uheldsmodeller - et indblik.pdf - Trafitec

forskere påviste netop, at den tilfældige variation
i uheldsforekomsten for et sted er
Poisson fordelt.
antallet af uheld fra periode til periode i figur 1 være
Poisson fordelingen er simpel, idet gen-
ilfældige variation i uheldsforekomsten for et sted er
nemsnittet er lig med variansen. I figur 1 er
gennemsnittet, der er angivet med rød streg,
lig med variansen. også omtrent I figur 1lig ermed gennemsnittet, variansen. der Skrevet er på
en. Skrevet formel på formel er gennemsnittet
er gennemsnittet µμ =
44 TRAFIK & VEJE • 2012 MARTS
!
! og
Da trafiksikkerheden er uforandret, må variationen i antallet af uheld fra periode til periode i figur 1 være
tilfældig. De britiske forskere påviste netop, at den tilfældige variation i uheldsforekomsten for et sted er
Poisson fordelt.
Poisson fordelingen er simpel, idet gennemsnittet er lig med variansen. I figur 1 er gennemsnittet, der er
angivet med rød streg, også omtrent lig med og variansen. varian- Skrevet på formel er gennemsnittet µμ =
iode og nsen er antallet af perioder.
en variation der er på tværs af flere steder udover den
gamma-­‐fordeling, uanset om man opstiller en
iation i uheldsforekomsten flere steder er Poisson-­‐
ed antallet af uheld på ti forskellige strækninger.
Uheld
Gennemsnit
rekomsten – variansen er meget større end
ge større end gennemsnittet. Den del af variationen i
e variation (som er lig med gennemsnittet), kaldes for
gur 2 er altså ca. to gange større end gennemsnittet.
delt.
ske variation, men aldrig den tilfældige variation.
ger i figur 2. Uheldsforekomsten kan fx modelleres
I figur 3 er en model illustreret ved modellens
r her ca. dobbelt så stor som gennemsnittet i figur 3. I
elen af den systematiske variation. Den anden halvdel
1995 angav Rune Elvik fra Transportøkonomisk Institutt
krives ud fra, hvor stor en andel af den systematiske
a tre talstørrelser; gennemsnit, varians før model, og
let at forstå, men anvendes desværre sjældent til at
k’s Indeks ca. 0,5.
!
! og
variansen Var Y = (!!!)!
En Poisson-­‐gamma fordeling kaldes også for en negativ binomial fordeling, og derfor siger man, at der
opstilles negativ binomial fordelte uheldsmodeller eller blot NB modeller. Spredningsparameteren, k, i en
NB model angiver, hvor stor den uforklarede systematiske variation er i forhold til den tilfældige variation.
!"# ! !!
Skrevet på formel er k =
!
, hvor yy er er uheld uheld i en periode i en og n er antallet af perioder.
!
periode og n er antallet af perioder.
Tre årtier Tre senere årtier påviste senere andre påviste britiske andre forskere, britiske at den variation der er på tværs af flere steder udover den
tilfældige forskere, variation at den oftest variation, bedst kan der beskrives er på tværs ved enaf gamma-­‐fordeling, uanset om man opstiller en
uheldsmodel eller ej. Derved fås, at den samlede variation i uheldsforekomsten flere steder er Poisson-­‐
flere steder udover den tilfældige variation,
gamma fordelt. Et eksempel herpå findes i figur 2 med antallet af uheld på ti forskellige strækninger.
oftest bedst kan beskrives ved en gamma-fordeling,
12 uanset om man opstiller en uheldsmodel
eller ej. Derved fås, at den samlede
variation 10 i uheldsforekomsten flere steder er
Poisson-gamma
8
fordelt. Et eksempel herpå
findes i figur 2 med antallet af uheld på ti
forskellige 6 strækninger.
Uheld
I figur 2 er variansen i uheldsforekom-
4
Gennemsnit
sten ca. tre gange større end gennemsnittet.
Den 2 del af variationen i uheldsforekomsten,
der findes ud over den tilfældige variation
0
(som er lig med gennemsnittet), kaldes for
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
systematisk variation. Den systematiske va-
Strækning
riation i figur 2 er altså ca. to gange større
Figur 2. Tilfældig og systematisk variation i uheldsforekomsten – variansen er meget større end
end gennemsnittet. Det er den systematiske
gennemsnittet.
variation, der er gamma fordelt.
