Semestrální práce

Jan TichavaA04386Seminá diferenciálního potuSemestrální práce6) Dkaz konvergence k xJe zadána rekurentní posloupnost1 x an+1= an+ , pro02 an n ∈ , kde x > 0máme dokázat, zda pi x → ∞ posloupnost konverguje kxZvolíme-li c racionální íslo a je-li íslo x rovnž racionální, jde o posloupnost kladnýchracionálních ísel a platí:( an+ x) ( an− x)2 22222 1 x an+1− x = a n+ − x = − x = ≥ 02 an 4an4anMohou nastat pouze dva pípady:a) pro a0= x je posloupnost stacionárníb) pro a x ( a 0)≠ > je an0 0> x pro n = 1, 2, 3 ...1 x 1 x 12an+1− an= a n+ − an= − an = ( x − an ) < 02 an 2 a n 2anPosloupnost je zdola omezená, klesající a je konvergujeV obou pípadech jde tedy o konvergentní posloupnost. Znaí-li ξ limitu posloupnosti, pakξ ≥ x > 0 . Ze vztahulim an→∞n+1vyplývá1 x ξ = ξ + 2 ξ a tudíž ξ = x1 x = lim an+ 2 a→∞ an Pokud budeme poítat prvky pro hodn vysoká n (teoreticky až ), pak zane posloupnostkonvergovat k x , pro libovoln zvolené x bez ohledu na to, jaké jsme zvolili poátení a0.Pi výpotu se hodnoty an + 1a anbudou k sob postupn pibližovat. Zpoátku rychle, ale provysoké hodnoty n již velmi pomalu (samozejm to také záleží na hodnot x). Pokud sehodnota an + 1rovná hodnot an, znamená to, že je výpoet u konce a nalezli jsme požadovanývýsledek, tj.míst)x . (Pojem „rovná se“ znamená shodu na pedem zvoleném potu desetinnýchStrana 5(celkem 6)