Diffusion thermique

Ahmed Chouket
Cours : Diffusion thermique
Diffusion thermique
Jusqu'à présent, nous n'avons considéré un flux de chaleur qu'au travers des effets qu'il pouvait avoir
sur l'énergie interne, l'enthalpie ou l’entropie d'un système thermodynamique. Indépendamment de cet
aspect qui est relatif aux bilans et aux principes de la Thermodynamique, on peut étudier la façon dont
s'établit un flux de chaleur et en déduire une expression de ce dernier. C'est l'objectif de ce chapitre
introductif aux Transferts thermiques. On distingue classiquement trois modes de transport de l'énergie
thermique :
• la conduction ;
• la convection ;
• le rayonnement.
Introduction
Lorsqu’une barre de métal est mise en contact avec un corps chaud (pic de brochette dans le feu par
exemple), on observe que la température augmente progressivement tout le long de la barre. On dit
que la « la chaleur diffuse » dans le métal. Il y a transport d’énergie à l’échelle microscopique.
Les grandeurs impliquées dans la diffusion thermique : Température et énergies (énergie interne +
chaleur)
La cause de la diffusion thermique est la non-uniformité de la température du matériau.
La diffusion tend à homogénéiser la température.
On distingue 3 modes différents de transmission de la chaleur :
• La conduction. Transmission provoquée par la différence de température entre deux régions d'un
milieu en contact physique. Il n'y a pas de déplacement appréciable des atomes ou molécules.
• La convection. Transmission provoqué par le déplacement d'un fluide (liquide ou gazeux).
• Le rayonnement. Transmission provoquée par la différence de température entre deux corps sans
contact physique, mais séparés par un milieu transparent tel l'air ou le vide. Il s'agit d'un rayonnement
électromagnétique.
• Exemples d'application: chauffage centrale, production de vapeur, refroidissement moteur thermique,
mise en température d'un réacteur, maintien de la température au cours d'une réaction, hauts-fourneaux
(élaboration d'aciers, verres), isolation de bâtiments, refroidissement de composants électriques ou
électroniques, biothermie, géothermie, etc,
Origine physique : la vibration des atomes dans les matériaux
I) modes de transfert
La quantité de chaleur ou transfert thermique est l’énergie de nature microscopique échangée à travers
la surface qui délimite un système. Il existe trois modes de transfert thermique :
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1) la convection
La convection est attribuée à un déplacement global (macroscopique) de matière et concerne les
liquides ou les gaz. Le transfert thermique par convection correspond à un transport macroscopique de
matière.
• Dans les fluides, une variation de température modifie localement la masse volumique du fluide, ce
qui entraîne un mouvement d’ensemble du fluide (les parties chaudes, plus légères, ont tendance à
s’élever): c’est le phénomène de convection naturelle.
Exemple : chauffage par un convecteur électrique ou un radiateur de chauffage central.
• Un fluide peut aussi être mis en mouvement de manière artificielle pour accélérer les échanges
thermiques : c’est le phénomène de convection forcée.
Exemple : échanges thermiques entre la chaudière et les radiateurs d’un chauffage central.
• Par exemple s’il faut « chaud » dehors et « froid » dedans, en ouvrant la porte il est possible de sentir
un courant d’air (déplacement de matière) apportant le « chaud » de l’extérieur. Dans ce type de
transport, il a déplacement de la matière mais de température différente. A priori dès qu’il y a un fluide
à température variable, il y a de la convection sauf si le dispositif est tel que le fluide est confiné
comme dans les fenêtres double vitrage. Il est très difficile d’empêcher la convection : les chauffages
des maisons et même l’eau utilisée pour faire cuire les pâtes « utilisent » la convection car cela permet
naturellement d’homogénéiser le milieu et donc la température.
Nous négligerons toujours le phénomène de convection sauf indication contraire.
Remarque :
Pour étudier la convection, il faut faire de la mécanique des fluides avec un fluide non homogène.
2) le rayonnement
Un corps chaud émet un rayonnement électromagnétique qui transporte de l’énergie. Ce transfert
thermique par rayonnement ne nécessite pas la présence d’un milieu matériel, il peut se produire dans
le vide.
Exemple : rayonnement du soleil
Les transferts thermiques par rayonnement correspondent à l’absorption d’ondes électromagnétiques.
Cela traduit le fait que les ondes électromagnétiques transportent de l’énergie. Expérimentalement, il
suffit de s’allonger au Soleil pour avoir une sensation de « chaud » : c’est simplement que le corps
absorbe de l’énergie reçue par rayonnement. Un autre chauffage très utile qui utilise le rayonnement
est le chauffage par micro-ondes.
3) la conduction
La conduction est un mode de transfert énergétique de proche en proche sans déplacement de matière.
Une expérience classique consiste à plonger une petite cuillère dans un verre contenant du café (ou du
thé) très chaud. Au bout de quelques minutes, le bout immergé de la cuillère est devenu très chaud :
l’énergie a remonté le long du manche.
a) Mise en évidence expérimentale : Expérience de Ingen Housz
L’expérience du physicien hollandais J. Ingen Housz, qui date de 1789, permet de comparer la
diffusion thermique dans plusieurs matériaux métalliques. On la réalise facilement en enduisant de cire
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des tiges métalliques (cuivre, aluminium, fer, zinc), géométriquement identiques, dont une extrémité
est en contact avec un thermostat, par exemple un bain d’eau bouillante :
On constate que la température, en des points homologues sur les tiges, augmente au cours du temps,
mais plus ou moins rapidement d’une tige à l’autre ; à tout instant au cours de l’expérience, les
longueurs de cire fondue permettent de comparer le comportement thermique de chaque matériau : la
plus grande longueur est obtenue avec le matériau le plus conducteur de la chaleur, ici le cuivre.
Ainsi, lorsqu’une différence de température existe dans un matériau, un flux thermique, orienté des
zones chaudes vers les zones froides, tend à uniformiser la température. Comme, dans le cas considéré,
il n’y a pas de déplacement global de matière, pas de variation de l’énergie macroscopique (E c +
E potext ) et pas de travail reçu, ce flux thermique est un flux d’énergie interne non convectif.
b) La diffusion thermique
Elle existe dans tous les corps, solides ou fluides. La partie la plus froide s’échauffe au contact de la
partie la plus chaude du corps. Cette élévation de température correspond à un accroissement de :
- l’énergie microscopique de vibration du réseau cristallin pour les solides ;
- l’énergie cinétique microscopique d’agitation désordonnée des molécules d’un fluide, dû aux chocs
incessants entre ces molécules.
Ce transfert thermique ne s’accompagne pas, à l’échelle macroscopique, de mouvement de matière.
C’est le seul mécanisme qui intervienne dans les solides homogènes et opaques. Dans les fluides, la
conduction est souvent masquée par le phénomène de convection.
Un milieu dont la température n’est pas homogène est au moins le siège de phénomènes de transfert
thermique par conduction.
c) Conclusion
Un phénomène de diffusion thermique apparaît donc comme un phénomène de transfert thermique
sans mouvement mascroscopique du support. Ce transfert se produit dans un système initialement hors
équilibre, des régions chaudes vers les régions froides ; il tend donc à uniformiser la température.
Le phénomène de diffusion est irréversible.
d) Notion d’équilibre thermodynamique local
Dans les processus précédent de diffusion thermique on ne peut plus parler de la température du corps
: des thermomètres placés en divers points n’indiquent pas la même température. On suppose que l’on
peut définir en chaque point du système, une température locale même s’il n’est pas en équilibre
thermique globalement: cette hypothèse nécessite un équilibre local.
Cela correspond pour les gaz au cas où localement la distribution des vitesses est bien décrite par une
distribution de Maxwell correspondant à une température locale T.
A) Conduction Thermique
I) Définitions
1) Conduction
La conduction est un mode de transport qui se produit au sein de la matière immobile au niveau
macroscopique. Il s'agit d'un phénomène de propagation analogue à la conduction de l'électricité. Il est
donc plus facile d'envisager le phénomène de conduction dans le cas des solides, cependant celle-ci se
produit aussi dans les gaz et les liquides. Pour ces phases fluides, la conduction est en général
accompagnée de mouvements internes, appelés convectifs, qui rendent l'étude du phénomène
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conductif plus difficile expérimentalement. Ces mouvements sont dus aux différences de masse
volumique engendrées par les différences de températures : les portions de fluide chaud ont alors
tendance à s'élever comme le fait une Montgolfière, sous l'effet des forces d'Archimède.
2) La température : force motrice du transfert de chaleur
C'est bien parce que les températures des milieux mis en contact sont différentes que naît un flux de
chaleur dont la tendance est de ramener les corps à l'équilibre thermique. On dit que la température est
la force motrice du transfert de chaleur. Inversement, tout transfert cesse si la température dans un
système est uniforme. L'idée vient alors de considérer que le flux de chaleur est une fonction de la
variation spatiale de la température : lorsque cette variation spatiale est nulle, le flux est nul. La notion
mathématique qui permet de rendre compte de cette notion de variation spatiale est la notion de
gradient. Nous allons introduire progressivement cette notion dans le cas particulier du gradient de
température.
3) Flux thermique (ou Puissance thermique)
Lorsqu’une barre de métal est mise en contact avec un corps chaud (pic de brochette dans le feu par
exemple), on observe que la température augmente progressivement tout le long de la barre.
On dit que « la chaleur diffuse » dans le métal. Il y a transport d’énergie thermique, et on peut définir
un débit (ou flux, ou courant) associé à ce transport : c’est tout simplement la chaleur transférée par
unité de temps à travers une surface.
Définition du flux thermique à travers une surface
diffusion
Le flux thermique est la chaleur qui traverse une surface par unité de temps : δQ =⏞
On l’appelle aussi puissance thermique, parfois notée :P th
diffusion
=⏞ Φ
A tout débit on peut associer un vecteur densité de courant : Définition du vecteur densité de courant
thermique :
diffusion
P th =⏞
Φ = ∬ J⃗⃗⃗⃗⃗ th dS ⃗⃗⃗⃗
S
4) Propagation de la chaleur dans une barre métallique
Si on met au contact d'une flamme à température élevée l'extrémité d'une barre métallique, on constate
que la température de l'autre extrémité s'élève aussi. On peut en déduire que l'énergie thermique
fournie par la flamme se propage le long de la barre. On conçoit aussi, comme dans l'exemple
précédent, que c'est parce que la température de la flamme est plus élevée que celle de la barre que
l'énergie thermique se propage ainsi.
Transfert de chaleur
dans une barre d’acier
Φdt
5) Mise en évidence de la notion de gradient
Considérons un corps solide de forme allongée. On peut en première approximation faire l'hypothèse
que la température ne dépend que de la variable d'espace x et le cas échéant du temps t.
