Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Plane Differentialligningssystemer
– Lotka-Volterramodellen
Rovdyr
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2
AALBORG UNIVERSITET
Institut for Matematiske fag
Byttedyr
Gruppe G3-114, MAT 1
Sabrina Munch Hansen
Lars Holm Jensen
Maria Lundbo
Thanh Dong Nguyen
Camilla Bøge Slej Petersen

AALBORG UNIVERSITET
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG
Titel:
Plane
Differentialligningssystemer-
Lotka-Volterramodellen
Projektgruppe:
G3-114
Gruppemedlemmer:
Sabrina Munch Hansen
Lars Holm Jensen
Maria Lundbo
Thanh Dong Nguyen
Camilla Bøge Slej Petersen
Vejleder:
Lisbeth Fajstrup
Semester:
Mat 1
Projekt Periode:
04.09.06 til 21.12.06
Oplagstal:
8
Antal sider:
107
SYNOPSIS:
Dette projekt handler om plane
systemer af 1. ordens sædvanlige
differentialligninger. Som gennemg˚aende
eksempel anvendes
rovdyr-byttedyrsmodellen. Rapporten
indledes med eksistens og
entydighed af løsninger til differentialligninger.
Dette er valgt som
fokus i projektet, og derfor lægges
hovedvægten her.
Derefter beskæftiger rapporten sig
med lineære differentialligninger.
I den forbindelse bestemmes
den generelle løsning til plane,
lineære differentialligninger. Desuden
bestemmes, hvordan løsningerne
til systemer med kanoniske matricer
ser ud, samt hvilken betydning det
har, at andre matricer er konjugeret
med en kanonisk matrice.
Det næste, der beskrives, er ikkelineære
systemer af differentialligninger.
Der lægges ud med, hvordan
det i nogle tilfælde er muligt at
linearisere de ikke-lineære systemer.
Herefter behandles stabilitet af ligevægtspunkter.
Da det ofte ikke er muligt at løse differentialligninger
eksakt, ses der til
sidst p˚a to metoder, Euler og Runge-
Kutta, til numerisk løsning af differentialligninger.

Forord
Dette projekt er udarbejdet i forbindelse med Mat1-semestret af gruppe G3-114
ved Institut for Matematiske Fag ved Aalborg Universitet i perioden 4. sept. -
21. dec. 2006. Projektets emne er ”Dynamiske systemer”, jf. Studieordningen.
Det forudsættes, at læseren har kendskab til de basale begreber fra linear algebra
s˚asom egenværdier, egenvektorer og lineær uafhængighed.
Vi vil gerne takke vores vejleder, Lisbeth Fajstrup, samt vores underviser i
”Differentiation, integration og dynamiske systemer”, Martin Raussen, for den
store hjælp, de har ydet i forbindelse med projektets udarbejdelse.
Læsevejledning
Notationsmæssigt har vi valgt at skrive alle vektorer og vektorfunktioner med
fede typer. Beviser afsluttes med .
N˚ar der benyttes en norm, er det som udgangspunkt den Euklidiske norm, hvis
ikke andet er nævnt.
N˚ar der refereres til en ligning, er der parentes rundt om ligningens nummer.
Dette er ikke tilfældet, n˚ar der refereres til alt andet, s˚asom kapitler og sætninger.
Kilden, der er anvendt til det p˚agældende afsnit, angives ved afsnittets
begyndelse. Hvis det blot er nogle f˚a sætninger, noteres kilden efter den sidste.
Aalborg den 21/12 2006
Sabrina Munch Hansen Lars Holm Jensen
Maria Lundbo Thanh Dong Nguyen
Camilla Bøge Slej Petersen

Indhold
1 Introduktion til differentialligninger 3
1.1 Rovdyr og byttedyr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Eksistens og entydighed 9
2.1 Metriske rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Banachs fikspunktssætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Eksistens og entydighed af løsning . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Eksempler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Lineære, plane differentialligningssystemer 31
3.1 Plane systemer af differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Systemer med kanoniske matricer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 Reelle egenværdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2 Komplekse egenværdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.3 Gentagen egenværdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.4 Løsning af et vilk˚arligt plant, lineært system . . . . . . . 48
3.2.5 Den invertible matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Linearisering 55
4.1 Linearisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.1 Sadler er sadler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.1 Eksistens og entydighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.2 Ligevægtspunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 Stabilitet 69
5.1 Stabilitetsundersøgelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.1 Nulkliner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.2 Lyapunov-funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.1 Nulkliner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.2 Lukkede kurver og Lyapunov-funktionen . . . . . . . . . . 78
5.3 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

viii INDHOLD
6 Numerisk approksimation 83
6.1 Eulers metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1.1 Afvigelse ved Eulers metode . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2 Runge-Kuttametoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2.1 Afvigelse ved Runge-Kuttametoder . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.1 Eulers metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.2 Runge-Kuttametoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.4 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7 Afrunding 91
A Appendiks 95
A.1 Separation af de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.2 Kædereglen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A.3 Middelværdisætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.4 Taylors formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.5 Iterationer ved RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Indledning
Dette projekt tager udgangspunkt i sædvanlige differentialligninger. Disse er interessante
at beskæftige sig med, eftersom der findes mange fænomener, som kan
beskrives ved hjælp heraf. Et eksempel herp˚a er forholdet mellem populationer
af rovdyr og byttedyr.
Rovdyrenes eksistens er fortrinsvist betinget af, at de har adgang til nok føde.
Rovdyrene for˚arsager dermed, at der sker et fald i antallet af byttedyr. N˚ar der
ikke længere er nok byttedyr til at opretholde populationen af rovdyr, vil denne
aftage. Populationen af byttedyr vil s˚aledes igen vokse.
De to populationers størrelser er dermed i høj grad afhængige af hinanden. Dette
afhængighedsforhold kan modelleres vha. et differentialligningssystem. Det gøres
ved at lade en differentialligning beskrive væksten for byttedyrene og en anden
beskrive væksten for rovdyrene. Hvis antallet af rovdyr og byttedyr til et givet
tidspunkt er kendt, vil det ud fra kendskabet til tilvæksten for populationerne
være muligt at udtale sig om antallet af rovdyr og byttedyr efter et stykke tid.
Rovdyr-byttedyrsmodellen blev først beskrevet af de to matematikere Alfred
James Lotka og Vito Volterra. De havde udviklet den uafhængigt af hinanden i
midten af 1920’erne. Modellen kaldes derfor ogs˚a for Lotka-Volterramodellen.
I denne rapport anvendes Lotka-Volterramodellen som gennemg˚aende eksempel.
Dvs. at vi efter gennemgangen af noget teori eksemplificerer det gennemg˚aede
med Lotka-Volterramodellen.
Efter en kort introduktion til differentialligninger og systemer af s˚adanne, indledes
rapporten med eksistens og entydighed af løsninger til differentialligninger.
Dette er fokus i projektet. Det er af naturlige˚arsager væsentligt at vide, hvorvidt
en løsning overhovedet eksisterer. Men entydigheden af en s˚adan er ogs˚a meget
vigtig. Det skyldes, at det f.eks. i Lotka-Volterramodellen ikke er hensigtsmæssigt,
at der f˚as forskellige forslag til forholdet mellem bestanden af rovdyr og
byttedyr til et givet tidspunkt. Modellen vil i s˚a fald være nyttesløs.
Vi anvender i kapitlet om eksistens og entydighed ikke Lotka-Volterramodellen
som eksempel. Dette vælger vi, eftersom vi finder det væsentligt at komme med
eksempler p˚a løsninger til differentialligninger, som enten ikke er globale eller
entydige.
Efter eksistens og entydighed beskæftiger vi os med den teori, som knytter sig til
løsninger til plane systemer af differentialligninger. Dette kan ikke umiddelbart
anvendes til Lotka-Volterramodellen. Derfor udelader vi at eksemplificere i dette
tilfælde. Teorien er imidlertid en forudsætning for vores videre arbejde med
modellen, hvorfor det er medtaget.
Dernæst beskæftiger vi os med linearisering og stabilitet af ligevægtspunkter.
Dette er to vigtige metoder, som kan bruges til at konkludere, hvorledes et
system, der ikke umiddelbart er analyserbart, opfører sig. Vi anvender begge

2 INDHOLD
værktøjer til at analysere Lotka-Volterramodellen.
Da det ikke i alle tilfælde er muligt at løse en differentialligning eksakt, vil vi
som det sidste i rapporten beskæftige os med numeriske metoder. Vi beskriver
Eulers metode og to Runge-Kuttametoder og anvender dem p˚a Lotka-
Volterramodellen.

Kapitel 1
Introduktion til
differentialligninger
Vi vil i dette afsnit, som bygger p˚a [HSD04], introducere nogle basale begreber
vedrørende differentialligninger. Vi starter med at definere, hvad en differentialligning
er.
Definition 1.1 En sædvanlig differentialligning
En sædvanlig differentialligning er en ligning, hvori de ubekendte er en
funktion af én variabel og en eller flere af dens afledede.
Herunder følger en definition af en differentiallignings orden.
Definition 1.2 Ordenen af en differentialligning
En sædvanlig differentialligning, hvor den højeste afledte, der indg˚ar,
er den n’te afledte, har orden n.
En 1. ordens sædvanlig differentialligning indeholder s˚aledes kun den første
afledte af den ukendte funktion. Generelt kan 1. ordens differentialligninger derfor
skrives p˚a formen:
dx
dt = fx(t), t
(1.1)
Her er x : R → R, og f : R 2 → R. Vi vil i resten af rapporten kun beskæftige
os med 1. ordens sædvanlige differentialligninger, hvorfor vi blot vil referere til
dem som 1. ordens differentialligninger.
Differentialligning (1.1) kaldes ikke-autonom, eftersom højresiden udover at
afhænge af x eksplicit afhænger af t.
Hvis højresiden af differentialligningen kun afhænger af x, kaldes differentialligningen
autonom:
dx
dt = f x(t)
Her er x, f : R → R.

4
KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL
DIFFERENTIALLIGNINGER
En lineær 1. ordens differentialligning er en differentialligning p˚a følgende form
[Jen00]:
dx
dt + a0x = q(t), t ∈ I (1.2)
Her er a0 ∈ R, I ⊆ R, og q : I → R er en kontinuert funktion.
Differentialligninger, der ikke kan skrives p˚a denne form, kaldes for ikke-lineære.
Hvis q(t) ≡ 0, kaldes differentialligning (1.2) homogen, mens den kaldes inhomogen,
s˚afremt q(t) ≡ 0.
Vi vil nu definere, hvad der forst˚as ved en løsning til en differentialligning:
Definition 1.3 En løsning til en differentialligning
En funktion x(t) er en løsning til en differentialligning, s˚afremt x(t)
opfylder differentialligningen ved indsættelse.
Følgende sætning handler om løsningsmængden til x ′ (t) = ax(t):
Sætning 1.4 Løsningen til x ′ (t) = ax(t)
Lad a, k, t ∈ R. Differentialligningen x ′ (t) = ax(t) har følgende
generelle løsning:
x(t) = ke at
Bevis. For at bevise at x(t) = ke at er en løsning, differentieres udtrykket og
indsættes i x ′ (t) = ax(t):
x ′ (t) = ake at = ax(t)
Eftersom x(t) = ke at opfylder ligningen x ′ (t) = ax(t), er det en løsning.
Herefter skal det bevises, at der ikke eksisterer løsninger p˚a en anden form.
Derfor antages, at u(t) er en anden løsning. Betragt udtrykket u(t)e −at , der
differentieret giver:
d −at
u(t)e
dt
= u ′ (t)e −at + u(t) −ae −at
Eftersom u(t) er en løsning, er u ′ (t) = au(t). Dette indsættes i ligning (1.3):
d
dt (u(t)e−at ) = au(t)e −at − au(t)e −at = 0
Idet den afledede af u(t)e −at giver nul, gælder at
u(t)e −at = k ⇔ u(t) = ke at , k ∈ R
(1.3)
Det fremg˚ar heraf, at løsningen u(t) er p˚a samme form som x(t). Hermed er det
ønskede bevist.

For at kunne bestemme en specifik løsning til en differentialligning er det nødvendigt
at have kendskab til en eller flere betingelser, som løsningen skal opfylde.
Dette kaldes for et begyndelsesværdiproblem:
Definition 1.5 Et begyndelsesværdiproblem
Et begyndelsesværdiproblem best˚ar af en differentialligning dx
dt =
f(x(t), t) og en eller flere betingelser, som skal opfyldes. Hvis der er
én betingelse, som skal opfyldes, kan begyndelsesværdiproblemet f.eks.
noteres:
dx
dt = f(x(t), t), x(t0) = x0 (1.4)
Her er x : R → R, f : R 2 → R, og t0, x0 ∈ R.
Værdien x0 kaldes begyndelsesværdien, og ligning x(t0) = x0 benævnes
begyndelsesbetingelsen.
I nogle situationer er det ikke tilstrækkeligt at modellere et fænomen med en
enkelt differentialligning. Dette kan løses ved at opstille flere differentialligninger.
Herunder følger et afsnit, som omhandler systemer af differentialligninger.
Systemer af 1. ordens differentialligninger
Et system af 1. ordens sædvanlige differentialligninger best˚ar af to eller flere differentialligninger.
De variable størrelser kan indg˚a i en eller flere af ligningerne.
Et s˚adant system ser derfor s˚aledes ud:
dx1
dt = f1(t, x1, x2, . . . , xn)
dx2
dt = f2(t, x1, x2, . . . , xn)
.
dxn
dt = fn(t, x1, x2, . . . , xn)
Her er fj : Rn+1 → R, og xi : R → R for i = 1, 2, . . . n.
For systemer af differentialligninger gælder begreberne om, hvorn˚ar systemet
er lineært, homogent og autonomt p˚a samme m˚ade som for de enkelte differentialligninger.
Det er ogs˚a muligt at løse et begyndelsesværdiproblem for et
system af differentialligninger. Det skal imidlertid være til samme t-værdi, at
begyndelsesværdierne er angivet, dvs. x(t0) = x0, hvor
⎡ ⎤
x1
⎢x2⎥
⎢ ⎥
x(t) = ⎢ ⎥
⎣ . ⎦
Et ikke-koblet differentialligningssystem er et system, hvor hver ligning er p˚a
formen:
dxi
dt = fi(t, xi), hvor i = 1, 2, . . . , n
xn
5

6
KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL
DIFFERENTIALLIGNINGER
I et koblet differentialligningssystem indg˚ar en eller flere variable i to eller flere
af systemets ligninger.
Det er muligt at skrive et system af differentialligninger p˚a den simplere matrixform:
Her er
x ′ = f(t, x)
⎡
⎤
f1(t, x1, x2, . . . , xn)
⎢
⎢f2(t,
x1, x2, . . . , xn) ⎥
f(t, x) = ⎢
⎥
⎣ . ⎦
fn(t, x1, x2, . . . , xn)
Bemærk, at funktionen fi for i ∈ {1, 2, . . . , n} betegner en kontinuert funktion,
hvor ikke andet er nævnt.
Herover er de grundlæggende begreber for differentialligningssystemer blevet
gennemg˚aet. I det følgende afsnit udledes to differentialligninger for rovdyr og
byttedyr.
1.1 Rovdyr og byttedyr
I indledningen blev der givet en kort introduktion til rovdyr-byttedyrsmodellen,
der ogs˚a kaldes Lotka-Volterramodellen. I dette afsnit, der er baseret p˚a [Wei91],
redegøres for, hvordan det matematisk set er muligt at beskrive, hvorledes
rovdyrene og byttedyrene i et økosystem p˚avirker hinanden.
Vi lægger ud med at betragte, hvordan bestanden af byttedyr vil opføre sig over
tid, hvis de lever isolerede fra rovdyrene. For at gøre modellen simpel antages det,
at byttedyrene har ubegrænset adgang til nødvendige ressourcer, s˚asom føde,
plads og parringspartnere. Derudover antages det, at byttedyrene ikke betragter
hinanden som potentiel føde. Det eneste, vi s˚aledes tager med i modellen, er
fødsels- og dødsrate.
Vi lader b(t) være en kontinuert funktion, som repræsenterer antallet af byttedyr
til tiden t. Ganske vist kan en kontinuert funktion ikke beskrive antallet af dyr
præcist, men den er tilstrækkelig præcis for større populationer. Hvis ∆b angiver
ændringen i populationens størrelse over et tidsinterval [t, t + ∆t], f˚as:
∆b = b(t + ∆t) − b(t) (1.5)
Vi lader A være en konstant, der repræsenterer fødselsrate pr. tidsenhed minus
dødsrate pr. tidsenhed. Vi antager, at fødselsraten er større end dødsraten, n˚ar
byttedyrene lever isolerede. Dermed er A > 0.
Vi vil s˚aledes være i stand til at beskrive populationen af byttedyr til tiden
t + ∆t ved følgende model:
Hvis vi i ligning (1.5) isolerer b(t + ∆t) f˚as
b(t + ∆t) = b(t) + Ab(t)∆t (1.6)
b(t + ∆t) = ∆b + b(t)

1.2 Opsummering 7
Dette udtryk sættes ind i ligning (1.6):
∆b + b(t) = b(t) + Ab(t)∆t ⇔
∆b = Ab(t)∆t ⇔
∆b
= Ab(t), ∆t = 0
∆t
Vi har dermed fundet den gennemsnitlige væksthastighed af b(t) over intervallet
[t, t + ∆t]. Ved at tage grænseværdien til differenskvotienten ∆b
∆t finder vi
differentialkvotienten:
db ∆b
= lim = lim Ab(t) = Ab(t)
dt ∆t→0 ∆t Deltat→0
Ændringen i populationen af byttedyr, n˚ar de lever isolerede, kan dermed
beskrives ved differentialligningen:
db
= Ab, A ∈ R+
dt
Løsningen til denne differentialligning er ifølge sætning 1.4 givet ved:
b(t) = ke At , k ∈ R
Vi ser nu p˚a, hvordan populationen af rovdyr vil ændre sig over tid, s˚afremt
rovdyrene lever isolerede fra byttedyrene. Rovdyrene vil s˚aledes være foruden
deres fødekilde. Vi antager derfor i dette tilfælde, at fødselsraten pr. tidsenhed
er mindre end dødsraten pr. tidsenhed. Konstanten D, som repræsenterer fødselsrate
pr. tidsenhed minus dødsrate pr. tidsenhed, bliver dermed negativ. For
at tydeliggøre hvad der sker, vælger vi imidlertid at gøre D positiv og i stedet
placere minusset foran, n˚ar vi opskriver differentialligningen.
Vi lader funktionen r(t) beskrive antallet af rovdyr til tiden t. Ved at anvende
samme udledningsmetode som for byttedyrene, f˚ar vi, at populationen af rovdyr,
n˚ar de lever isolerede, kan beskrives ved følgende differentialligning:
dr
dt
= −Dr, D ∈ R+
Løsningen til denne differentialligning er ifølge sætning 1.4 ligeledes givet ved:
r(t) = ke −Dt , k ∈ R
Det er naturligvis ikke realistisk, at de to arter lever isolerede fra hinanden.
Vi vil derfor i et senere kapitel modellere, hvad der sker, n˚ar byttedyrene og
rovdyrene omg˚as hinanden.
1.2 Opsummering
Vi har i dette kapitel gennemg˚aet de nødvendige begreber i forhold til at kunne
opskrive og beskæftige os med 1. ordens differentialligninger, der modellerer
bestanddelen af rovdyr og byttedyr.
Til sidst i kapitlet opskrev vi to differentialligninger. Én for forandringen i populationen
af byttedyr, n˚ar de lever isolerede, og én for rovdyrene, n˚ar de lever

8
KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL
DIFFERENTIALLIGNINGER
isolerede. Disse differentialligninger er ikke et realistisk billede af den egentlige
udvikling.
Derfor vil vi i afsnit 4.2.2 ende op med et koblet differentialligningssystem, som
tegner et mere realistisk billede af samspillet mellem rovdyr og byttedyr.

