Introduktion af matematikskriveværktøj i 10.kl

Introduktion af matematikskriveværktøj i 10. 

Introduktion af matematikskriveværktøj i 10.kl 

Af Flemming Nielsen og Steen Groðe 

En beskrivelse af et udviklingsforløb i faget matematik i 10. klasse, hvor eleverne 

har anvendt det elektroniske algebraiske matematikskriveværktøj Mathcad. 

Målet for udviklingsarbejdet har været at finde svar på spørgsmålet: 

Hvad sker der med elevernes læring og forståelse af 

grundlæggende matematiske forhold, når eleverne får 

adgang til at anvende et ”elektronisk algebraisk 

matematikskriveværktøj” i matematikundervisningen? 

Projekt og baggrund 

Samarbejdet består i et netværksbaseret kombineret forsknings- og 

udviklingsprojekt mellem flere grundskoler, en pædagogisk udviklingscentral og 

Netværk Frederiksberg i perioden 2003 til 2006. Netværkets arbejde kan følges 

løbende på http://www.grode.dk/cas/ og 

http://www.emu.dk/gsk/fag/mat/aug032.html 

Denne artikel er en afrapportering af den del af projektet som i sig selv var et 

skoleudviklingsprojekt på SPF i skoleåret 2003/04. Selve skoleudviklingsarbejdet 

på SPF var et samarbejde mellem SPF og Frederiksberg Seminarium som foregik 

i skoleåret 2003/04 i skolens to 10. klasser. I projektet deltog lektor, 

cand.comm. Steen Groðe, Frederiksberg Seminarium, og lærer Flemming 

Nielsen, SPF. 

Beskrivelsen af hele projektet vil ud over denne artikel også indeholde en 

detaljeret evaluering og kommentering af det kvalitative og kvantitative 

datamateriale, som er blevet til i forbindelsen med projektet. 

I projektet deltager også seminariestuderende fra tre af landets seminarier. 

Elevernes forudsætning 

Sammensætningen af de to 10. 

klasser var helt normal for danske 10. 

klasser, og elevernes matematiske 

forudsætninger var som normalt 

meget forskellige. 

Eleverne var på forskellig måde 

fortrolige med regneark, 

geometriprogram, funktionsprogram, 

og alle elever havde kendskab til, 

hvordan et tekstbehandlingsprogram 

kan anvendes som datatryk i 

forbindelse med udformningen af 

skriftligt arbejde i matematik. 

Side 1 af 21


Som en progression i elevernes uddannelse i at anvende og udnytte 

mulighederne ved integration af it i matematikundervisningen skulle eleverne i 

10. klasse i skoleåret 2003/04 udvide det samlede it-beredskab til også at 

omfatte et elektronisk, algebraisk matematikskriveværktøj - konkret i form af 

Mathcad. 

Kommunikation af matematik 

I år 2004 er det en selvfølge, at alle elever i 10. klasse har kompetencer i at 

kommunikere på elektronisk form. Der findes mange muligheder for dette, som 

eleverne generelt er fortrolige med. Her kan nævnes tekstbehandling anvendt 

som datatryk og regnearket. 

Kommunikation af matematik udgør et særligt problemfelt. Dels er matematik i 

sig selv et specielt sprog med sine egne ord, skrivemåder, udtryk og begreber og 

dels er matematik et udtryk for en særlig tankeverden – en dynamisk måde at 

anskue verden og livet på. 

Umiddelbart kan både tekstbehandling og regneark kommunikere visse 

matematiske objekter. Regnearket er i stand til at formidle tal og det indbyrdes 

samspil mellem tal, mens tekstbehandleren delvis er i stand til at notere en hel 

del abstrakt matematik. Hvis man for alvor skal kommunikere matematik, så 

kræves der meget mere. Reelt findes der næppe et værktøj i dag, der kan løse 

den opgave til fulde. Der findes dog matematikskriveværktøjer, som inden for 

rammerne af tastatur og mus kan nå ganske langt. 

Skriveværktøj i matematik 

Med de hidtidige elektroniske 

matematiske værktøjer har den itbaserede 

kommunikation 

overvejende været statisk. 

Ved elevernes anvendelse af 

tekstbehandling som datatryk er 

der grundlæggende ikke den store 

forskel i forhold til de muligheder, 

papir og blyant giver. 

Regnearket er kendetegnet ved, 

at der kan arbejdes dynamisk med 

tal og delvist med grafiske udtryk. 

Imidlertid giver regnearkets celler for mange begrænsninger ved udformningen 

af udtryk. Det gælder både i forhold til at arbejde med det matematiske sprog og 

i forhold til et hensigtsmæssigt layout. Oven i købet er en eventuel dynamik i et 

regneark umiddelbart skjult for læseren og skribenter er nødt til at lære et 

særligt sprog - "regnearksk" - for at udtrykke sig matematisk. 



I evalueringen skriver Anders: Mathcad er et meget hensigtsmæssigt 

hjælpemiddel. Word bruger for meget tid på ligegyldige ting. 

I et algebraisk elektronisk matematikskriveværktøj er det muligt at udforme alle 

faser af de matematiske processer i samme medie. 

Det er blandt andet muligt at: 

− skrive kommentarer og disse kan layoutes med simple værktøjer 

− udføre såvel simple, som komplicerede beregninger 

− arbejde og eksperimentere med betydningen af konstanter og variabler i et 

funktionsudtryk 

− reducere og løse både simple og meget komplicerede regne- og 

funktionsudtryk 

− tegne og eksperimentere med grafer, der er baseret på et algebraisk udtryk 

eller ud fra koordinater 

− stifte bekendtskab med, søge udfordringer i og blive fascineret af 

matematiske områder, der ligger uden for det stof, elever i folkeskolen 

normalt ser 

− tegne og eksperimentere grafisk 

På den danske hjemmeside beskrives Mathcad på denne måde: 

Mathcad er en tekstbehandler, som giver dig mulighed for at kalkulere, tegne 

grafer og kommunikere tekniske ideer i et sammenhængende og let anvendeligt 

format. Mathcad er den industrielle standard inden for anvendt matematik. 

