geometri 2+ - Bernitt matematik

ikkerne
til regning & matematik
geometri
2+
preben bernitt
geometri 2+ - © 2008 bernitt-matematik.dk 1

ikkerne
til regning & matematik
geometri 2+
1. udgave som E-bog
ISBN: 978-87-92488-34-3
© 2009 by bernitt-matematik.dk ®
Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk
Læs nærmere om dette på www.bernitt-matematik.dk eller ved at kontakte:
bernitt-matematik.dk
mail@bernitt-matematik.dk
Fjordvej 6
4300 Holbæk
2 geometri 2+ - © 2008 bernitt-matematik.dk

Forord
Dette hæfte handler om faget: trigonometri, som
blandt andet drejer sig om beregning af sider og vinkler.
Til dette formål forklares tre typer af funktioner:
Sinus, Cosinus og Tangens
Sinus, Cosinus og Tangens forklares først med udgangspunkt
i en retvinklet trekant. I et appendix på side 16 kan man se
en anden forklaring med udgangspunkt i en cirkel.
Hæftet indledes med gennemgang af en række geometriske
fagudtryk og nogle opgaver i disse og i begrebet ensvinklede figurer.
Derefter følger forklaringer og gennemregnede eksempler på,
hvordan man beregner sider og vinkler i retvinklede trekanter.
Derefter er der opgaver, man skal løse for derved at indøve
brugen af metoderne.
Fra side 14 er der facitliste til opgaverne. Dér kan man se
forslag til løsninger.
bernitt-matematik.dk fralægger sig ethvert ansvar for eventuelle
følger af at bruge hæftet.
geometri 2+ - © 2008 bernitt-matematik.dk 3

Geometriske fagudtryk
Følgende ord og udtryk bruges i forklaringerne og opgaverne i dette hæfte:
ensliggende
om vinkler eller sider, der ligger de samme steder i ensvinklede figurer.
Ensliggende vinkler er lige store, og siderne står i et bestemt forhold til hinanden.
ligedannede og ensvinklede
om figurer der har samme facon, men ikke nødvendigvis samme størrelse.
linie og linie-stykke
En linie er uendelig lang og uendelig tynd. Et linie-stykke har endepunkter og
dermed en længde. Symbolerne |AB| bruges om længden af et liniestykke.
modstående og hosliggende
om sider og vinklers placering i forhold til hinanden. Vinkler eller sider, der ligger
overfor hinanden kaldes modstående, ellers er de hosliggende.
nabovinkler
to vinkler, der har et fælles vinkelben
normal og midtnormal
En normal er en linie, der står vinkelret på en anden. En midtnormal er en linie, der
står vinkelret på et liniestykke og skærer dette i dets midtpunkt.
ret, spids og stump vinkel
en ret vinkel er 90°, en spids vinkel mindre end 90° og en stump mere end 90°.
retvinklet trekant c
Kateterne a og b a
Hypotenusen c a 2 + b 2 = c 2 b
supplement vinkler
to nabovinkler, der tilsammen danner en vinkel på 180º.
topvinkler
to vinkler, der dannes af to linier, der krydser hinanden.
Topvinkler har samme størrelse.
vinkelsum
Summen af vinklerne. Vinkelsummen i en trekant er 180° og i en firkant 360°.
4 geometri 2+ - © 2008 bernitt-matematik.dk

1. Igennem trekant ABC er tegnet linien l parallelt med BC. l skærer i P1 og P2.
l B
P1
40° 60°
A P2 C
• Beregn vinkel B.
• Beregn størrelsen af de fire vinkler linien l danner med siden AB ved
punktet P1.
• Beregn vinklerne ved punktet P2.
2. Igennem trekant ABC er tegnet en linie l gennem punktet A.
B
100° l
70°
A
40°
C
• Beregn størrelsen af de fire vinkler som linien l danner ved vinkel A.
3. Trekant ABC er retvinklet med vinkel C = 90°
B
7 cm
A
13 cm C
• Beregn AB
En trekant A ’ B ’ C ’ , hvor vinkel C = 90° er A ’ B ’ = 13 cm og A ’ C ’ = 7 cm.
• Beregn B ’ C ’ .
4. Undersøg om linien l deler trekant ABC I to retvinklede trekanter.
B
6,1
3,4
A C
4,2 l
geometri 2+ - © 2008 bernitt-matematik.dk 5