Kapitel 2
Eksistens og entydighed
2.1 Metriske rum
I dette kapitel, der er baseret p˚a [Coh03], behandles spørgsm˚al om eksistensen
og entydigheden af en løsning til et begyndelsesværdiproblem. Til at starte med
defineres et metrisk rum. Derefter følger to afsnit. I det første bevises Banachs
fikspunktssætning, mens det andet afsnit indeholder den egentlige sætning om
eksistens og entydighed.
Herunder indføres en definition af et rum, hvori der kan tales om afstande mellem
elementer i en mængde. Dette skal gøres p˚a en m˚ade, s˚a definitionen dækker den
intuitive forst˚aelse af afstand mellem tal p˚a en tallinie og afstand mellem punkter
i planen.
Definition 2.1 Metrisk rum
Et metrisk rum er en mængde M og en afstandsfunktion
d : M × M → R+ ∪ {0}, som for alle x, y, z ∈ M opfylder, at
1. d(x, y) = 0 ⇔ x = y
2. d(x, y) = d(y, x)
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Afstandsfunktionen d kaldes for en metrik.
Med denne definition kan der arbejdes i præcise termer med den intuitive
forst˚aelse af afstande mellem tal og punkter. For eksempel er de reelle tal med
d(x, y) = |x − y| et metrisk rum. Denne metrik kaldes for den Euklidiske metrik
og noteres dE. Endvidere kan definitionen bruges til at dække mere abstrakte
emner, som afstande mellem funktioner.
Idet et metrisk rum b˚ade best˚ar af en mængde M og en metrik d, noteres det
ved en 2-tupel (M, d). Ofte benyttes kun mængden, n˚ar det er klart hvilken
metrik, der bruges.

10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED
2.2 Banachs fikspunktssætning
Dette afsnit munder ud i at vise Banachs fikspunktssætning. Afsnittet bygger
p˚a [Coh03]. Først skal nogle udtryk og begreber dog introduceres. Vi starter
med konvergens.
Definition 2.2 Konvergens
En følge {xn}n≥1 i et metrisk rum (M, d) konvergerer mod et element
x ∈ M, hvis
∀ε > 0, ∃Nε ≥ 1, ∀n > Nε : d(xn, x) < ε
I definition 2.2 skrives et nedsunket ε efter N for at angive, at N afhænger af
ε. Denne m˚ade at angive, hvis en konstant afhænger af noget, vil blive benyttet
meget fremover. Herunder defineres en speciel type følger:
Definition 2.3 Cauchy-følger
En følge {xn}n≥1 i et metrisk rum (M, d) kaldes en Cauchy-følge, hvis
∀ε > 0, ∃Nε ≥ 1, ∀p, q ≥ Nε : d(xp, xq) < ε
Følgende definition omhandler en egenskab ved et metrisk rum:
Definition 2.4 Fuldstændigt metrisk rum
Hvis enhver Cauchy-følge i et metrisk rum konvergerer, s˚a er det
metriske rum fuldstændigt.
Herefter vises, at en bestemt mængde sammen med en bestemt metrik udgør et
metrisk rum:
Lemma 2.5
C([a, b]), d∞ er et metrisk rum
Lad a, b ∈ R med a < b, og lad en mængde været givet ved:
C([a, b]) = f : [a, b] → R 2 f er kontinuert p˚a [a, b]
Lad f, g ∈ C([a, b]), og lad d∞ være metrikken givet ved:
d∞(f, g) = sup f(t) − g(t) t∈[a,b]
Da er
C([a, b]), d∞ et metrisk rum.
Bevis. For at vise at C([a, b]), d∞
er et metrisk rum, skal det vises, at d∞
opfylder de tre betingelser givet i definition 2.1. Derudover skal der gælde, at

2.2 Banachs fikspunktssætning 11
værdimængden for d∞ er R+ ∪ {0}. Sidstnævnte krav opfylder d∞, eftersom
afstanden mellem to funktioner ikke kan være negativ. I resten af beviset er
f, g, h ∈ C([a, b]).
Punkt 1:
”⇒”: Antag, at d∞(f, g) = 0, dvs. at
sup
t∈[a,b]
f(t) − g(t) = 0
I henhold til definitionen af normen er
f(t) − g(t) ≥ 0 (2.1)
Eftersom supremum af udtrykket p˚a venstresiden i ulighed (2.1) giver nul, og
supremum er en øvre grænse, er f(t) = g(t) for alle t ∈ [a, b].
”⇐”: Antag, at f(t) = g(t) for alle t ∈ [a, b]. Dermed er f(t) − g(t) = 0 for
alle t ∈ [a, b], s˚a
d∞(f, g) = sup
t∈[a,b]
f(t) − g(t) = 0
Punkt 2:
Her udnyttes, at der gælder følgende:
Det betyder, at
d∞(f, g) = sup
t∈[a,b]
∀t ∈ [a, b] : f(t) − g(t) = g(t) − f(t)
f(t) − g(t) = sup
t∈[a,b]
g(t) − f(t) = d∞(g, f)
Punkt 3:
Af sætning 6.9 i [Axl97] omhandlende trekantsuligheden f˚as, at følgende gælder
for alle t ∈ [a, b]:
f(t) − h(t) = f(t) − g(t) + g(t) − h(t)
≤ f(t) − g(t) + g(t) − h(t)
≤ sup
t∈[a,b]
f(t) − g(t)
+ sup
t∈[a,b]
g(t) − h(t)
Idet ulighed (2.2) gælder for alle t ∈ [a, b], f˚as at
sup
t∈[a,b]
Hermed gælder, at
f(t) − h(t) ≤ sup
t∈[a,b]
f(t) − g(t) + sup
t∈[a,b]
d∞(f, h) ≤ d∞(f, g) + d∞(g, h)
g(t) − h(t)
(2.2)
Dermed er samtlige punkter i definition 2.1 opfyldt, hvilket betyder, at
C([a, b]), d∞ er et metrisk rum.
Fremover vil det metriske rum
C([a, b]), d∞ blot noteres C([a, b]).

12 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED
Sætning 2.6 C([a, b]) er fuldstændigt
Det metriske rum C([a, b]) er et fuldstændigt metrisk rum.
Bevis. For at bevise sætningen tages en vilk˚arlig Cauchy-følge i C([a, b]), og
det vises, at den konvergerer mod en funktion, der ogs˚a er indeholdt i C([a, b]).
Lad {fn}n≥1 i C([a, b]) være en Cauchy-følge. Det betyder, at følgende gælder:
∀ε > 0, ∃ Ñε ≥ 1, ∀p, q ≥ Ñε : d∞(fp, fq) < ε (2.3)
Herefter skal konstrueres en kontinuert funktion f : [a, b] → R 2 , s˚a
Det betyder, at
lim
n→∞ fn = f
∀ε > 0, ∃Nε ≥ 1, ∀n ≥ Nε : d∞(fn, f) < ε (2.4)
Anvend uligheden d∞(fp, fq) < ε fra udsagn (2.3) og benyt derudover definitionen
p˚a metrikken d∞. Dermed f˚as, at
∀t ∈ [a, b], p, q ≥ Ñε : fp(t) − fq(t) ≤ d∞(fp, fq) < ε (2.5)
Hold t fast. Det fremg˚ar dermed af udsagn (2.5), at {fn(t)}n≥1 er en Cauchyfølge
i (R2 , dE), eftersom
fp(t) − fq(t)
= dE fp(t), fq(t)
Fra [Coh03] vides, at (R 2 , dE) er et fuldstændigt metrisk rum, hvilket i henhold
til definition 2.4 medfører, at alle Cauchy-følger konvergerer. Det betyder, at
∃f(t) ∈ R 2 : lim
n→∞ fn(t) = f(t)
Dette kan ogs˚a skrives p˚a følgende m˚ade:
∀ε > 0, ∃Ñε,t ≥ 1, ∀n ≥ Ñε,t : fn(t) − f(t) < ε (2.6)
Vælg nu et andet t, som holdes fast. Dernæst gentages ovenst˚aende procedure.
Dermed f˚as til ethvert t en værdi f(t). S˚aledes konstrueres en funktion
f : [a, b] → R 2
Herefter skal det vises, at limn→∞ fn = f. Det gøres ved at bevise, at udsagn
(2.4) gælder:
fn(t) − f(t) = fn(t) − fq(t) + fq(t) − f(t)
≤ fn(t) − fq(t) + fq(t) − f(t) ,
for alle q, n ≥ 1, t ∈ [a, b]
(2.7)
Vælg ε
2 i stedet for ε i udsagn (2.3), hvormed Ñε ændres til Ñ ε . P˚a samme
2
m˚ade vælges ε
2 i stedet for ε i udsagn (2.6), hvormed Ñε,t ændres til Ñ ε
2 ,t.

2.2 Banachs fikspunktssætning 13
Idet ulighed (2.7) gælder for alle q, n ≥ 1 og t ∈ [a, b], tages et vilk˚arligt t ∈ [a, b]
og dernæst vælges
n ≥ Ñ ε
2 og qt = max{ Ñ ε
2 , Ñ ε
2 ,t}
Herefter betragtes ulighed (2.7), som nu kan vurderes opadtil:
fn(t) − f(t) ≤
fn(t) − f
qt(t)
+ fqt(t) − f(t) < ε (2.8)
Det sidste ulighedstegn i ulighed (2.8) følger af ulighederne i udsagn (2.3) og
udsagn (2.6). Dermed f˚as, at
∀t ∈ [a, b], n ≥ Ñ ε
2 : fn(t) − f(t) < ε
Hermed er d∞(fn, f) < ε, hvilket i henhold til udsagn (2.4) betyder, at
limn→∞ fn = f.
Funktionen f er s˚aledes konstrueret. Det sidste, der mangler, er at vise, at f er
kontinuert p˚a [a, b], hvilket medfører, at f er i C([a, b]). For at vise det vælges
et vilk˚arligt punkt i [a, b], hvorefter det vises, at f er kontinuert i det punkt.
Tag t0 ∈ [a, b]. For at vise at f er kontinuert i t0, skal følgende udsagn bevises:
∀ε > 0, ∃δε,t0 > 0, ∀t ∈ (t0 − δε,t0 , t0 + δε,t0 ) ∩ [a, b] : f(t) − f(t0) < ε
Dette vises ved at benytte sætning 6.9 i [Axl97] vedrørende trekantsuligheden:
f(t) − f(t0) = f(t) − fn(t) + fn(t) − fn(t0) + fn(t0) − f(t0)
≤ f(t) − fn(t) + fn(t) − fn(t0) + fn(t0) − f(t0) ,
for alle n ≥ 1, t, t0 ∈ [a, b]
Vælg n = N ε
3 i udsagn (2.4). Dermed f˚as, i henhold til definitionen af d∞, at
f(t) − fn(t) < ε
3
og
Det betyder, at ulighed (2.9) kan skrives som
fn(t0) − f(t0) < ε
3
(2.9)
f(t) − f(t0)
2ε
<
3 + fN ε (t) − fN ε (t0)
3
3
, for alle t, t0 ∈ [a, b] (2.10)
Eftersom fN ε 3
betyder, at
∈ C([a, b]), er fN ε 3
kontinuert p˚a [a, b] og dermed ogs˚a i t0. Det
∀ε > 0, ∃˜ δε,t0 > 0, t ∈ (t0 − ˜ δε,t0 , t0 + ˜ δε,t0 ) ∩ [a, b] :
fN ε 3
I stedet for ε vælges ε
3
(t) − fN ε (t0)
3
< ε
i udsagn (2.11):
∀t ∈ (t0 − ˜ δ ε
3 ,t0, t0 + ˜ δ ε
3 ,t0) ∩ [a, b] : fN ε (t) − fN ε (t0)
3
3
ε
<
3
Hermed kan (2.10) skrives p˚a følgende m˚ade:
∀t ∈ (t0 − ˜ δ ε
3 ,t0, t0 + ˜ δ ε
3 ,t0) ∩ [a, b] : f(t) − f(t0)
2ε ε
< + = ε
3 3
(2.11)

14 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED
Dermed er f kontinuert i t0, og idet t0 er et vilk˚arligt punkt i [a, b], er f kontinuert
p˚a [a, b], dvs. f ∈ C([a, b]).
Det er s˚aledes bevist, at en vilk˚arlig Cauchy-følge i C([a, b]) konvergerer mod en
funktion i C([a, b]). Det betyder, at C([a, b]) er et fuldstændigt metrisk rum.
Hernæst følger en sætning, som handler om en bestemt type funktioner og elementer,
der afbildes over i sig selv:
Definition 2.7 Fikspunkter og kontraktioner
Lad (M, d) være et metrisk rum, og lad S : M → M være en funktion.
• Et punkt x ∈ M kaldes et fikspunkt for S, hvis S(x) = x.
• Funktionen S kaldes en kontraktion, hvis
∃α ∈]0; 1[, ∀x, y ∈ M : d S(x), S(y) ≤ αd(x, y)
Tallet α benævnes kontraktionskonstanten for S.
Inden vi er i stand til at bevise Banachs fikspunktssætning, skal vi først bevise
følgende lemma:
Lemma 2.8 Metrik og kontraktionskonstant
Lad (M, d) være et metrisk rum, og lad S : M → M være en kontraktion
med α som kontraktionskonstant. Lad {xn}n≥1 være følgen
defineret ved xn = S(xn−1), hvor n ≥ 1. Da gælder følgende:
1. ∀n ≥ 0 : d(xn+1, xn) ≤ α n d(x1, x0)
2. ∀k ≥ 1, p ≥ 0 : d(xk+p, xp) ≤ (1 + α + . . . + α k−1 )d(xp+1, xp)
Bevis. Begge punkter bevises ved induktion.
Punkt 1:
Basistrin: Her bevises, at uligheden gælder for n = 0:
d(x1, x0) ≤ α 0 d(x1, x0) = d(x1, x0)
Induktionstrin:
Induktionsantagelsen er, at uligheden gælder for n. Uligheden skal derefter vises
for n + 1:
d(xn+2, xn+1) = d S(xn+1), S(xn) ≤ αd(xn+1, xn) ≤ α n+1 d(x1, x0)
Ved det sidste ulighedstegn er induktionsantagelsen anvendt. Hermed er punkt
1 bevist.

2.2 Banachs fikspunktssætning 15
Punkt 2:
Basistrin: Her bevises, at uligheden gælder for k = 1:
∀p ≥ 0 : d(xp+1, xp) ≤ d(xp+1, xp) ≤ α p d(x1, x0)
I forbindelse med det sidste ulighedstegn er punkt 1 anvendt. Induktionsantagelsen
er, at uligheden gælder for k. Herefter skal uligheden vises for k + 1:
d(x p+(k+1), xp) ≤ d(xp+1+k, xp+1) + d(xp+1, xp) (2.12)
Sæt p ′ = p + 1. Dermed gælder i henhold til induktionsantagelsen, at
d(xp ′ +k, xp ′) ≤ (1 + α + . . . + αk−1 )d(xp ′ +1, xp ′)
Ved at indsætte p ′ = p + 1, f˚as at
d(xp+1+k, xp+1) ≤ (1 + α + . . . + α k−1 )d(xp+2, xp+1)
Herefter er det muligt at fortsætte med ulighed (2.12):
d(xp+1+k, xp+1) + d(xp+1, xp)
≤(1 + α + . . . + α k−1 )d(xp+2, xp+1) + d(xp+1, xp)
≤(1 + α + . . . + α k−1 )αd(xp+1, xp) + d(xp+1, xp)
=d(xp+1, xp)(1 + α + α 2 + . . . + α k )
Dermed er punkt 2 bevist.
Nu er alle de begreber, der skal til for at vise Banachs fikspunktssætning, blevet
introduceret. Her følger sætningen og beviset for denne:
Sætning 2.9 Banachs fikspunktssætning
Enhver kontraktion p˚a et fuldstændigt metrisk rum har ét og kun ét
fikspunkt.
Bevis. Lad S være en kontraktion med kontraktionskonstant α i det fuldstændige
metriske rum (M, d).
Eksistens:
Vælg et vilk˚arligt punkt x0 ∈ M, og lad {xn}n≥1 være en følge i (M, d), som er
givet ved
xn = S(xn−1), n ∈ N
Dermed er x1 = S(x0), og x2 = S(x1) = S 2 (x0). Det vil sige, at
Herefter skal følgende vises:
xn = S n (x0)
1. Følgen {xn}n≥1 er en Cauchy-følge, hvilket medfører, at {xn}n≥1 konvergerer,
jf. definition 2.4.
2. Hvis limn→∞ xn = x∞, s˚a medfører det, at S(x∞) = x∞.