(Se http://www.adeptscience.dk/produkter/mathcad/mathcad.html) 

Elevernes opfattelse af Mathcad, beskrives sammenfattende i Kristinas 

evaluering. Kristina valgte at bruge Mathcad ved den mundtlige prøve, men ikke 

ved den skriftlige: 

Mathcad er rigtig godt til at få overblik og Excel er godt, hvis man skal lave 

skemaer og tabeller. 

Intentioner og rammer 

Da forløbet blev sat i værk, havde Flemming kun få erfaringer med Mathcad. 

Som en del af projektet var Steen konsulent i to gange to moduler i hver af de to 

10. klasser. Lærerne i netværket holdt også to møder i løbet af året, og som et 

led i den almindelige formidling af Mathcad modtog Flemming til selvstudium ved 

skoleårets start i august forskellige undervisningsmaterialer til Mathcad. 

En væsentlig forudsætning for, at projektet kunne gennemføres, var 

vidensnetværket, som ud over møderne også har form af en elektronisk 

konference i Skolekom. Her kan de lærere, der deltager i projektet få hjælp, 

efterhånden som problemerne opstår. Det var også i denne konference, lærere 

og studerende kunne videregive de erfaringer, de høstede under projektet. Det 

var i det hele taget her, lærere og studerende fik den hjælp, de havde brug for. 

Det var her, de fik svar på spørgsmål og det var her, de fik inspiration til deres 

undervisning og studie. Netværket har også åbnet mulighed for, at eleverne kan 



kommunikere direkte med Steen eller andre lærere i Skolekoms normale åbne 

konference. Eleverne på SPF brugte dog ikke den mulighed, men sendte fra tid til 

anden dele af deres arbejde til Steens private e-post. Der igennem har en del af 

eleverne fået yderligere støtte til arbejdet med matematik og andre 

naturvidenskabelige fag i Mathcad. 

I sidste skoleår oplevede vi på SPF en stor succes i et udviklingsarbejde med 

fokus på elevernes kompetence i mundtlig kommunikation med matematik. 

(se artiklerne om dette projekt i CRIT 2003) 

http://www.inet-spf.dk/JK/20040515_crit0304/pdf/synops_i_matematik.PDF 

http://www.inet-spf.dk/JK/20040515_crit0304/pdf/klare_udviklingsmuligheder.PDF 

Dette projekt afstedkom et ønske om også at søge nye veje i elevernes arbejde 

med skriftlig matematik med henblik på at styrke og udvikle elevernes 

kompetencer på det skriftlige område. 

Én af vejene til dette er at 

inddrage elementer af de 

pædagogiske tanker, der ligger bag 

processkrivningen, som de kendes 

fra fagene dansk og 

fremmedsprog. 

En anden af vejene er at tilbyde 

eleverne en alsidig vifte af 

værktøjer, der vil kunne realisere 

disse pædagogiske tanker i 

elevernes skriftlige arbejde med 

matematik. 

Den tredje vej er en oplagt 

mulighed for at lade eleverne udvikle kompetencer i fællesskab. 

Lærernes modstand 

Der har tidligere været og er stadig stor modstand blandt matematikundervisere 

i folkeskolen mod at anvende elektroniske matematikskriveværktøjer i faget 

matematik, fordi adgangsbilletten (læs: den energi, der skal lægges for blot at 

anvende denne programtype) er stor. Flemming var før projektets start selv 

fortaler for samme synspunkt og det var tilmed et af Flemmings motiver for at 

træde ind i projektet. Her var muligheden for at afgøre, hvorvidt han havde ret 

eller ej. Han skulle blive en erfaring rigere. 

Projektstart 

Vi introducerede programmet i september måned. Klasserne havde på det 

tidspunkt studerende fra Frederiksberg Seminarium i praktik. Praktikanternes 

opmærksomhedsfelt i praktikperioden var: "Afklaring af elevers brug af Mathcad i 

en pædagogisk praksis." De studerende havde ved projektets start kun ringe 

erfaringer med brugen af Mathcad. 



Disse praktikanter havde sammen med nogle elever leget og udforsket nogle af 

de elementære ting i Mathcad over et par dage, når der var tid tilovers fra andre 

arbejdsopgaver. 

Den 23. september lod vi disse elever introducere deres klassekammerater for 

programmet. Selve introduktionen tog ikke mere end en halv time, hvorefter 

elever to og to blev sat til at arbejde med nogle opgaver inden for området 

"vækst". Mens eleverne arbejdede med disse opgaver gik vi, det vil sige 

praktikanterne, Flemming og Steen, rundt og hjalp til. Hjælpen gik i 

virkeligheden ikke kun fra os til eleverne, men i høj grad også mellem os lærere. 

Vi oplevede, at eleverne ikke havde de store problemer med arbejdet; faktisk 

tværtimod. Adgangsbilletten var altså til at overse. De næste observationer fik 

hele tanken om at bruge et skriveværktøj i matematik til at folde sig ud i fuldt 

flor. 

Man kan opleve at, matematikundervisning bliver til en gættelege (skal jeg 

gange?, plusse?,…) eller til beskrivelser af fremgangsmåder (du skal først gange 

det med det og derefter trække…). Man kan også opleve, at og undervisning med 

it bliver til instruktioner i fremgangsmåder (tag musen, vælg kursiv, og…). 

Her skete noget helt andet: vi snakkede matematik med eleverne. 

Kl. 12:36 denne dag blev strømmen på Sjælland afbrudt. Det udløste adskillige 

pudsige situationer. I 10. a måtte eleverne afslutte dagens arbejde uden brug af 

computere. De havde siddet ved stationære computere og ingen fik den tanke, at 

kaste sig frådende over skolens bærbare computere i stedet, selv om de fandtes 

i rigt mål frit tilgængelige. 