Plaçons nous en un point donné x de la barre où la température est T(x,t) et considérons la température
d'un point très proche de x où la température est T(x + dx,t) (cf. figure 9.3). Ayant admis que la
température est la force motrice du transfert de chaleur, on conçoit que le flux de chaleur qui existera
au point x sera d'autant plus grand que la différence T(x + dx,t) - T(x,t) rapportée à la distance e sera
grande.
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On est ainsi conduit à poser que x , le flux de chaleur dans la direction x, est tel que
T(x + dx, t) − T(x, t)
Φ x ∝
dx
et que cette quantité sera d'autant plus représentative du flux au point x que dx est petit. On arrive alors
naturellement à considérer que le flux de chaleur est
T(x + dx, t) − T(x, t) ∂T(x, t)
Φ x ∝ lim dx→0 =
dx
∂x
qui n'est autre que la dérivée de T par rapport à la variable d'espace x à un instant donné t : c'est par
définition la dérivée partielle de T par rapport à x. Par ailleurs, la chaleur se propageant dans le sens
des températures décroissantes, si T(x + dx,t) > T(x, t), le flux de chaleur sera dirigé dans la direction
des x décroissants et inversement si T(x + dx,t) < T(x, t). La direction du flux est donc opposée au
signe de la quantité ∂T(x,t)
∂x
Si ∂T(x,t)
∂x
> 0, la température a tendance à augmenter avec x et le flux est dirigé dans le sens des x
décroissants et inversement si ∂T(x,t)
< 0
∂x
II) – point de vue de la thermodynamique
1) Premier principe de la thermodynamique
La conduction (ou la diffusion pour être un peu plus général) c’est un simple problème de
thermodynamique auquel nous rajouterons une loi (La loi de Fourier) et c’est tout.
Typiquement, nous considérerons un système S et nous appliquerons le premier principe en version
statique dU = δQ + δW
Dans les phénomènes de diffusion thermique nous ferons toujours l’hypothèse de transformation
isochore ce qui permettra de simplifier en dU = δQ. Cette hypothèse revient à négliger la dilatation des
objets suite à des variations de température, ce que nous avons toujours fait.
2) Vecteur densité de courant thermique
Soit un milieu (gaz, solide ou liquide), de volume V délimité par une surface S :
Soit T(M, t) la température dans ce milieu (on suppose donc qu’elle est définit localement).
Soit 2 Q(M, t) la quantité d’énergie qui traverse par conduction thermique l’élément de surface dS
(centré sur M) entre et t + dt.
Physiquement 2 Q(M, t) est d’autant plus important que dS et dt sont grands. On admet que l’on peut
écrire :
δ 2 Q = J⃗⃗⃗⃗⃗ th (M, t)dS ⃗⃗⃗⃗ dt = δΦ(M, t)dt → δΦ(M, t) = δ2 Q
dt
= J ⃗⃗⃗⃗⃗
th(M, t)dS ⃗⃗⃗⃗
Le flux thermique δΦ est la quantité d’énergie qui traverse une surface S par unité de temps.
Pendant une durée dt, l’énergie qui traverse S vaut δ 2 Q = δΦ(M, t)dt.
Φ est le flux du vecteur densité de courant thermique J⃗⃗⃗⃗⃗ th (M, t) à travers la surface S
Unités :
δΦ(M, t) = J⃗⃗⃗⃗⃗ th (M, t)dS ⃗⃗⃗⃗ → Φ(M, t) = ∬ J⃗⃗⃗⃗⃗ th (M, t)dS ⃗⃗⃗⃗
S
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Q est une énergie et s’exprime en Joule (symbole J);
Φ est une puissance et s’exprime en Watt (symbole W);
J th s’exprime en W.m -2 .
3) – flux thermique
Considérons un élément de surface dA en un point quelconque d'un système.
Si le vecteur densité de flux est J en ce point, on conçoit aisément que suivant
l'orientation de la surface dA ⃗⃗⃗⃗⃗ , représentée par un vecteur unité n⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ext normal à
cette surface, le flux qui la traverse est plus ou moins élevé. Ainsi, si la
densité de flux est tangente à la surface dA, c'est-à-dire perpendiculaire à
n⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ext , le flux est nul.
Le flux de chaleur dn qui traverse la surface dA est simplement donné par
le produit scalaire:
dΦ = J dS ⃗⃗⃗⃗⃗ = −λgrad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (T) dSn⃗
Par ailleurs, le signe de dΦ indique la direction du flux. Si dΦ > 0, le flux est orienté suivant n⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ext
donc le flux est sortant et inversement si dΦ < 0.
Du point de vue de la thermodynamique, il ne reste plus qu’à écrire δQ.
Le transfert thermique δQ éch échangé entre deux systèmes s’écrit δQ éch = Φ q × dS × dt où :
➜ dS est l’aire de la surface à travers laquelle se fait l’échange ;
➜ dt est la durée de l’échange ;
Flux traversant
une surface dA ⃗⃗⃗⃗⃗
➜ δQ éch ≷ 0 est le flux surfacique thermique en W.m −2 , c’est un flux surfacique de puissance
algébrique.
✧ Parfois δQ est noté δ 2 Q pour insister sur le fait qu’il provient de deux infiniment petits de nature
différentes (un d’espace et un de temps).
✧ Cette relation impose le fait que le transfert thermique est proportionnel à la surface d’échange et à
la durée d’échange.
4) Loi de Fourier
Cette loi, établie expérimentalement par Fourier, est de nature phénoménologique comme le sont les
lois d’Ohm et de Fick.
C’est donc une loi constitutive et non structurelle. Elle traduit, à l’approximation linéaire, la
proportionnalité du courant volumique thermique J⃗⃗⃗⃗⃗ th (M, t)et du gradient de la température T(M, t), ce
que l’on écrit sous la forme :
J⃗⃗⃗⃗⃗ th (M, t) = −λgrad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ T(M, t) avec λ conductivité thermique
où : J⃗⃗⃗⃗⃗ th est le vecteur densité surfacique de courant thermique en volume.
λ > 0 est la conductivité thermique et dépend du matériau.
L’unité de la conductivité thermique est [λ] = W.m −1 .K −1
b) interprétation
La loi de Fourier traduit le fait que l’énergie se déplace des zones chaudes vers les zones froides dans
le cadre de la conduction thermique.
Le signe moins traduit l’orientation du courant thermique vers les basses températures car le
coefficient λ est toujours positif. En effet, grad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ T est dirigé vers les hautes températures et la
présence du signe (−) associé au fait que λ ne peut être que positif.
La loi de Fourier est une loi phénoménologique qui rend compte de la diffusion thermique
dans de nombreux cas mais elle n’est pas universelle. Comme dans de nombreux cas, le
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modèle linéaire n’est plus valable pour des écarts de température trop forts ou trop faibles (de
l’ordre des fluctuations).
En fait la loi de Fourier traduit ce que nous savons du second principe.
Toutefois la loi de Fourier va un peu plus loin en précisant comment l’énergie se déplace.
c) limites
✧ La loi de Fourier est une loi linéaire faisant apparaître une dérivée première de l’espace (le
gradient). Autrement dit, utiliser la loi de Fourier revient à limiter au premier ordre les effets de la
diffusion : il ne faut pas que grad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ T soit trop grand sinon il faudrait ajouter un terme correctif (non
linéaire) du second ordre.
✧ De plus si grad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ T varie trop rapidement, il peut y avoir un temps de réponse (retard) au niveau
moléculaire entre J⃗⃗⃗⃗⃗ th et grad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ T.
✧ Enfin, pour pouvoir utiliser la loi de Fourier il faut que le matériau soit isotrope sinon le λ sera
dépendante de la direction.
✧ C’est ainsi que dans le graphite, matériau composé de feuillets de carbone, la conductivité
thermique suivant les feuillets est plusieurs centaines de fois plus grande que la conductivité thermique
entre les feuillets.
Sauf précision contraire, nous supposerons a priori que la loi de Fourier est valide
Expression du flux dans le cas monodimensionnel : relation de Fourier
Fourier a posé que le flux de chaleur Φ x dans la direction x est proportionnel à ∂T(x,t)
selon la relation:
∂x
∂T(x, t)
Φ x = −λS
∂x
où A est la section transversale de l’objet considéré (cf. figure 9.3). Le signe - permet de tenir compte
du fait que la chaleur se propage dans le sens des températures décroissantes alors qu'on peut montrer
que le vecteur gradient est orienté dans le sens opposé. Le coefficient de proportionnalité l s'appelle la
conductivité thermique du milieu considéré. C'est a priori une quantité susceptible de varier avec la
température, la pression, la composition et qui prend des valeurs assez différentes dans les gaz, les
liquides et les solides. Son unité dans le système international est le W.m -1 .K -1 .
A partir de la relation de Φ x , on peut définir le flux de chaleur par unité de surface ou densité
de flux J x dans la direction x:
∂T(x, t)
∂T(x, t)
Φ x = −λS = J
∂x x S → J x = −λ
∂x
A titre indicatif, on donne quelques valeurs de l dans le tableau 9.1 ci-dessous. Il y a grossièrement un
facteur 10 entre la conductivité thermique des gaz et des liquides et un facteur 100 entre celle des
liquides et celle des solides. On observe cependant de grandes variations de cette propriété en fonction
de la nature du corps.
Composé Température (°C) Conductivité thermique (W.m -1 .K -1 )
Cuivre (solide) 0 386,12
Cuivre (solide) 100 379,14
Fer (solide) 20 73,27
Eau liquide (1bar) 20 0,598
Eau liquide (1 bar) 100 0,682
Vapeur d'eau (1 bar) 100 0,0245
Vapeur d'eau (1 bar) 500 0,0673
Air 20 0,02512
Air 100 0,0307
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Tableau 9.1 : Quelques valeurs de conductivités thermiques (Aide-mémoire du Thermicien, Editions
Européennes Thermique et Industrie, 1982)
4) Analogie
Le tableau ci-dessous résume les analogies entre les lois de Fourier, Fick et d’Ohm, qui traduisent
toutes les trois des phénomènes de transport de particules, d’énergie ou de charge. Elles correspondent
à une évolution spontanée du milieu qui tend à estomper son inhomogénéité, conformément au
deuxième principe de la thermodynamique.