16 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED
Bevis for punkt 1:
Vælg ε > 0. Herefter skal der konstrueres et Nε ≥ 1, s˚aledes d(xp, xq) < ε for
alle p, q ≥ Nε. Sidstnævnte svarer til at skrive følgende:
∀p ≥ Nε, ∀k ≥ 0 : d(xp+k, xp) < ε
Det skyldes, at s˚afremt q ≥ p, kan q skrives som q = p + k, og hvis q < p, kan q
opfattes som p og omvendt.
Herefter betragtes d(xp+k, xp). Ved at bruge lemma 2.8 f˚as, at følgende gælder
for alle k ≥ 1:
0 ≤ d(xp+k, xp) ≤ (1 + α + . . . + α k−1 )d(xp+1, xp)
≤ (1 + α + . . . + α k−1 )α p d(x1, x0)
= 1 − αk
1 − α αp d(x1, x0)
= αp − α k+p
1 − α d(x1, x0)
≤ αp
1 − α d(x1, x0)
I udregning (2.13) benyttes den geometriske række
k−1
α k =
k=1
1 − αk
1 − α
(2.13)
Eftersom 0 < α < 1, gælder, at limp→∞ α p = 0. Dermed f˚as ifølge ulighed
(2.13), at
lim
p→∞ d(xp+k, xp) = 0
Dvs. at der eksisterer Nε, s˚aledes d(xp+k, xp) < ε for alle p ≥ Nε, og for
alle k ≥ 0. Dermed er {xn}n≥1 en Cauchy-følge, og eftersom (M, d) er et
fuldstændigt metrisk rum, konvergerer følgen.
Bevis for punkt 2:
Sæt limn→∞ xn = x∞. Det skal vises, at d
S(x∞), x∞ = 0, da det medfører,
at S(x∞) = x∞:
0 ≤ d
S(x∞), x∞ ≤ d S(x∞), xn+1 + d(xn+1, x∞)
= d S(x∞), S(xn) + d(xn+1, x∞) ≤ αd(x∞, xn) + d(xn+1, x∞)
≤ d(x∞, xn) + d(xn+1, x∞)
Eftersom limn→∞ d(x∞, xn) = 0, og limn→∞ d(xn+1, x∞) = 0, gælder at
0 ≤ d
S(x∞), x∞ ≤ 0 ⇒ S(x∞) = x∞
Dvs. at x∞ er et fikspunkt for S.
Entydighed:
Antag, at x1, x2 er fikspunkter, dvs. S(x1) = x1, og S(x2) = x2. Eftersom S er
en kontraktion, gælder at
d(x1, x2) = d S(x1), S(x2) ≤ αd(x1, x2)

2.3 Eksistens og entydighed af løsning 17
Idet α < 1, og d(x1, x2) ≥ 0, kan dette kun gælde, hvis d(x1, x2) = 0. Dette
betyder ifølge definition 2.1, at x1 = x2. Hermed er det vist, at x1 er det eneste
fikspunkt for S.
Hermed er b˚ade eksistensen og entydigheden af et fikspunkt bevist.
2.3 Eksistens og entydighed af løsning
I dette afsnit bevises sætningen om eksistensen og entydigheden af en løsning til
en 1. ordens differentialligning. Sætningen omhandler, at der under visse forudsætninger
eksisterer en entydig løsning til følgende begyndelsesværdiproblem:
dx
dt = f t, x(t) , x(t0) = ˜x (2.14)
I sætningen om eksistens og entydighed præciseres de forskellige størrelser, som
indg˚ar i ligning (2.14).
Til at begynde med følger en definition af en mængdes indre og aflukkede:
Definition 2.10 En mængdes indre og aflukkede
Lad (M, d) være et metrisk rum. Lad V ⊆ M være en mængde. Det
indre af V betegnes V ◦ og er givet ved følgende:
V ◦ = v ∈ V ∃r > 0 : Br(v) ⊂ V
Det aflukkede af V betegnes V og er givet ved følgende:
V = {A en mængde | A lukket, og V ⊆ A}
Herunder følger et lemma, som beskriver, hvorledes det er muligt at vurdere
udtryk opadtil eller nedadtil:
Lemma 2.11 Vurdering af udtryk
Lad a, b ∈ R. Da gælder følgende:
1. |a| + |b| ≤ √ 2 |a| 2 + |b| 2
2. √ a 2 + b 2 ≤ |a| + |b|
Bevis. Her følger et bevis for punkt 1:
0 ≤ (|a| − |b|) 2 = |a| 2 + |b| 2 − 2|a||b| ⇔
2|a||b| ≤ |a| 2 + |b| 2 ⇔
|a| 2 + |b| 2 + 2|a||b| ≤ |a| 2 + |b| 2 + |a| 2 + |b| 2 ⇔
|a| 2 + |b| 2 + 2|a||b| ≤ 2|a| 2 + 2|b| 2 ⇔
|a| + |b| 2 ≤ 2 |a| 2 + |b| 2 ⇔
|a| + |b| ≤ √ 2 |a| 2 + |b| 2

18 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED
Herunder er et bevis for punkt 2:
(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab ≥ a 2 + b 2 ⇒
a 2 + b 2 ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|
Følgende sætning handler om en tilstrækkelig betingelse for, at en funktion
opfylder en lokal Lipschitz-betingelse [Jen93].
Sætning 2.12 Lokal Lipschitz-betingelse
Lad U ⊆ R 3 være en ˚aben mængde og
f : U → R 2 en funktion, for hvilken følgende partielle afledede eksisterer
og er kontinuerte:
∂f
(t, x) og
∂x
∂f
∂y (t, x), hvor (t, x) ∈ U og x = [ x y ]
P˚a enhver ˚aben delmængde U ′ = ]tα, tω[×]xα, xω[×]yα, yω[ ⊆ U, for
hvilken U ′ ⊆ U, opfylder f en lokal Lipschitz-betingelse:
∃KU ′ > 0, ∀(t, u), (t, v) ∈ U ′ : f(t, u) − f(t, v) ≤ KU ′||u − v||
Bevis. I nedenst˚aende er f(t, x, y) en anden notation for funktionen f(t, x),
hvor x, y er henholdsvis første og anden komponent i x.
Mængden U ′ er begrænset, hvilket betyder, at
I henhold til definition 2.10 følger, at
Dermed f˚as, at
∃c ∈ U, r > 0 : U ′ ⊆ Br(c)
Br(c) ⊆ Br(c)
U ′ ⊆ U ′ ⊆ Br(c) ⊆ B2r(c)
Dermed er U ′ begrænset. Det betyder i henhold til sætning 4.1.6 i [Coh03], at
(t, x) be-
U ′ er kompakt, idet mængden ogs˚a er lukket. Derfor er ∂f
∂x
grænsede p˚a U ′ , eftersom ∂f
∂x
(t, x) og ∂f
∂y
og ∂f
∂y (t, x) begrænsede p˚a U ′ , idet U ′ ⊆ U ′ :
(t, x) og ∂f
∂y
(t, x) er kontinuerte. S˚aledes er ∂f
∂x
(t, x)
∃ ˜ KU ′, ˜ KU ′ > 0, ∀(t, x) ∈ U ′ :
∂f
(t, x)
∂x
≤ ˜
KU ′ og
∂f
(t, x)
∂y
≤ ˜ KU ′ (2.15)
Lad f1 og f2 benævne henholdsvis første og anden komponent af f. For alle

2.3 Eksistens og entydighed af løsning 19
(t, u), (t, v) ∈ U ′ , hvor u = [ x1
y1 ] , v = [ x2
y2 ] gælder, at
||f(t, x1, y1) − f(t, x2, y2)||
=||f(t, x1, y1) − f(t, x2, y1) + f(t, x2, y1) − f(t, x2, y2)||
≤||f(t, x1, y1) − f(t, x2, y1)|| + ||f(t, x2, y1) − f(t, x2, y2)||
x1
=
∂f
(t, z, y1)dz
x2 ∂x
+
y1
∂f
y2 ∂y (t, x2,
z)dz
x1 ∂f1
x2 ∂x (t, z, y1)dz
=
x1 ∂f2
x2 ∂x (t, z, y1)dz +
y1 ∂f1
y2 ∂y
(t, x2, z)dz
y1 ∂f2
y2 ∂y (t, x2,
z)dz
x1 ∂f1
| x2 ∂x (t, z, y1)|dz
≤
x1
(t, z, y1)|dz +
y1 ∂f1
| y2 ∂y
(t, x2,
z)|dz
y1
x2
| ∂f2
∂x
y2
| ∂f2
∂y (t, x2, z)|dz
Indsæt (z, y1) i stedet for x i første ulighed i ligning (2.15) og omskriv den:
∂f
∂x
(t, x1,
y1)
≤ ˜ KU ′ ⇔
∂f1 2 2 ∂f2
(t, z, y1) + (t, z, y1) ≤
∂x ∂x ˜ KU ′ ⇒
∂f1
(t, z, y1)
∂x ≤ ˜
∂f2
KU ′ ∧
(t, z, y1)
∂x ≤ ˜ KU ′
Det tilsvarende gøres ved anden ulighed i ligning (2.15), hvor (x2, z) indsættes.
Dermed f˚as, at
x1 ∂f1
| x2 ∂x (t, z, y1)|dz
x1 ∂f2
| x2 ∂x (t, z, y1)|dz +
y1 ∂f1
| y2 ∂y
(t, x2, z)|dz
y1 ∂f2
| y2 ∂y (t, x2,
z)|dz
x1 ˜KU
x2 ≤
′dz
x1 ˜KU x2
′dz
+
y1 ˜KU
y2
′dz
y1 ˜KU y2
′dz
˜KU
=
′|x1 − x2|
˜KU ′|x1
− x2| +
˜KU
′|y1 − y2|
˜KU ′|y1
− y2|
Ud fra punkt 1 i lemma 2.11 f˚as, at
˜KU
′|x1 − x2|
˜KU ′|x1
− x2| +
˜KU
′|y1 − y2|
˜KU ′|y1
− y2|
= 2 KU
˜ ′|x1 − x2|
2
+ 2 KU
˜ ′|y1 − y2| 2 = ˜ KU ′
2|x1 − x2| 2 + ˜ KU ′
2|y1 − y2| 2
≤ max{ ˜ KU ′, ˜ KU ′} 2|x1 − x2| 2 + 2|y1 − y2| 2
= max{ ˜ KU ′, ˜ KU ′}√ 2 |x1 − x2| + |y1 − y2|
≤ max{ ˜ KU ′, ˜ KU ′}√ 2 √ 2 |x1 − x2| 2 + |y1 − y2| 2
=2 max{ ˜ KU ′, ˜ KU ′} |x1 − x2| 2 + |y1 − y2| 2
= ˆ KU ′||(u − v)||, hvor ˆ KU ′ = 2 max{ ˜ KU ′, ˜ KU ′}

20 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED
Hermed er det bevist, at f opfylder en lokal Lipschitz-betingelse p˚a U ′ .
Det følgende lemma, som bruges i beviset for sætningen om eksistens og entydighed,
omhandler, hvorledes det er muligt at omskrive begyndelsesværdiproblem
(2.14).
Lemma 2.13 Differentialligning og integralligning
Lad s, t, t0 ∈ R, ˜x ∈ R 2 , x : R → R 2 , og f : R × R 2 → R 2 . Da gælder,
at
x(t) er en løsning til x ′ (t) = f t, x(t) , x(t0) = ˜x ⇔
t
x(t) er en løsning til x(t) = ˜x + f v, x(v) dv
Bevis.
”⇒”: Antag, at x(t) er en løsning til begyndelsesværdiproblemet
Sæt
t0
x ′ (t) = f t, x(t) , x(t0) = ˜x
t
y(t) = ˜x + f v, x(v) dv (2.16)
t0
Herefter vises, at x(t) = y(t) for alle t ∈ R. Derved er det bevist, at x(t) er en
løsning til integralligning (2.16).
Først indføres en hjælpefunktion m defineret ved
Dernæst udregnes værdien af m(t0):
m(t) = y(t) − x(t)
m(t0) = y(t0) − x(t0) = ˜x − ˜x = 0
Funktionen m differentieres ved at benytte Analysens Hovedsætning (sætning
5.28(i) i [Wad04]):
m ′ (t) = y ′ (t) − x ′ (t) = f t, x(t) − f t, x(t) = 0, ∀t ∈ R
Eftersom m ′ (t) = 0 for alle t ∈ R, er m en konstant funktion. Idet m(t0) = 0,
kan det sluttes, at
m(t) = 0, ∀t ∈ R
Det betyder, at
x(t) = y(t), ∀t ∈ R
”⇐ ”: Antag, at x(t) er en løsning til integralligningen
t
x(t) = ˜x + f v, x(v) dv
t0

2.3 Eksistens og entydighed af løsning 21
Først bevises ved differentiation, at x(t) er en løsning til x ′ (t) = x(t):
x ′ (t) =
˜x +
t
f v, x(v) dv
t0
′
t
= f v, x(v) dv
t0
′
= f t, x(t)
Dernæst bevises, at x(t) opfylder begyndelsesbetingelsen x(t0) = ˜x:
t0
x(t0) = ˜x +
t0
f v, x(v) dv = ˜x
Hermed er lemmaet beviset.
Herefter er det muligt at bevise nedenst˚aende sætning om eksistens og entydighed
af en løsning.
Sætning 2.14 Eksistens & entydighed
2 ∈ R .
Lad t0 ∈ R, a, b ∈ R+ og ˜x = ˜x1
˜x2
Sæt
T = [t0 − a, t0 + a]
M = x ∈ R 2 ||x − ˜x|| < b
Lad f : T × M → R 2 være en funktion, som er kontinuert p˚a T × M
og opfylder en lokal Lipschitz-betingelse, dvs.:
∃KT ×M > 0, ∀t ∈ T , x1, x2 ∈ M :
f(t, x1) − f(t, x2) ≤ KT ×M||x1 − x2||
Da eksisterer h > 0, s˚a der findes en entydig, lokal løsning
x : [t0 − h, t0 + h] → R 2 til begyndelsesværdiproblemet
dx
dt = f t, x(t) , x(t0) = ˜x (2.17)
Bevis. I henhold til lemma 2.13, kan begyndelsesværdiproblem (2.17) omskrives
til følgende integralligning:
t
x(t) = ˜x + f v, x(v) dv
t0
Antag, at t0 < t. Sæt J = [t0 − h, t0 + h], og lad F være en mængde givet ved:
F = u ∈ C(J) ∀t ∈ J : u(t) − ˜x ≤ b
Dernæst vises, at (F, d∞) er et fuldstændigt metrisk rum. Det gøres ved at
betragte en vilk˚arlig Cauchy-følge {fn}n≥1 i (F, d∞), dvs.:
∀ε > 0, ∃Nε ≥ 1, ∀p, q ≥ Nε : d∞(fp, fq) < ε

22 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED
Eftersom en Cauchy-følge i (F, d∞) ogs˚a er en Cauchy-følge i
C(J), d∞
, og
C(J), d∞ i henhold til sætning 2.6 er fuldstændigt, konvergerer {fn}n≥1 mod
f∞ ∈ C(J), dvs.:
∀ε > 0, ∃Nε ≥ 1, ∀n ≥ Nε : d∞(fn, f∞) < ε
Herefter vises, at f∞ ∈ F , hvilket betyder, at (F, d∞) er et fuldstændigt metrisk
rum. Vælg et vilk˚arligt t ∈ J, og lad n ≥ Nε. Dermed f˚as, at
f∞(t) − ˜x ≤ f∞(t) − fn(t) + fn(t) − ˜x
≤ f∞(t) − fn(t) + b
< ε + b
Eftersom ε kan vælges vilk˚arligt lille, gælder at
f∞(t) − ˜x ≤ b
Hermed er f∞ ∈ F , hvilket betyder, at (F, d∞) er et fuldstændigt metrisk rum.
Lad u ∈ F og definer en funktion S med F som definitionsmængde og med
følgende forskrift:
S u(t) t
= ˜x + f v, u(v) dv
Resten af beviset har til form˚al at bevise, at S er en kontraktion p˚a (F, d∞),
dvs. at S i henhold til definition 2.7 opfylder følgende:
1. Billedmængden af S er en delmængde af F , dvs. S(F ) ⊆ F .
t0
2. Funktionen S opfylder udsagnet
∃α ∈]0; 1[, ∀u1, u2 ∈ F : d∞ S(u1), S(u2) ≤ αd∞(u1, u2) (2.18)
Bevis for punkt 1:
Tag u ∈ F og vis, at S u
∈ F . Det
gøres
ved at benytte sætning 5.22 i [Wad04].
Lad derudover f1 v, u(v) og f2 v, u(v) betegne henholdsvis første og anden
komponent af f v, u(v) :
t
f
t0
v, u(v)
dv
t
t0 =
f1
v, u(v) dv
t
t0 f2
v, u(v) dv
t
2
t
2
= f1 v, u(v) dv
+
f2 v, u(v) dv
t0
t0
t
2
t
2
≤ f1 v, u(v) dv + f2 v, u(v) dv
t0
t0
(2.19)
(2.20)

2.3 Eksistens og entydighed af løsning 23
Punkt 2 i lemma 2.11 kan bruges til at vurdere udtryk (2.20) opadtil. Benyttes
derudover antagelsen om, at t0 < t, f˚as følgende:
t
2
t
2
f1 v, u(v) dv + f2 v, u(v) dv
t0
t0
t
≤ f1 v, u(v) dv
t0
+
t
f2 v, u(v) dv
t0
t
t
= v, u(v) dv + v, u(v) dv
t0
t0
f1
t0
f2
tf1
= v, u(v) + f2 v, u(v) dv (2.21)
Funktionen f er kontinuert p˚a T × M, der er en lukket mængde og begrænset
mængde. Dermed er f begrænset, dvs.:
∃PT ×M > 0, ∀(t, x) ∈ T × M : f(t, x) ≤ PT ×M
Ved brug af punkt 1 i lemma 2.11 kan udtryk (2.21) dermed vurderes opadtil:
tf1
t √ v, u(v) + f2 v, u(v) dv ≤ 2 f v, u(v) dv
t0
t0
t √
≤ 2PT ×Mdv
Sammenfattes udregningerne fra udtryk (2.19) til ulighed (2.22) f˚as, at
t
f v, u(v)
dv
≤
t √
2PT ×Mdv
Vælg et vilk˚arligt t ∈ J og sæt h ≤
t0
t0
t0
√ b . Dermed f˚as af ulighed (9), at
2PT ×M
(2.22)
S
u(t)
t
− ˜x
=
f
t0
v, u(v)
dv
(2.23)
t √
≤ 2PT ×Mdv (2.24)
t0
= √ 2PT ×M(t − t0)
≤ √ 2PT ×Mh (2.25)
≤ b (2.26)
For at komme fra ligning (2.25) til ligning (2.26) bruges, at h ≤
√ b .
2PT ×M
Da f og u er kontinuerte funktioner, kan Analysens Hovedsætning (sætning
5.28 i [Wad04]) benyttes til at udregne den afledede af ˜x + t
t0 f v, u(v) dv.
Dermed er S u(t) = ˜x + t
t0 f v, u(v) dv differentiabel. Det betyder, at S u(t)
er kontinuert, s˚a S u(t) ∈ F for alle t ∈ J. Det medfører, at S(F ) ⊆ F . S˚aledes
er punkt 1 bevist.