Alene udviklingen i dette manuelle arbejde var interessant. Eleverne delte sig i 

grupper efter niveau. I det introducerende forløb arbejdede de med begrebet 

vækst og nu skulle de med lommeregner, papir og blyant tegne et antal grafer 

over forskellige vækstfunktioner. 

De elever med størst matematisk overblik lavede intet, fordi ”strømmen kommer 

igen inden i morgen og så laver vi det i Mathcad." Ligeledes lavede de elever, der 

havde sværest ved matematik heller ikke noget, men det var mere fordi, de 

ganske enkelt ikke havde muligheden for at klare opgaverne uden elektroniske 

hjælpemidler. I mellemgruppen blev der - med varierende styrke og held - 

forsøgt at tegne de ønskede grafer og de mest ihærdige nåede på cirka 90 

minutter at fremstille én af de ønskede grafer. 

Inden strømmen blev afbrudt havde Alexander allerede bemærket noget om, at 

man jo ikke kunne bruge programmet til at lære matematik med, fordi man i 

givet fald blev afhængig af computeren og dermed strøm. I løbet af den 

eftermiddag lærte Alexander, at begreber som transport og middagsmad i høj 

grad er mindst lige så afhængige af strøm, som moderne matematik. 



mennesker 

300 

250 

200 

B ( 1+ r) 

150 

100 

n 

⋅ 

B ( 1+ r2) 

n 

⋅ 

B ( 1+ r3) 

n 

⋅ 

B ( 1+ r4) 

n 

⋅ 

B ( 1+ q) 

n 

⋅ 

50 

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 

0,5% 

1 % 

1.5 % 

2 % 

trace 5 

Dagen efter kunne vi konstatere, at kun var de elever, der havde brugt Mathcad, 

som havde tegnet graferne. 

Nye horisonter 

Allerede ved introduktionen udbrød Andreas ”Så kan jeg også matematik,” da 

han efter de første to minutter af præsentationen havde set mulighederne ved 

Mathcad. Andreas er en elev, der vil, men også en elev, der må kæmpe hårdt for 

sine matematik-kompetencer. 

Inden for den første uge stødte nogle eleverne fx på komplekse tal. Silja mødte 

bl.a. komplekse tal, da hun skulle beregne radius af en kugle, hvor hun kendte 

kuglens rumfang: 

25000 

4 

3 3.14 ⋅ ⋅r3⋅2.5 solve , r 

→ 

float, 3 

Side 6 af 21 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

−6.68 − 11.6⋅i −6.68 + 11.6⋅ i 

13.4 

I første omgang så det noget mystisk ud. Efter en kort forklaring om algebraens 

fundamentalsætning og dermed også om komplekse tal og deres natur, 

besluttede eleverne hurtigt, at de næppe fik brug for at kende disse tal specielt 

godt. I matematik og naturligvis også i Mathcad angives de komplekse tal med et 

efterfølgende "i". Eleverne kunne derfor let identificere tallene og sortere dem 

fra, når de forekom. 

n 

år 

⎞ 

⎠


Efter at have arbejdet med programmet i to uger var alle bekymringer omkring 

adgangsbilletten reduceret. Vi oplevede engagement og fascination i elevernes 

arbejde med programmet og vi oplevede, at såvel de tekniske- og matematiske 

problemer var inden for elevernes rækkevidde. Dermed ikke sagt, at det var 

uproblematisk hverken for Flemming eller eleverne i 10. kl. 

Efter eleverne var blevet introduceret for Mathcad, begyndte de at løse konkrete 

matematiske problemer på andre originale måder. 

I november måned arbejdede eleverne med en opgave, der omhandler bliden 

(kastemaskinen) på Middelaldercentret på Falster. Her skulle eleverne beregne, 

hvor højt bliden kunne kaste en sten. 

Løsningen af denne opgave lægger op til, at eleverne skal løse opgaven ved 

enten at bruge en formel eller ved at betragte en tabel, eleverne har udformet i 

en tidligere underopgave. 

Emil betragtede situationen på en helt tredje måde. 

"På et tidspunkt kan kuglen ikke komme højere op. Det vil betyde, at hvis jeg 

vælger at beregne kuglens højde til forskellige længder og hvis intervallerne 

mellem afstandene er tilstrækkelig små, må der være to forskellige afstande, 

hvor kuglen er i samme højde. Når jeg så kender x-værdien er det bare at 

beregne y-værdien. 

I den skriftlige besvarelse dokumenterede Emil sit svar med følgende udtryk: 

fx ( ) −0.003x 2 

:= + 1.11x 

fx ( ) f( x + 0.01) 

f( 185) 

= 

102.675 

solve , x 

→ 185.0 

float, 4 



I samme opgave viste Anders, hvordan han søgte matematiske udfordringer ved 

at bruge programmet. 

Først viste han, hvordan han løste opgaven ved inspektion. Derefter viste han, 

hvordan han kan løse opgaven med differentialregning og endelig beregner han, 

hvor højt kuglen kom: 

Beregn den største højde kuglen kommer op i 102.7⋅ m 

Bx ( ) −0.003 x 2 

:= ⋅ + 1.11⋅ x 

Jeg kan lave en tabel x:= 182, 183.. 

188 

x = Bx () = 

182 102.648 

183 102.663 

184 102.672 

185 102.675 

186 102.672 

187 102.663 

188 102.648 

Man kan også lave Diffrentialregning 

Bx ( ) −0.003 x 2 

⋅ + 1.11⋅ x 

fx () −0.003x 2 

⋅ 

gx ( ) 1.11⋅ x 

B´ () x f´x 

0 

( ) g´ ( x 

0) 

+ 2⋅−0.003⋅ x + 1.11 

Jeg ved at når tangenten til grafen har hældning 0 er det den max højde for kastet 

0 2⋅−0.003⋅ x + 1.11 solve , x → 185. 

x:= 185 

−0.003 x 2 

⋅ + 1.11⋅ x = 

102.675 



I sidste time før jul fremstillede 

eleverne panfløjter af sugerør. 

