cas d’un corps blanc
2ème cas : Corps totalement transparent : a = r = 0 → t = 1 : ce corps n’émet pas et n’absorbe pas
aussi. Exemple : les gaz simples (0 2 , N 2 , H 2 , etc.), le vide, l’air, etc.
3ème cas : Corps partiellement transparent : il y a diminution de l'énergie transportée pendant la
traversée du corps. C'est le cas de certains gaz (CO 2 , H 2 O, CO...) et de certains solides (plastiques,
verres).
Remarque :
Le coefficient a est faible pour les surfaces métalliques polies et non oxydées. Il augmente pour les
corps qui apparaissent noirs mais reste toujours inferieur à l'unité.
III) Notion du Corps noir
1) Définition
C’est un corps idéal qui absorberait, s’il existait, tout rayonnement qu’il recevrait, quelle que soit sa
longueur d’onde. Pour qu’un corps noir reste en équilibre thermique (sa température reste constante) il
doit émettre également de l’énergie par rayonnement. Son absorptivité est donc égale à 1. L’intérêt du
corps noir réside dans le fait qu’il sert de référence pour définir les propriétés radiatives d’un corps
réel. Il est important de noter qu’un corps noir n’est pas forcement de couleur noire. Un corps de
couleur noire est donc noir dans le visible mais peut ne pas l’être pour d’autres longueurs d’onde. On
peut réaliser expérimentalement un corps noir en réalisant le montage de la figure 3.4 où une cavité est
percée d’un petit trou qui piège les rayons entrants. Elle est équipée de résistances électriques pour
réguler sa température.
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Le corps noir sert de référence à l’étude du rayonnement thermique des corps. Le corps noir
correspond à un corps susceptible d’absorber tout le rayonnement qu’il reçoit, mais aussi capable de le
réémettre intégralement. On parle de radiateur intégral et d’émetteur intégral.
Si =1 le matériau absorbe tout le rayonnement qu’il reçoit, on parle alors de corps noir
2) Corps noir
C’est un corps qui absorbe toutes les radiations qu’il reçoit indépendamment de son épaisseur, de sa
température, de l’angle d’incidence et de la longueur d’onde du rayonnement incident, il est défini par
: a T = 1.
Une surface enduite de noir de fumée est approximativement un corps noir.
Propriétés du corps noir :
- Tous les corps noirs rayonnent de la même manière.
- Le corps noir rayonne plus que le corps non noir à la même température.
3) Corps gris
Un corps gris est un corps dont le pouvoir absorbant a T est indépendant de la longueur d’onde du
rayonnement qu’il reçoit. Il est défini par : a T = a T .
En général, on considère les corps solides comme des corps gris par intervalle et on utilise un pouvoir
absorbant moyen vis-à-vis du rayonnement émis pour l < 3 m (rayonnement émis par des corps à
haute température comme le Soleil) et un pouvoir absorbant moyen vis-à-vis du rayonnement émis
pour l > 3 m (rayonnement émis par les corps à faible température : atmosphère, absorbeur
solaire,...).
On doit donc retenir qu’un corps noir absorbe tout rayonnement incident mais émet suivant une loi
particulière: la loi de Stefan-Boltzman.
II) Rayonnement d'équilibre thermique d’un corps noir
1) Définition
Le rayonnement d'équilibre thermique est défini pour une température T, c'est le rayonnement du
champ électromagnétique dans une enceinte fermée, vide, dont la paroi est opaque et maintenue à la
température T. La paroi absorbe, réfléchi et émet un rayonnement électromagnétique, et il y a équilibre
entre le champ électromagnétique et la paroi.
L'expérience montre que le rayonnement thermique ne dépend pas de la nature de la paroi ou de la
forme ou du volume de l'enceinte, il ne dépend que de la température.
2) Modélisation par un gaz de photons
D'après le modèle corpusculaire du rayonnement électromagnétique, le rayonnement d'équilibre
thermique peut être modélisé par un gaz de photons. On attribue au gaz de photons les propriétés d'un
gaz de particules matérielles :
– les photons sont répartis uniformément dans l'enceinte,
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– les photons se déplacent dans toutes les directions (la répartition des vitesses suivant les différentes
directions est homogène) à la vitesse de la lumière dans le vide c.