24 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED
Bevis for punkt 2:
Først skal følgende udtryk vurderes opadtil:
∀t ∈ J :
S u1(t) − S u2(t)
t
=
f
t0
v, u1(v) − f v, u2(v)
dv
⎡
t
f1 v, u1(v) t0
= ⎣
− f1 v, u2(v)
dv
t
f2 v, u1(v) t0
− f2 v, u2(v)
⎤
⎦
dv
=
t
f1 v,u1(v) −f1 v,u2(v)
t0 2
t
dv + f2 v,u1(v) −f2 v,u2(v)
t0 2 dv
≤
t
f1 v,u1(v) −f1 v,u2(v)
t0
dv
+
t
f2 v,u1(v) −f2 v,u2(v)
t0
dv
≤
t
dv+
t
dv
t
f1 v,u1(v) −f1 v,u2(v)
0
t
f2 v,u1(v) −f2 v,u2(v)
(2.27)
0
For at kunne fortsætte vurderingen benyttes, at f opfylder en Lipschitzbetingelse:
∃KT ×M > 0, ∀v ∈ T , u1, u2 ∈ M :
f
v, u1(v) − f v, u2(v)
≤ KT ×M||u1(v) − u2(v)|| ⇒
f1 v,u1(v) −f1 v,u2(v)
2
+ f2 v,u1(v) −f2 v,u2(v)
2
f1 v, u1(v)
− f1 v, u2(v) ≤ KT ×M||u1(v) − u2(v)|| ∧
f2 v, u1(v)
− f2 v, u2(v) ≤ KT ×M||u1(v) − u2(v)||
≤KT ×M||u1(v)−u2(v)|| ⇒
Dermed kan udtryk (2.27) vurderes opadtil:
t
dv+
t
dv
t
f1 v,u1(v) −f1 v,u2(v)
0
t
f2 v,u1(v) −f2 v,u2(v)
0
t
t
≤ KT ×M||u1(v) − u2(v)||dv + KT ×M||u1(v) − u2(v)||dv
t0
t
=2KT ×M ||u1(v) − u2(v)||dv
t0
t
≤2KT ×M d∞(u1, u2)dv
t0
=2KT ×Md∞(u1, u2)(t − t0)
Anvend dette samt definitionen af d∞ til at f˚a følgende:
S(u1), S(u2)
= sup
S u1(t) − S u2(t)
d∞
t∈J
t0
≤ sup 2KT ×Md∞(u1, u2)(t − t0)
t∈J
= 2KT ×Md∞(u1, u2)h
= αd∞(u1, u2), hvor α = 2hKT ×M

2.3 Eksistens og entydighed af løsning 25
1
Sæt h < 2KT ×M , hvilket giver, at 2hKT ×M < 1. Det betyder, at α ∈]0, 1[, da
h, KT ×M > 0. S˚aledes er udsagn (2.18) bevist.
Hermed er det bevist, at S opfylder punkt 1 og punkt 2, s˚afremt
h ≤
b
√ 2PT ×M
1
og h <
2KT ×M
(2.28)
Dermed er S en kontraktion p˚a (F, d∞).
Ifølge sætning 2.9 har en kontraktion p˚a et fuldstændigt metrisk rum et entydigt
fikspunkt, hvilket betyder, at
∃x ∈ F : S x(t) = x(t), ∀t ∈ J ⇒
t
x(t) = ˜x + f v, x(v) dv, ∀t ∈ J
Udover de to uligheder (2.28), som h skal opfylde, skal der ogs˚a gælde, at h ≤ a.
Det betyder, at J ⊆ T , hvilket sikrer, at f er defineret for alle t ∈ J.
Dermed er det bevist, at der eksisterer en entydig, lokal løsning
x : ]t0 − h, t0 + h[→ R 2 til begyndelsesværdiproblem (2.17).
2.3.1 Eksempler
Dette afsnit best˚ar af nogle eksempler p˚a differentialligninger, som enten opfylder
sætning 2.14 om eksistens og entydighed af en løsning, eller som ikke
gør.
Eksempel 2.15
Dette eksempel viser, at en 1. ordens differentialligning ikke altid har løsninger,
der er defineret til alle tidspunkter. Eksemplet bygger p˚a opgave 11 p˚a s. 18 i
[HSD04].
Det g˚ar ud p˚a at finde den generelle løsning til x ′ = x 2 .
Først bruges separation af de variable til at finde en løsning. Denne fremgangsm˚ade
er uddybet i appendiks A.1.
t0
dx
dt = x(t) 2 , x(t) = 0 for t ∈ R ⇒ (2.29)
1
2 dx = dt ⇒
x(t)
− 1
= t + k , k ∈ R ⇔
x(t)
x(t) = − 1
, t = −k (2.30)
t + k
Løsningerne x(t) = − 1
t+k er ikke defineret for t = −k. Derfor er løsningerne ikke
globale. Derudover er x(t) ≡ 0 en ligevægtsløsning for t ∈ R.
Det vides, at alle løsninger er fundet, da der gælder implikation fra ligning
(2.29) til ligning (2.30). Det skyldes, at der i ligning (2.29) blev opstillet en
betingelse om, at x(t) = 0 for t ∈ R. Denne betingelse opstilles for at undg˚a, at
der divideres med nul undervejs i udregningen.

26 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED
Betragt følgende begyndelsesværdiproblem
x ′ = x 2 , x(t0) = x0 (2.31)
Først undersøges, for hvilke værdier af t en løsning er defineret. Det gøres ved
at bestemme k:
x(t0) = x0 ⇒
− 1
t0 + k = x0 ⇔
x0(t0 + k) = −1 ⇔
t0 + k = − 1
, x0 = 0 ⇔
x0
k = − 1
− t0
x 0
Eftersom en løsning ikke er defineret i t = −k, gælder at
−∞ < t < 1
1
x0
x0
+ t0, hvis t0 < −k
+ t0 < t < ∞, hvis t0 > −k
Herefter undersøges, om begyndelsesværdiproblem (2.31) opfylder kravene for
eksistens og entydighed af en lokal løsning, jf. sætning 2.14. Det vides, at
f(x) = x 2 er kontinuert. Desuden opfylder f en lokal Lipschitz-betingelse, jf.
sætning 2.12, eftersom f ′ (x) = 2x er kontinuert. Det betyder, at eksistens- og
entydighedssætning 2.14 gælder.
Dermed eksisterer en entydig, lokal løsning til begyndelsesværdiproblem (2.31).
Denne løsning er global, i det tilfælde at x0 = 0, eftersom det betyder, at x(t) ≡ 0
er den entydige løsning. Af eksistens- og entydighedssætning 2.14 følger, at der
ikke er andre løsninger til denne begyndelsesbetingelse,
Ud fra ovenst˚aende fremg˚ar det, at der kun eksisterer en entydig, lokal løsning til
begyndelsesværdiproblem (2.31). Med undtagelse af ligevægtsløsningen er alle
løsninger dermed ikke globale. Eksemplet illustrerer s˚aledes, at der for et begyndelsesværdiproblem,
der opfylder betingelserne i eksistens- og entydighedssætning
2.14, kun med sikkerhed eksisterer en entydig, lokal løsning.
Herunder gives et eksempel p˚a en differentialligning, for hvilken en løsning, der
opfylder x(0) = 0, kun er defineret for −1 < t < 1.
Først findes en funktion, som er defineret i intervallet −1 < t < 1.
x(t) = tan(t) er defineret for − π
2
for −1 < t < 1 og k ∈ R.
Nu bestemmes k, s˚a løsningen opfylder x(0) = 0:
π
x(0) = 0 ⇒ tan · 0 + k = 0 ⇔ k = 0
2
Dermed er x(t) = tan π
2 t , hvilket gør, at x ′ (t) = π
2 1 + tan2 π
2 t.
Det giver følgende differentialligning:
< t < π
2 , dvs. x(t) = tan π
2 t + k er defineret

2.3 Eksistens og entydighed af løsning 27
x ′ = π 2
1 + x
2
Dette er endnu et eksempel p˚a en differentialligning, for hvilken der kun
eksisterer lokale løsninger.
Eksempel 2.16
Dette eksempel viser, at differentialligninger ikke altid har entydige løsninger,
som opfylder en given begyndelsesbetingelse. Eksemplet bygger p˚a opgave 12 p˚a
s. 18 i [HSD04].
Herunder bevises, at der er uendelig mange forskellige løsninger til x ′ = x 1
3 , som
opfylder x(0) = 0.
Først bruges separation af de variable til at finde en løsning, jf. appendiks A.1:
dx
dt
1 −
x 3 dx =
= x 1
3 , x(t) = 0 for t ∈ R ⇒ (2.32)
dt ⇒ (2.33)
3 2
x 3 = t + k , k ∈ R ⇔
2
x 2
3 = 2
(t + k) ⇔
3
2
x = (t + k)
3
3
2
, t ≥ −k (2.34)
Fra udregning (2.32) til (2.33) forudsættes, at x(t) = 0 , t ∈ R, s˚aledes der ikke
divideres med 0. I udregning (2.34) skal t ≥ −k, da x(t) =
Dernæst kan k udregnes ud fra begyndelsesbetingelsen x(0) = 0:
x(0) = 0 ⇒
3
2 2
(0 + k) = 0 ⇒
3
3
2
2
3 k
= 0 ⇒
3
2 2
· k
3
3
2 = 0 ⇒
k 3
2 = 0 ⇒
k = 0
3
2
3 (t + k) .
Under mellemregningerne ved separation af de variable forudsættes, at x(t) = 0
for t ∈ R, men begyndelsesbetingelsen er x(0) = 0. Derfor er det nødvendigt
at undersøge, om x(t) = ( 2 3
3t) 2 , t ∈ R er en løsning. Det gøres ved først at
udregne x ′ (t):
2 x ′ (t) =
3
3
2
· t 3
′
2 =
3
2 2
3
· 3 1
t 2 =
2 2
3 ·
1
2 2
3
· 3
1 2
t 2 =
2 3 t
1
2

28 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED
Derefter udregnes 1
3 x(t) :
2 1
3 x(t) =
3 t
3 1
3
2
=
2
3 t
3
6 2
=
3 t
1
2
Dvs. x(t) = ( 2 3
3t) 2 , t ∈ R er en løsning.
Desuden er x(t) ≡ 0 , t ∈ R en ligevægtsløsning, da x ′ (t) = 0, og 1
3 x(t) = 0.
Disse løsninger sammensættes, hvilket giver følgende:
x(t) =
3
2
2
3 (t + k) for t ≥ −k , k ∈ R− ∪ {0}
0 for t < −k , k ∈ R− ∪ {0}
(2.35)
Grunden til, at k ∈ R− ∪ {0}, er, at der om −k skal gælde, at −k ≥ 0, eftersom
begyndelsesbetingelsen x(0) = 0 skal være opfyldt.
Det er nødvendigt at undersøge, om denne sammensætning af løsninger giver
funktioner, som er differentiable i punktet t = −k. Det betyder, at følgende skal
være opfyldt:
x(−k + h) − x(−k) x(−k + h) − x(−k)
lim
= lim
h→0− h
h→0+ h
De to differentialkvotienter udregnes:
x(−k + h) − x(−k) 0
lim
= lim
h→0− h
h→0− h
x(−k + h) − x(−k)
lim
= lim
h→0+ h
h→0+
= lim
h→0+
= lim
h→0+
= 0
= 0
3
2
2
3 (−k + h + k) − 0
3
2 2
3h h
2 3
h
3
2 √
h
Hermed er det vist, at funktionerne er differentiable i t = −k. Dermed giver
sammensætningen af løsninger i ligning (2.35) uendelig mange løsninger, idet
konstanten k kan vælges arbitrært, og for hvert k f˚as en ny løsning.
Det er ikke i modstrid med eksistens- og entydighedssætning 2.14, at der eksis-
terer flere løsninger, da f(x) = x 1
3 ikke opfylder en lokal Lipschitz-betingelse.
Det skyldes, at følgende ulighed ikke gælder for alle K > 0, hvis x1, x2 er tilpas
1
3
− x ≤ K|x1 − x2|
sm˚a: x 1
3
1
2

2.4 Opsummering 29
Det fremg˚ar ved at sætte x2 = 0, og 0 < |x1| 2 < 1
K 3 :
|x1| 2 < 1
⇒
K3 K 3 |x1| 2 < 1 ⇒
K 3 |x1| 3 < |x1| ⇒
K|x1| < |x 1
3 | ⇒
1
K|x1 − x2| < |x 1
3
1
1
3 − x | (2.36)
Da ulighed 2.36 er en modstrid med ulighed 2.16, opfylder differentialligningen
ikke en lokal Lipschitz-betingelse. Dermed er betingelserne i eksistens- og entydighedssætning
2.14 ikke opfyldt. S˚a selvom dette begyndelsesværdiproblem
har uendelig mange løsninger, er det ikke i modstrid med eksistens- og entydighedssætningen.
2.4 Opsummering
Vi har i dette kapitel behandlet eksistensen og entydigheden af en løsning for
en differentialligning.
Til at starte med blev et metrisk rum defineret, samt hvad der menes fuldstændigheden
af et metrisk rum. Efterfølgende blev Banachs fikspunktssætning
bevist.
Eftersom fokus i denne rapport er eksistens og entydighed, blev eksistens- og
entydighedssætningen bevist. Herefter gennemgik vi nogle eksempler p˚a, hvorn˚ar
det er muligt at anvende eksistens- og entydighedssætningen, og hvorn˚ar det g˚ar
galt.
2

Kapitel 3
Lineære, plane
differentialligningssystemer
3.1 Plane systemer af differentialligninger
Inden vi i dette afsnit g˚ar i dybden med plane, lineære systemer af 1. ordens
autonome differentialligninger, vil vi starte med at definere, hvad der menes med
et plant system. Kapitlet bygger p˚a [HSD04].
Definition 3.1 Et plant system
Et system, som best˚ar af to differentialligninger, kaldes et plant system
af differentialligninger.
Et plant, lineært system af autonome differentialligninger kan skrives p˚a formen:
dx1
dt = ax1 + bx2
dx2
dt = cx1 + dx2
(3.1)
Her er x1, x2 ∈ C, og a, b, c, d ∈ R. Det kan ogs˚a skrives p˚a den kortere matrixform:
x ′ = Ax
Her er
x =
x1
x2
og A =
a b
c d
I resten af rapporten vil vi beskæftige os med plane systemer af autonome
1. ordens differentialligninger. Derfor vil ethvert system af differentialligninger
være et system af denne type, hvis ikke andet er nævnt.
Herunder følger en definition af et flow for et system af differentialligninger.

32
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER
Definition 3.2 Flow
Lad f : R 2 → R 2 og ϕ : R 2 → R 2 være funktioner, hvor f er differentiabel,
og f ′ er kontinuert.
Lad x(t) være løsningen med x(t0) = x0 til differentialligningssystemet
x ′ = f(x). Da kaldes funktionen ϕ(t, x0) flowet for systemet,
hvis ϕ(t, x0) = x(t) for alle løsninger x.
Herunder følger en definition af en helt særlig type løsninger:
Definition 3.3 Ligevægtspunkt og -løsning
Lad x ′ = f(x) være et system af differentialligninger.
En vektor x ∗ , hvorom det gælder, at f(x ∗ ) = 0 kaldes et ligevægtspunkt
for systemet.
En konstant løsning x(t) ≡ x ∗ til systemet kaldes en ligevægtsløsning.
Til ethvert ligevægtspunkt hører en ligevægtsløsning, og til enhver ligevægtsløsning
hører et ligevægtspunkt.
Følgende sætning omhandler ligevægtspunkter for systemet x ′ = Ax:
Sætning 3.4 Ligevægtspunkter
1. Hvis detA = 0, har x ′ = Ax origo som et entydigt ligevægtspunkt.
2. Hvis A = [ 0 0
0 0 ], har x′ = Ax samtlige vektorer i R2 som ligevægtspunkter.
3. Hvis detA = 0, og A = [ 0 0
0 0 ], har x′ = Ax en ret linie gennem
origo best˚aende af ligevægtspunkter.
Bevis. Betragt x ′ = Ax. Eftersom en ligevægtsløsning x(t) ≡ x ∗ i henhold
til definition 3.3 er defineret ved, at Ax ∗ = 0, gælder følgende biimplikation:
x(t) ≡ x ∗ ⇔ Ax ∗ = 0
Punkt 1:
Antag, at detA = 0. Dermed er der kun én løsning til Ax ∗ = 0:
x ∗ = A −1 0 = 0
Heraf fremg˚ar det, at den entydige løsning er x(t) ≡ x∗ = 0.
Punkt 2:
Antag, at A = [ 0 0
0 0 ]. Dermed gælder, at Ax∗ = 0 for alle x∗ ∈ R2 .
Punkt 3:
Antag, at detA = 0, og at A = [ 0 0
0 0 ]. Det betyder, at rækkerne er lineært
afhængige:
a b a b
A = ∼
ka kb 0 0

3.1 Plane systemer af differentialligninger 33
Her er k ∈ Z, og a, b ∈ R, hvorom der gælder, at a = 0 ∨ b = 0, idet A = [ 0 0
0 0 ].
I det følgende antages, at a = 0. Argumentet følger analogt, hvis b = 0.
Lad x∗ ∗
x
= . Dermed f˚as, at
1
x ∗
2
Eftersom a = 0, f˚as at
Ax ∗ = 0 ⇔ ax ∗ 1 + bx ∗ 2 = 0
x ∗ 1 = − b
a x∗ 2
Dette er en ret linie igennem origo.
Hermed er sætningen bevist.
Vi vil herefter behandle, hvorledes det er muligt at finde løsninger til et system
x ′ = Ax, hvor matricen A opfylder visse betingelser. I forbindelse hermed er det
nødvendigt med nogle sætninger.
Den følgende sætning omhandler en bestemt løsning til x ′ = Ax:
Sætning 3.5 En løsning til x ′ = Ax
Lad A være en matrix, som har en egenværdi λ ∈ R med tilhørende
egenvektor v ∈ R 2 . S˚a har systemet x ′ = Ax løsningen x(t) = ve λt .
Bevis. Det bevises ved indsættelse, at x(t) = ve λt er en løsning til
Funktionen x(t) differentieres:
x ′ = Ax
dx
dt = λveλt = Ave λt = Ax(t)
Dermed er sætningen bevist.
Den følgende sætning viser, at linearkombinationen af to løsninger til x ′ = Ax
ogs˚a er en løsning:
Sætning 3.6 Sammensætning af løsninger
Lad x1, x2 ∈ R n være løsninger til x ′ = Ax, s˚a er følgende ogs˚a en
løsning:
x(t) = k1x1(t) + k2x2(t), k1, k2 ∈ R
Bevis. Antag, at x1 og x2 er løsninger til x ′ = Ax. Dermed gælder, at
x ′ 1(t) = Ax1(t)
x ′ 2(t) = Ax2(t)
(3.2)

34
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER
Det bevises ved indsættelse i x ′ = Ax, at x(t) = k1x1 + k2x2 er en løsning.
Først indsættes x(t) p˚a venstresiden:
Dernæst indsættes x(t) p˚a højresiden:
x ′ (t) = k1x ′ 1(t) + k2x ′ 2(t)
Ax(t) = A k1x1(t) + k2x2(t)
= k1Ax1(t) + k2Ax2(t) (3.3)
= k1x ′ 1(t) + k2x ′ 2(t) (3.4)
For at komme fra ligning (3.3) til ligning (3.4) benyttes ligningerne (3.2).
Hermed er det bevist, at x(t) er en løsning.
Herunder følger en sætning omhandlende løsningsmængden til x ′ = Ax [Cor06]:
Sætning 3.7 Løsningsmængden til x ′ = Ax I
Lad A være en (2 × 2)-matrix med én egenværdi λ1 ∈ C, og lad v ∈ C 2
være den tilhørende egenvektorer.
Løsningsmængden til differentialligningssystemet x ′ = Ax er s˚aledes
givet ved:
LA = x(t) x ′ = Ax
= k1(t)e λ1t v + k2e λ2t u | k1 : R → C, k2, λ2 ∈ C, u ∈ C 2
Her er u ortogonal p˚a v.
Bevis. I systemet x ′ = Ax har matricen A ifølge sætning 5.10 i [Axl97]
mindst en egenværdi λ1 ∈ C med den tilhørende egenvektor v = [ v1
v2 ] ∈ C2 .
Sætning 5.10 gælder, eftersom A er en lineær operator fra C 2 til C 2 . Idet v er
en egenvektor, gælder at v = 0. Derfor er det muligt at lade v betegne den
normaliserede egenvektor. S˚aledes gælder
Lad u være vektoren [ −v2
v1
bestemme, at v = [ a+bi
c+di
||v|| 2 = v1v1 + v2v2 = 1.
]. Ved at beregne det indre produkt er det muligt at
] er lineært uafhængige:
] og u = [ −c+di
a−bi
〈u, v〉 =(a + bi)(−c + di) + (c + di)(a − bi)
=(a + bi)(−c − di) + (c + di)(a + bi)
= − ac + bd + i(−bc − ad) + ac − bd + i(bc + ad)
= − i(bc + ad) + i(bc + ad)
=0
Da 〈u, v〉 = 0, er vektorerne ortogonale. Normen af u og v er 1. Dermed udgør v
og u en ortonormal liste. Eftersom vektorerne i enhver ortonormal liste i henhold
til sætning 6.16 i [Axl97] er lineært uafhængige, er u og v lineært uafhængige.
De udgør derfor en ortonormalbasis i C 2 .