I figur 2 En er variansen uheldsmodel i uheldsforekomsten kan forklare ca. noget tre gange af større end gennemsnittet. Den del af variationen i
uheldsforekomsten, den systematiske dervariation, findes ud over men denaldrig tilfældige den variation (som er lig med gennemsnittet), kaldes for
systematisk tilfældige variation. variation. Den systematiske variation i figur 2 er altså ca. to gange større end gennemsnittet.
Det er den systematiske variation, der er gamma fordelt.
Vi kunne opstille en uheldsmodel for de
En uheldsmodel 10 strækninger kan forklare i figur noget 2. Uheldsforekom-
af den systematiske variation, men aldrig den tilfældige variation.
sten kan fx modelleres efter strækningernes
Vi kunne længde opstille eller enmængde uheldsmodel af trafik. for de 10 I figur strækninger 3 er i figur 2. Uheldsforekomsten kan fx modelleres
efter en strækningernes model illustreret længde ved eller modellens mængde af middel- trafik. I figur 3 er en model illustreret ved modellens
middelværdi (grønne linje).
værdi (grønne linje).
Variansen Variansen beregnet ud beregnet fra modellens ud fra middelværdi modellens er her ca. dobbelt så stor som gennemsnittet i figur 3. I
det middelværdi tilfælde har modellen er her således ca. dobbelt forklaret så ca. stor halvdelen som af den systematiske variation. Den anden halvdel
af den gennemsnittet systematiske variation i figur er 3. fortsat I det uforklaret. tilfælde har I 1995 angav Rune Elvik fra Transportøkonomisk Institutt
i Norge, modellen at en uheldsmodels således forklaret forklaringskraft ca. halvdelen kan beskrives af ud fra, hvor stor en andel af den systematiske
variation den forklarer. Elvik’s Indeks beregnes ud fra tre talstørrelser; gennemsnit, varians før model, og
den systematiske variation. Den anden halv-
varians med model. Elvik’s Indeks er godt, simpelt og let at forstå, men anvendes desværre sjældent til at
beskrive del af uheldsmodeller. den systematiske I eksemplet variation i figurer 3 er fortsat Elvik’s Indeks ca. 0,5.
uforklaret. I 1995 angav Rune Elvik fra
Transportøkonomisk Institutt i Norge, at en
uheldsmodels forklaringskraft kan beskrives
ud fra, hvor stor en andel af den systematiske
variation, den forklarer. Elvik’s Indeks
beregnes ud fra tre talstørrelser; gennemsnit,
varians før model, og varians med model.
Elvik’s Indeks er godt, simpelt og let at forstå,
men anvendes desværre sjældent til at
beskrive uheldsmodeller. I eksemplet i figur
3 er Elvik’s Indeks ca. 0,5.
En Poisson-gamma fordeling kaldes også
for en negativ binomial fordeling, og derfor
siger man, at der opstilles negativ binomial
fordelte uheldsmodeller eller blot NB modeller.
Spredningsparameteren, k, i en NB
model angiver, hvor stor den uforklarede
systematiske variation er i forhold til den
tilfældige variation. Skrevet på formel er ,
! , hvor Var(Y) er variansen og μ er gennemsnittet. K er nul, når variansen
er lig med gennemsnittet, altså når der kun er tilfældig variation tilbage. Jo større k er, desto mere
uforklaret systematisk variation findes der.
I 1997 beskrev Ezra Hauer fra Canada en metode, der kan estimere uheldstætheden for et sted i en given
periode, der med størst sandsynlighed er det reelle uheldsniveau for stedet. Metoden kaldes for Empirical
Bayes, og forudsætter at der er opstillet en NB uheldsmodel for steder af tilsvarende type, som det sted
man forsøger at estimere uheldstætheden for. I Empirical Bayes kan det estimerede antal uheld, λ,
beregnes ud fra det rapporterede antal uheld (y), det forventede antal uheld (modellens middelværdi, μ) og
spredningsparameteren, k. På formel er