3) Condition de rayonnement d'un corps
A la température du zéro absolu, les électrons ne peuvent se déplacer : ils sont prisonniers des atomes.
Par contre, tous les corps matériels, dont la température est supérieure à 0=K, sont capables d'émettre
de l'énergie sous forme de rayonnement et d'en échanger entre eux.
Un corps à la température T émet des ondes de plusieurs fréquences différentes, et la répartition de
cette énergie dépend de la température du corps. La quantité d'énergie émise est liée à la température.
4) Densité d'énergie et flux énergétique
On note u(T) la densité d'énergie définie en électromagnétisme : elle ne dépend que de la température
d'après ce qui a été dit plus haut. Pour le modèle du gaz de photons, u représente la densité d'énergie
portée par les photons. Si tous les photons portent la même énergie ε, la densité particulaire de photons
n∗ est reliée à la densité d'énergie u par u = ε n∗. Comme les photons sont répartis uniformément (il y
a en tout point la même densité de photons de même énergie), la densité d'énergie est uniforme à
l'intérieur de l'enceinte.
Un corps placé dans l'enceinte reçoit de l'énergie électromagnétique. On note ϕ le flux d'énergie
électromagnétique reçu par ce corps, il correspond à l'énergie des photons reçus.
5) Densités spectrales
Une onde transporte avec elle de l’énergie. Lorsqu’elle est émise par un corps radiant, celui-ci perd
donc un certain flux d’énergie Φ (Watt). De même, un corps frappé par une onde électromagnétique
reçoit de l’énergie donc un flux d’énergie Φ.
On définit ainsi le flux monochromatique Φ λ (W.m −1 ) qui caractérise la contribution de chaque
longueur d’onde. On a, bien sûr :
λ
Φ = ∫ Φ λ dλ
0
Il est possible de décomposer la densité d'énergie selon la contribution apportée par les photons de
différentes longueurs d'onde. Les photons dont l'énergie correspond à une longueur d'onde comprise
entre λ et λ + dλ apportent la contribution u(λ,T)dλ à la densité d'énergie totale u(T). u(λ,T) est alors la
densité spectrale en longueur d'onde de densité d'énergie. Le flux énergétique se décompose de la
même manière et on a logiquement, pour tout λ, il y a φ(λ, T). On a alors :
∞
u(T) = ∫ u(λ, T)dλ
0
∞
Φ(T) = ∫ φ(λ, T)dλ
0
Il est aussi possible d'utiliser les densités spectrales en fréquence de densité d'énergie et de flux
énergétique.
La distribution énergétique d’un rayonnement polychromatique (large gamme de λ) varie avec λ
(figure ).
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Figure 3.1: Spectre d’un rayonnement électromagnétique.
5) Loi de Planck
La loi de Planck, admise ici (sa démonstration fait appel à des notions de physique statistique
largement hors programme), donne la densité spectrale de flux énergétique (et donc aussi la densité
spectrale de densité d'énergie) :
u λ (λ, T) = 8πhc
λ 5 ( 1
exp ( hc
λk B T ) − 1 )
où k B est la constante de Boltzmann (k B = 1,38066 × 10 −23 J K −1 ).
Du point de vue historique, cette loi est postérieure aux deux lois suivantes et permet de les retrouver.
6) Loi de Stefan-Boltzmann
En sommant les contributions des différentes longueurs d'ondes et en utilisant la loi de Planck avec le
changement de variables x = hc/λk B T , on obtient la loi de Stefan-Boltzmann :
∞
u(T) = ∫ u λ (λ, T)dλ = ∫ 8πhc
λ 5 ( 1
0
exp ( hc ) dλ = σT 4
0
λk B T ) − 1
où, d'après le calcul effectué :
σ = 8πk B 4 ∞
∫ ( x3 dx
c 3 h 3 0⏟
exp(x)−1 )
π 4 ⁄ 15
= 8π5 k B
4
15c 3 h 3
Avec : σ B = 7,5⋅10 −16 J⋅m -3 K -4 Constante de Stefan- Boltzmann
Avec la relation
φ λ (λ, T) = u λ(λ, T)c
4
∞
c'est la constante de Stefan-Boltzmann.