3.1 Plane systemer af differentialligninger 35
Det er for et givet t dermed muligt at finde komplekse tal ξ(t), µ(t) ∈ C, s˚aledes
x(t) kan skrives som en linearkombination af v og u:
x(t) = ξ(t)v + µ(t)u (3.5)
Da v og u udgør en ortonormalbasis, kan begyndelsesværdien ξ(t0) bestemmes
ved at beregne det indre produkt mellem x(t0) og v. Vektoren x(t0) er ifølge
ligning (3.5) givet ved:
x(t0) = ξ(t0)v + µ(t0)u
Det indre produkt bliver derfor:
〈x(t0), v〉 = ξ(t0)〈v, v〉 + µ(t0)〈u, v〉
Da ||v|| 2 = 1, og der gælder, at 〈v, v〉 = ||v||, er 〈v, v〉 = 1. Eftersom der
desuden gælder, at 〈u, v〉 = 0 f˚as:
ξ(t0)〈v, v〉 + µ(t0)〈u, v〉 = ξ(t0)
Da det er muligt at vise, at 〈v, u〉 = 0, kan begyndelsesværdien µ(0) bestemmes
p˚a samme m˚ade:
〈x(t0), u〉 = ξ(t0)〈v, u〉 + µ(t0)〈u, u〉 = µ(t0)
Idet x(t0) = [ x0
y0 ] kan begyndelsesværdierne skrives som:
ξ(t0) = 〈[ x0
y0 ] , [ v1
v2 ]〉 = x0v1 + y0v2
µ(t0) = 〈[ x0
y0 ] , −v2
v1
〉 = −x0v2 + y0v1
(3.6)
ξ(t) og µ(t) er projektioner af den differentiable funktion x(t) p˚a span{v} og
span{u} med tilhørende transformationsmatricer [ 1 0
0 0 ] og [ 0 0
0 1 ]. Dvs. at de begge
er differentiable. Derfor er det muligt at differentiere ligning (3.5):
Desuden haves, at
Dermed f˚as, at
x ′ (t) = ξ ′ (t)v + µ ′ (t)u
x ′ (t) = Ax(t)
= A(ξ(t)v + µ(t)u)
= ξ(t)Av + µ(t)Au
= ξ(t)λ1v + µ(t)Au
ξ ′ (t)v + µ ′ (t)u = ξ(t)λ1v + µ(t)Au. (3.7)
Vektoren Au kan skrives som en linearkombination af v og u p˚a følgende m˚ade:
Au = 〈Au, v〉v + 〈Au, u〉u
Lad nu c = 〈Au, v〉 og λ2 = 〈Au, u〉, s˚a kan ligning (3.7) skrives som

36
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER
ξ ′ (t)v + µ ′ (t)u = ξ(t)λ1v + µ(t)Au
= ξ(t)λ1v + µ(t)(cv + λ2u)
= ξ(t)λ1v + µ(t)cv + µ(t)λ2u
= ξ(t)λ1 + µ(t)c v + µ(t)λ2u
Derfor m˚a følgende gælde med de begyndelsesværdier fastsat i ligningerne (3.6):
ξ ′ (t) = λ1ξ(t) + cµ(t) (3.8)
µ ′ (t) = λ2µ(t) (3.9)
Bestemmelsen af µ(t)
Ifølge sætning 1.4 er det muligt at bestemme µ(t) ved løsning af ligning (3.9).
Entydigheden af løsning µ(t) følger af sætning 1.4. Lad ϕ(t) være bestemt ved:
S˚a er
ϕ(t) = e −λ2(t−t0) µ(t). (3.10)
ϕ ′ (t) = −λ2e −λ2(t−t0) µ(t) + e −λ2(t−t0) µ ′ (t)
= −λ2e −λ2(t−t0) µ(t) + e −λ2(t−t0) λ2µ(t)
= 0
Dette betyder, at ϕ er en konstant funktion. Ved at indsætte t0 i ligning (3.10)
f˚as, at ϕ(t0) = µ(t0). Da ϕ er konstant, betyder dette at ϕ(t) ≡ µ(t0). S˚aledes
f˚as, at
ϕ(t) = e −λ2(t−t0) µ(t) ⇔ µ(t) = µ(t0)e λ2(t−t0)
Bestemmelsen af ξ(t)
Da µ(t) er bestemt, kan ligning (3.8) omskrives til ξ ′ (t) = λ1ξ(t)+cµ(t0)e λ2(t−t0) .
Denne ligning løses med ξ(t0) som begyndelsesværdi. Lad ψ(t) være ψ(t) =
e −λ1(t−t0) ξ(t), s˚a er
ψ ′ (t) = −λ1e −λ1(t−t0) ξ(t) + e −λ1(t−t0) ξ ′ (t)
= −λ1e −λ1(t−t0) ξ(t) + e −λ1(t−t0) λ1ξ(t) + cµ(t0)e λ2(t−t0)
= cµ(t0)e −(λ1−λ2)(t−t0)
Ifølge definitionen er ψ(t0) = ξ(t0). Ved at bruge Analysens Hovedsætning (sætning
5.28(ii) i [Wad04]) f˚as
t
ψ(t) = ψ(t0) + ψ ′ (s)ds
Nu er ψ(t) bestemt for
t0
t
= ξ(t0) + ψ ′ (s)ds
t0
t
= ξ(t0) + cµ(t0)e −(λ1−λ2)(s−t0) ds
t0
t
= ξ(t0) + cµ(t0) e (λ2−λ1)(s−t0) ds
t0

3.1 Plane systemer af differentialligninger 37
• λ1 = λ2:
• λ1 = λ2:
ψ(t) = ξ(t0) + cµ(t0)(t − t0)
ψ(t) = ξ(t0) + cµ(t0) e(λ2−λ1)(t−t0)
λ2 − λ1
S˚aledes er ξ(t) ogs˚a bestemt, da ξ(t) = e λ1(t−t0) ψ(t). Nu kan løsningen i ligning
(3.5) skrives som
x(t) = ψ(t)e λ1(t−t0) v + µ(t0)e λ2(t−t0) u
Dermed er det nu vist, at der eksisterer løsninger til ligningssystemer af typen
x ′ = Ax, og de kan skrives p˚a formen:
x(t) = k1(t)e λ1t v + k2e λ2t u, k1 : R → C, k2 ∈ C
Dermed er sætningen bevist.
Her følger endnu en sætning om løsningsmængden til x ′ = Ax:
Sætning 3.8 Løsningsmængde til x ′ = Ax II
Lad x1(t) og x2(t) være globale, lineært uafhængige løsninger til x ′ =
Ax. Da er løsningsmængden til x ′ = Ax givet ved:
LA = k1x1(t) + k2x2(t) k1, k2 ∈ R
(3.11)
Bevis. Idet f(x) = Ax er kontinuert og i henhold til sætning 2.12 opfylder
en lokal Lipschitz-betingelse, gælder eksistens- og entydighedssætning 2.14 for
systemet. Dermed f˚as, at der eksisterer en entydig, lokal løsning x(t), hvor
t ∈]t0 − h, t0 + h[ for h > 0, som opfylder x(t0) = x0.
Eftersom x1(t) og x2(t) er lineært uafhængige, er det muligt at vælge k1, k2 ∈ R,
s˚a
k1x1(t0) + k2x2(t0) = x0
Af samme ˚arsag er det muligt at vælge k ′ 1, k ′ 2 ∈ R, s˚a følgende er en løsning til
x ′ = Ax med x(t0) = x0:
u(t) = k ′ 1x1(t) + k ′ 2x2(t)
Da x1(t) og x2(t) er globale løsninger, er u(t) ogs˚a global. S˚aledes er denne
løsning ogs˚a defineret for t ∈]t0 − h, t0 + h[. I henhold til eksistens- og entydighedssætning
2.14 er løsningen entydig, s˚a
x(t) = u(t) = k ′ 1x1(t) + k ′ 2x2(t)
Dermed er løsningen p˚a formen angivet i mængde (3.11).

38
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER
3.2 Systemer med kanoniske matricer
Indtil videre har vi beskæftiget os med systemet x ′ = Ax, hvor A har været en
generel matrix. I dette afsnit vil vi udlede den generelle løsning til dette system,
n˚ar A er p˚a kanonisk form, dvs. A er en af følgende matricer:
λ1 0
0 λ2
,
3.2.1 Reelle egenværdier
α
β
−β α
eller
λ 1
0 λ
Vi vil her se p˚a det tilfælde, hvor matricen A har to forskellige reelle egenværdier
λ1 < λ2. Det forudsættes i første omgang at λi = 0 for i = 1, 2. Sæt
λ1 0
A =
0 λ2
For at tjekke at λ1 og λ2 er egenværdier, løses ligningen det(A − λI) = 0:
det(A − λI) = 0 ⇔
λ1
− λ 0
0 λ2 − λ
= 0 ⇔
(λ − λ1)(λ − λ2) − 0 = 0
Dette betyder, at λ1 og λ2 er egenværdier. For at finde de tilhørende egenvektorer,
indsættes de fundne egenværdier i det(A − λI) = 0. Først bestemmes
egenvektoren hørende til egenværdien λ1:
Eλ1 (A) = null(A − λ1I)
λ1 − λ1 0
= null
0 λ2 − λ1
0 λ2 − λ1 0 1
= null
= null
0 0
0 0
1
= span
0
Herefter bestemmes egenvektoren hørende til egenværdien λ2:
λ1 − λ2 0
Eλ2(A) = null(A − λ2I) = null
0 λ2 − λ2
λ1 − λ2 0 1 0
= null
= null
0 0 0 0
0
= span
1
0 0
= null
0 λ2 − λ1
Den generelle løsning x(t) bliver ifølge sætning 3.5 og sætning 3.8
x(t) = k1e λ1t
1
+ k2e
0
λ2t
0
, k1, k2 ∈ R (3.12)
1
Faseportrættets udseende for x ′ = Ax afhænger af fortegnene p˚a de to egenværdier.
Eftersom λ1 < λ2, bliver der tre tilfælde at undersøge:

3.2 Systemer med kanoniske matricer 39
1. λ1 < 0 < λ2
2. λ1 < λ2 < 0
3. 0 < λ1 < λ2
Det er forudsat, at λi = 0 for i = 1, 2, hvilket umuliggør, at detA = 0. Ifølge
sætning 3.4 er origo derfor det eneste ligevægtspunkt.
Tilfælde 1
N˚ar k2 = 0 i ligning (3.12) f˚as løsninger p˚a formen:
x(t) = k1e λ1t
1
0
Disse løsninger vil ligge p˚a x-aksen, da de er multipla af vektoren [ 1 0 ]. Eftersom
λ1 < 0, vil løsningerne nærme sig origo, n˚ar t → ∞. Dette skyldes, at n˚ar a < 0,
er limt→∞ eat = 0. I dette tilfælde kaldes x-aksen den stabile akse.
Hvis k1 = 0 i ligning (3.12), vil løsningerne være p˚a formen:
x(t) = k2e λ2t
0
1
Her er løsningerne multipla af vektoren [ 0 1 ], hvilket medfører, at de ligger p˚a yaksen.
Da λ2 > 0, vil løsningerne fjerne sig fra origo, n˚ar t → ∞. Dette skyldes,
at n˚ar a > 0, s˚a er limt→∞ eat = ∞. I dette tilfælde kaldes y-aksen den ustabile
akse.
S˚afremt k1, k2 = 0, vil x(t) nærme sig
0 λ2t
k2 e , n˚ar t → ∞. Dette betyder, at
alle andre løsninger end ligevægtsløsningen, samt de to, som ligger p˚a akserne,
g˚ar mod ∞ i retning af den ustabile akse, n˚ar t → ∞.
Et faseportræt for et plant system er et koordinatsystem med x1 og x2 afbildet
ud af akserne, hvori repræsentative løsninger indtegnes. Faseportrættet for dette
system er vist p˚a figur 3.1. Ligevægtspunktet (0, 0) kaldes i dette tilfælde et
sadelpunkt.
Figur 3.1: Faseportræt af et sadelpunkt

40
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER
Tilfælde 2
Vi betragter nu tilfældet, hvor λ1 < λ2 < 0. Hvis k2 = 0 i ligning (3.12), kommer
løsningerne til at være p˚a samme form som i det første tilfælde. Dvs. at de ligger
p˚a x-aksen, og at de nærmer sig origo, n˚ar t → ∞.
S˚afremt k1 = 0, vil løsningerne p˚a samme m˚ade som i tilfælde 1 ligge p˚a y-aksen.
De vil imidlertid nærme sig origo, n˚ar t → ∞, da λ2 er negativ.
Det følger heraf, at samtlige løsninger vil nærme sig origo, n˚ar t → ∞. For at
bestemme hvorledes de nærmer sig origo, beregnes hældningen dy
dx af en løsning.
En forudsætning herfor er imidlertid, at k2 = 0.
dy dy/dt
=
dx dx/dt
= λ2k2e λ2t
λ1k1e
λ2k2
= λ1t
λ1k1
e λ2−λ1t
I starten blev det antaget, at λ1 < λ2 < 0. Derfor er λ2 − λ1 > 0. Det følger
heraf, at dy
dx → ±∞, n˚ar t → ∞. Dette betyder, at løsningerne nærmer sig origo
med y-aksen som tangent.
Dette er skildret i figur 3.2. Ligevægtspunktet kaldes her et dræn.
Figur 3.2: Faseportræt af et dræn
Tilfælde 3
Til slut ser vi p˚a det tilfælde, hvor 0 < λ1 < λ2. Hvis k2 = 0 i (3.12), vil
løsningerne ligge p˚a x-aksen. Eftersom λ1 er positiv, vil løsningerne fjerne sig
fra origo, n˚ar t → ∞.
P˚a samme m˚ade vil løsningerne ligge p˚a y-aksen og fjerne sig fra origo, n˚ar
t → ∞, hvis k1 = 0, da λ2 > 0.
Samtlige løsninger vil derfor fjerne sig fra origo, n˚ar t → ∞. Eftersom der ogs˚a
i dette tilfælde gælder, at λ2 − λ1 > 0, vil hældningen for disse løsninger ogs˚a
g˚a mod ±∞, n˚ar t → ∞. Løsningerne fjerner sig dermed fra origo med y-aksen
som tangent.
P˚a figur 3.3 er faseportrættet for dette system vist. Ligevægtspunktet kaldes i
dette tilfælde en kilde.

