Hypotesetest

Overordnet 1
Hypotesetest
Helene Regitze Lund Wandsøe
November 28, 2011
Vi har en påstand eller en teori og en modpåstand og -teori. Vores påstande og
teorier vil være hypoteser. Disse kan hver især udtrykkes som en sandsynlighedsmodel
eller en mængde af sandsynlighedsmodeller. Denne model vil
beskrive en population. Vi antager, at vores stikprøve udtrækkes tilfældigt
fra denne population.
H0 og HA
Hypotesen om “ingen forskel” kaldes ofte nulhypotesen eller H0. Når man indsamler
data og bruger dem som bevis for nulhypotesen, siger man, at man
“tester” nulhypotesen. Den grundlæggende idé bag en statistisk test af H0 er at
sammenligne data fra en faktisk stikprøve med, hvad der forventes, når H0 er
sand. Denne sammenligning er normalt baseret på værdien af teststatistikken.
Stikprøvefordelingen for teststatistikken under H0 kaldes nulfordelingen. Alternativet
til H0 kaldes alternativ hypotesen eller HA. Detteernormaltentenen
bestemt sandsynlighedsfordeling eller en familie af fordelinger.
P værdien
P-værdien er sandsynligheden for at befinde sig i halen af nulfordelingen for
teststatistikken Y i og over den observerede værdi for Y . Dvs. man beskriver
beliggenheden af det observerede testresultat i nulfordelingen for teststatistikken
ved at angive halesandsynligheden over (/under) den observerede værdi. Des
mindre P-værdi des længere er den observerede værdi af teststatistikken fra den
forventede værdi under H0. En meget lille P-værdi ses altså som bevis imod
nulhypotesen. De fleste statistikere bruger følgende grænser for P-værdien til at
afvise H0:
P

Figure 1: P-værdier - de tre tilfælde (se B&L side 425)
Når man udregner P-værdien fra et givent datasæt eller bestemmer, hvorvidt
den er mindre end en valgt grænse, kaldes det at lave en signifikanstest. Pværdien
kaldes også det observerede signifikansniveau.
Fremgangsmåden 2
1. Angiv H0. Heropskrivesaltsådenpåstandellerteori,somønskesundersøgt.
2. Angiv HA. Heropskrivesaltsådenrelevantemodpåstandeller-teori.
3. Angiv teststørrelsen Y .
4. Angiv ekstreme værdier for Y ,nårnulhypotesenersand. Detvilsige
hvilke værdier vil tale for, at alternativhypotesen er bedre til at forklare
data end nulhypotesen.
5. P-værdien udregnes. Det vil sige, værdien af teststørrelsen udregne og
testsandsynligheden bestemmes heraf.
Teststørrelsen 3
Z-test
Hvis nulfordelingen for en teststatistik Y er approksimativt normal, vil nulfordelingen
for standardscoren i ligning (1) være approksimativt standardnor-
2 Side 424-425 i B&L
3 Side 429-436 i B&L
2

mal.
Z =
Y E(Y |H0)
s.d.(Y |H0)
Hvis nævneren i ligning (1) er kendt, vil vi bruge Z som vores test statistik
istedetforY . Hvis nævneren derimod er ukendt definerer vi T som givet i
ligning (2).
T =
Y E(Y |H0)
s.e.(Y |H0)
Når n er stor, vil nulfordelingen for T dog være approksimativt standardnormalfordelt,
og vi kan også kaldes udtrykket i ligning (2) for Z. Bådeligning(1)
og (2) måler forskellen mellem den observerede Y og E(Y |H0), dvs. detY vi
forventer, når H0 er sand. Man kan sige, at Z og T scoren måler antallet
af hhv. s.d. og s.e., der er mellem den sande og den forventede værdi.
T-test
Hvis vi derimod har, at vores nævner i ligning (1) er ukendt, og n er lille, kan
vi ikke længere antage, at stikprøvegennemsnittet er approksimativt normalfordelt
og stikprøve s.d. vil således ikke længere være en god approksimation
for populationens s.d. Vi skriver derfor T som i ligning (3).
T = X µ 0
S/ p n
Såfremt stikprøven er tilfældigt udtrukket og populationen er normal, vil nulfordelingen
for T være t(n 1). Statistikkeniligning(3)ernormaltikket-fordelt,
når populationen ikke er normal. Som tommelfingerregel gælder, at såfremt vi
har en stikprøve, som er mindre end omkring 40 observationer, må populationen
ikke være alt for langt fra normal.
3
(1)
(2)
(3)