Eleverne havde i faget fysik bl.a. 

arbejdet med toner, resonansrum 

og den matematiske sammenhæng 

mellem tonerne i en oktav. 

Beregningen af længderne af de 

enkelte sugerør var en forholdsvis 

enkel opgave. 

En langt større opgave var det at 

omskrive tonerne fra "På loftet 

sidder nissen" til en tabel med tal,. 

Det var imidlertid nødvendigt, når alle skulle spille og kun få havde kendskab til 

noder. 

Nisserne og rotterne 

Udsat for MathCad, sugerør og 10. b. 

19.5 

n := 0, 1.. 

14 Tn ( ) 

12 

2 n 

:= 

n + 1 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

12 

13 

14 

15 

= Tn ( ) 

= 

19.5 

18.406 

17.373 

16.397 

15.477 

14.608 

13.789 

13.015 

12.284 

11.595 

10.944 

10.33 

9.75 

9.203 

8.686 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

"c" 

"c#" 

"d" 

"d#" 

"e" 

"f" 

"f#" 

"g" 

"g#" 

"a" 

"a#" 

"h" 

"c" 

"c#" 

d 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

Melodi: 

1 -6 - 5 - 6 - 8 - 10 - 8 - 10 - 11 

15 - 13 - 13 - 10 - 13 - 11 - 11 - 8 - 11 - 10 - 10 - 1 

6 - 5 - 6 - 8 - 10 - 8 - 10 - 11 - 15 - 13 - 13 - 10 

13 - 11 - 11 - 10 - 11 - 5 - 6 - 10 - 10 

15 - 13 - 11 - 10 - 13 - 11 - 10 - 8 - 6 - 3 - 6 - 6 

4 - 1 - 8 - 8 - 6 - 3 - 6 - 15 - 13 - 11 - 10 - 13 - 11 - 10 - 8 

6 - 3 - 6 - 6 - 8 - 13 - 11 - 10 - 8 - 10 - 11 - 6 - 11 

Opgaven for eleverne var at fremstille deres panfløjter og derefter øve sig. 



En væsentlig motivation bag udviklingsarbejdet var også ønsket om at tilbyde 

eleverne et differentieret undervisningstilbud. 

For at styrke eleverne i deres arbejde fik de tilbudet om, at alle 

afleveringsopgaver til og med vinterferien kunne udarbejdes og afleveres som 

gruppeopgaver. 


Grupper af elever har - om 

eftermiddagen efter skoletid - 

siddet samlet ved en computer 

og arbejdet med 

afleveringsopgaverne. I 

fællesskabet har de gennem den 

mundtlige kommunikation 

udviklet ikke bare deres 

færdigheder i brugen af 

programmet, men i høj grad 

også deres matematiske 

kompetencer. 

Om samarbejdet om at udarbejde fælles besvarelser skrev eleverne: 

Det var ok, også sjovt at være 2 om det. 

Det var svært i starten, så det var godt at hjælpes lidt ad i starten. 

Det har været en stor hjælp! 2 hoveder tænker bedre end 1. 

Jeg har på et tidligt tidspunkt besluttet mig for, at skule lave min skriftlige prøve 

i hånden. Derfor har jeg lavet de fleste afleveringer alene og i hånden. De gange 

jeg har lavet afleveringen sammen med andre og i Mathcad har det været rigtig 

godt. Det har vi begge fået meget ud af. 

Det har kun været godt, ellers havde jeg aldrig lært Mathcad - det helt sikkert. 

Men det gjorde det også lidt sværere lige pludselig at sidde alene med det. 

I den sidste del af årets matematikundervisning udformede eleverne deres 

matematiksynopser. Her oplevede eleverne styrken ved det matematiske 

skriveværktøj. Dels havde de et hjælpemiddel, hvor de på samtidigt kunne skrive 

og arbejde med matematik. Her kunne de udforme og ikke mindst fastholde og 

bearbejde deres matematiske indtryk til egne matematiske udtryk, som beskrev 

deres problemfelter. 

Enheder – regning med benævnte udtryk 

Ved Steens, andet besøg hos eleverne i slutningen af november observerede 

han, at de i høj grad følte sig hjemme i at bruge Mathcad til både talmæssigt og


ved symbolsk arbejde. Beregninger, løsning af ligninger og graftegning flød 

ubesværet fra tanken til skærmen. 

Til gengæld gik det op for Steen, at det slet ikke stod klart for eleverne, at 

Mathcad også kan regne med enheder. I grundskoleopgaver forekommer 

omskrivninger mellem enheder med jævne mellemrum. I sin mest rene form kan 

opgaven se således ud: 

Beregn hvor mange liter vand, der er i et 

svømmebassin med målene 8m, 4m og 155cm. 

Uden Mathcad vil man normalt omskrive målene til dm, multiplicere og udnytte 

sin viden om at dm 3 er det samme som liter, eller alternativt beregne rumfanget 

i et andet længdemål og derefter omregne det til liter. 

Med Mathcad skriver man bare stykket med enheder og sætter den ønskede 

enhed på resultatet, så omregner Mathcad tallet korrekt. Det lyder harmløst og 

selvfølgeligt, men har dybere konsekvenser, end man umiddelbart opdager. Det 

vil forandre alle valutaberegninger idet kroner, dollars, euro, etc. alle er enheder, 

og det vil forandre procent og promille beregninger idet begge disse størrelser 

kan betragtes som enheder. Endelig spiller enheder sammen med hele 

funktionsbegrebet på den måde, at beskrivelse af en sammenhæng mellem ting 

kan laves i enheder eller som en funktion. 

Flemming og Steen drøftede det efter lektionerne, og i tiden derefter satte 

Flemming større fokus på, at Mathcad kan regne med enheder. 