3.2 Systemer med kanoniske matricer 41
Figur 3.3: Faseportræt af en kilde
Nul som egenværdi
I begyndelsen af afsnittet forudsatte vi, at λi = 0 for i = 1, 2, fordi det medfører,
at origo er det eneste ligevægtspunkt, jf. sætning 3.4. Ud fra sætningen f˚as ogs˚a,
at hvis én af egenværdierne er 0, f˚as en ret linie gennem origo best˚aende af
ligevægtspunkter.
Hvis λ1 = 0, bliver den rette linie af ligevægtspunkter i faseportrættet x-aksen,
eftersom vektorerne, der ligger p˚a denne akse, ved indsættelse i x ′ = Ax giver
x ′ = 0. De andre løsninger vil nærme sig denne akse, hvis λ2 < 0, eller fjerne
sig, hvis λ2 > 0. Disse løsninger vil altid bevæge sig lodret, eftersom x ′ (t) = 0
for alle t ∈ R.
S˚afremt λ1, λ2 = 0, er samtlige vektorer i R 2 ligevægtspunkter, jf. sætning 3.4.
3.2.2 Komplekse egenværdier
Vi vil i dette afsnit udlede den generelle løsning til systemet x ′ = Ax, hvor
α β
A =
−β α
Her er α ∈ C og β ∈ C \ {0}.
For at udlede den generelle løsning til x ′ = Ax bestemmes først den karakteristiske
ligning:
det(A − λI) = 0 ⇒
α − λ β
det
= 0 ⇒
−β α − λ
(α − λ)(α − λ) − β(−β) = 0 ⇒
λ 2 − 2αλ + α 2 + β 2 = 0 (3.13)
For at finde egenværdierne hørende til matricen A bestemmes rødderne i ligning

42
(3.13):
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER
λ = −(−2α) ± (−2α) 2 − 4(α 2 + β 2 )
= α ± 1
2
= α ± 1√
−4 β2 2
2
4α 2 − 4α 2 − 4β 2
= α ± 1
2 · 2i β 2
= α ± iβ (3.14)
Dermed er λ1 = α + iβ og λ2 = α − iβ egenværdierne.
Herefter bestemmes mængden Eλ1 (A), best˚aende af egenvektorerne hørende til
λ1:
Eλ1(A) = null(A − λ1I)
α − (α + iβ) β
= null
−β α − (α + iβ)
−iβ β
= null
−β −iβ
β iβ
= null
−β −iβ
β iβ
= null
0 0
1
= span
i
Dvs. [ 1 i ] er en egenvektor til egenværdien λ1. Ifølge sætning 3.7 er følgende en
løsning til systemet x ′ = Ax:
x(t) = e (α+iβ)t
1
= e
i
αt e iβt
1
i
Ligning (3.15) kan omskrives ved hjælp af Eulers formel [Wik]:
Dermed f˚as
e ix = cos(x) + i sin(x)
x(t) = e αt cos(βt) + i sin(βt)
1
i
= e αt
cos(βt) + i sin(βt)
− sin(βt) + i cos(βt)
= e αt
cos(βt)
+ ie
− sin(βt)
αt
sin(βt)
cos(βt)
= xRe + ixIm
Inden vi g˚ar videre, har vi brug for et lemma [Jen00]:
(3.15)

3.2 Systemer med kanoniske matricer 43
Lemma 3.9 Reelle løsninger fra en kompleks løsning
Hvis v(t) = vRe(t) + ivIm(t) er en kompleks løsning til x ′ = Ax, s˚a er
vRe(t) og vIm(t) reelle løsninger til systemet.
Bevis. Antag, at v(t) = vRe(t) + ivIm(t) er en kompleks løsning til x ′ = Ax.
Dermed gælder, at
v ′ (t) = Av(t) ⇒
v ′ (t)Re + iv ′ (t)Im = AvRe(t) + iAvIm(t) ⇒
v ′ (t)Re = AvRe(t) ∧ v ′ (t)Im = AvIm(t)
Heraf fremg˚ar det, at vRe(t) og vIm(t) opfylder x ′ = Ax, s˚a vRe(t) og vIm(t) er
reelle løsninger.
Fra lemma 3.9 vides dermed, at xRe(t) og xIm(t) er løsninger til x ′ = Ax.
Herefter undersøges om xRe(0) og xIm(0) er lineært uafhængige:
xRe(0) = e 0α
cos(0β) 1
=
− sin(0β) 0
xIm(0) = e 0α
sin(0β) 0
=
cos(0β) 1
Dermed er xRe(0) og xIm(0) lineært uafhængige vektorer. Det betyder, at xRe(t)
og xIm(t) er lineært uafhængige løsninger. Ifølge sætning 3.8 bliver den generelle
løsning s˚aledes følgende:
x(t) = k1e αt
cos(βt)
+ k2e
− sin(βt)
αt
sin(βt)
cos(βt)
(3.16)
Dernæst undersøges faseportrættet for systemet x ′ = Ax, n˚ar den generelle
løsning er p˚a formen angivet i ligning (3.16). Af sætning 3.4 følger, at x ′ = Ax
har et entydigt ligevægtspunkt i origo, idet β = 0 medfører at:
detA = α 2 + β 2 = 0
Betragt først det tilfælde, hvor α = 0. Det giver følgende generelle løsning:
cos(βt) sin(βt)
x(t) = k1
+ k2
− sin(βt) cos(βt)
Eftersom f(x) = cos(x) og g(x) = sin(x) for x ∈ R er periodiske funktioner med
. Samtlige
perioden 2π, er enhver løsning til x ′ = Ax periodisk med perioden 2π
β
løsninger afbildes som cirkler med centrum i origo. For at indse dette bemærkes,
at løsningerne er cirkler i origo, hvis og kun hvis ||x(t) − 0|| 2 = ||x(t)|| 2 = k,
hvor k ∈ R. Dette gør sig gældende i dette tilfælde, hvilket begrundes herunder.
Der gælder, at
cos(βt)
− sin(βt) =
sin(βt)
cos(βt) =
sin(βt) 2 + cos(βt) 2 = 1

44
Desuden gælder, at
cos(βt)
·
− sin(βt)
Heraf fremg˚ar det, at
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER
sin(βt)
= cos(βt) sin(βt) − sin(βt) cos(βt) = 0
cos(βt)
cos(βt)
og
− sin(βt)
sin(βt)
er ortogonale.
cos(βt)
Dermed kan Pythagoras’ sætning 6.3 i [Axl97] benyttes, hvilket giver, at
||x(t)|| 2
=
k1
2
cos(βt)
− sin(βt) +
k2
sin(βt)
cos(βt)
= k 2
2
cos(βt)
1
− sin(βt) + k 2
sin(βt)
2
cos(βt)
= k 2 1 + k 2 2
Heraf fremg˚ar det, at ||x(t)|| 2 er konstant. Det betyder, at løsningerne afbildes
som cirkler med centrum i origo. I dette tilfælde kaldes ligevægtspunktet for et
center, jf. figur 3.4.
Figur 3.4: Faseportræt af et center
Herefter undersøges faseportrættet i det tilfælde, hvor α > 0. Da vil
limt→∞ e αt = ∞, s˚a i stedet for at være cirkler spiralerer løsningskurverne væk
fra origo, se figur 3.5. I dette tilfælde kaldes ligevægtspunktet for en spiralkilde.
Hvis α < 0, er limt→∞ e αt = 0, hvilket betyder, at løsningskurverne spiralerer
ind mod origo, jf. figur 3.6. I denne situation kaldes ligevægtspunktet for et
spiraldræn.
2
2

3.2 Systemer med kanoniske matricer 45
Figur 3.5: Spiralkilde Figur 3.6: Spiraldræn
3.2.3 Gentagen egenværdi
I dette afsnit vil vi udlede den generelle løsning til systemet x ′ = Ax, hvor
matricen A har én reel egenværdi med algebraisk multiplicitet 2. Først behandles
det tilfælde, hvor
A =
λ 0
0 λ
Her er λ ∈ R. Til at starte med beregnes den karakteristiske ligning for at tjekke,
at λ er en egenværdi med algebraisk multiplicitet 2:
det(A − λ1I) = 0 ⇔
λ − λ1 0
= 0 ⇔
0 λ − λ1
(λ − λ1)(λ − λ1) = 0
Heraf ses, at λ er en egenværdi med algebraisk multiplicitet 2. Ved at indsætte
λ i den karakteristiske ligning f˚as egenvektorerne:
Eλ(A) = null(A − λI)
λ − λ 0
= null
0 λ − λ
0 0
= null
0 0
Ud fra dette fremg˚ar det, at enhver vektor v ∈ R 2 \{0} er en egenvektor. Dermed
er den generelle løsning ifølge sætning 3.5 samt eksistens- og entydighedssætning
2.14 givet ved:
x(t) = ke λt v, k ∈ R (3.17)
Lad w1, w2 ∈ R 2 være to lineært uafhængige vektorer, og sæt
kv = k1w1 + k2w2

46
Da kan ligning (3.17) ogs˚a skrives som
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER
x(t) = k1e λt w1 + k2e λt w2, k1, k2 ∈ R
Samtlige løsninger er rette linier igennem origo, eftersom de er multipla af vektoren
v, jf. ligning (3.17). Løsningerne bevæger sig mod origo, hvis λ < 0, og
væk fra origo, s˚afremt λ > 0.
Herefter behandler vi det tilfælde, hvor
A =
λ 1
0 λ
Ved at foretage de samme udregninger som før f˚as, at λ er en egenværdi med
algebraisk multiplicitet 2. Herefter beregnes egenvektorerne:
Eλ(A) = null(A − λI)
λ − λ 1
= null
0 λ − λ
0 1
= null
0 0
1
= span
0
Heraf fremg˚ar det, at egenrummet hørende til λ har dimension 1. Derfor kan
der kun vælges én lineært uafhængig egenvektor, som f.eks. kan være [ 1 0 ]. Det
giver følgende løsning:
x(t) = k1e λt
1
, k1 ∈ R
0
Denne løsning er en ret linje igennem origo, idet den er multipla af vektoren [ 1 0 ].
For at finde andre løsninger omskrives x ′ = Ax til følgende, hvor x(t) =
Fra sætning 1.4 f˚as, at
x ′ 1 = λx1 + x2
x ′ 2 = λx2
x2(t) = k2e λt , k2 ∈ R
Derfor kan ligning (3.18) omskrives til følgende:
x ′ 1 = λx1 + k2e λt
Den tilhørende homogene differentialligning er
x ′ 1 = λx1
x1(t)
x2(t)
:
(3.18)
(3.19)
Denne differentialligning har ifølge sætning 1.4 den fuldstændige løsning
x1(t) = k3e λt , hvor k3 ∈ R. Dermed er følgende et kvalificeret gæt p˚a den
fuldstændige løsning til differentialligning (3.19) ifølge [CR05]:
x1(t) = k3e λt + k4te λt , k4 ∈ R

3.2 Systemer med kanoniske matricer 47
Dette udtryk differentieres:
x ′ 1(t) = k3λe λt λt λt
+ k4 e + λte
Det differentierede udtryk og gættet indsættes i differentialligning (3.19):
k3λe λt + k4
e λt + λte λt = λ k3e λt + k4te λt + k2e λt ⇔
x2
k4e λt = k2e λt
Heraf ses, at k2 = k4, og at k3 er arbitrær.
Dermed bliver en løsning til x ′ = Ax:
x1
x = = k3e λt
1
+ k2e
0
λt
t
1
(3.20)
Dette er den generelle løsning, hvilket følger af eksistens- og entydighedssætning
2.14.
Herefter undersøger vi, hvorledes faseportrættet kommer til at se ud. Hvis λ < 0
gælder, at
lim
t→∞ k3e λt = 0
lim
t→∞ k2e λt = 0
For at finde grænseværdien for k2te λt , n˚ar t → ∞, omskrives udtrykket:
k2te λt = t
1
k2e λt
(3.21)
Ved at opfatte udtrykket p˚a højresiden af ligning (3.21) som en kvotient mellem
to funktioner, kan l’Hôpital’s regel bruges [Wad04]. Sæt derfor
Heraf fremg˚ar det, at
f(x) = t og g(x) = 1
k2e λt
lim f(x) = ∞
t→∞
lim g(x) = ∞
t→∞
Dermed kan l’Hôpital’s regel bruges, hvilket gør det muligt at tage grænseværdien
af kvotienten mellem f ′ (x) og g ′ (x) i stedet for grænseværdien af kvotienten
mellem f(x) og g(x). Inden reglen anvendes, differentieres f(x) og g(x):
S˚aledes f˚as, at
f ′ (x) = 1
g ′
1
(x) =
e
k2
−λt
′
= 1
(−λ)e
k2
−λt = −λ
k2eλt lim
t→∞ k2te λt f(x) f
= lim = lim
t→∞ g(x) t→∞
′ (x)
g ′ = lim
(x) t→∞
− 1
λt
k2e = 0
λ

48
Det resulterer i, at
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER
lim
t→∞
λt 1 0
k3e =
0 0
t 0
=
1 0
λt
lim k2e
t→∞
Dermed g˚ar alle løsninger mod origo, n˚ar t → ∞. Omvendt vil samtlige løsninger
fjerne sig fra origo for t → ∞, n˚ar λ > 0. Figur 3.7 viser et faseportræt af et
system med gentagen negativ egenværdi.
Figur 3.7: Faseportræt af et system med gentagen negativ egenværdi
3.2.4 Løsning af et vilk˚arligt plant, lineært system
I afsnit 3.2 blev den generelle løsning til x ′ = Ax udledt, hvor A var p˚a kanonisk
form. I dette afsnit vises, hvordan vi ud fra kendskab til den generelle løsning
for et system med en matrix p˚a kanonisk form, kan finde frem til den generelle
løsning for alle systemer repræsenteret af (2×2)-matricer. Til dette skal følgende
definition bruges:
Definition 3.10 Konjugerede matricer og systemer
En matrix A er konjugeret med en anden matrix B via en invertibel
matrix T , hvis
T −1 AT = B
Et system repræsenteret ved A siges her at være konjugeret med systemet
repræsenteret ved B.
Det viser sig, at løsninger til systemer repræsenteret af to konjugerede matricer
har en direkte sammenhæng. Sammenhængen beskrives i formelle termer i følgende
sætning:

3.2 Systemer med kanoniske matricer 49
Sætning 3.11 Løsninger til konjugerede systemer
Lad T være en invertibel matrix. Betragt det lineære differentialligningssystem
y ′ = (T −1 AT )y
Lad y(t) være en løsning til systemet, s˚a er T y(t) en løsning til x ′ = Ax.
Bevis. Antag, at y(t) er en løsning til y ′ = (T −1 AT )y, hvor T er en invertibel
matrix, s˚a gælder, at:
(T y(t)) ′ = T y ′ (t) = T (T −1 AT )y(t) = A(T y(t))
Det første lighedstegn skyldes, at differentiation er en lineær operation, jf. sætning
4.10 i [Wad04]. Hermed er det ønskede bevist.
Sætning 3.11 betyder, at hvis der eksisterer en invertibel matrix, s˚a et givent system
repræsenteret af matricen B er konjugeret med et andet system repræsenteret
af matricen A, hvis generelle løsning kendes, kan den generelle løsning til
systemet x ′ = Bx findes.
3.2.5 Den invertible matrix
I det følgende vil vi gennemg˚a, hvorledes det altid er muligt at finde en invertibel
matrix, s˚a en vilk˚arlig matrix kan konjugeres med et system, som har en generel
løsning, der er kendt. Fremgangsm˚aden er delt op i tre tilfælde afhængig af,
hvilken af de følgende tre kategorier egenværdierne for matricen tilhører:
• Reelle og forskellige egenværdier
• Komplekse egenværdier
•
Én egenværdi med algebraisk multiplicitet 2.
Vi vil herunder gennemg˚a hvert tilfælde.
Reelle og forskellige egenværdier
Lad A være en matrix med to reelle egenværdier λ1 og λ2, hvor λ1 = λ2, med
tilhørende egenvektorer v1 og v2. Lad endvidere T være den matrix, som har
søjlerne v1 og v2, dvs. T =
v1 v2 . S˚aledes gælder, at
T e1 = v1 ⇒ T −1 v1 = e1
T e2 = v2 ⇒ T −1 v2 = e2
Her angiver e1 og e2 vektorerne i standardbasen i R 2 .
Dermed gælder følgende:
(T −1 AT )ei = T −1 Avi = T −1 (λivi) = λiT −1 vi = λiei, hvor i = 1, 2.
Det betyder, at
T −1
λ1 0
AT =
0 λ2

50
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER
Systemet x ′ = T −1 AT x kan anskues, som et system af to ikke-koblede, lineære
differentialligninger. Den generelle løsning til dette system blev udledt i afsnit
3.2.1. N˚ar den generelle løsning x(t) til systemet er fundet, vil T x(t) være den
generelle løsning til y ′ = Ay, jf. sætning (3.11).
Komplekse egenværdier
Lad A være en matrix med den komplekse egenværdi α + iβ, hvor β = 0. Lad
v1 + iv2 være den tilhørende egenvektor, hvor v1, v2 ∈ R 2 . Ligesom i tilfældet
med de reelle egenværdier betegner T den matrix, som har søjlerne v1 og v2.
For at T har en invers matrix, skal v1 og v2 være lineært uafhængige, jf. sætning
8 i afsnit 2.3 i [Lay03]. Det vises herunder, at hvis v1 og v2 er lineært afhængige
fører det til en modstrid:
Lad v1 og v2 være lineært afhængige, og lad v2 = 0. Det sidste er muligt at
antage, eftersom v1 = 0 = v2 ikke er muligt, idet v1 + iv2 er en egenvektor, og
en egenvektor skal være forskellig fra nulvektoren. Dermed eksisterer k ∈ R, s˚a
v1 = kv2. Idet v1 + iv2 er en egenvektor og α + iβ en egenværdi, gælder at
A(v1 + iv2) = (α + iβ)(v1 + iv2) = (α + iβ)(kv2 + iv2) = (α + iβ)(k + i)v2
P˚a den anden side gælder det ogs˚a, at
Derfor m˚a
A(v1 + iv2) = Av1 + iAv2 = (k + i)Av2
(α + iβ)v2 = Av2
(3.22)
Men dette er en modstrid, eftersom venstresiden i ligning (3.22) er en kompleks
vektor, idet β = 0, mens højresiden er en reel vektor.
Dermed er det vist, at T er invertibel. Herunder vil vi finde elementerne i matricen
T −1 AT .
Idet v1 + iv2 er en egenvektor med egenværdien α + iβ, s˚a gælder, at
A(v1 + iv2) = (α + iβ)(v1 + iv2) = αv1 − βv2 + i(βv1 + αv2) (3.23)
Eftersom to komplekse tal er lig med hinanden, hvis og kun hvis deres realdel
og imaginære del er ens, kan ligning (3.23) deles op i to:
Av1 = αv1 − βv2
Av2 = βv1 + αv2
Da T har v1 og v2 som søjler, gælder at
T e1 = v1 og T e2 = v2
Nu kan elementerne i T −1 AT beregnes. Første søjle giver
(T −1 AT )e1 = T −1 Av1 = T −1 (αv1 − βv2) = αT −1 v1 − βT −1 v2 = αe1 − βe2
Anden søjle i T −1 AT beregnes p˚a tilsvarende m˚ade:
(T −1 AT )e2 = T −1 Av2 = T −1 (βv1 + αv2) = βT −1 v1 + αT −1 v2 = βe1 + αe2

3.2 Systemer med kanoniske matricer 51
Dermed f˚as, at
T −1 AT =
α β
.
−β α
Den generelle løsning til systemet x ′ = T −1 AT x blev udledt i afsnit 3.2.2. Hvis
x(t) er den generelle løsning til systemet, s˚a er T x(t) den generelle løsning til
y ′ = Ay.
Én egenværdi med algebraisk multiplicitet 2
Lad A være en matrix med én reel egenværdi λ. Hvis A har to lineært uafhængige
egenvektorer v1, v2, er A p˚a formen
λ 0
A =
(3.24)
0 λ
Det skyldes, at
Dermed gælder følgende:
Av1 = λv1
Av2 = λv2
∀v ∈ R 2 : v = av1 + bv2, a, b ∈ R ⇒
Av = aλv1 + bλv2 = λ(av1 + bv2) = λv
Heraf fremg˚ar, at alle vektorer p˚a nær nulvektoren er egenvektorer tilhørende
egenværdien λ. Dermed gælder det ogs˚a for e1 og e2, dvs.:
Det betyder, at
Ae1 = λe1
Ae2 = λe2
A =
λ 0
0 λ
Systemet x ′ = Ax er et system af to ikke-koblede, lineære differentialligninger.
Lad x(t) = , da gælder, at
x ′ (t)
y ′ (t)
x ′ (t) = A
x(t)
=
y(t)
λx(t)
λy(t)
Ifølge sætning 1.4 er den generelle løsning til x ′ = Ax givet ved:
k1e
x(t) =
λt
k2eλt
, k1, k2 ∈ R
Antag i stedet, at A har v som egenvektor, og at alle andre egenvektorer er i
span{v}. Lad w være en vilk˚arlig vektor, der er lineært uafhængig af v. Eksistensen
af w følger af, at span{v} = R 2 , eftersom der skal to lineært uafhængige
vektorer til at udspænde R 2 .
Idet v og w udgør en basis gælder, at Aw = k1v + k2w, hvor k1, k2 ∈ R.
Her er k1 = 0, idet w ellers vil være en anden lineært uafhængig egenvektor