Loi de Fourier Loi de Fick Loi d’Ohm
vecteur densité de courant vecteur densité de particules J n
thermique J⃗⃗⃗⃗⃗
th
température T : grad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ T(M, t) densité particulaire n :
grad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ n(M, t)
⃗⃗⃗ vecteur densité de courant
électrique J⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
elec
potentiel V : grad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ V(M, t)
conductivité thermique : λ coefficient de diffusion : D conductivité électrique : σ = γ
J⃗⃗⃗⃗⃗ th (M, t) = −λgrad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ T(M, t)
J⃗⃗⃗ n (M, t) = −Dgrad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ n(M, t)
J⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ elec (M, t) = −γgrad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ V(M, t)
Loi des nœuds : régime stationnaire ⇒ les équations bilans se simplifient en : divj⃗ e = 0 et divj⃗⃗⃗ Q = 0
⇒ j⃗ e et j⃗⃗⃗ Q sont à flux conservatif ⇒ loi des nœuds pour le flux thermique Φ th . Le flux thermique a la
même valeur à travers toutes les sections d’un même tube de courant et la somme des flux thermiques
sortant d’un nœud est nulle.
III) – Equation bilan : Equation de Diffusion thermique
On considère un corps homogène de masse volumique ρ, de conductivité thermique λ et de capacité
thermique c. Les grandeurs ρ, λ et c sont supposées constantes dans le domaine de température étudié.
1) production énergétique et échange d’énergie
a) phénoménologie de base
La production énergétique se fait au sein du système.
✧ Quelquefois la production énergétique est appelée « production de chaleur » mais c’est ambigu car
cela revient à considérer que la « chaleur » n’est pas une énergie comme une autre et renforce l’idée
commune (et fausse) que la température est proportionnelle à la chaleur.
b) 3 grands types de production
Un matériau peut produire de l’énergie en son sein suite à trois grands phénomènes :
➜ les réactions chimiques (en incluant les changements de phase) ; l’énergie est initialement sous
forme d’énergie de liaison atomique.
➜ les réactions nucléaires ; l’énergie est initialement sous forme d’énergie de liaison nucléaire.
➜ l’effet Joule ; l’énergie est initialement dans le champ électrique responsable du courant.
En réalité, nous parlerons, du point de vue de la diffusion thermique, de « production » d’énergie alors
que nous savons bien qu’il est impossible de produire / créer de l’énergie, tout juste pouvons-nous la
transformer :
✧ Dans les trois cas cette énergie est transformée en énergie interne.
✧ Dans ces conditions, i.e. toujours du point de vue de la diffusion, la distinction de l’origine de
l’énergie, à savoir l’écriture sous la forme d’un dU int pour l’énergie de liaison ou d’un δW pour l’effet
Joule ne sert à rien, nous nous conterons de regarder l’énergie qui arrive et non d’où elle vient ce qui
nous permettra de parler dans tous les cas de l’énergie produite.
Traduction formelle L’énergie produite δQ prod dans un système de volume δτ s’écrit
δQ prod = P × δτ × dt où :
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➜ dt est la durée de production ;
➜ P ≷ 0 est la puissance volumique produite en W.m −3 .
✧ Le cas le plus simple de production négative d’énergie est celui d’une réaction chimique
endothermique.
✧ Le cas le plus simple de production positive d’énergie est celui d’une réaction chimique
exothermique.
c) Energie échangée
Pour un système fermé, comme les vecteurs surface élémentaires sont orientés vers l’extérieur, nous
avons δQ reçu = δQ entrant = −J⃗⃗⃗⃗⃗ th . dS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dt
δQ cédé = δQ sortant = J⃗⃗⃗⃗⃗ th . dS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dt
2) Equation de Diffusion thermique à 1D
Nous allons rechercher l’équation vérifiée par l’énergie. Nous verrons le lien entre énergie et
température après.
a) exemple du barreau calorifugé
Considérons l’exemple suivant. : Un barreau en métal, de longueur L et de surface de base S, est au
contact de deux thermostats, un à chaque extrémité. On suppose que le barreau est isolé
thermiquement sur les côtés de sorte que l’énergie ne peut se propager que suivant l’axe.
➜ le barreau va être le siège de phénomènes de diffusion car il est en contact avec des thermostats de
températures différentes.
➜ la température ne va donc pas être la même partout et va évoluer dans le temps.
➜ comme la température varie localement, nous allons faire une approche mésoscopique du problème
et on note u⃗⃗⃗⃗ x l’axe avec 0 à gauche et L à droite.
b) approche mésoscopique
Commençons par faire un zoom sur la partie intéressante, ce qui sera notre système S : la tranche
comprise entre x et x + δx.
Faisons un bilan d’énergie sur S entre t et t + dt. Ce bilan peut se résumer sous la forme
VARIATION dans le temps = ÉCHANGE à travers la surface + CRÉATION en volume
‣ variation dans le temps
La variation de l’énergie interne pendant dt est :
dU(t) = U(t + dt) − U(t) = C v (T(x, t + dt) − T(x, t))
avec une phase condensée (ici un solide) C V = C = ρ c δτ où :
➜ ρ est la masse volumique ;
➜ c est la capacité thermique massique ;
➜ δτ est le volume du système.
VARIATION dans le temps dU(t) = ρ c δτ (T(x, t + dt) − T(x, t)) = ρ c δτ ∂T(t,x)
dt
∂t
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‣ échange à travers la surface
➜la surface se décompose naturellement en 3 : la section en x, la section en x + δx et la surface
latérale.
➜ l’énergie ne passe pas à travers la surface latérale.
‣ L’énergie échangée
δQ éch = δQ(x, t) + δQ(x + δx, t)
Or, d’après la définition du courant thermique en volume et puisqu’il est uniforme sur la section et
avec la convention usuelle
δQ(x) = δQ e = +J th (x, t) S dt
δQ(x + δx, t) = δQ s = −J th (x + δx, t) S dt
δQ éch = +J th (x, t)S dt − J th (x + δx, t)S dt = S dt [J th (x, t) − J th (x + δx, t)]
δQ éch = − ∂J th (x,t)
S dtdx L’énergie échangée à travers la surface
∂x
‣ création en volume
Par définition même de l’expression de l’énergie produite en volume, nous avons tout de suite
CRÉATION en volume δQ autre = P(x, t)dt δτ = P autre (x, t)dt Sdx
‣ Equation bilan
En conclusion
dU(t) = δQ éch + δQ pro → ρ c Sdx
∂T(t, x)
∂t
dt = − ∂J th(x, t)
S dtdx + P
∂x
autre (x, t)dt Sdx
ρ c ∂T(t,x)
= − ∂J th (x,t)
+ P
∂t
∂x autre (x, t)
Dans le cas d’une diffusion thermique unidimensionnelle, la conservation de l’énergie se traduit par :
ρ c ∂T(t,x)
∂t
+ ∂J th (x,t)
∂x
= P autre (x, t) Equation de conservation de l’énergie à 1 dimension.
‣ Equation de Diffusion thermique à 1 D
J⃗⃗⃗⃗⃗ th (x, t) = J th (x, t)e⃗⃗⃗⃗ x → ∂J th(x, t)
= divJ⃗⃗⃗⃗⃗ ∂x
th (M, t)
En injectant la loi de Fourrier on aura :
ρ c
∂T(t, x)
∂t
J⃗⃗⃗⃗⃗ th (x, t) = −λgrad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ T(M, t) = −λ
= − ∂J th(x, t)
∂x
+ P(x, t) = λ ∂ ∂x
∂T(x, t)
∂x
t)
(∂T(x, ) + P
∂x
autre (x, t)
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Cours : Diffusion thermique
ρ c ∂T(t,x)
− λ ∂2 T(x,t)
= P
∂t
∂x 2 autre (x, t) Equation de diffusion de la chaleur à une dimension.
3) Bilan thermique et équation de diffusion dans le cas d’une symétrie cylindrique
Nous allons voir dans cette partie comment trouver l’équation de diffusion dans le cas particulier de la
symétrie cylindrique (diffusion radiale). T(M,t) = T(r,t)
Le bilan thermique entre t et t + dt pour un système de hauteur h et compris entre r et r+dr est donné
par :
VARIATION dans le temps = ÉCHANGE à travers la surface + CRÉATION en volume
Le volume du système est dτ = 2πhrdr
La variation de l’énergie interne entre t et t+dt est :
∂T(r, t)
dU variat = U(t + dt) − U(t) = 2πρcrdrh(T(r, t + dt) − T(r, t)) = 2πρcrdrh ( ) dt
∂t
Le transfert thermique reçu par le système entre t et t+dt est :
δQ ech = δQ ech en r + δQ ech en r+dr
Comme il y a uniformité sur chacune des deux surfaces du courant de particules, nous avons :
δQ ech en r = +J(r, t)S(r)dt et δQ ech en r+dr = −J(r + dr, t)S(r + dr)dt
δQ ech = +J(r, t)S(r)dt − J(r + dr, t)S(r + dr)dt
δQ ech = +J(r, t)r2πhdt − J(r + dr, t)2πh(r + dr)dt
= 2πhdt[J(r, t)r − J(r + dr, t)(r + dr)]
∂(J(r, t)r)
δQ ech = −2πhdt [ ] dr
∂r
La chaleur produite dans le volume pendant la durée dt est
δQ prod = P prod (r, t) × 2πrdrhdt
Le bilan thermique entre t et t + dt pour un système de hauteur h et compris entre r et r+dr est donné
par :
∂T(r, t)
∂(J(r, t)r)
2πρcrdrh ( ) dt = −2πhdt [ ] dr + P
∂t
∂r
prod (r, t) × 2πrdrhdt
∂T(r, t) ∂(J(r, t)r)
∂T(r, t)
ρcr ( ) = − [ ] + P
∂t
∂r
prod (r, t)r → ρc ( ) + 1 t)r)
[∂(J(r, ]
∂t r ∂r
= P prod (r, t)
ρc ( ∂T(r,t)
) + 1 r [∂(J(r,t)r) ] = P prod (r, t) Equation bilan du transfert thermique en symétrie
∂t
∂r
cylindrique.
La loi de Fourrier s’écrit :
J th (r, t) = −λ ∂T(r,t)
∂r
→ ρc ( ∂T(r,t)
∂t
thermique en symétrie cylindrique.