Oprindelig havde Flemming i undervisningen valgt at nedtone brugen af 

benævnte beregningsudtryk. Dels er det ikke et krav, at eleverne bruger dette, 

og dels er det hans erfaringer, at det for en stor del af eleverne vil være en 

udfordring, der ligger uden for deres "umiddelbare rækkevidde". Eleverne har 

generelt udfordring nok i at opstille deres beregningsudtryk med tal. Hvis de 

også skulle holde styr på enhederne, vil det betyde, at forventningerne om 

konsekvent brug af benævnte regneudtryk kunne have den effekt, at flere elever 

måtte give op. 

Man skal dog være opmærksom på, at netop bevidst brug af enheder kan være 

en stor støtte ved udformningen af et regneudtryk. Derfor havde Flemming valgt 

at differentiere sine forventninger med hensyn til hvilke elever, der kan have 

fordel af at lære at bruge benævnte regneudtryk. 

I januar begyndte elevernes besvarelser at afspejle deres nye kendskab til at 

Mathcad kunne regne med enheder, men selv ved den afsluttende prøve i maj 

var det ikke særligt fremtrædende. I opgave 1.1 skulle eleverne beregne Samsøs 

areal i hektar ved at lægge nogle delarealer sammen og i opgave 1.2 skulle dette 



tal omregnes til km 2 . Dette kan Mathcad som sagt klare selv, men eleverne 

udnyttede det ikke i tilstrækkelig grad i deres besvarelse. I de to klasser var der 

kun to elever, som brugte det, og af den vej derved fik opgaven løst korrekt, 

mens de traditionelle metoder i nogle tilfælde gav anledning til Samsø blev 

129960000 km 2 , hvilket er markant større end hele Norden til sammen. 

Matematisk kommunikation 

En ting var, at eleverne skulle lære at anvende programmets tekniske 

muligheder. Et andet skridt, der viste sig at være endnu større at tage, var at 

finde en metode til at udarbejde og kommunikere skriftlig matematik med 

Mathcad. 

I gamle dage, dvs. dengang vi gik i skole, lærte vi, at der skulle to streger 

under facit. Det sagde vores lærer den gang til os. Hvad lærernes lærere havde 

sagt til dem, ved vi ikke, men vi ved, hvad vi har sagt til vores elever gennem 

tiden. 

Men i bestemmelserne om ordenskarakteren står der ikke noget om to streger 

under facit. Der nævnes derimod, at orden i matematik gives ud fra et 

helhedsindtryk, idet der lægges vægt på besvarelsens kommunikationsværdi. 

Der skal lægges vægt på, hvor let det er at læse og forstå besvarelsen. I 

bedømmelsen indgår blandt andet en vurdering af besvarelsens læselighed, 

ensartethed, opsætning og de rettelser, som eventuelt er foretaget i besvarelsen. 

Det traditionelle begreb orden i matematik er altså erstattet med ordentlighed, 

der betyder en skriftlig matematisk kommunikation, der er struktureret, 

veldokumenteret, overskuelig og æstetisk. 

Det er ikke umiddelbart muligt at bruge dobbelt understregning i Mathcad, så 

alene det forhold tvang os til at tænke i nye baner. Og lighedstegnet, der er 

centralt i matematik, er erstattet af mindst fire forskellige lighedstegn i Mathcad, 

idet der er forskel på, om lighedstegnet angiver en tildeling, en beregning, en 

symbolsk omskrivning eller et boolsk udtryk i en ligning eller ulighed. Da 

brugeren kan vælge enten af vise de forskellige lighedstegn eller lave de fleste af 

dem som et almindeligt lighedstegn, så har det også en indflydelse på, hvordan 

en ordentlig kommunikation ser ud. Mere væsentligt er, at alle lighedstegn er 

dynamiske og udløser en aktion fra programmets side, så man kan ikke bare 

skrive et lighedstegn ud i det blå. Ligeledes er det en vedtagelse i matematik, at 

de eneste beregningsudtryk, der må ombrydes over flere linjer er en sum; igen 

et forhold der gør, at designet af en besvarelse skal overvejes. 

Endelig er elektroniske matematikværktøjer opbygget objektorienteret, hvor 

objekter kan være et algebraisk udtryk, et grafisk udtryk eller en tekst. En 

konsekvens af dette er, at man enten må lære, at alle regneudtryk skal være 

benævnte for at få benævnelsen på i facit, eller også må man finde andre veje. 

Eleverne i de to 10. klasser valgte sammen med Flemming det sidste og 

fandt frem til en metode, der viste sig at være hensigtsmæssig. Alligevel er det 

klart, at der stadig er muligt at vælge andre hensigtsmæssige og pæne design. 



De enkelte elevers besvarelser er da også præget af individualitet til trods for 

elevernes samarbejde med at udvikle en god opstilling. 

Ved kommunikation af et matematisk problem præsenteres problemet med: 

- en kort tekst i et tekstobjekt 

- et matematisk udtryk i form af ligning, et regneudtryk med udregning eller et 

boolsk udtryk i et algebraisk objekt 

- et afrundet benævnt facit, eller en beskrivende tekst i et tekstobjekt. 

Herefter var det elevernes valg at bruge programmets muligheder til at finde en 

metode, der levede op til forventningerne om struktur, dokumentation, 

overskuelighed og æstetik i det skriftlig matematiske udtryk. 

Malene valgte at udforme opgave 3 i FS10 sommer 2004 således: 

3. Elbiler 

3.1 

3.2 

3.3 

3.4 

Årlige omkostninger: 

Prisen for i km i elbil: 

Hvor mange år: 

Elbil: 

Benzinbil: 

Prisforskel efter 8 år: 

1. år: 

9. år: 

32188+ 5134 + 425 + 2565 + 3962 = 44274 

25384+ 7208 + 4062 + 1750 + 3962 = 42366 

442748 ⋅ − 423668 ⋅ = 15264 

15264 

= 34.476% 

44274 

44274 

= 3.689 

12000 

44274− 32188 

12000 

53 

[ 442748 ⋅ + [ x⋅( 5134 + 425 + 2565 + 3962) 

] ] < [ 423668 ⋅ + [ x⋅( 7208 + 4062 + 1750 + 3962) 

] ] solve , x → < x 

17 

8⋅365 ⎛ 

⎜ 

⎞ 

⎠ 

53 

17 365 ⋅ + 

⎝ 

365 

= 1.007 

= 11.12 


44274 kr. pr. år 

42366 kr. pr. år 

15264 kr. 