→ φ(λ, T) = 2πhc2 1
λ 5 (
exp ( hc )
λk B T ) − 1
En sommant les contributions des différentes longueurs d'ondes et en utilisant la loi de Planck avec le
changement de variables x = hc/λk B T , on obtient la loi de Stefan-Boltzmann :
∞
Φ(T) = ∫ φ(λ, T)dλ = ∫ 2πhc2 1
λ 5 (
0
exp ( hc ) dλ = σT 4
0
λk B T ) − 1
où, d'après le calcul effectué :
σ = 2πk B 4 ∞
∫ ( x3 dx
c 2 h 3 0⏟
exp(x)−1 )
π 4 ⁄ 15
= 2π5 k B
4
15c 2 h 3
Avec : σ = 5,67⋅10 −8 W⋅m -2 K -4 Constante de Stefan
∞
c'est la constante de Stefan-Boltzmann.
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On retrouve la loi de Stefan
Φ(T) = u(T)c = cσ B
4 4 T4 = 2π5 4
k B
15c 2 h 3 T4 = σT 4
La loi de Stephan-Boltzmann (1879) énonce que le rayonnement thermique d’une surface S noire à la
4
température T S , s’exprime par ST S
Elle exprime que le flux d’énergie radiante émis par une surface idéale appelée « noire » est
proportionnel à l’aire de cette surface et à la puissance quatrième de la température absolue T S de la
surface.
Emittance monochromatique du corps noir
Spectre utile
Dans certains calculs il s'avère difficile de prendre en compte la totalité du spectre : 0 < λ < +∞.
On constate que pour λ < 0.5 λ max , il n'y a pratiquement plus d'_énergie rayonnée (env. 1%) alors
qu'il faut atteindre 4.5 λ max pour obtenir le même résultat vers les grandes longueurs d'onde.
L'intervalle situé entre λ= 0.5 λ max et λ = 4.5 λ max se nomme le spectre utile.
Spectre utile du corps noir
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7) Loi du déplacement de Wien
Cette loi donne la longueur d'onde λ m pour laquelle la densité spectrale est maximale.
En effectuant le même changement de variables que précédemment, cela revient à déterminer la
position du maximum de la fonction f(x) ∶ x →
En calculant la dérivée de f, on obtient l'équation
x 5
exp(x)−1 .
5exp(x) − xexp(x) − 5 = 0
qui se résout numériquement et donne x ≅ 4,965. On obtient donc la loi de Wien :
λ m T = 1 hc
= 2,898 × 10 −3 mK.
4,965 k B
où λ max est la longueur d’onde correspondant au maximum d’énergie émise à la température T. Le
déplacement de λ max vers les courtes longueurs d’onde quand T augmente explique que, lorsqu’un
corps chauffe, il commence d’abord par émettre dans l’infra-rouge et n’est donc pas visible, puis son
spectre vient empiéter sur la zone rouge du spectre visible, puis couvre tout le visible et devient alors
blanc. D’où l’expression ” chauffer au rouge ” ou ”chauffer à blanc ”.
Il n’y a quasiment aucune zone commune entre le spectre du rayonnement solaire (T ≈ 5700K) et celui
d’un corps à température ambiante (300K). Le soleil émet principalement dans le visible et dans l’UV
tandis qu’un corps à l’ambiante n’émet que dans l’infra-rouge. Cette propriété est exploitée dans les
serres ou les capteurs solaires.
Exprime le fait que l’abscisse λ m du maximum de se déplace vers les courtes longueurs d’onde lorsque
la température T croît.
Emittance du corps noir
Application :
Un corps incandescent émet un rayonnement dont la longueur d'onde correspondant au maximum
d'émission est λmax=460 nm. Déterminer sa température de surface.
Solution :
D'après la loi de Wien, la température de surface d'un corps incandescent est liée à la longueur d'onde
λmax correspondant à son maximum d'émission par la relation :
T(K)=2,897×10 −3 /λmax(m)
On a : λmax=460 nm, soit : λmax=460×10 −9 m
On a donc :
T=2,897×10 −3 /460×10 −9 = 6,30×10 3 K
La température de surface de ce corps est de 6,30×10 3 K.
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Remarques :
‣ A chaque température T correspond une courbe ayant un maximum pour une valeur max de la
longueur d'onde.
‣ Ces courbes sont dissymétriques.
‣ La courbe d'émittance (ou de luminance) relative à une température T 1 est toujours située audessus
de celle correspondant à une température T 2 inferieure à T 1 .