) − λ r [∂(r∂T(r,t) ] = P prod (r, t) Equation de diffusion
∂r )
∂r
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Cours : Diffusion thermique
4) Bilan thermique et équation de diffusion dans le cas d’une symétrie sphérique
Nous allons voir dans cette partie comment trouver l’équation de diffusion dans le cas particulier de la
symétrie cylindrique (diffusion radiale). T(M,t) = T(r,t)
Le bilan thermique entre t et t + dt pour un système de hauteur h et compris entre r et r+dr est donné
par :
VARIATION dans le temps = ÉCHANGE à travers la surface + CRÉATION en volume
Le volume du système est dτ = 4πr 2 dr
La variation de l’énergie interne entre t et t+dt est :
dU variat = U(t + dt) − U(t) = 4πρcr 2 dr(T(r, t + dt) − T(r, t)) = 4πρcr 2 ∂T(r, t)
dr ( ) dt
∂t
Le transfert thermique reçu par le système entre t et t+dt est :
δQ ech = δQ ech en r + δQ ech en r+dr
Comme il y a uniformité sur chacune des deux surfaces du courant de particules, nous avons :
δQ ech en r = +J(r, t)S(r)dt et δQ ech en r+dr = −J(r + dr, t)S(r + dr)dt
δQ ech = +J(r, t)S(r)dt − J(r + dr, t)S(r + dr)dt
δQ ech = +J(r, t)4πr 2 dt − J(r + dr, t)4π(r + dr) 2 dt
= 4πdt[J(r, t)r 2 − J(r + dr, t)(r + dr) 2 ]
δQ ech = −4πdt [ ∂(J(r, t)r2 )
] dr
∂r
La chaleur produite dans le volume pendant la durée dt est
δQ prod = P prod (r, t) × 4πr 2 drdt
Le bilan thermique entre t et t + dt pour un système de hauteur h et compris entre r et r+dr est donné
par :
4πρcr 2 ∂T(r, t)
dr ( ) dt = −4πdt [ ∂(r2 J(r, t))
] dr + P
∂t
∂r
prod (r, t) × 4πr 2 drdt
ρcr 2 ∂T(r, t) ∂(J(r, t)r)
( ) = − [ ] + P
∂t
∂r
prod (r, t)r 2 ∂T(r, t)
→ ρc ( ) + 1 J(r, t))
∂t r 2 [∂(r2 ]
∂r
= P prod (r, t)
ρc ( ∂T(r,t)
∂t
) + 1 J(r,t))
r 2 [∂(r2 ] = P prod (r, t) Equation bilan du transfert thermique en symétrie
∂r
sphérique.
La loi de Fourrier s’écrit :
J th (r, t) = −λ ∂T(r,t)
∂r
→ ρc ( ∂T(r,t)
∂t
thermique en symétrie sphérique.
5) Equation de Diffusion thermique à 3D
) − λ r2 [∂(r2∂T(r,t) ] = P prod (r, t) Equation de diffusion
∂r )
∂r
Dans le cas d’une diffusion thermique à 3 dimensions, la conservation de l’énergie se traduit par :
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Cours : Diffusion thermique
∂
(ρ cT(t, M)) + divJ ⃗⃗⃗⃗⃗
∂t
th(M, t) = P autre (M, t) Equation de conservation de l’énergie à 3
dimensions
En injectant la loi de Fourrier on aura :
J⃗⃗⃗⃗⃗ th (M, t) = −λgrad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ T(M, t)
ρ c ∂T(t,M)
− λ ΔT(M, t) = P
∂t
autre (M, t) Equation de diffusion de la chaleur à 3 dimensions.
Les constantes peuvent être regroupées en une seule, appelée diffusivité thermique : D th = λ ρc
∂T(x, t)
− D
∂t
th ΔT(M, t) = P autre (M, t)
Equation de la chaleur
L’équation de la chaleur a été résolue pour la première fois par Joseph Fourier, (Théorie analytique de
la chaleur, 1822). Les solutions apparaissent sous forme de séries faisant intervenir des sinus et des
cosinus.
Matériau
Masse volumique Chaleur massique Conductivité
ρ kgm -3 -1
c J·kg
-1·K
thermique Diffusivité
-1
λ W·m
-1·K
D th m 2 /s
Aluminium 2700 897 237 9,79·10 -5
Fer 7870 440 80,2 2,32·10 -5
Cuivre 8920 390 401 1,15·10 -4
Verre 1180 1450 0,18 1,05·10 -7
Béton 2400 900 1 4,63·10 -7
Air 1,293 1000 0,025 1,93·10 -5
c) Longueur et temps caractéristiques de diffusion
L’équation de diffusion qui relie une dérivée partielle par rapport au temps à une dérivée partielle par
rapport à la coordonnée d’espace introduit un lien entre l’échelle de temps τ caractéristique des
variations temporelles de la température et l’échelle de longueur L caractéristique des variations
spatiales.
Premier point de vue : On définit des grandeurs t∗ et x∗ sans dimension par : t ∗ = t et τ x∗ = x . Si on
L
remplace x et t par Lx∗ et t∗ dans l’équation de diffusion, celle-ci devient :
∂T
∂t = a ∂2 T
∂x 2 → ∂T
∂(τt ∗ ) = a
∂2 T
∂(Lx ∗ ) 2 → 1 ∂T
τ ∂(t ∗ ) = a ∂ 2 T
L 2 ∂(x ∗ ) 2 → ∂T
∂(t ∗ ) = τa ∂ 2 T
L 2 ∂(x ∗ ) 2
Les dérivées partielles intervenant dans cette équation sont du même ordre de grandeur par définition
même de t et L. On en déduit :
1~ τa
L2
→ L~√τa → τ~
L2 a
Second point de vue : On peut raisonner à partir des ordres de grandeurs. L’ordre de grandeur de
∂T
~ T et a ∂2 T
~a T
∂t τ ∂x 2 L2 Ainsi l’équation de diffusion indique que :
T
τ ~a T L 2 → 1 τ ~ a L2
→ L~√τa → τ~
L2 a
L~√τa illustre une fois de plus la lenteur du phénomène de diffusion.
Via un raisonnement par ordre de grandeur, on établit le lien entre longueur caractéristique et temps
caractéristique de diffusion : La diffusion est un processus lent à grande distance :
L c = √D diff τ c
Il faut donc 4 fois plus de temps pour diffuser deux fois plus loin.
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Cours : Diffusion thermique
6) Equation de Diffusion thermique à 3D en régime stationnaire et sans terme de production
Régime stationnaire : ∂T(t,M)
= 0
∂t
Sans terme de production : P autre (M, t) = 0
L’équation de diffusion de la chaleur à 3 dimensions devient :
ΔT(M, t) = 0 Equation de Laplace
7) Résolution de l’équation de diffusion
L’équation.de la diffusion thermique permet de déterminer l’évolution de la température T (M,t) en
fonction des coordonnées du point M et du temps t.
La résolution exacte de cette équation n’est possible que dans certains cas particuliers ; en général, il
est indispensable d’utiliser des méthodes numériques.
La même équation est applicable à des problèmes physiques très différents : les conditions aux limites
spatiales et temporelles déterminent une solution unique.
Dans tous les cas, le phénomène est irréversible
L’objectif est ici de déterminer l’équation différentielle de diffusion de la température T(M, t). Sa
résolution permet alors de prédire/décrire/comprendre le processus de diffusion.
Pour cela, on va se doter de deux lois. La première est fondamentale car elle est générale : c’est la loi
de conservation de l’énergie (1er principe). La seconde est phénoménologique, issue d’observations
expérimentales : c’est la loi de Fourier.
a) Les trois étapes pour établir l’équation de diffusion
L’équation de diffusion ne doit faire apparaître que la température :
- un bilan d’énergie sur un volume élémentaire nous donnera une relation entre u (énergie interne
volumique) et J⃗⃗⃗⃗⃗ th le vecteur densité de courant thermique
Equation locale de conservation de l’énergie : ∂u
+ divJ ⃗⃗⃗⃗⃗
∂t
th = 0
Pour établir l’équation de diffusion, on souhaite ne conserver que le champ de température, on peut
déjà remplacer le terme d’énergie interne via la capacité thermique massique c :
ρc ∂T
∂t + divJ ⃗⃗⃗⃗⃗
th = 0
La loi de Fourier (analogue loi de Fick) nous donnera une relation entre J⃗⃗⃗⃗⃗ th et T. Les observations
expérimentales montrent que :
- le flux de chaleur croît avec la non-uniformité de la température
- le flux de chaleur va des zones les plus chaudes vers les zones les moins chaudes
J⃗⃗⃗⃗⃗ th = −λgrad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ T
(relation entre la cause et l’effet)
- la capacité thermique c du matériau nous donnera une relation entre u et T
du = ρcdT
b) Cas avec production et disparition d’énergie
L’énergie est une grandeur qui se conserve, si l’on considère toutes les formes d’énergie. Or souvent
en exercice, on ne considère que les formes thermiques : énergie interne, transfert thermique ; sans
tenir compte par exemple :
- de l’énergie des liaisons chimiques, libérée sous forme thermique lors de réactions (endo/exo)
thermiques
- de l’énergie interne produite par l’effet Joule ou par des frottements mécaniques
- de l’énergie des liaisons entre nucléons libérée sous forme thermique lors de réaction nucléaire
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Cours : Diffusion thermique
Pour palier au fait que ces énergies autres que thermiques ne sont pas comptabilisées, il faut ajouter un
terme de « création ou disparition » d’énergie.
c) méthode
Pour résoudre l’équation de diffusion thermique, la méthode est simple.
✧ Si le régime est stationnaire alors l’équation de diffusion devient une équation uniquement spatiale
qui, dans le cas unidimensionnel, est rarement difficile à résoudre.
✧ Si le régime n’est pas stationnaire alors :
➜ le régime est sinusoïdal forcé, nous pouvons sortir les complexes et résoudre sans difficulté
particulière.
➜ le régime n’est pas sinusoïdal forcé et il n’y a aucune méthode magique de résolution.
8) Equation de diffusion en régime stationnaire
En régime stationnaire (indépendant du temps) l’équation de la chaleur se simplifie :
ρc ∂T
∂t = λ∆T + P autre → ∆T + P autre = 0 (Equation de la diffusion thermique en régime stationnaire)
C’est une équation de Poisson pour la diffusion thermique
Dans le où nous supposons qu’il n’y a pas d’autres sources de transfert thermique que la conduction
l’équation devient :
∆T = 0 (Equation de la diffusion thermique en régime stationnaire en absence de source)
C’est une équation de Laplace pour la diffusion thermique
9) Conclusion
Lien entre les échelles caractéristiques :
L’équation de la chaleur impose en ordre de grandeur : δ ≈ √τD th = √τ λ ⇒ μc
dissymétrie espace et temps (relation importante pour les phénomènes diffusifs). Les
phénomènes diffusifs ne sont efficaces qu’à petite échelle spatiale.
Ex : pour homogénéiser la température d’un solide de D th = 10 −4 m 2 s −1 , il faut 1
seconde si δ =1cm et 3 heures si δ = 1 m
De plus, les phénomènes diffusifs non entretenus s’étouffent au cours du temps.
Linéarité : l’Equation de la chaleur est linéaire ⇒ superposition des solutions.
Conditions initiales et conditions aux limites : elles sont nécessaires pour résoudre
l’Equation de la chaleur. Il faut distinguer :
1) les conditions initiales : T (M, t = 0) en tout point du volume étudie à l’instant
initial
2) Des conditions aux limites : T (M, t) en tout point de la surface étudiée à tout
instant.