Elbilerne koster 34,5% 

mere end benzinbilerne 

3.7 kr. pr. km 

1 kr. pr. km 

Efter 11,12 år vil det 

kunne betale sig med 

elbilerne 

Om den fælles udfordring i at finde en metode til den skriftlige matematiske 

kommunikation skriver to elever: 

Det har været dejligt at sidde fælles med klassen, og se hinandens 

blækregninger. Man får masser af inspiration til orden og lære meget. 

At se hinandens regneudtryk og orden er en stor hjælp. At fremlægge for 

hinanden har været rigtig godt.


Anderledes matematiklæring 

I udviklingsarbejdet ønskede vi at være opmærksomme på, hvordan en 

pædagogisk anvendelse af et elektroniske matematikskriveværktøj gør en forskel 

i elevernes matematiklæring. 

Specielt søgte vi svar på, hvad der sker med elevernes: 

− tro på og mulighed for at matematisere et problem eller en konkret situation, 

når trivielt regnearbejde og komplicerede matematiske reduktioner bliver 

overtaget af computeren? 

− grundlæggende forståelse af matematik, når det bl.a. bliver nødvendigt, at 

kende forskellen på variabler og konstanter i et funktionsudtryk? 

− matematikopfattelse, når de oplever, at to streger (lig med ”=”) er det 

samme udtryk for mindst tre forskellige ting (”tildele”, ”beregne” og ”have 

samme værdi”), og det derfor er nødvendigt at indføre flere forskellige tegn 

for de forskellige betingelser, der tidligere bare var to streger? 

− holdning til faget, når de oplever, at en hel verden af matematik ligger lige 

foran dem og denne verden (med lidt hjælp) vil være til at samle op? 

I evalueringerne vi har modtaget fra eleverne skriver de herom: 

Det har givet mig mulighed for at lave matematik, jeg umuligt ville være i stand 

til at lave foruden. 

Det har gjort, at jeg kunne eksperimentere med, hvad der sker, når jeg ændrer 

forskellige værdier, hvilket er håbløst i hånden. 

Kast 

V:= 50 h := 20 b := 0.. 100 

V⋅sin( a⋅deg) V 

fa ( ) V⋅cos( a⋅deg) 2 V 2 cos ( a⋅deg) 2 

+ − ⋅ 

+ 2g ⋅ ⋅h 

:= 

⋅ 

g 

2V 

jb ( ) 

2 

⋅ ⋅sin( b⋅deg) ⋅cos 

( b⋅deg) := 

g 

Kastelængde 

fa () 

jb ( ) 

Kastelængde ved variabel kastev. (m. h) 

300 

200 

100 

100 0 100 

a, b 

vinkel (grader) 



Det var jo en del af vores indlæring af funktioner. 

Det er rigtigt, at man fokuserer mere på formlerne, men jeg synes stadig, det er 

nemmest at lave tegnearbejdet i hånden. 

Adskillige af disse begreber(regneudtryk, variabler, konstanter, funktioner…) er 

først blevet overskuelige ord som følge af brugen af Mathcad. 

Mathcad og Excel er matematikredskaber, jeg kan bruge. Det hjælper mig med 

at udføre avanceret matematik. 

Ja, matematikken er blevet meget lettere, og programmet gør, at der er mere 

fokus på opstillingen af formlerne. 

Det er blevet lettere at lave svær matematik, men sværere at lave let 

matematik. Forstået på den måde at enkle regnestykker nogle gange bliver gjort 

svære, fordi Mathcad har så mange mulighed og funktioner. Men når man sætter 

sig ind i et specifikt områder bliver det pludselig let at beskrive svær matematik. 

⎛ 

⎝ 

Koordinater 0 

〈 〉 

Koordinater 1 

〈 〉 

, Koordinater 2 

〈 〉 ⎞ 

, ⎠ Koordinater 0 

〈 〉 

Koordinater 1 

〈 〉 

, Koordinater 2 

⎛ 

〈 〉 

, 

⎝ 

, 

Det er hverken lettere eller sværere. Men en stor hindring er selvfølgelig det 

trivielle skrivearbejde. Med Mathcad slipper man for det kedelige, og man 

fokuserer på den ”svære” matematik. 

Man kommer meget mere i dybten. 

Det er gode oplevelser, når man får en ligning til at lade sig gøre, som man ikke 

umiddelbart havde kunne lave i hånden. 

Ja, helt sikkert sjovere, det er fedt, at man kan vise sjovere og sværere 

matematik vha. programmet. 

Det er også nemmere, for det mest regner det jo svaret ud for en, men man skal 

jo selv finde formlen 


⎞ 

⎠


Det er blevet sjovere, fordi man kan lave kompliceret matematik på mindre tid. 

Og så er mange ting gjort nemmere. 

Vi havde ikke forventninger – ej heller ønsker - om, at anvendelsen af dette 

program ville gøre det nemmere at arbejde med matematik, men det ville betyde 

arbejde på en anden måde. Læring forudsætter stadig hårdt arbejde. 

Det er ikke blevet lettere, det er kommet op på et andet niveau. Det er også 

fedt, at man ikke skal bekymre sig om de kedelige udregninger. 

Jeg synes, jeg har gjort rimelig meget for at lære det, og det har også givet 

pote. 