‣ Partant de max , la décroissance est beaucoup plus rapide vers les courtes longueurs d'onde que
vers les grandes.
II) Transfert thermiques et bilan radiatif
1) Rayonnement thermique et définitions
• Flux d’émission : Corps porté à une certaine température ⇒ émission de rayonnement
électromagnétique car il y a mouvement accéléré des porteurs de charges de la matière
⇒ Φ e = flux surfacique d’émission = puissance émise par unité de surface.⇒ énergie interne U
est convertie en énergie radiative.
• Flux d’absorption La matière absorbe un rayonnement électromagnétique EM ⇒ mise en mvt des
porteurs de charge (conversion inverse de l’émission : l’énergie électromagnétique EM est transformée
en énergie cinétique Ec ou énergie potentielle Ep microscopique, i.e. en U) ⇒ flux surfacique
absorbé = Φ a .
• flux réfléchi et diffusé Surface d’un corps ⇒ flux réfléchi si la direction renvoyée obéit aux lois de
Descartes, et flux diffusé si le renvoi se fait dans toutes les directions (NB : dans les 2 cas, sans
changement de longueur d’onde) ⇒ flux surfacique réfléchi ou diffusé Φ r = flux repartant vers le
milieu incident.
• Milieux transparents ou opaques
Transparent = transmet intégralement le rayonnement reçu ⇒ ni absorption, ni réflexion-diffusion
⇒ Φ a = Φ r = 0.
Opaque = ne transmet pas le rayonnement reçu qui est donc absorbé et/ou réfléchi-diffusé ⇒ Φ t = 0
et Φ r ≠ 0 ; Φ a ≠ 0.
• Flux incident Hypothèses : on considère un corps opaque et on compte tous les flux positivement,
i.e. on oriente la normale de dS ⃗⃗⃗⃗ dans le sens du flux considéré. On note φ = dΦ
les flux surfaciques.
On considère des flux surfaciques en un point : φ(M).
• Flux surfacique incident φ i = puissance surfacique du rayonnement incident : φ i = φ a + φ r .
• Flux surfacique partant Mêmes hypothèses que flux incident ⇒ φ p = puissance surfacique du
rayonnement quittant le corps opaque : φ p = φ e + φ r .
• Flux radiatif φ R = flux partant - flux incident : φ R = φ p + φ i = (φ e + φ r ) − (φ a + φ r ).
φ R = φ e − φ a
Quantité qui mesure le flux global au point considéré de la frontière ⇒ c’est lui qui intervient dans les
bilans d’énergie. ⇒ φ R > 0 si émission > absorption.
• Equilibre radiatif Equilibre radiatif avec le rayonnement environnant si ⇒ φ R = 0 ⇒ φ p = φ i et
φ e = φ a .
Equilibre radiatif ⇏ équilibre thermique.
• Equilibre radiatif et thermique ERT Système étudié (corps opaques) placé dans un milieu
transparent (≈ vide) ⇒ vitesse des ondes EM = c indépendante de la fréquence.
Système + rayonnement environnement = système thermodynamique à la température T + système en
équilibre radiatif (par hypothèse).
dS
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• Corps noir C’est un “absorbeur” intégral, i.e. un corps qui absorbe tout rayonnement thermique
incident ∀ λ et ∀ direction d’incidence. ⇒ φ i = φ a et dφ i = dφ a pour tout intervalle spectral dλ,
D’où : φ r = dφ r = 0 : le flux réfléchi-diffusé par un corps noir est nul, et φ p = φ e et
dφ p = dφ e le flux partant d’un corps noir est d’origine purement émissive : il n’y a pas de
contribution du flux réfléchi ou diffusé.
NB : concept de corps noir = concept idéal. Un corps opaque est considéré comme un corps noir sir le
rayonnement ERT pour une fenêtre spectrale si elle contient le domaine 0, 5 < x < 8 (dans lequel 98%
du rayonnement ERT est concentré). Ex : le verre est absorbant pour le rayonnement ERT terrestre
alors qu’il est transparent au rayonnement solaire : cf. serres.
2) Transfert énergétique entre deux systèmes
Les phénomènes d'émission et d'absorption permettent le transfert d'énergie interne d'un système à
l'autre. Du point de vue des milieux concernés, des corps opaques se transmettent de l'énergie par
l'intermédiaire d'un milieu transparent.