IV) Champ de température en régime stationnaire
1) régime stationnaire
Dans ce paragraphe on se place en régime stationnaire : la température et le vecteur densité de
courant thermique ne dépendent pas du temps. On les notera donc T(M) et j⃗⃗⃗⃗ th (M).
a) Cas où il n’y a pas de sources
En régime stationnaire le champ de températures dans un matériau dépourvu de sources de chaleur
vérifie l’équation de Laplace : T(M) = 0.
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Cours : Diffusion thermique
Il s’agit de l’équation de diffusion sans terme source (23.13) dans laquelle ∂T
∂t = 0
L’équation de Laplace se résout aisément dans les géométries simples
2) régime stationnaire sinusoïdale en absence de source : Ondes thermiques
On considère un demi-espace x > 0, et on cherche en régime stationnaire des solutions sinusoïdales de
l’amplitude θ(x) de la température à la profondeur x.
Si T 0 est la température moyenne uniforme, on cherche donc T en notation complexe de la forme
T(x, t) = T 0 + θ(x)exp (iωt).
L’équation de la chaleur devient en notation complexe :
d’´équation caractéristique : r 2 = iω
D th
→
avec δ = √ 2D th
ω
D th
∂ 2 θ
∂x 2 = iωθ
r 1 = (1 + i)√ ω
= (1+i)
2D th δ
r
{ 2 = −(1 + i)√ ω
= − (1+i)
2D th δ
qui a pour solution θ(x) = θ 1 e −r1x + θ 2 e −r2x = θ 1 exp ( (1+i)x
) + θ 2 exp (− (1+i)x
)
x δ
θ(x) = θ 1 e ⁄ exp ( ix δ ) + θ −x δ
2e ⁄ exp ( −ix
δ )
Or la première partie de la solution tend vers l’infini en module quand x → ∞, donc θ 1 = 0,
−x δ
θ(x) = θ 2 e ⁄ exp ( −ix
δ ) → T(x, t) = T −x δ
0 + θ 2 e ⁄ exp ( −ix
δ ) exp(iωt)
En notation réelle on aura :
On a donc une onde thermique atténuée.
−x δ
T(x, t) = T 0 + θ 2 e ⁄ exp i (ωt − x δ )
−x δ
T(x, t) = T 0 + θ 2 e ⁄ cos (ωt − x δ )
La quantité δ = √ 2D th
= ω
√2D th
= 2πf √D th
est appelée ´épaisseur de peau. On a : plus la fréquence de
πf
l’onde ↑, plus la pénétration est faible.
La vitesse de propagation vaut : v = ω = ωδ = k
√2ωD th = √4πfD th : plus la fréquence de l’onde
↑, plus sa vitesse ↑.
δ
δ
3) Régime stationnaire avec une seule variable en géométrie cartésienne
Considérons une plaque de surface S et d’épaisseur h dont les faces sont à des températures différente
T 1 et T 2 . On constate expérimentalement que la quantité de chaleur qui passe à travers la plaque est
proportionnelle à sa surface et à la différence de température, mais inversement proportionnelle à son
épaisseur.
Q
∆t = − λS h ΔT
La constante de proportionnalité, notée λ, est appelée conductivité thermique. C’est une propriété qui
dépend du matériau. L’unité est le watt par mètre et par kelvin [λ] = Wm −1 K −1 .
Pour une épaisseur infinitésimale dx, et une durée du temps dt on peut écrire :
δQ
dt = − λS
dx dT
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Cours : Diffusion thermique
Définissons Φ le flux de chaleur par unité de surface s’écoulant dans la direction x.
Φ = 1 δQ dT
= −λ
S dt dx
L’unité du flux de chaleur est le watt par mètre carré [Φ] = Wm −2
En régime stationnaire, dT
est constant et le profil de la température dans la plaque est une droite,
dx
comme illustré dans la figure ci-contre.
a) Cas d’une tige isolée en régime stationnaire
Soit une tige homogène cylindrique (cf. 5gure 1) de section S, de longueur L, et dont les extrémités
sont maintenues aux températures T 1 et T 2 (T 1 > T 2 ). Nous supposons de plus qu’il n’y a aucun
échange thermique entre la tige et le milieu extérieur par la surface latérale du cylindre (isolation
thermique).
Le régime est stationnaire, la température est donc indépendante du temps. Le problème est
unidimensionnel, la température ne dépend donc que de x. L’équation de la chaleur s’écrit alors :
∆T = d2 T(x)
dx 2 = 0 → T(x) = ax + b
Les conditions aux limites permettent de déterminer a et b :
x = 0; T(x = 0) = T 1 → b = T 1
{
x = L; T(x = L) = T 2 → aL = T 2 − T 1 → a = T 2 − T 1
< 0
L
T(x) = T 2 − T 1
x + T
L
1
Soit λ la conductivité thermique du matériau constituant la tige. Le vecteur densité de courant
thermique J⃗⃗⃗⃗⃗ th à travers la section S est :
J⃗⃗⃗⃗⃗ th = −λ ( T 2 − T 1
) e⃗⃗⃗⃗ L x = λ ( T 1 − T 2
) e⃗⃗⃗⃗ L x = cte ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
le flux thermique Φ qui traverse la tige est : Φ = J th S = λ ( T 1−T 2
) S = cte
L
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Cours : Diffusion thermique
b) Résistance thermique
Soit une tige identique à celle étudiée précédemment en régime permanent. Nous pouvons définir la
résistance thermique R th de la tige par analogie à la résistance électrique :
R th = ( T 1 − T 2
Φ
) = 1 L
λ S
par analogie avec la définition de la résistance électrique d’une tige conductrice de mêmes dimensions
que la tige précédente, de conductivité électrique σ, soumise à une différence de potentiel (V 1 - V 2 ) et
parcourue par une intensité I (c’est-à-dire un flux de charges électriques)
L’inverse de la résistance thermique s’appelle la conductance thermique : G th = 1
= λ S R th L
En régime permanent, les conductions électrique et thermique sont formellement analogues : la loi
d’Ohm correspond à la loi de Fourier, et le régime permanent interdit l’accumulation d’énergie
(conduction thermique) ou de charge électrique (conduction électrique). Cette analogie nous permet de
définir la résistance thermique dans un cas plus général.
Le flux thermique existant en régime permanent entre les faces d’entrée et de sortie d’un conducteur
thermique, qui suit la loi de Fourier, est proportionnel à leur différence de température. On définit
alors la résistance thermique :
R th = ( T 1 − T 2
Φ )
4) Cas de la symétrie cylindrique Il s’agit de l’équation de diffusion dans le cas où la température ne
dépend pas de t. On peut utiliser ici le symbole « d droit » car r est ici la seule variable dont T dépend.
On peut aussi écrire cette équation à partir de l’expression du laplacien en coordonnées cylindriques.
Si la température ne dépend que de la distance r à l’axe (Oz) l’équation de Laplace s’écrit :
1 d dT
(r
r dr dr ) = 0
1 d dT
dT dT
(r ) = 0 → r = A →
r dr dr dr dr = A → T(r) = A ln(r) + B
r
Les constantes A et B sont déterminées à partir des conditions aux limites s’appliquant à la surface du
matériau. Si, par exemple, le matériau s’étend entre r = R 1 et r = R 2 et que l’on impose les
températures T(R 1 ) = T 1 et T(R 2 ) = T 2 , il vient :
T(r) = (T 2 − T 1 ) ln(r ⁄ R 1)
ln(R 2 ⁄ R 1 ) + T 1
Le vecteur densité de courant thermique j⃗⃗⃗⃗ th (M) ne dépendent pas du temps. Il est donné par la loi de
Fourrier :
j⃗⃗⃗⃗ th (M) = −λ dT
dr e⃗⃗⃗ r = −λ(T2 − T ) 1 1
ln(R 2 ⁄ R 1 ) r e⃗⃗⃗ r = λ(T1 − T ) 2 1
ln(R 2 ⁄ R 1 ) r e ⃗⃗⃗ r
Le flux thermique qui traverse le système est
Φ th = ∬ j⃗⃗⃗⃗ th (M)dS 1 ⃗⃗⃗ e r = ∬ λ(T 1 − T 2 ) 1
2πdrdh = λ(T 1 − T 2 ) 1
2π ∫ dr ∫ dh
ln(R 2 ⁄ R 1 ) R 1 ln(R 2 ⁄ R 1 ) R 1
Φ th = λ(T 1 − T 2 ) 1
2πR
ln(R 2 ⁄ R 1 ) R 1 h = λ(T 1 − T 2 )
1 ln(R 2 ⁄ R 1 ) 2πh
R 1
0
0
h
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Cours : Diffusion thermique
La résistance thermique est donnée par :
R th = ΔT = ln(R 2⁄ R 1 )
Φ th λ2πh
5) Cas de la symétrie sphérique Si la température ne dépend que de la distance r au point O,
l’équation de Laplace s’écrit:
1 d dT
r 2 (r2
dr dr ) = 0
1 d dT
dT dT
r 2 (r2 ) = 0 → r2 = A →
dr dr dr dr = A r 2 → T(r) = − A r + B
Les constantes A et B sont déterminées à partir des conditions aux limites s’appliquant à la surface du
matériau. Si, par exemple, le matériau s’étend entre r = R 1 et r = R 2 et que l’on impose les
températures T(R 1 ) = T 1 et T(R 2 ) = T 2 , il vient :
T(r) = − 1 r
(T 2 − T 1 )R 1 R 2
(R 2 − R 1 )
+ R 2T 2 − R 1 T 1
(R 2 − R 1 )
Le vecteur densité de courant thermique j⃗⃗⃗⃗ th (M) ne dépendent pas du temps. Il est donné par la loi de
Fourrier :
j⃗⃗⃗⃗ th (M) = −λ dT
dr e ⃗⃗⃗ r = − λ (T 2 − T 1 )R 1 R 2
r 2 e⃗⃗⃗ (R 2 − R 1 ) r = λ (T 1 − T 2 )R 1 R 2
r 2 e⃗⃗⃗
(R 2 − R 1 ) r
Le flux thermique qui traverse le système est
Φ th = ∬ j⃗⃗⃗⃗ th (M)dS 1 e⃗⃗⃗ r = ∬ λ
2
R 1
(T 1 − T 2 )R 1 R 2
dS
(R 2 − R 1 ) 1 =
Φ th = (T 1 − T 2 )R 1 R 2
4πλ
(R 2 − R 1 )
La résistance thermique est donnée par :
R th = ΔT = (R 2 − R 1 )
Φ th λ4πR 1 R 2
V) Notions de résistance thermique
1) Notion de Résistance thermique
Il est possible de construire une analogie électrique où :
λ
R 1
2
(T 1 − T 2 )R 1 R 2 2
4πR
(R 2 − R 1 ) 1
Le flux est analogue à un courant électrique I passant dans une résistance R
L’écart de température T1 T2
est analogue à une différence de potentiel (ou tension) V aux bornes de
la résistance R
d’après la loi d’Ohm V=RI et en conduction T1 T2
e
S
.Autrement dit
comme analogue à une résistance électrique. On pourra ainsi définir R
résistance thermique du mur.
e
S
T
peut être considérée
e
S
comme la
Remarque : cette analogie peut être plus poussée. En effet il suffit de comparer les relations qui
donnent la résistance thermique d’un matériau et la résistance électrique d’un conducteur cylindrique :
l
1 e
Rélec
Rtherm
S
S
Avec : résistivité électrique et : la conductivité thermique
La résistivité électrique est l’inverse de la conductivité électrique.