Som arbejdet udviklede sig, besluttede ca. halvdelen af eleverne at benytte 

Mathcad ved de skriftlige prøver, to ønskede at bruge tekstbehandling som 

platform for en elektronisk besvarelse, mens resten valgte at arbejde med papir 

og blyant ved den skriftlige prøve. Ved den mundtlige prøve brugte alle eleverne 

Mathcad under prøveforløbet. 

Konklusioner 

Umiddelbart før de skriftlige prøver bad vi eleverne udfylde et evalueringsark, 

hvor vi bad dem om at fortælle om deres oplevelser under udviklingsarbejdet. 

Ved gennemgangen af disse evalueringsark, har vi fået såvel kvalitative som 

kvantitative svar på udvalgte områder, der har været centrale i forbindelse med 

udviklingsarbejdet. 

Faglig udfordring og fordybelse 

Som vi ser udviklingsarbejdet, har brugen af Mathcad i undervisningen betydet, 

at eleverne har lært meget. Ikke fordi Mathcad har gjort det nemmere for 

eleverne, men fordi programmet har motiveret eleverne til at bruge langt mere 

tid på at arbejde med - og søge udfordringer i matematik. Gennem dette har vi 

oplevet, at eleverne i dette 10. klasse forløb har lært mere sammenlignet med 

vore erfaringer fra tidligere. 

Vi har oplevet, at eleverne har følt det at lære at bruge programmet som en 

udfordring, det har været værd at "række ud efter", også selv om mange har 

fundet, at det har været svært. 

Altså efter at have brugt over et halvt år på at lære det nogenlunde, jo så bliver 

det sjovere og nemmere, men det tog os lang tid. 

Jeg synes, det er et godt program og har derfor gjort meget for at lære det. 



Flemming har også oplevet, at 

undervisningstilbudet i dette forløb har været 

langt mere differentieret end tidligere. Der har 

været udfordringer til flere. Dette skyldes 

selvfølgelig ikke kun brugen af 

matematikskriveværktøjet, men i langt højere 

grad, at undervisningen i løbet af året har 

været målrettet efter, at eleverne i slutningen 

af året skulle udarbejde et matematik-projekt, 

som de skulle fremlægge ved den mundtlige prøve, der var organiseret efter 

synopse princippet (se artiklerne om dette projekt i CRIT 2003). 

http://www.inet-spf.dk/JK/20040515_crit0304/pdf/synops_i_matematik.PDF 

http://www.inet-spf.dk/JK/20040515_crit0304/pdf/klare_udviklingsmuligheder.PDF 

I disse projekter har elever eksperimenteret med særdeles komplicerede 

matematiske modeller. Det være sig i form af komplicerede funktionsudtryk, 

med flere parametre, opmåling af et område i tre dimensioner med henblik på 

præsentation i et rumligt koordinatsystem og komplicerede beregninger over 

undersøgelser af konkrete forhold. 

Ida og Louise havde biografen som deres matematikprojekt. De havde uden for 

den normale åbningstid besøgt biografen. Her havde de været i operatørrummet, 

hvor de havde set filmrullen med Ringenes Herre. De havde målt størrelsen på 

filmrullen, havde fået en strimmel film og de vidste hvor lang tid filmen varede. 

På baggrund af disse oplysninger og det de kunne måle på filmstrimlen, 

eksperimenterede de sig i Mathcad frem til et regneudtryk, der viste, at filmen 

blev fremvist med 25 billeder i sekundet. 

Fordi man med Mathcad kan 

skrive sværere matematik, får 

kommunikationen større faglig 

tyngde og bliver dybere. 

Heldigvis er det også sådan, at 

man med værktøjet bliver 

bedre til at læse sværere 

matematik. Det betyder, at 

mange af eleverne er nået 

dybere i matematik, end vi 

normalt ser blandt eleverne i 

grundskolen. 

Vi ved at brændpunktet er lige over toppunktet på en parabel, den afstand er b. 

b er lige så lang som afstanden fra toppunktet til ledelinien, L. 

Derfor gælder: 

( ax ⋅ ) 2 − L x 2 

og: 

ax 2 ( ⋅ + b) 

2 

og: 

ax 2 ( ⋅ ) 2 

og: 

x 2 

+ 

+ 


( ax ⋅ ) 2 ⎡⎣ 

2 

− b⎤⎦ 

ax 2 ( ⋅ − b) 

2 

( ) 2 

2a x 2 

+ ⋅ ⋅b 

b 2 

+ x 2 

ax 2 

+ ⋅ 2a x 2 

− ⋅ ⋅b 

b 2 

+ 

4a x 2 

⋅ ⋅b x 2 

og: 

4⋅a⋅b 1 solve, b 

1 

→ 

4⋅a


Brug Mathcad tidligt i matematikundervisningen 

Ikke overraskende er det tydeligt, at det er de elever, der har været mest 

optaget, der har fået det største udbytte. Samtidig har det ikke betydet, at 

resten af elever har fået et ringere vilkår. 

Steen vidste det og nu ved Flemming også, at der er alt mulig grund til at gøre 

integration af et matematisk skriveværktøj i matematikundervisningen 

obligatorisk. Ingen elever bør fravælge de muligheder, det giver for matematisk 

udvikling og udfordring, når et digitalt matematikskriveværktøj integreres i 

undervisningen. Selvom "adgangsbilletten" til programmet måske forekommer 

stor, er det anstrengelserne værd: 

Den første gang jeg blev introduceret for Mathcad, var jeg utrolig positivt 

overrasket. Senere bliver man mere negativ når man finder ud af, hvor svært det 

er. Det er pissesvært. 

Man skulle lige tage sig sammen i starten. 

Det er genialt, at det kan ”regne” så mange forskellige ting for en. Ordenen er 

rimelig nem! 

Det er svært at lære i starten, meget svært! Det ville måske hjælpe lidt på 

forståelsen, hvis det blev oversat til dansk?? 