3) Bilan radiatif à la surface d'un corps noir
Considérons un corps noir porté à la température T (P) au voisinage du point P et recevant en P un
rayonnement de flux énergétique φ r (P). Un bilan énergétique à la surface du corps noir donne par
définition le flux énergétique radiatif cédé par le corps noir au voisinage du point P :
φ rad (P) = σ T 4 (P) − φ r (P) .
Lorsque le flux surfacique radiatif est nul, il y a équilibre radiatif : les rayonnements émis et reçu se
compensent.
Equilibre radiatif de la Terre
La Terre est en moyenne à une température d'équilibre T 0 . Le flux rayonné par la Terre est égal à :
σ T 0 4 (W/m 2 )
1380 W/m 2 incidents alors que le flux absorbé est de soit 400 W/m 2 environ (le reste étant absorbé par
l'atmosphère ou réfléchi par les océans)
4
Le flux rayonné par la Terre est égal à : σ T 0 (W/m 2 ). Ce qui exige l'égalité entre les flux radiatifs
reçus et émis. T0
4 = σ T 4 0 = 400 → T 4 400
0 = → T 5,67 .10−8
0 = 290K = 17 °C
4) Application à la réception d'un flux d'équilibre
Si le corps noir reçoit un flux d'équilibre thermique correspondant à la température T 0 , le flux radiatif à
la surface du corps noir devient
φ rad = σ (T 4 − T 0 4 )
Si la température T est proche de la température T 0 du milieu ambiant, on peut écrire :
φ rad = 4σT 0 3 (T − T 0 )
Le flux radiatif a alors la forme d'un flux de transfert thermique conducto-convectif de coefficient
h rad = 4σT 0 3 .
Conclusion :
Si le flux émis par la surface (1) est totalement absorbé par la surface (2) (influence totale) :
Influence totale → Φ 1→2 = Φ 10
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Echanges radiatifs entre corps noirs
Si le flux du corps (1) est totalement absorbé par le corps (2) on aura :
Φ 1→2 = σT 1 4 S 1 et Φ 2→1 = σT 2 4 S 1
Le bilan du flux radiatif aura pour expression :
∆Φ = Φ 1→2 − Φ 2→1 = σT 4 1 S 1 − σT 4 2 S 1
5) Corps noir convexe
La surface d'un corps peut être considérée comme localement plane. Le rayonnement thermique émis
est alors émis dans toutes les directions du demi-espace vide. On en déduit une propriété importante
des corps convexes : ils ne recoivent pas le rayonnement qu'ils émettent.
Comme conséquence, un corps noir convexe de petite taille modifie peu l'équilibre du milieu ambiant
et reçoit ainsi un rayonnement d'équilibre thermique correspondant à la température T 0 du milieu
ambiant.
6) Rayonnement Thermique d’un corps gris
Si on définit le cœfficient d’émission d’une surface réelle comme étant le rapport du flux émis par
cette surface à celui émis par la même surface si elle était noire, on a évidemment pour le corps noir :
==1
Le flux d’énergie rayonné émis par une surface réelle quelconque (appelée corps gris) devient alors :
4
4
ST
ST
S
S
où est le facteur d’absorption de la surface grise et le facteur d’émission de la surface considérée.
Dans le cas de la surface grise on = 1 (et bien sûr 0 1)
Lorsqu’il y a échange entre la surface rayonnante et le milieu extérieur (température T ) , l’équation
4 4
d’échange s’écrit : ST S
T
[10]
Exemple : corps gris à la température T S enfermé dans une enceinte à T
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7) Cas du convection-rayonnement
Rappelons que le flux échangé par convection le long d’une surface S, à la température de surface T s,
et plongé dans un milieu ambiant à T , s’exprime par la relation, dite de Newton :
hS T s
T
[11]
avec
h : coefficient de convection. h s’exprime en W.m -2 .K -1
S : l’aire perpendiculaire au flux de chaleur
T S : La température de la surface « léchée » par le phénomène de convection
T : la température du fluide au large ( : loin de la surface)
Reprenons la loi sur le rayonnement :
4 4
S T S
T ST 3 T T
soit 4 S
Ainsi pour le rayonnement thermique, on montre que le flux échangé avec une surface T S est, en
première approximation, proportionnel à la quantité S T
S
T
.
Dans le cas de la convection, la relation de Newton exprime également que le flux échangé est
proportionnel à S T
S
T
.
