kvantifiering

Flerfaldig
kvantifiering
EXEMPEL
• Någon kub är på samma rad som någon annan kub
∃x(Kub(x) ∧ ∃y(Kub(y) ∧ xy ∧ SammaRad(x, y)))
• Varje kub är på samma rad som varje annan kub
∀x(Kub(x) ö ∀y((Kub(y) ∧ xy )ö SammaRad(x, y)))
• Varje kub är på samma rad som någon kub
∀x(Kub(x) ö ∃y(Kub(y) ∧ xy ∧ SammaRad(x, y)))
• Någon kub är på samma rad som varje annan kub
∃x(Kub(x) ∧ ∀y((Kub(y) ∧ xy )ö SammaRad(x, y)))
1
3
EXEMPEL
• Någon kub är framför någon tetraeder
∃x∃y(Kub(x) ∧ Tet(y) ∧ Framför(x, y))
∃x(Kub(x) ∧ ∃y(Tet(y) ∧ Framför(x, y)))
• Varje kub är framför varje tetraeder
∀x∀y((Kub(x) ∧ Tet(y)) ö Framför(x, y))
∀x(Kub(x) ö ∀y(Tet(y) ö Framför(x, y)))
Jämför med Aristoteles grundformer
∃x(P(x) ∧ Q(x))
∀x(P(x) ö Q(x))
EXEMPEL
Varje bonde som äger en åsna är elak.
"x((Bonde(x) ⁄ $y(Åsna(y) ⁄ Äger(x, y))) ⁄ Elak(x))
"x((Bonde(x) ⁄ $y(Åsna(y) ⁄ Äger(x, y))) ö Elak(x))
Fritt
Varje bonde som äger en åsna slår den.
"x((Bonde(x) ⁄ $y(Åsna(y) ⁄ Äger(x, y))) ö Slår(x, y))
"x(Bonde(x) ⁄ $y((Åsna(y) ⁄ Äger(x, y)) ⁄ Slår(x, y)))
"x(Bonde(x) ö "y((Åsna(y) ⁄ Äger(x, y)) ö Slår(x, y)))
2
4

∀x∃y … visavi ∃y∀x …
∀x∃y P(x,y) ∃y ∀x P(x,y)
“Från varje nod går det en
riktad båge till någon nod.”
Ett tvåställigt predikat
representerar en
riktad graf!
“Till någon nod går det en
riktad båge från varje nod.”
∀x∃y … visavi ∃y∀x …
“Från varje nod går det en
riktad båge till någon nod.”
ì
∀x∃y P(x,y) ∃y∀x P(x,y)
“Till någon nod går det en
riktad båge från varje nod.”
Däremot är den vänstra formeln en logisk konsekvens av den högra.
Dvs i varje värld där den högra är sann är den vänstra också sann.
Varför?
SVAR: Antag att den högra är sann. Då finns det en nod, säg a, så att
varje nod b står i kontakt med a genom en båge från b till a.
Om nu den vänstra inte vore sann så skulle det finns en nod från
vilken det inte utgår en båge till någon enda nod, speciellt inte till a.
Motsägelse.
5
7
∀x∃y … visavi ∃y∀x …
∀x∃y P(x,y) ∃y∀x P(x,y)
“Från varje nod går det en
riktad båge till någon nod.”
ó
“Till någon nod går det en
riktad båge från varje nod.”
Grafen ovanför är en värld i vilken den ena formeln
är sann, men inte den andra.
Således är de två formlerna inte logiskt ekvivalenta.
Från funktionssymbol
till relationssymbol
Varje barn är yngre än sin mor
∀x YngreÄn(x, mor(x))
∀x∃y(MorTill(y, x) ⁄ YngreÄn(x, y) ⁄ ∀z (MorTill(z, x) ö z = y))
Allt som kan uttryckas med en n–ställig funktion kan
uttryckas med ett n+1–ställigt predikat i kombination med
likhetspredikatet.
6
8