Den mest entydige og klare melding, vi har fået fra eleverne, er en klar 

udmelding om, at programmet skal introduceres tidligere end i 10. På SPF 

kommer eleverne først i 8. og derfor ser vi flere elever skrive om dette: 

Gerne Mathcad i 8´ne. Men det er en ordentlig mundfuld, og måske vil mange 

elever have sværere ved at bruge Mathcad i 8. klasse, og derfor falde fra. Det 

ville være ærgerligt. Derfor i små portioner. 

Ja tak. Begynd gerne i 8. Al matematik ville have været lettere at lære 

Gerne Mathcad i 8. 

Jeg tror, man bedre kan sætte sig ind i det, hvis man har haft det i længere tid. 

De fleste skoler i netværket har besluttet at bruge Mathcad i hvert fald fra 7. 

klasse, og en del af dem bruger det endnu tidligere. 



Mathcad ved de afsluttende prøver 

Som en del af evalueringen har vi sammenlignet 

de karakterer, eleverne opnåede ved den skriftlige 

prøve i matematik ved FSA med de karakterer 

eleverne opnåede året efter ved FS10. 

Ved gennemgang af dette materiale kan vi 

konstatere, at de elever, der anvendte Mathcad 

opnåede en fremgang på 1 karakter, mens de 

elever, der valgte ikke at benytte Mathcad ved 

prøven opnåede præcist samme niveau som året 

før. Begge disse beregninger er udført som et 

gennemsnit for de to grupper. Med hensyn til 

ordenskarakteren er forskellen endnu større. 

Alle eleverne udtrykte i deres evalueringer, at de 

kunne se mange positive muligheder ved at bruge 

Mathcad som et matematikredskab. 

I evalueringen skrev Kristina: 

Jeg følte mig ikke sikker nok til at bruge Mathcad", ved den skriftlige prøve. 

Kristina valgte at bruge Mathcad ved den mundtlige prøve, fordi det er en 

færdighed, man skal have. 

Cirka halvdelen af eleverne udtrykker, at de ikke vil bruge Mathcad til den 

skriftlige prøve, men at de ser brugen af programmet som en nødvendighed ved 

den mundtlige prøve. Umiddelbart var det overraskende fordi Mathcad er et 

skriveværktøj, som vi troede, ville have sin store styrke netop ved den skriftlige 

prøve. 

Det er vores skøn, at 

hovedårsagen til, at eleverne 

ikke turde bruge Mathcad 

ved den skriftlige prøve, var 

frygten for at skulle sidde 

alene med problemerne og 

bekymringerne, hvis 

programmet skulle finde på 

at drille. 

Dette er anderledes ved 

den mundtlige prøve, hvor 

eleverne er til prøve i 

grupper. Ved den mundtlige 

prøve har de både deres 

indbyrdes dialog og i yderste 

Mellem Cola (1 L) 

Lille radius = 4.1 cm 

Store Radius = 5.75 cm 

Højde til streg(flugter) = 14.6 cm 

14.6 2 ( ) ( 5.75 − 4.1) 

2 

− = 14.506 cm 

Højde til streg ved hjælp af Phytagoras = 14.5 cm 

Vægt af bæger uden vand = 24g 

Vægt af bæger med vand = 1036g 

V = 1 

3 π ⋅ ⋅14.5 5.752 4.1 2 

+ + 5.75⋅4.1 Side 19 af 21 

( ) = 

1115.254


konsekvens også dialogen med eksaminator og censor som udveje. Derfor 

fortæller de samstemmende, at de vil bruge programmet ved den mundtlige 

prøve, dels fordi det giver dem overblik og dels fordi de - med programmet som 

redskab - vil have mod på at kaste sig ud i mere komplicerede matematiske 

udfordringer. 

En blandt mange elever skriver således: 

Ved den mundtlige prøve vil jeg bruge det. Da har vi lært dette fantastiske 

værktøj at kende, kan vi lige så godt vise, at vi kan bruge det. 

Ny matematik 

Indførslen af nye teknologier medfører bekymringer om de teknikker, der går i 

glemmebogen. 

To elever skriver: 

Med Mathcad kan man lave mere avanceret matematik. Det er sjovt og godt, 

men man har tendens til at glemme, hvordan man skulle have gjort uden 

Mathcad! 

Jeg mener ikke, det kan kaldes matematik, når man bare trykker på et par 

taster. 

Hertil kan Flemming svare: "For mange år siden var jeg en haj til 

kvadratrodsdivision. I dag aner jeg ikke, hvad jeg skulle gøre, hvis jeg skulle 

uddrage kvadratroden af 617 uden en lommeregner. Dette er jeg ikke rigtig 

bekymret over." 

Sammenholdt med alle de faglige gevinster ved at bruge skriveværktøjet 

Mathcad er der slet ingen tvivl. 

Flemming er overbevist: 

Integrationen af det digitale matematikskriveværktøj i matematikundervisninger 

tilfører matematikundervisningen så mange kvaliteter, at jeg må forvente, at det 

vil revolutionere den fremtidige undervisningen i matematik i lige så stort 

omfang, som dengang lommeregneren blev mulig at anskaffe til en 

overkommelig pris. 

Epilog: 

I forbindelse med året finale i KappAbel konkurrencen på ICME-10 var nogle af 

eleverne fra de to 10. klasser til stede. Martin og August havde medbragt 

klassekammeraten Mads. Til sammen udgjorde de tre drenge bandet Nosx, der 

stod for den musikalske underholdning ved finalen. 

Martin og August var sammen med Kristina, Silja blevet nummer to ved de 

nordiske mesterskaber i matematik. 

(se http://www.kappabel.com/ og 

http://flemming.nielsen.person.emu.dk/10a/jp209.htm) 



Kort før Steen forlod finalen, tog Anders, der den aften var blandt tilskuerne, fat i 

ham og sagde: 

Nu er du jo godt klar over, vi vil skabe problemer i fremtiden. 

Lettere forundret fik Steen fremstammet noget om hvorfor det? 

Jo, fordi vi bruger Mathcad på de skoler, vi går videre på…

Introduktion af matematikskriveværktøj i 10.kl

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?