Ens-vinklede figurer
Når vinklerne i to figurer f.eks. trekanter har samme størrelse, er der et bestemt forhold
mellem længden af siderne: Den ene figurs sider er en forstørret udgave af den andens.
Formlerne herunder kan bruges til at beregne sider i ensvinklede figurer.
Ensvinklede trekanter
B B1
c c1
a a1
A b A1
C
Eksempel Trekanterne ABC og A1B1C1 er ensvinklede.
Beregn |AB| .
11
Løsning Forholdet mellem |A1C1| og |AC| : 7
|A1B1| = |AB| · k
11
|AB| = 15 · = 24
7
1. Trekanten ABC og A1B1C1 er ensvinklede.
C
b1
2,4 cm
A1 B1
3,7 cm
A B
• Beregn │BC│.
• Beregn │BB1│.
6 geometri 2+ - © 2008 bernitt-matematik.dk
C1
a b c
= = = k
a b c
1 1
a1 = k · a
b1 = k · b
c1 = k · c

2. Trekanterne ABC og A´B´C´ er ensvinklede.
B´
B
10,5 cm
4,2 cm
A C A´ 6,4 cm C´
• Beregn │AC│.
3.
B
4,20
B1
5,52 6,72
A C A1 C1
Trekanterne ABC og A1B1C1 er ensvinklede.
• Beregn |AB| .
4. To trekanter ABC og A'B'C' er ensvinklede. Det oplyses, at |AC| = 2,3 , |AB| = 4,2
|A'B'| = 10,7 og vinkel C = vinkel C' = 90º.
• Tegn skitser af de to trekanter.
• Bestem |A'C'| .
• Bestem de resterende sider i trekant A'B'C'.
5. Figuren viser to ensvinklede trekanter ABC og A1B1C1 . Nogle af sidelængderne
er angivet på figuren.
B
D B1
3,6
C C1
A 10,3 A1 4,2
• Beregn |BC| .
Det oplyses, at arealet af ABC er 20,4
• Beregn længden af højden AD.
geometri 2+ - © 2008 bernitt-matematik.dk 7

Beregning af sider
Cosinus, sinus og tangens er tre funktioner, der er lavet for at kunne beregne sider og
vinkler i trekanter. Cosinus og sinus kan vises på en trekant som den herunder.
B
1 sinus(v)
v
A C
cosinus(v)
Trekanten er retvinklet, har en vinkel A, der måler v° og en hypotenuse med længden 1.
Cosinus(v) er længden af den katete, der ligger ved vinklen (co- betyder .sammen med .)
og Sinus(v) er den modstående katete.
Med en lommeregner kan man beregne de to kateters længde når v f.eks. er 30º.
Lommeregneren skal have taster med betegnelsen cos og sin.
Kateten AC: cos(30º) = 0,86603
Kateten CB: sin(30º) = 0,50000
Da alle retvinklede trekanter med en vinkel v er ensvinklede kan cosinus og sinus bruges
på alle retvinklede trekanter også trekanter der ikke har en hypotenuse på 1. Formlerne
herunder kan bruges. I den nederste formel er en funktion, der er afledt af cosinus og
sinus. Den hedder tangens og findes også på lommeregnere.
På side xx er en mere grundig forklaring til funktionerne cosinus, sinus og tangens samt
formlerne herover.
Eksempel Beregn | AC | i den viste trekant.
a
Løsning tan A = b
B
sin A =
a
c
b
c
a
tan A = b
c a cos A =
A b C
7,0
tan(25,0º) = b
b · tan(25,0º) = 7,0
b · 0,46631 = 7,0
b = 7,0 : 0,46631 = 15,0
8 geometri 2+ - © 2008 bernitt-matematik.dk

1. I trekant ABC er vinkel C = 90° og vinkel A er 30° |AB| = 10,9 .
10,9
B
A °30 C
• Beregn |AC| og |BC|
2. I trekant ABC er vinkel C = 90° og vinkel B = 40° og |AB| = 8,2
8,2
B
40°
A C
• Beregn |BC| og |AC|
3. I trekant ABC er vinkel B = 90°, og vinkel C = 35° og |AC| = 4,3
B
40°
A 4,3 C
• Beregn |BC| og |AB|
4. I trekant ABC er vinkel C = 90° og vinkel B = 40° og |AC| = 10,2
B
40°
A C
10,2
• Beregn |BC| og |AC|
geometri 2+ - © 2008 bernitt-matematik.dk 9