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Cours : Diffusion thermique
On note donc immédiatement la similarité des relations.
Unité de la résistance thermique :
R est homogène à une température / flux , donc R s’exprime en K/W.
L’analogie n’a d’importance que dans les applications potentielles. Ainsi on pourra considérer le cas
de murs en série et des murs en parallèle.
2) Association en Serie : Murs composites en série
Considérons n couches de matériaux d’épaisseur respectives e 1 , e 2 , ….e n de conductivité thermique
1, 2,........
n
et soit T 1 , T 2 , ….T n , T n+1 les températures de chacune des faces.
En supposant qu’il n’y a pas de pertes de chaleur, ni de production interne, le même flux traverse
toutes les parois, selon les relations :
1 S T
1 2
1 T
T T 2
e1 R1
2
S T T
T 2 T 3
e2 R2
2 3
--------------------------
n S T
n n 1
n T
T T
n
1
en
Rn
T T
R
Mais d’une manière générale entre deux faces extrêmes : 1 n1
C’est à dire :
Une association de murs en série est telle que
T1 Tn 1
R
T1 Tn 1 T1 T2 T2 T3 T3 T 4........ Tn Tn 1
T1 Tn 1 R1 R2 R 3 ......Rn
R Ri
On comprend immédiatement l’intérêt d’une telle relation qui permet d’en tirer le flux échangé par
conduction au sein d’un mur composite, sans pour autant connaître les températures des faces de
chacune des épaisseurs. Il est en effet très difficile concrètement de faire des mesures de température
au sein de l’épaisseur d’un mur.
3) Association en parallèle : Murs en parallèles
Dans beaucoup de cas, on peut continuer à combiner les équations relatives à la théorie
unidimensionnelle et faire appel à l’analogie électrique avec combinaison de résistances en parallèle.
Exemple : Deux murs en parallèle
Il s’agit de deux murs superposés. On néglige les effets de bord.
T1 T2 T1 T2 1 1 T1 T
T
2
1 T2
R1 R
2 R1 R
2 R
i
20/32

Ahmed Chouket
Cours : Diffusion thermique
R 1
T 2
T 1
R 2
Comme pour les résistances électriques on tire donc dans ce cas :
1
R
1
R
1
1
R 2
On peut parfaitement généraliser cette relation obtenue pour 2 murs à un nombre quelconque de murs :
1 1
R
R
i
i
4) Synthèse des résultats obtenus en conduction morte unidimensionnelle suivant la géométrie
Equation de la
conduction
Distribution des
températures
2 1
Flux de chaleur T1
T
S
2
e
Résistance
thermique
Mur plan Cylindre creux Sphère creuse
2
d T
1 d dT
0
2
r
0
1 d dT
r
2
0
dx
2
r dr dr
r dr dr
T T
Te
Ti
Te lnri Ti lnre
1 1
T x x T1
T lnr
e
re
re
r R
T i
r T T T
ln ln
ri
ri
i i e
2
4
i e
i
re
1 1
ln
r
i
ri
re
r
1 1
ln
r i
R
ri
re
R
2 l
4
1 1
Ri
Re
T
T
T
T
R
e
S
e
e
5) Remarque thermodynamique : on peut profiter de l’occasion pour calculer l’entropie créée.
Considérons dans le problème du mur un volume élémentaire de section dΣ arbitraire et d’épaisseur dx
entre les abscisses x et x+dx. Appliquons lui, entre les instants t et t+dt, le second principe sous la
forme :
dS = ∑ δQ
T ext
+ δS créée
En régime permanent, dS = 0 → δS créée = − ∑ δQ
T ext
.
Par ailleurs, ∑ δQ
est somme de deux termes, d’une part +j th(x) dΣdt
T ext T(x)
On en déduit après un développement de Taylor à l’ordre un :
δS créée
dΣdt
Reportons-y la loi de Fourier :
= ∂ ∂x (j th(x)
T(x)
δS créée
dΣdtdx = −λ ∂ ∂x ( 1
T(x)
) dx →
δScréée
dΣdtdx = ∂ ∂x (j th(x)
T(x) )
∂T(x)
∂x
) = − λ T
21/32
dt, d’autre part −j th(x+dx) dΣdt
T(x+dx)
∂ 2 T(x)
∂x 2 + λ 2
T 2 (∂T(x) ∂x )
.

Ahmed Chouket
Cours : Diffusion thermique
soit, puisque ∂2 T(x)
∂x 2 = 0
δS créée
dΣdtdx = + λ 2
T 2 (∂T(x) ∂x )
= 1
λT
2 (λ ∂T(x)
⏟ ∂x
J th
)
2
= J th 2
λT 2
On trouve, bien sûr un résultat positif, mais aussi un résultat qui met en évidence que ce sont les
inhomogénéités de température qui sont source d’irréversibilité et aussi que si les gradients sont
faibles, donc leurs carrés négligeables, une transformation est alors quasiment isentropique. Cette
remarque éclaire bien le lien entre les notions d’irréversibilité thermodynamique et de transformation
quasi-stationnaire.
VI) Autres exemples
1) Régime variable
En régime variable, ou transitoire, le profil de température dépend la fois de la coordonnée spatiale et
du temps : T = T(x,t) . Comme une partie de la chaleur qui traverse la plaque sert à la chauffer ou à la
refroidir, il faut tenir compte de la chaleur spécifique du matériau.
Quantité de chaleur entrante : Q 1
Quantité de chaleur sortante : Q 2
Quantité de chaleur servant à chauffer la plaque : Q 1 − Q 2 = ShρcΔT
avec : ρ = masse volumique en kgm -3 -1
, c = chaleur massique en J·kg
-1·K
et ΔT = élévation de température de la plaque (supposée mince).
En divisant par SΔt et tenant compte de la définition du flux, il vient :
Q 1
S∆t − Q 2
S∆t = ShρcΔT → Φ
S∆t
1 − Φ 2 = hρc ΔT
∆t
La plaque étant supposée mince, on a :
Φ 1 − Φ 2
h
→ −
Pour Δt →0 , ΔT
∆t
Finalement :
∂Φ(x, t)
∂x
tend vers la dérivée de T par rapport au temps au point x :ΔT → ∂T(x,t)
∆t ∂t
Φ 1 − Φ 2
= ρc ΔT ∂Φ(x, t) ∂T(x, t)
→ = −ρc
h
∆t ∂x
∂t
Et, en tenant compte de la loi de Fourrier à une dimension :
Φ = 1 δQ dT(x, t)
= −λ
S dt dx
On aura
∂ ∂T(x, t) ∂T(x, t)
(−λ ) = −ρc → λ ∂2 T(x, t) ∂T(x, t)
∂x ∂x
∂t ∂x 2 = ρc
∂t
L’équation est connue sous le nom d’équation de la chaleur (à une dimension).
2) choc thermique – solution en régime transitoire en 1D
Soit un contact brusque avec un thermostat de la manière suivante : Initialement le milieu occupant un
demi-espace est à température uniforme T 0 .
À t = 0 il est mis en contact avec un thermostat de température différente T 1 .
22/32

Ahmed Chouket
Cours : Diffusion thermique
En absence du terme de production, l’équation de diffusion de la chaleur s’écrit :
∂T(t, x)
ρ c − λ ∂2 T(x, t)
∂t ∂x 2 = 0
L’équation de diffusion contient une dérivée du 1er ordre en temps et du 2e ordre en position. Pour
déterminer la solution, il faut se doter de :
- 1 condition initiale (temps)
- 2 conditions aux limites (espace)
La solution générale dépendante du temps est généralement très difficile à établir.
Les contraintes auxquelles devra obéir la solution sont :
➜Condition Initiale: en x = 0 à t = 0: T(x, 0) = T 0 si x ≠ 0
➜ Condition aux Limites: T(+∞, t) = T 0
T(0, t) = T 1
3) mur de maison – régime stationnaire 1D
Il s’agit là d’une situation très classique à tel point que c’est presque l’archétype des phénomènes de
diffusion et c’est pourquoi nous y ferons référence régulièrement.
a)mur simple
Considérons un mur de maison, suffisamment grand pour pouvoir négliger les effets de bords et donc
être considéré comme infini bien qu’il ne le soit pas.
Ce mur sépare deux milieux (infinis eux aussi) et de températures uniformes et constante.
➜ Quelle est la répartition de température à l’intérieur du mur en régime permanent ?
➜ Quelle est la puissance perdue à travers le mur en régime permanent ?
Conduction électrique
Différence de potentiel U
Vecteur densité de courant électrique
J = −σgrad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ V : Loi d’Ohm locale
Courant électrique I = ∬
Résistance électrique R = l
Sσ
La conductivité électrique
S
j dS ⃗⃗⃗⃗
Transfert thermique
Différence de température, T
Vecteur densité de courant thermique
J⃗⃗⃗⃗⃗ th = −λgrad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ T : loi de Fourrier
Flux de chaleur Q̇ = Φ = ∬
S
j⃗⃗⃗⃗
th
Résistance thermique R th = l
Sλ
La conductivité thermique
dS ⃗⃗⃗⃗
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Ahmed Chouket
Cours : Diffusion thermique
Loi d'Ohm intégrale: U = R I
ΔU équi = ∑ ΔU i
Association série:{ I équi = cte = I i
R équi = ∑ R i
I équi = ∑ I i
Association en dérivation:{
ΔU équi = cte = ΔU i
1
R équi
= ∑ 1 R i
Loi de Fourrier intégrale T=R th Φ
ΔT équi = ∑ ΔT i
Association série:{ Φ équi = cte = Φ i
R équi = ∑ R i
Φ équi = ∑ Φ i
Association en dérivation:{
ΔT équi = cte = ΔT i
1
= ∑ 1
R théqui R thi
Analogie électrique
B) Le transfert de chaleur par convection :
I) Notion de coefficient de transfert de chaleur entre un fluide et une paroi
1) Position du problème
Il existe de nombreuses situations pratiques où un solide est au contact d'un fluide à une température
différente. Par exemple, considérons le mur d'une maison au travers duquel on souhaite évaluer le flux
de chaleur (c'est un calcul nécessaire pour estimer les besoins de chauffage). On se donne la
température intérieure de la maison Ti et la température extérieure Te, c'est à dire les températures de
l'air loin de la paroi et non pas les températures de surface de la paroi Tpi et Tpe. Si on veut calculer le
flux Φ(x), il est nécessaire de représenter l'étape de transfert de chaleur entre l'air et la surface du mur
: la notion de coefficient de transfert de chaleur a pour but une telle représentation.