52
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER
med tilhørende egenværdi k2, men vi har antaget, at en s˚adan egenvektor ikke
eksisterer.
Hvis k2 − λ = 0, f˚as at
A
w + k1
k2 − λ v
= Aw + k1
k2 − λ Av
= k1v + k2w + k1
k2 − λ λv
= k2w + k1 + λk1
v
k2 − λ
k1(k2 − λ) λk1
= k2w +
+ v
k2 − λ k2 − λ
k1k2 − k1λ + λk1
= k2w +
v
k2 − λ
= k2w + k1k2
k2 − λ v
= k2 w + k1
k2 − λ v
Dermed er k2 en egenværdi, men dette er i modstrid med antagelsen om, at A
kun har én egenværdi. Derfor m˚a k2 = λ. Lad u = 1 w, s˚a er
k1
Au = A 1
w = 1
(k1v + k2w) = v + k2
w = v + λ
w = v + λu
k1
k1
Nu konstrueres T s˚aledes, at T e1 = v, og T e2 = u, dvs.
T = v u
For at bestemme elementerne i T −1 AT beregnes (T −1 AT )e1 og (T −1 AT )e2:
Dermed f˚as, at
k1
(T −1 AT )e1 = T −1 Av = T −1 λv = λe1
(T −1 AT )e2 = T −1 Au = T −1 (v + λu) = e1 + λe2
T −1 AT =
λ 1
0 λ
Den generelle løsning x(t) til et system med denne matrix blev udledt i afsnit
3.2.3, og T x(t) er den generelle løsning til x ′ = Ax.
3.3 Klassifikation
I dette afsnit behandles klassifikation af plane systemer. Vi beskæftiger os med
spor-determinantplanen. Heri kortlægges, hvordan faseportrættet af et system
af differentialligninger ser ud, n˚ar sporet og determinanten af matricen for et
differentialligningssystem er kendt.
En m˚ade at klassificere en plan, lineær differentialligning p˚a er ved hjælp af
en spor-determinantplan, idet egenværdierne for en 2 × 2 matrix er bestemt
k1

3.3 Klassifikation 53
ved dens spor og determinant. For at komme nærmere ind p˚a hvordan en spordeterminantplan
kan benyttes til klassifikation, tages der udgangspunkt i lineære
differentialligninger.
Følgende system af to lineære differentialligninger betragtes:
dx1
dt = ax1 + bx2
dx2
dt = cx1 + dx2
⇒ x ′ = Ax, hvor A =
a b
c d
For at bestemme egenværdierne λ1, λ2 for matricen A løses det karakteristiske
polynomium:
0 = λ 2 − (a + d)λ + (ad − bc) ⇔
0 = λ 2
− (tr A)λ + det A , hvor
tr A =
det A =
a + d
ad − bc ⇔
λ = 1
tr A ±
2
(tr A) 2
− 4 det A
Her angiver tr sporet. Sæt
λ1 = 1
2
λ2 = 1
2
tr A + (tr A) 2
− 4 det A
tr A − (tr A) 2
− 4 det A
(3.25)
Egenværdiernes fortegn afhænger af diskriminanten d = (tr A) 2 − 4 det A i ligning
(3.25). Der er tre forskellige tilfælde:
• d < 0 ⇒ λ1, λ2 ∈ C og Im λ1, Im λ2 = 0
• d = 0 ⇒ λ1, λ2 ∈ R og λ1, λ2 har algebraisk multiplicitet 2
• d > 0 ⇒ λ1, λ2 ∈ R og λ1 = λ2
Figur 3.8 viser spor-determinantplanen med de forskellige typer faseportrætter.

54
T 2 =4D
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER
Figur 3.8: Spor-determinantplanen, hvor T=trA og D=det(A)
3.4 Opsummering
Vi har i dette kapitel bearbejdet plane, lineære systemer af 1.ordens autonome
differentialligninger. Vi har beskæftiget os med, hvorledes et s˚adant system kan
repræsenteres ved hjælp af en (2 × 2)-matrix. Dernæst har vi behandlet ligevægtspunkter
og -løsninger.
I afsnit 3.2 er de tre tilfælde, hvor egenværdierne kan falde ind under, blevet
gennemg˚aet.
Ud fra dette er der blevet opstillet en spor-determinantplan, som viser, hvordan
determinanten og sporet afgører faseportrættets udseende. Teorien gennemg˚aet i
dette kapitel skal benyttes i kapitel 4. I dette kapitel vil vi ved hjælp af linearisering
behandle Lotka-Volterramodellens opførsel omkring dets ligevægtspunkter.
det
tr

Kapitel 4
Linearisering
Vi vil i dette kapitel redegøre for, hvorledes det er muligt at anvende linearisering
til at udtale sig om, hvordan flowet for et ikke-lineært differentialligningssystem
ser ud. Før vi bliver i stand til dette, er vi nødt til at introducere partielle
afledede og medtage en sætning om deres eksistens.
Definition 4.1 Partielle afledede
Lad U være en ˚aben delmængde af R 2 og f : U → R være en funktion.
Den 1. ordens partielle afledte af f i punktet a ∈ U med hensyn til den
j’te variabel xj er givet ved:
∂f
∂xj
f(a + hej) − f(a)
(a) = lim
h→0 h
(4.1)
Vi vil nu definere, hvad det vil sige, at en vektorfunktion er differentiabel:
Definition 4.2 Differentiabilitet af vektorfunktioner
Lad f : R 2 → R 2 .
• Vektorfunktionen f er differentiabel i et punkt a ∈ R 2 , hvis og
kun hvis der findes en ˚aben delmængde V ⊂ R 2 , der indeholder
a, s˚aledes f : V → R2 , og der findes en lineær transformation
→ 0, n˚ar h → 0, er opfyldt for funktionen
T : R 2 → R 2 , s˚a ε(h)
||h||
ε(h) = f(a + h) − f(a) − T (h)
• Vektorfunktionen f er differentiabel p˚a en mængde E, hvis og
kun hvis E = ∅, og f er differentiabel i ethvert punkt i E.
Ifølge sætning 8.15 i [Wad04] kan T ∈ L(R 2 , R 2 ) altid repræsenteres ved hjælp
af en (2 × 2)-matrix. Dermed er vektorfunktionen f differentiabel i et punkt a,

56 KAPITEL 4. LINEARISERING
hvis og kun hvis der eksisterer en matrix B s˚aledes
f(a + h) − f(a) − Bh
lim
= 0 (4.2)
h→0 ||h||
Før vi er i stand til at bevise en sætning vedrørende eksistensen af de partielle
afledede, er vi nødt til at introducere følgende lemma:
Lemma 4.3 Kontinuitet af vektorfunktion
Lad vektorfunktionen f : R 2 → R 2 være givet ved f(x) =
hvor fi : R 2 → R og lad vektoren a best˚a af komponenterne [ a1
a2
gælder, at
lim f(x) = a ⇔ lim fi(x) = ai for i = 1, 2
x→x0
x→x0
f1(x)
f2(x)
]. Der
Bevis.
” ⇒ ”: Antag, at limx→x0 f(x) = a. Af definition 3.1 i [Wad04] gælder, at
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ||x − x0|| < δ ⇒ ||f(x) − a|| < ε
Da ||f(x) − a|| = (f1(x) − a1) 2 + (f2(x) − a2) 2 f˚as:
Heraf følger det, at
||f(x) − a|| = (f1(x) − a1) 2 + (f2(x) − a2) 2 < ε
|f1(x) − a1| = (f1(x) − a1) 2 (4.3)
≤ (f1(x) − a1) 2 + (f2(x) − a2) 2 (4.4)
= ||f(x) − a||
< ε,
Uligheden mellem udtryk (4.3) og udtryk (4.4) følger af, at der lægges noget
positivt til. Tilsvarende argument benyttes for |f2(x) − a2| < ε. Dermed er
limx→x0 fi(x) = ai.
” ⇐ ”: Antag, at limx→x0 fi(x) = ai. Af definition 3.1 i [Wad04] følger, at
∀ε > 0, ∃δi > 0 : ||x − x0|| < δi ⇒ |fi(x) − ai| < ε
, for i = {1, 2}
2
Vælges δ = max{δ1, δ2} f˚as:
||f(x) − a|| = (f1(x) − a1) 2 + (f2(x) − a2) 2
≤ |f1(x) − a1| + |f2(x) − a2|
< ε ε
+ = ε
2 2
For at komme fra den første linie i udregningen til den anden, anvendes lemma
2.11. Hermed er limx→x0 f(x) = a

Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevise en sætning omhandlende, hvorn˚ar de 1.
ordens partielle afledede eksisterer:
Sætning 4.4 Eksistensen af de 1. ordens partielle afledede
Lad f : R 2 → R 2 være en funktion. Hvis f er differentiabel i punktet
a ∈ R 2 , s˚a eksisterer begge 1. ordens partielle afledede af f i a.
Bevis. Lad B være en 2 × 2 matrix, som opfylder ligning (4.2). Lad j = 1, 2
og sæt h = tej. Om vektor h gælder dermed, at
1 t
h = t =
0 0
∨
0 0
h = t =
1 t
Først undersøges det tilfælde, hvor t > 0. N˚ar ||h|| beregnes, er det underordnet,
hvilken af de to vektorer h er. Derfor beregnes den for h = [ t 0 ]:
||h|| = t 2 + 0 2 = |t| = t
Ved at indsætte de fundne udtryk for h og ||h|| i (4.2) f˚as:
f(a + tej) − f(a) − Btej
lim
= 0
t→0+
t
⇔
f(a + tej) − f(a)
lim
− Bej = 0
t→0+ t
⇔
f(a + tej) − f(a)
lim
= Bej
t→0+ t
b1j
N˚ar enhedsvektoren ej ganges p˚a matricen B, f˚as vektoren
sættes i ligning (4.5):
f(a + tej) − f(a)
lim
=
t→0+ t
b1j
b2j
b2j
57
(4.5)
. Dette ind-
For at de partielle afledede eksisterer er det nødvendigt, at grænseværdien bliver
den samme, n˚ar t < 0. N˚ar t < 0, bliver ||h||:
||h|| = t 2 + 0 2 = |t| = −t
||h|| samt h = tej indsættes i ligning (4.2):
f(a + tej) − f(a) − Btej
lim
= 0 ⇔
t→0−
−t
f(a + tej) − f(a)
lim
+ Bej = 0 ⇔
t→0− −t
f(a + tej) − f(a)
− lim
= Bej ⇔
t→0− −t
f(a + tej) − f(a)
lim
= Bej ⇔
t→0− t
f(a + tej) − f(a) b1j
lim
=
t→0− t
b2j

58 KAPITEL 4. LINEARISERING
Grænseværdien er dermed den samme for t > 0 og t < 0:
f(a + tej) − f(a) b1j
lim
=
t→0 t
b2j
Ved at angive vektorfunktionen f komponentvis f˚as:
f1(a + tej) f1(a)
−
f2(a + tej) f2(a)
lim
=
t→0
t
Ifølge lemma 4.3 gælder følgende:
f1(a + tej) − f1(a)
t
= b1j og
b1j
b2j
f2(a + tej) − f2(a)
t
= b2j
Da venstresiden i begge ligninger er lig med den partielle afledede af xj jf.
definition 4.1 f˚as:
∂fi
(a) = bij
∂xj
for i = 1, 2
Matricen B bliver s˚aledes:
⎡
∂f1
(a)
⎢∂x1
⎢
B = ⎢
⎣ ∂f2
(a)
∂x1
⎤
∂f1
(a)
∂x2 ⎥
⎦ ∂f2
(a)
∂x2
Dermed er sætningen bevist.
Hvis de 1. ordens partielle afledede til vektorfunktionen f eksisterer i punktet
a, kaldes matricen B for Jacobimatricen for f i a, og den noteres Df(a). Det
er vigtigt at bemærke, at sætningen ikke gælder den anden vej. Det er derfor
muligt, at Jacobimatricen for en funktion f eksisterer, uden funktionen er
differentiabel.
4.1 Linearisering
Vi vil herunder p˚a basis af [KJ06] redegøre for, hvordan linearisering fungerer.
Vi betragter systemet x ′ = f(x), der skrevet p˚a komponentform ser s˚aledes ud:
x ′ 1 = f1(x1, x2)
x ′ 2 = f2(x1, x2)
Vektorfunktionen f skal være C 2 . Dette defineres herunder:
Definition 4.5 Funktioner i mængden C p
En funktion f af reelle tal er C p , hvis f’s afledte op til p’te orden
eksisterer og er kontinuerte.
(4.6)
Vi lader x ∗ = (x1 ∗ , x2 ∗ ) være et ligevægtspunkt for system (4.6) og betragter
et punkt (x1, x2) tæt p˚a ligevægtspunktet. Ved at Taylorudvikle f1(x1, x2) og

4.1 Linearisering 59
f2(x1, x2) omkring ligevægtspunktet opn˚as en god approksimation af f1(x1, x2)
og f2(x1, x2) nær (x1 ∗ , x2 ∗ ) jf. sætning A.8. Vi bestemmer Taylorpolynomiet 1.
orden, da vi ellers vil f˚a ikke-lineære led med. S˚aledes vil vi ikke være kommet
nærmere en løsning til den oprindelige ikke-lineære differentialligning.
f1(x1, x2) = f1(x1 ∗ , x2 ∗ ) + ∂f1(x1 ∗ , x2 ∗ )
+ ∂f1(x1 ∗ , x2 ∗ )
(x2 − x2
∂x2
∗ )
∂x1
f2(x1, x2) = f2(x1 ∗ , x2 ∗ ) + ∂f2(x1 ∗ , x2 ∗ )
+ ∂f2(x1 ∗ , x2 ∗ )
(x2 − x2
∂x2
∗ )
∂x1
(x1 − x1 ∗ )
(x1 − x1 ∗ )
(4.7)
For at vurdere hvorvidt det er en god approksimation, er det nødvendigt at se
p˚a restleddet:
R f1,x∗
2 (x) = 1
2! D(2) f(c, x − x ∗ )
R f2,x∗
2 (x) = 1
2! D(2) g(c, x − x ∗ )
Eftersom vi krævede, at f er C 2 , kan vi tillade os at vurdere p˚a restleddet.
Punktet (x1, x2) ligger tæt p˚a ligevægtspunktet, derfor vil (x1 − x1 ∗ ) 2 være
endnu mindre, n˚ar x1 − x1 ∗ < 1. Da punktet c er valgt mellem x og x ∗ , vil de
forskellige partielle afledede af 2. orden i c ogs˚a blive meget sm˚a. Dermed bliver
restleddet meget lille.
Eftersom (x1 ∗ , x2 ∗ ) er ligevægtspunktet, giver leddene f(x1 ∗ , x2 ∗ ) og g(x1 ∗ , x2 ∗ )
i ligningerne (4.7) begge nul.
Vi opn˚ar s˚aledes følgende approksimation af f(x1, x2) og g(x1, x2):
f(x1, x2) = ∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x1
g(x1, x2) = ∂g(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x1
Dette kan ogs˚a skrives som
⎡
x ′ ⎢
= ⎣
∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x1
∂g(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x1
(x1 − x1 ∗ ) + ∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )
(x2 − x2
∂x2
∗ )
(x1 − x1 ∗ ) + ∂g(x1 ∗ , x2 ∗ )
(x2 − x2
∂x2
∗ )
∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x2
∂g(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x2
⎤
⎥
⎦ (x − x ∗ )
Da x ∗ er en konstant vektor, er det muligt at erstatte x ′ med [x − x ∗ ] ′ .
Ved at sætte y = x − x ∗ opn˚as følgende linearisering af systemet x ′ = f(x):
⎡
y ′ ⎢
= ⎣
∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x1
∂g(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x1
∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x2
∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x2
⎤
⎥
⎦ y

60 KAPITEL 4. LINEARISERING
Matricen i ovenst˚aende ligning er identisk med Jacobimatricen for f i punktet
x ∗ . Derfor kan lineariseringen skrives som
y ′ = Df(x ∗ )y
Det er imidlertid ikke altid muligt at linearisere et ikke-lineært differentialligningssystem.
For at være i stand til at udtale sig om, hvorn˚ar det er muligt, er
følgende definition nødvendig:
Definition 4.6 Hyperbolsk ligevægtspunkt
Et ligevægtspunkt x ∗ til et ikke-lineært system kaldes hyperbolsk, hvis
begge egenværdier til Jacobimatricen Df(x ∗ ) ikke har 0 som realdel
Den næste sætning udtaler sig om, under hvilke betingelser linearisering er
berettiget.
Sætning 4.7 Lineariseringssætningen
Antag, at det 2-dimensionelle system x ′ = f(x) har et hyperbolsk ligevægtspunkt
i x ∗ . Det ikke-lineære flow er da konjugeret til flowet for
det lineariserede system i nærheden af x ∗ .
Vi vil ikke bevise denne sætning. Vi vil i stedet koncentrere os om tilfældet, hvor
det lineariserede system har et ligevægtspunkt med sadelopførsel. Dette har vi
valgt, eftersom sadeltilfældet er det eneste tilfælde, vi f˚ar brug for i forbindelse
med Lotka-Volterramodellen.
4.1.1 Sadler er sadler
Dette afsnit er baseret p˚a [HSD04]. For at vide noget om eksistensen og entydigheden
af en løsning er vi først og fremmest nødt til at kræve, at den vektorfunktion
f, vi betragter, er C 1 . Vi antager, at Df(x ∗ ) har λ og −µ som egenværdier.
Ved at diagonalisere systemet opn˚ar vi, følgende Taylorapproksimation
af systemet:
x ′ = λx + g1(x, y)
y ′ = −µy + g2(x, y)
Her er −µ < 0 < λ og gi(x, y) betegner fejlen. Om systemet skal der gælde at
gj(x, y)
lim = 0
r→0 r
Her betegner r afstanden fra origo til et punkt (x, y). Denne afstand er givet
ved r = x 2 + y 2 .
Det lineariserede system fremkommer ved at udelade de højere ordens led. Derfor
bliver systemet s˚aledes:
′ x
y ′
=
λ
0 x
0 −µ y