On peut donc exprimer de manière global que le flux échangé par convection-rayonnement s’exprime
par
KS T s
T [12]
où K est appelé coefficient global, ou encore coefficient de convection-rayonnement, ou encore
coefficient de transmission thermique (CTT), ou encore coefficient de transfert.
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Ahmed Chouket
cours : Le rayonnement électromagnétique
3
K h 4T
Nous exprimons ici la loi de Newton de la convection en remplaçant h par K. Le CTT englobe la
convection et le Rayonnement, il s’exprime en W.m -2 .K -1 .
Remarquons enfin que la loi de newton nous permet d’aborder le cas d’une condition aux limites très
fréquente en conduction : celui où un solide est « léché » par un fluide à la température T , le
coefficient de convection rayonnement étant K.
On applique alors la loi de conservation du flux :
dT
S K S TS
T
dx S
(Cas d’un problème unidimensionnel)
dT
S dx
: traduit la conduction dans le solide et K S T
: Convection entre le solide et le
fluide.
S
S
T
8) Généralité
Tout corps chauffé émet spontanément des ondes électromagnétiques, ce qui contribue aux échanges
de chaleur sans support matériel. La puissance rayonnée varie comme la puissance de la température.
δQ
dt = εSσT4
Avec : σ = 5,67⋅10 −8 W⋅m -2 K -4 Constante de Stefan
S = surface
ε = facteur d’émission, dépendant de la nature de la surface
La chaleur absorbée suit la même loi.
Entre deux surfaces planes de surface S ayant des températures T 1 et T 2 , des facteurs d’émission ε 1 et
ε 2 , on peut montrer que chaleur échangée est donnée par :
δQ
dt = Sσ (T4 − T 4 )
1
+ 1 − 1
ε 1 ε 2
9) Applications
Introduisons dans un four, dont les parois sont maintenues à la température uniforme de 1000°C, un
bloc de matériau initialement à 20°C. On suppose que le four et le matériau sont en influence totale.
Trois cas sont à envisager :
Le four et le matériau sont des corps noirs.
Le four est un corps noir, le matériau est un corps gris.
Le four est un corps gris, le matériau est un corps gris.
On ne s’intéresse qu’au deux premiers cas.
a) Le four et le matériau sont des corps noirs
Le rayonnement émis par le four est totalement absorbé par le matériau. Le rayonnement émis par le
matériau est totalement absorbé par le four. Le système est constitué du matériau.
Nous nous intéressons aux « entrées-sorties » pour le système.
4
Energie émise par le matériau : Φ émise mat = σT mat S mat
Energie reçue par le matériau : Le four se comporte comme un corps noir à 1000°C, il émet donc par
une énergie est totalement absorbée par le matériau.
4
Φ abs mat = σT four S mat
4
Bilan thermique du matériau : ∆Φ = Φ abs mat − Φ émise mat = σS mat (T four
Conclusion :
4
− T mat )
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cours : Le rayonnement électromagnétique
Comme T four > T mat , le corps s'échauffera jusqu'à atteindre une température d'équilibre (celle des parois
du four soit 1000°C).
Echanges radiatifs entre corps noirs
b) Le four est un corps noir, le matériau est un corps gris
Echanges radiatifs entre corps noirs et gris
Le matériau étant un corps gris il réfléchit une partie du rayonnement reçu.
Energie reçue par le matériau : Le four se comporte comme un corps noir à 1000°C, il émet une
énergie partiellement absorbée par le matériau.
4
Φ entr mat = σT four
4
Φ abs mat = ασT four
S mat
4
S mat = εσT four S mat
4
Energie émise par le matériau : Φ émise mat = εσT mat S mat + (1 − α)σT four
Bilan thermique du matériau :
4
∆Φ = Φ abs mat − Φ émise mat = σS mat (αT four
4
∆Φ = σS mat (αT four
4
∆Φ = σS mat (αT four
4
S mat
4
− εT mat ) − (1 − α)σT four S mat
4 4
4
− εT mat − T four ) − (1 − α)σT four S mat
4 4
− εT mat ) = σαS mat (T four − T mat
Comparons avec le bilan thermique lorsque le four et le matériau sont des corps noirs. Le nouveau
bilan est égal au bilan précédent affecté du coefficient d'émission ".
4
4
)
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