2) Mécanismes de transfert de chaleur par convection entre un fluide et une paroi
La difficulté vient du fait qu'un fluide siège de transferts de chaleur est rarement immobile. On peut le
mettre en mouvement par un moyen mécanique extérieur : par exemple, on fait circuler l'eau dans les
radiateurs de chauffage des bâtiments à l'aide de pompes (figure ). On parle dans ce cas de convection
forcée entre le fluide en mouvement et la paroi considérée. De tels mouvements naissent aussi
naturellement du fait des forces d'Archimède.
Ainsi, lorsqu'on regarde l'horizon dans un désert, les images du lointain sont floues et apparaissent en
mouvement : c'est l'air qui, au contact du sable chaud, s'élève du fait que sa densité diminue avec la
température (Effet Mirage).
Ecoulement dans une canalisation :
convection forcée
Air au contact d'une plaque chaude : convection naturelle
Figure : Mécanismes de la convection thermique.
Si on veut décrire de façon détaillé ces mécanismes, il faut résoudre un grand nombre d'équations
d'une grande complexité. Une approche plus globale et à caractère empirique consiste à définir un
coefficient qui globalise l'ensemble des phénomènes : ce dernier est mesuré.
3) Définition du coefficient d'échange de chaleur h
Considérons une paroi de forme quelconque, plaçons nous en un point de cette paroi où la température
est Tp et considérons le fluide situé à ce niveau de la paroi mais loin de celle-ci: sa température est
notée T ∞
24/32

Ahmed Chouket
Cours : Diffusion thermique
Figure : Notion de coefficient de transfert de chaleur par convection.
L'idée est que, quelle que soit la complexité du mécanisme de transfert entre le fluide et la paroi, le
flux de chaleur entre ces deux zones reste proportionnel à l'écart de température. Le coefficient de
transfert de chaleur h est alors défini comme suit :
J conv = h(T p − T ∞ ) = (T p − T ∞ )
( 1 = (T p − T ∞ )
→ R
h ) R thconv = 1
thconv
h
h peut être vu comme une conductance thermique par unité de surface et son inverse 1 comme une
h
résistance thermique par unité de surface. La densité de flux J conv est perpendiculaire à la paroi solide,
c'est à dire colinéaire au vecteur normal à la surface. Si Tp > T ∞ , la densité de flux est orientée depuis
le solide vers le fluide et si Tp < T ∞ , la densité de flux est orienté depuis le fluide vers la paroi.
Compte tenu de l'unité de J conv (W.m -2 ), le coefficient h s'exprime en (W.m -2 .K -1 ) dans le système
international. Nous donnons dans le tableau quelques ordres de grandeurs de h.
Situation h (W.m -2 .K -1 )
Convection naturelle Dans les gaz 3 à 20
Convection forcée
Dans les liquides 100 à 600
Dans les gaz 10 à 100
Dans les liquides visqueux 50 à 500
Dans l’eau 500 à 10000
Tableau : Ordre de grandeur du coefficient de transfert de chaleur par convection h (Bird,
Stewart, Lightfoot, Transport phenomena, Wiley and Sons, 1960)
Il n’est pas dans l’objectif de ce cours d’aller plus loin dans l’étude du phénomène de convection. Il
existe dans les ouvrages spécialisés en Transfert Thermique des relations permettant de calculer a dans
diverses situations. Il suffit pour l’instant d’avoir compris sa définition et les phénomènes qu’il
représente.
4)Transfert conducto-convectif : loi de Newton
On étudie le cas où le matériau étudié est en contact avec un milieu extérieur de température T 0 . On
admet souvent que les échanges d’énergie à travers la surface du matériau sont régis par une loi
linéaire, appelée loi de Newton :
Les transferts thermiques entre un corps et le milieu extérieur suivent la loi de Newton si la densité de
flux thermique sortant (algébriquement) à travers la surface du matériau est proportionnelle à l’écart
de température entre T de la surface du matériau et T 0 du milieu extérieur :
J thconv = h(T − T 0 )
où h désigne le coefficient de transfert thermique de surface qui s’exprime en W.m -2 .K -1 .
Remarques :
On peut relier la loi de Newton à la loi de Fourier. En effet, la température du milieu extérieur
n’est égale à T 0 que «suffisamment loin » de la surface de séparation, au-delà d’une couche
limite d’épaisseur . En fait, la température est continue en x 0 , et sa valeur est T (x 0 , t), y
compris dans le milieu extérieur. La loi de Newton donne alors :
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Ahmed Chouket
Cours : Diffusion thermique
J thconv = h(T − T 0 ) = J thconv = h(T(x 0 , t) − T 0 ) = δh ( T(x 0 + δ, t) − T(x 0 , t)
)
δ
J thconv = δh ( T(x 0 + δ, t) − T(x 0 , t)
δ
λ
) → J thconv ≈ (δh⏞
on retrouve une expression analogue à la loi de Fourier avec un coefficient λ′ = δh homogène à une
conductivité thermique.
Nous utiliserons souvent la loi de Newton pour un contact solide - fluide où les transferts
thermiques sont complexes : la conduction au niveau de la paroi du solide est couplée à un
phénomène de convection du fluide au voisinage de la paroi du solide sur une couche
d’épaisseur .
) ∂T
∂x
Flux thermique est à travers une surface S est
La résistance thermique est
Φ thconv = h(T − T 0 )S
R thconv =
ΔT
Φ thconv
= 1 hS
C) Exemples d'application de la méthode
I) Conditions aux limites pour le champ de température
Pour résoudre l’équation de diffusion thermique (avec ou sans terme source) il faut déterminer les
conditions aux limites qui sont vérifiées en chaque point de la surface S délimitant le matériau dans
lequel on calcule la température. On note P un point de cette surface et n⃗⃗⃗⃗ P le vecteur normal à la
surface en ce point dirigé vers l’extérieur du matériau.
1) Cas d’un contact parfait entre deux matériaux solides
Dans ce cas, il y a en P :
26/32

Ahmed Chouket
Cours : Diffusion thermique
• continuité du champ de température : T(P, t) solide1 = T(P, t) solide2 ,
• continuité de la composante normale du vecteur densité de courant thermique : j⃗⃗⃗⃗ th (P, t)
j⃗⃗⃗⃗ th (P, t) solide1 n⃗⃗⃗⃗ P = j⃗⃗⃗⃗ th (P, t) solide2 n⃗⃗⃗⃗
P
Cette condition est nécessaire car le flux thermique à travers une surface dS P autour de P est identique,
qu’on le calcule du côté du solide 1 ou du côté du solide 2 :
j⃗⃗⃗⃗ th (P, t) solide1 (dS P n⃗⃗⃗⃗ P ) = j⃗⃗⃗⃗ th (P, t) solide2 (dS P n⃗⃗⃗⃗ P ) = dΦ
Remarque
Si le contact thermique n’est pas parfait (par exemple il y a une poche d’air entre les deux solides), la
première condition n’est plus valable.
2) Cas d’un contact avec un fluide, loi de Newton
Lorsque le matériau solide est en contact en P avec un fluide de température T f , le flux thermique
élémentaire passant du solide au fluide à travers la surface dS P est donné par la loi de Newton :
dΦ solide→fluide = h(T(P, t) − T f )dS P
Dans le cas où la loi de Newton s’applique, la condition aux limites en P exprime le fait que le flux
thermique passant du solide au fluide à travers dS P est le même qu’on le calcule du côté du solide,
avec le vecteur densité de courant thermique (flux conductif), ou du côté du liquide.
dΦ = dΦ solide→fluide = h(T(P, t) − T f )dS P = j⃗⃗⃗⃗ th (P, t) solide (dS P n⃗⃗⃗⃗ P )
h(T(P, t) − T f ) = j⃗⃗⃗⃗ th (P, t) solide (n⃗⃗⃗⃗ P )
Remarque
Si le coefficient h tend vers l’infini, cette condition implique que T(P, t) = T f (car la norme du vecteur
densité de courant thermique ne peut être infinie). Dans ce cas le fluide impose sa température au
solide. C’est une modélisation courante.
3) Cas où le flux thermique est imposé
Une paroi adiabatique impose que le flux thermique dΦ à travers dS P est nul. Dans cette modélisation:
j⃗⃗⃗⃗ th (P, t) solide (n⃗⃗⃗⃗ P ) = 0
On peut aussi imposer un flux d’énergie de puissance surfacique connue J 0 (t). Dans ce cas :
j⃗⃗⃗⃗ th (P, t) solide (n⃗⃗⃗⃗ P ) = −J 0 (t) avec un signe − si J 0 (t) est dirigé vers le matériau.
II) Transfert de chaleur par conduction dans une plaque plane de grande
dimension
On considère une plaque plane telle que représentée figure …. Cette plaque peut par exemple
représenter le mur d'une maison. Elle a une épaisseur e et une surface latérale A.
Compte tenu de sa forme, on peut supposer, comme dans le cas d'une barre allongée, que la
température ne varie qu'avec x. On se place par ailleurs en régime permanent donc on ne considère pas
l'évolution temporelle de la température. L'objectif est de connaître l'évolution de la température dans
la plaque avec x ou profil de température T(x) et de connaître le flux de chaleur Fx qui traverse la
plaque selon la direction x.
Le résultat qu'on va obtenir est effectivement utilisé par les ingénieurs chargés de prévoir les besoins
en chauffage des bâtiments par exemple. L'équation dont T(x) est solution résulte du bilan d'énergie
associé à la relation de Fourier. Séparons bien ces deux temps de l'établissement de l'équation.
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Ahmed Chouket
Cours : Diffusion thermique
Figure : Le problème de la conduction en régime permanent dans une plaque plane.