Beregning af vinkler
Formlerne på side 8 kan også bruges til at beregne vinklerne i en retvinklet trekant,
hvis man kender sidernes længde.
Eksempel Beregn vinkel A i trekanten herunder.
A
Løsning tan(A) =
6 0
8,
0
8,0
, = 0,75
6,0
Lommeregneren har en tast med den modsatte funktion af tan.
Denne kan bruges til at finde den vinkel, der har tangens 0,75
tan -1 (tan(A)) = tan -1 (0,75)
A = 36,9º
1. Figuren viser en firkant ABCD, hvor diagonalen BD er i8ndtegnet. Nogle af
målene er anført på figuren.
• Beregn vinkel D i trekant ABD.
• Beregn de resterende sider i firkant ABCD.
2. Figuren viser en trekant ABC, hvor vinkel C er ret. Punktet D ligger på siden AC,
og punktet E ligger på siden AB, således at vinkel E er ret. Nogle af målene er
anført på figuren.
• Beregn vinkel A
• Beregn │AC│.
• Beregn hver af vinklerne w og u.
10 geometri 2+ - © 2008 bernitt-matematik.dk

3. I trekant ABC er vinkelC = 142,0° og |AC| = 10,9 . Det oplyses desuden, at
længden af højden BH er 5,8 .
• Bestem |BC| og |CH| .
• Bestem |AB| samt vinklerne A og B i trekant ABC .
4. Figuren viser en skitse af en parkeringsplads, hvor parkeringsbåsene er placeret,
så de danner en vinkel på 60° med kørselsretningen. Hver parkeringsbås er
rektangulær og har en bredde på 2,30 m og en længde på 5,00 m .
• Beregn DE| , |AB| og |BC| .
• Hvor mange parkeringsbåse er der plads til på en 50 m lang parkeringsplads, når
båsene placeres som vist på figuren?
5. Figuren viser en trekant ABC, hvor vinkel C er ret, |AC| = 10,0 og |AB| = 25,1 .
• Beregn |BC| .
• Beregn vinkel A i trekant ABC .
Punktet P ligger på siden BC, og linjestykket AP halverer vinkel A .
Punktet Q ligger på siden AB, og linjestykket PQ står vinkelret på siden AB .
• Beregn |PA| og |PQ| .
geometri 2+ - © 2008 bernitt-matematik.dk 11

6. Figuren viser en trekant ABC , hvor |AC| = 2,5 og |A = 25,2°. Det oplyses
desuden, at længden af højden BD er 2,7 .
• Bestem |AB| og |AD| .
• Bestem de resterende sider og vinkler i trekant ABC .
7. En sejlbåd ligger for anker i positionen B på 9,0 meter dybt vand. Ankeret er i
positionen A, og ankertovet AB har længden 15,0 meter. Se figur 1.
• Beregn |AC| samt den vinkel v, som ankertovet danner med havbunden.
For at forhindre at ankeret flytter sig, anbefales det, at den vinkel, som ankertovet
danner med havbunden, er højst 20º. Der anbringes derfor et blylod i ankertovets
midtpunkt L, således at vinklen v bliver 20º. Sejlbåden flytter sig herved
fra positionen B til positionen B1. Se figur 2.
• Beregn |AD| og |LD| .
• Beregn, hvor langt sejlbåden har flyttet sig.
12 geometri 2+ - © 2008 bernitt-matematik.dk

8.
C
A H B
Arealet af trekant ABC er 2205, længden af siden AC er 58 og længden af højden
fra C er 42.
• Beregn Vinkel A og │AB│
• Beregn │AH│og│BC│
9. Figuren viser et tværsnit af en diamant, som den skal slibes, for at lyset brydes og
reflekteres på den rigtige måde. Forskellige mål fremgår af figuren.
• Beregn vinklen u og længden af ED .
• Beregn længden af BC og længden af AB .
10.
Figuren viser en trekant ABC; hvor AH er højden fra A på siden BC.
Det oplyses at vinkel B = 43,3 o , │AC│ = 4,7 og │CH│ = 2,1
• Beregn │AH│
• Beregn │AB│.og │BH│.
geometri 2+ - © 2008 bernitt-matematik.dk 13