Bilan d'énergie
On considère une tranche de solide d'épaisseur dx telle que représentée figure . C'est notre système
selon la terminologie de la thermodynamique. Pour qu'il s'agisse d'un système thermodynamique,
rappelons qu'il doit malgré tout être suffisamment épais pour contenir un nombre de particules
élémentaires tel que les notions macroscopiques utilisées ont un sens. La seule énergie échangée par ce
système est l'énergie thermique selon le processus de la conduction. Le bilan s'écrit alors :
Φ(x) = cte → J x (x)A = J x (x + dx)A → J x (x) = J x (x + dx)
où Jx est la densité de flux suivant l’axe x. En utilisant le développement de Taylor à l'ordre 1
de J(x+dx), on a :
J x (x + dx) = J x (x) + ∂J(x) ∂J(x)
dx →
∂x ∂x
= 0
En reportant dans le bilan l’expression du flux donnée par Fourier, on trouve la relation recherchée :
∂J(x)
∂x
= 0 → ∂ ∂T
(−λ
∂x ∂x ) = 0 → ∂2 T
= 0
∂x2 dont la solution est simplement : T(x) = ax + b.
Les constantes a et b sont calculées en fixant ce qu'on appelle des conditions aux limites. Par exemple,
si on suppose que les températures de la plaque sont fixées en x=0 et x=e, respectivement T pi et T pe ,
on trouve facilement les expressions de a et b et le profil de température est :
T(x) = (T pe − T pi )
x + T
e
pi
(T
J⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ pe − T pi )
x (x) = −λ [ ] e⃗⃗⃗⃗
e
x
Finalement, on calcule le flux selon la relation de Fourier :
Φ(x) = −λ [ (T pe − T pi )
] A = (T pi − T pe )
e
( e
λA )
= ΔT → R
R th = ( e
th λA )
La quantité R Th s'appelle la résistance thermique de la plaque par analogie avec la résistance
électrique d'un conducteur.
Le flux de chaleur est alors analogue à l’intensité du courant et la température à la tension électrique.
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Cours : Diffusion thermique
II) Transfert de chaleur par conduction dans un tube de grande longueur
On considère un cylindre creux de longueur L, de rayon intérieur Ri et de rayon extérieur Re (figure)
Figure: Le problème de la conduction en régime permanent dans un cylindre.
Ce cylindre peut représenter une canalisation de transport d’eau de chauffage central par exemple. La
longueur L est supposée très supérieure aux rayons Ri et Re. De ce fait, la température ne dépend que
de la position radiale r. L'objectif est de connaître l'évolution de la température dans le tube avec r (ou
profil de température T(r)) et de connaître le flux de chaleur Φ(r) qui traverse le tube. Le résultat
qu'on va obtenir est effectivement utilisé par les ingénieurs chargés de prévoir les pertes de chaleur
dans des canalisations par exemple.
L'équation dont T(r) est solution résulte toujours du bilan d'énergie associé à la relation de Fourier
Bilan d'énergie
On considère une tranche de solide de forme cylindrique et d'épaisseur dr telle que la seule énergie
échangée par ce système est l'énergie thermique selon le processus de la conduction. Le bilan s'écrit
alors :
Φ(r) = cte → J r (r)2πLr = J r (r + dr)2πL(r + dr) → J r (r)r = J r (r + dr)(r + dr)
où Jr est la densité de flux suivant e⃗⃗⃗ r . En utilisant le développement de Taylor à l'ordre 1
de J(r+dr), on a :
J r (r + dr) = J r (r) + ∂J(r) ∂J(r)
dr →
∂r ∂r
r + J r(r) = 0 → ∂ (J(r)r) = 0
∂r
En reportant dans le bilan l’expression du flux donnée par Fourier, on trouve la relation recherchée :
∂
∂r (J(r)r) = 0 → ∂ ∂T
(−λr
∂r ∂r ) = 0 → ∂ ∂T
(r
∂r ∂r ) = 0
dont la solution est obtenue en intégrant deux fois l’équation :
∂ ∂T
∂T ∂T
(r ) = 0 → r = a →
∂r ∂r ∂r ∂r = a → T(r) = aLn(r) + b
r
Les constantes a et b sont calculées en fixant les conditions aux limites. On suppose que les
températures du tube sont fixées en r = R i et r = Re, respectivement à T pi et T pe .
On trouve alors les expressions de a et b et le profil de température est :
T(r) = (T pe − T pi )
Ln ( R Ln ( r ) + T
i
R
)
R pi
i
e
λ
J⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ r (r) = −
r [(T pe − T pi )
Ln ( R ] e⃗⃗⃗⃗
r
i
R
)
e
Finalement, on calcule le flux selon la relation de Fourier :
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Ahmed Chouket
Cours : Diffusion thermique
Φ(r) = J⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ r (r) A ⃗ = − λ r [(T pe − T pi )
Ln ( R ] 2πrL = λ [ (T pi − T pe ) (T pi − T pe )
i
)
Ln ( R ] 2πL =
i
)
R e R
Ln ( R = ΔT
i
e R
)
R th
e
[ 2πLλ ]
Ln ( R i
R
)
R th = e
2πLλ
La quantité R Th s'appelle la résistance thermique de la plaque par analogie avec la résistance
électrique d'un conducteur.
Le flux de chaleur est alors analogue à l’intensité du courant et la température à la tension électrique.
III). Calcul des flux de chaleur dans des plaques ou parois composites:
exploitation de l'analogie électrique
Ces calculs constituent des exemples des relations étudiées précédemment et s’appliquent à des
situations pratiques comme :
• le calcul des besoins en chauffage d’un bâtiment;
• le calcul des pertes de chaleur d’une canalisation;
• etc.
Les relations qui vont être mises en évidence sont basées sur l’analogie entre la résistance électrique
de circuits de type série ou parallèle et la résistance thermique d’un objet.
1) Plaques planes
a) Plaque multicouche de type série
Le cas typique de cette situation est le mur d’un bâtiment composé d’une couche de brique, d’une
couche de plâtre et le cas échéant d’une couche d’isolant thermique. Ce mur de surface A est au
contact d’un fluide sur ses faces intérieure et extérieure. La situation générale est représentée figure ...
Le flux de chaleur doit traverser plusieurs résistances thermiques en série:
• la résistance thermique de convection côté intérieur: R i thconv = 1
Ah i
• la résistance thermique de conduction de chaque couche solide numérotée k: R k th = e k
Aλ k
où e k est l’épaisseur de la couche k et λ k sa conductivité thermique ;
• la résistance thermique de convection côté extérieur : R ext thconv =
1
Ah ext
Figure : Plaque multicouche de type série.
Exprimons la différence des températures intérieure Ti et extérieure Te vis à vis des températures
intermédiaires:
• T pi et T pe : les températures des parois intérieure et extérieure;
• T pk : les températures de contact entre la couche k-1 et la couche k.
T i - T e = (T i - T pi ) + (T pi - T p1 ) + (T p1 - T p2 ) + ... + (T pe - T e )
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Ahmed Chouket
Cours : Diffusion thermique
On peut remplacer toutes les différences de température par leur relation en fonction du flux Φ(x) qui
est commun à toutes les résistances:
Φ(x)R tot th = Φ(x)R e
th
+ Φ(x)R 2
i
th + ⋯ + Φ(x)R th
tot comme la somme des résistances comme dans tout
+ Φ(x)R 1
th
et ainsi définir une résistance thermique totale R th
montage en série:
Φ(x) = T i − T e
tot
R th
R tot th = R e
th + R 1
th + R 2 i
th + +R th = 1 +
1 +
1 + ⋯ +
1
{
Ah i Aλ 1 Aλ 2 Ah e
b) Plaque multicouche de type parallèle
La situation typique est celle d’un mur comportant une fenêtre (cf. figure 9.10). Le flux de chaleur
total Φ(x) se partage entre le flux traversant la fenêtre et le flux traversant le mur lui-même.
Les températures extérieure et intérieure étant de plus communes aux deux parties de la paroi, on se
trouve dans la situation de résistances en parallèle.
Dans le cas de deux couches 1 et 2 telles que représentées figure ci-dessous par exemple, on calcule
d’abord la résistance de chaque couche, respectivement R 1
th et R 2 th .
Chacune de ces résistances est constituée par une association en série convection intérieure -
conduction - convection extérieure selon la relation :
R 1 th = 1 +
e 1 1
A 1 h i A 1 λ 1 A 1 h e
R 2
{ th = 1 +
e 2
+ +
1
A 2 h i A 2 λ 2 A 2 h e
où A 1 et A 2 sont les surfaces des parois 1 et 2, e 1 , e 2 leurs épaisseurs et λ 1 , λ 2 leurs conductivités
thermiques.
La résistance totale est ensuite obtenue en exprimant que le flux se partage entre les deux branches:
Φ(x) = T i − T e
tot
R th
1
R th
= T i − T e
R th
1
+ T i − T e
2
= (T i − T e ) ( 1
1 + 1
R th
tot = ( 1
1 + 1
2 ) → R th
R th
R th
tot =
R th
1 2
R th
R 1 2
th + R th
R th
2
R )
th
soit la relation classique d’addition des inverses des résistances dans un montage en parallèle:
{
Φ(x) = T i − T e
tot
R th
1
tot = ( 1
1 + 1
R th
R th
2
R )
th
Figure : Plaque multicouche de type parallèle
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Ahmed Chouket
Cours : Diffusion thermique
c) Généralisation
Pour une paroi plus complexe constituée de plusieurs plaques en parallèles elle-mêmes constituées de
plusieurs couches, il n’y a aucune difficulté à généraliser la démarche en construisant le schéma
électrique équivalent et en calculant la résistance totale par application des formules de combinaison
des résistances des circuits série ou parallèle.
2) Paroi cylindrique multicouche de type série
La démarche est rigoureusement la même que précédemment : le seul cas intéressant à traiter est celui
d'un tube fait de N couches concentriques de matériaux différents (typiquement un métal et un isolant
thermique). Chaque couche oppose sa résistance thermique de conduction à la propagation de la
chaleur et on inclut les résistances thermiques associées à la convection interne et externe (cf. figure..).
La température du fluide situé à l'intérieur du tube est Ti et celle à l'extérieur du tube Te. Le rayon
intérieur est Ri et le rayon extérieur est Re. Les résistances thermiques associées à la convection
i
interne et externe sont respectivement R th = 1
et R e 1
2πLR i h th = Une couche solide numérotée k
i 2πLR e h e
comprise entre les rayons R k-1 et R k et de conductivité thermique λ k présente une résistance thermique
de conduction R k th = 1
ln ( R k
) Ces résistances sont associées en série et le flux Φ(r) est donné
2πLλ k R k−1
par la relation suivante :
T i − T e
Φ(r) =
1
+
1 ln ( R 1
2πLR i h i 2πLλ 1 R
) +
1 ln ( R 2
i 2πLλ 2 R
) + ⋯ +
1 ln ( R e 1
1 2πLλ N R
) +
N−1 2πLR e h e
Figure : Paroi cylindrique multicouche de type série
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