4.1 Linearisering 61
I dette system har begge egenværdier en realdel, som er forskellig fra 0. Dermed
har vi et hyperbolsk ligevægtspunkt. For det lineariserede system er origo ligevægtspunkt.
Eftersom λ er positiv, er x-aksen den ustabile akse, og y-aksen er
den stabile akse, da −µ er negativ.
Det er ikke sikkert, at y- og x-aksen tjener som henholdsvis stabil og ustabil
akse i det ikke-lineære tilfælde. Men i henhold til lineariseringssætning 4.7, som
gælder, da vi har et hyperbolsk ligevægtspunkt, eksisterer der nogle kurver med
lignende egenskaber.
Vi lader W s (0) betegne mængden af begyndelsesbetingelser, hvis løsninger g˚ar
mod origo, n˚ar t → ∞. Dermed er W s (0) den stabile kurve. P˚a samme m˚ade
lader vi W u (0) benævne mængden af begyndelsesbetingelser, hvis løsninger g˚ar
mod origo for t → −∞. Hermed er W u (0) den ustabile kurve.
Vi ønsker at bevise, at løsninger i nærheden af en ikke-lineær sadel i høj grad
opfører sig som i det lineære tilfælde. Den følgende sætning udtaler sig om den
stabile kurve. P˚a samme m˚ade er det muligt at opstille en sætning for den
ustabile kurve [HSD04]. Det har vi imidlertid fravalgt at gøre her.
Sætning 4.8 Den stabile kurvesætning
Givet systemet
Antag, at −µ < 0 < λ og gj(x,y)
x ′ = λx + g1(x, y)
y ′ = −µy + g2(x, y)
r
→ 0 for r → 0. I s˚a fald gælder, at
der eksisterer ε > 0 og en kurve x = h s (y), som er defineret for |y| < ε
og opfylder, at h s (0) = 0. Desuden gælder følgende tre ting:
1. Samtlige løsninger, hvis begyndelsesbetingelser ligger p˚a denne
kurve, vil blive p˚a denne kurve for alle t ≥ 0, og de vil nærme sig
origo, n˚ar t → ∞.
2. I origo er y-aksen tangent til kurven h s (y).
3. Alle andre løsninger, hvis begyndelsesbetingelser ligger p˚a en
cirkelskive, der har origo som centrum og en radius ε, vil forlade
denne cirkelskive, n˚ar t vokser.
Kurven x = h s (y) kaldes den lokale stabile kurve i 0. Ved at følge løsninger
p˚a den lokale stabile kurve tilbage i tiden er det muligt at bestemme hele den
stabile kurve W s (0). Grunden til at den lokale stabile kurve udtrykkes som en
funktion af y, er, at vi i et lineært tilfælde ikke vil kunne skrive den som en
funktion af x.
Bevis. Lad Bε betegne kvadratet, der er begrænset af x = ±ε og y = ±ε:
Bε = {(x, y) ∈ R 2 | − ε ≤ x ≤ ε, −ε ≤ y ≤ ε}
Lad S ± ε betegne øvre og nedre grænse af Bε:
S ± ε = {(x, y) ∈ R 2 | − ε ≤ x ≤ ε, |y| = ε}

62 KAPITEL 4. LINEARISERING
Lad endvidere C betegne det kegleformede omr˚ade i Bε, der er givet ved:
C = {(x, y) ∈ Bε| |y| ≥ |x|}
Ved C + forst˚as den del af keglen, som er placeret over x-aksen og ved C −
den del, der er placeret under x-aksen. Før det er muligt at sige noget om
løsningskurverne, er det nødvendigt at bevise følgende to punkter:
1. Der eksisterer et ε > 0, s˚aledes vektorfeltet peger udenfor C for punkter,
der ligger p˚a grænsen af C ∩ Bε(p˚anær i origo).
2. Der eksisterer et ε > 0 s˚aledes y ′ < 0 i C + , og y ′ > 0 i C −
Bevis for punkt 1:
Det blev stillet som betingelse, at |g1(x,y)|
r
et ε, s˚aledes der gælder, at
∀(x, y) ∈ Bε :
→ 0 for r → 0. Der skal bestemmes
|g1(x, y)|
r
≤ λ
2 √ 2
Der eksisterer et µ, som er større end r, s˚aledes ovenst˚aende gælder. Den største
værdi, som r kan antage, er √ ε 2 + ε 2 = ε √ 2. Ved at vælge ε = µ √ 2 f˚as, at
(x, y) ∈ Bε ⇒ r < µ
Antag, at x > 0. Langs den højre grænse af C + , dvs. hvor y = x, f˚as:
x ′ = λx + g1(x, x)
Ved at tage den numeriske værdi af g1(x, x) gælder følgende ulighed, eftersom
b˚ade x og λ er positive:
x ′ ≥ λx − |g1(x, x)|
Herefter indsættes |g1(x, y)| ≤ λ
2 √ 2 r:
x ′ ≥ λx − λ
2 √ 2 r
Da r = x 2 + y 2 , og y = x p˚a grænsen af keglen, kan dette indsættes istedet
for r:
x ′ ≥ λx − λ
2 √ 2 r
x 2 + x 2
= λx − λ
2 √ 2
= λx − λ
2 √ √
2x2 2
= λx − λ
2 √ 2 x√2 = λx − λx
2
= λ
2 x

4.1 Linearisering 63
Da λ,x > 0 f˚as, at x ′ > 0 p˚a højre side af grænsen af keglen.
For at vise hvad der sker med y ′ p˚a højre side af grænsen af C, vælges ε, s˚a
∀(x, y) ∈ Bε : |g2(x, y)| ≤ µ
2 √ 2 r
Langs den højre side af grænsen af C, dvs. hvor y > 0, f˚as:
y ′ = −µy + g2(y, y)
≤ −µy + |g2(y, y)|
≤ −µy + µ
2 √ 2 r
y 2 + y 2
= −µy + µ
2 √ 2
= −µy + µ
2 √ 2 y√2 = −µy + µy
2
= − µy
2
Eftersom −µ < 0, og y > 0, betyder det, at y ′ < 0
Der gælder s˚aledes, at vektorfeltet peger nedad og til højre p˚a den del af kanten
af C, der ligger i 1. kvadrant, n˚ar ε vælges til at være det mindste af de to
foresl˚aede. Dette betyder, at vektorfeltet peger udenfor C for punkter, der ligger
p˚a grænsen.
Det er p˚a samme m˚ade muligt at vise, at for alle andre kanter p˚a C peger
vektorfeltet ogs˚a udenfor C. Hermed er det ønskede bevist. P˚a figur 4.1 fremg˚ar
det, hvordan vektorfelterne opfører sig langs kanterne af C.
−ε
y
ε
−ε
y = x
Figur 4.1: Keglen C og vektorfelterne langs kanterne.
Bevis for punkt 2:
Det vises først, at y ′ < 0 i C + :
ε
x

64 KAPITEL 4. LINEARISERING
Da y > 0 i C + gælder, at |x| ≤ y. Ved at indsætte dette i r 2 = x 2 + y 2 f˚as:
Herefter vælges ε, s˚a
I C + f˚as derfor følgende:
r 2 ≤ y 2 + y 2 ≤ ⇔ r ≤ y √ 2
∀(x, y) ∈ Bε : |g2(x, y)| ≤ µ
2 √ 2 r
y ′ ≤ −µy + |g2(x, y)|
≤ −µy + µ
2 √ 2 r
≤ −µy + µ
2 √ 2 y√ 2
≤ −µy + µ
2 y,
≤ − µ
2 y
Dermed er y ′ < 0, eftersom −µ < 0, og y > 0.
Herefter vises, at y ′ > 0 i C − :
Da y < 0 i C − , betyder det, at |x| ≤ −y. Ved at indsætte dette i r 2 = x 2 + y 2
f˚as:
r 2 ≤ (−y) 2 + y 2 ⇔ r ≤ |y| √ 2
|g2(x, y)| vælges til det samme som i foreg˚aende bevis. I C − gælder der om y ′ ,
at
y ′ = −µy + g2(x, y)
≥ −µy − |g2(x, y)|
≥ −µy − µ
2 √ 2 r
≥ −µy − µ
2 √ 2 |y|√ 2
= −µy − µ(−y)
2
1
= (−µy)
2
Eftersom b˚ade −µ og y er negative, betyder det, at y ′ > 0 i C − . Det ønskede er
dermed bevist.
Det følger heraf at løsninger, der starter p˚a S + ε ∩ C, er aftagende i y-aksens retning,
s˚a længe de er i C + . Det er dermed kun muligt for en løsning at blive i C +
for alle t, s˚afremt den nærmer sig origo. Mængden af punkter i S + ε , hvortil løsningen
forlader C til højre, er dermed ét ˚abent interval. Dette skyldes eksistensog
entydighedssætning 2.14, da det er umuligt for to løsningskurver at skære
hinanden, se figur 4.2.

4.2 Lotka-Volterra 65
P˚a samme m˚ade gælder det, at de punkter i S + ε , som forlader C til venstre, er
ét ˚abent interval. Der gælder, at foreningen af de to ˚abne intervaller er et ˚abent
interval. Komplementet til et ˚abent interval er lukket. Da de to intervaller ikke
skærer hinanden, er det lukkede interval, som ligger mellem dem, ikke-tomt.
Idet løsningerne til de begyndelsesbetingelser, der ligger i det lukkede interval,
hverken forlader C + til højre eller til venstre, betyder det, at de m˚a g˚a mod 0,
n˚ar t → ∞. Det samme gælder for C − .
Det næste, der skal vises, er, at der kun ligger ét punkt i det lukkede interval,
at der kun findes én løsning x(t), som bliver i C for alle t og at x(t) er tangent
til y-aksen i origo. Dette er ikke medtaget, s˚a der henvises til [HSD04].
y
Figur 4.2: Et umuligt scenario for løsningskurverne
4.2 Lotka-Volterra
I afsnit 1.1 fandt vi frem til, at væksthastigheden for byttedyrene, n˚ar de lever
isolerede, kan beskrives ved differentialligningen
db
= Ab, A ∈ R+
dt
P˚a samme m˚ade kan væksthastigheden for rovdyrene, n˚ar de lever isolerede,
beskrives ved differentialligningen
dr
dt
= −Dr, D ∈ R+
Vi vil nu beskæftige os med, hvad der sker, n˚ar rovdyrene og byttedyrene omg˚as
hinanden. Vi antager, at antallet af byttedyr falder med en hastighed, som
er proportional med antallet af møder mellem rovdyr og byttedyr. Antallet af
møder antages endvidere at være proportionalt med produktet af antallet af
byttedyr b og antallet af rovdyr r. Ved at lade B udtrykke denne sammenhæng,
x

66 KAPITEL 4. LINEARISERING
kan følgende differentialligning beskrive faldet i antallet af byttedyr:
db
= −Bbr B ∈ R+
dt
Hvis vi sætter de to differentialligninger sammen, som omhandler byttedyrene,
f˚ar vi, at følgende differentialligning modellerer væksthastigheden for byttedyr:
db
= Ab − Brb = (A − Br)b, A, B ∈ R+
dt
P˚a samme m˚ade er det muligt at bestemme en differentialligning, der kan modellere
væksthastigheden for rovdyrene. Mødet med byttedyrene har en positiv
indvirkning p˚a antallet af rovdyr. Vi lader konstanten C betegne reproduktionsraten
for rovdyr, der afhænger af antallet af byttedyr, de har ædt. Dermed kan
følgende differentialligning beskrive væksthastigheden for rovdyrene, n˚ar de har
adgang til deres fødekilde:
dr
dt
= Cbr
Væksthastigheden for rovdyrene kan derfor samlet beskrives med differentialligningen
dr
= Cbr − Dr = (Cb − D)r, C, D ∈ R+
dt
Ovenst˚aende giver anledning til følgende differentialligningssystem:
⎧
⎪⎨
f(b, r) =
⎪⎩
db
dt
dr
dt
= (A − Br)b
= (Cb − D)r
, hvor A, B, C, D ∈ R+
(4.8)
P˚a figur 4.3 ses retningsfeltet for differentialligningssystem (4.8). Konstanterne
er i dette tilfælde angivet til A = B = C = D = 1. Desuden viser figuren to
mulige løsningskurver.
Rovdyr
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2
Byttedyr
Figur 4.3: Lotka-Volterramodellen med konstanterne A = B = C = D = 1.

4.2 Lotka-Volterra 67
Af figur 4.3 tyder det p˚a, at løsningskurverne er lukkede. Der kommer en begrundelse
herfor i et efterfølgende kapitel. Det betyder, at hverken rovdyr eller
byttedyr kan uddø, n˚ar konstanterne A, B, C og D er valgt til 1. P˚a figur 4.3 ses
det, at n˚ar populationen af byttedyr er tilstrækkelig lav, vil antallet af rovdyr
svinde, da der ikke er føde nok til at opretholde populationen. Dette medfører,
at der ikke er s˚a mange rovdyr til at nedfælde byttedyrene, hvilket betyder, at
antallet af byttedyr igen stiger.
I det tidsrum, hvor populationen af byttedyr er i vækst, vil antallet af rovdyr
ogs˚a stige, da rovdyrene nu har adgang til mere føde. Væksten i de to populationer
vil imidlertid foreg˚a tidsforskudt, eftersom væksten i antallet af byttedyr
er en forudsætning for væksten i antallet af rovdyr. N˚ar der er mange byttedyr,
er væksten i populationen hos rovdyrene størst. P˚a et tidspunkt vil populationen
af rovdyr være s˚a stor, at der ikke er føde nok, og populationen vil dermed
svinde. S˚aledes er vi tilbage ved udgangspunktet.
4.2.1 Eksistens og entydighed
Ifølge sætning 2.14 skal højresiderne af ligningssystem (4.8) være kontinuerte
og opfylde en lokal Lipschitz-betingelse, for at der eksisterer en entydig, lokal
løsning til systemet til en bestemt begyndelsesværdi. Da de partielle afledte
eksisterer og er kontinuerte, er disse betingelser opfyldte og s˚aledes har systemet
entydige, lokale løsninger.
4.2.2 Ligevægtspunkter
Det er interessant at bestemme ligevægtspunkter for dette system, fordi et ligevægtspunkt
vil betyde, at populationerne af rovdyr og byttedyr er konstante.
Ligevægtspunkter i differentialligningssystem (4.8) bestemmes ved at finde ud
= 0:
af for hvilke værdier, det er opfyldt, at b˚ade db
dt
= 0, og dr
dt
0 = b(A − Br) og 0 = r(Cb − D)
Først løses ligningen b(A − Br) = 0. Ved hjælp af nulreglen f˚as:
b = 0 ∨ A − Br = 0 ⇔ r = A
∨ b = 0
B
For at bestemme r-værdien hørende til b = 0 indsættes b = 0 i r(Cb − D) = 0:
r(C · 0 − D) = 0 ⇒ −Dr = 0
Da D ∈ R+, f˚ar vi, at r = 0.
For at bestemme b-værdien hørende til r = A
B , indsættes r-værdien i
r(Cb − D) = 0:
A
B
(Cb − D) = 0 ⇔ A
B
A
D
Cb = D ⇔ Cb = D ⇔ b =
B C
Dette betyder, at de to ligevægtspunkter for system (4.8) er givet ved (0, 0) og
( D A
C , B ).
Jacobimatricen for f(b, r) = f1(b, r), f2(b, r) i et punkt (x, y) ser s˚aledes ud:

68 KAPITEL 4. LINEARISERING
⎡
∂f1
⎢ (x, y)
⎢ ∂b
Df(x, y) = ⎢
⎣∂f2
(x, y)
∂b
⎤
∂f1
(x, y)
∂r ⎥
⎦ ∂f2
(x, y)
∂r =
A − Br
Cr
−Bb
−D + Cb
Det lineariserede system i (0, 0) bliver derfor følgende:
y ′
A
=
0
0
y
−D
Vi har dermed et hyperbolsk ligevægtspunkt, hvor egenværdierne har forskelligt
fortegn. Dette svarer ifølge afsnit 3.2.1 til, at origo er et sadelpunkt i differenti-
alligningssystem (4.8).
Jacobimatricen i ligevægtspunktet ( D
C
Df
D A
, =
C B
⎡
A A − B · B
⎣
C · A
B
A , B ) beregnes til at være følgende:
−B · D
C
−D + C · D
C
⎤
⎦ =
Herefter bestemmes egenværdierne til denne matrix:
D A
det Df , − λI = 0 ⇔
C B
⎡
0 − λ
⎣
−BD
⎤
C
⎦ = 0 ⇔
CA
B 0 − λ
CA
(−λ)(−λ) −
B ·
−BD
= 0 ⇔
C
λ 2 + DA = 0 ⇔
⎡
⎣ 0
CA
B
λ = ±√−4DA ⇔
2
λ = ±i √ DA
−BD
C
Eftersom egenværdierne i dette tilfælde har 0 som realdel, er ligevægtspunktet
( D A
C , B ) ikke hyperbolsk. Vi er derfor p˚a nuværende tidspunkt ikke i stand til at
sige noget om systemets opførsel omkring dette ligevægtspunkt.
4.3 Opsummering
Vi startede kapitlet med at definere partielle afledede samt en sætning om deres
eksistens. Derefter fortsatte vi med at gennemg˚a, hvorn˚ar og hvorledes det er
muligt at linearisere et plant system. Herunder valgte vi at g˚a i dybden med det
tilfælde, hvor det lineariserede system har et ligevægtspunkt med sadelopførsel.
Herefter udledte vi Lotka-Volterramodellen for samspillet mellem rovdyr og byttedyr.
Dernæst beregnede vi ligevægtspunkterne for systemet og bestemte ved
hjælp af linearisering, at origo er et sadelpunkt for systemet. Det andet ligevægtspunkt
er vi p˚a nuværende tidspunkt ikke i stand til at konkludere yderligere
p˚a. Vi vil derfor i næste kapitel beskæftige os med stabilitetsundersøgelse.
0
⎤
⎦

Kapitel 5
Stabilitet
Vi har i forrige kapitel beskæftiget os med linearisering af ikke-lineære systemer
for at kunne beskrive et ikke-lineært systemets opførsel omkring dets ligevægtspunkter.
Dette kapitel handler om stabiliteten af et givent ligevægtspunkt.
Kapitlet er baseret p˚a kapitel 9.1 i [HSD04], og det indledes med en definition
af stabilitet.
Et ligevægtspunkt kaldes stabilt, hvis de nærliggende løsninger forbliver tæt p˚a
ligevægtspunktet i al fremtid. I den følgende definition er dette formuleret mere
præcist. I definitionen benyttes betegnelsen en omegn i R 2 , hvilket er en ikketom
˚aben delmængde af R 2 . Hvis en mængde er en omegn omkring et punkt,
betyder det, at punktet er indeholdt i omegnen.
Definition 5.1 Stabilitet af et ligevægtspunkt
Lad x ∗ ∈ R 2 være et ligevægtspunkt til systemet x ′ = f(x). Da kan x ∗
befinde sig i tre former for stabilitet:
• Ligevægtspunktet x ∗ er stabilt, hvis der for enhver omegn O
om x ∗ i R 2 , eksisterer en omegn O1 om x ∗ i O, s˚a enhver løsningskurve
x(t) med x(0) ∈ O1 er defineret og bliver i O for alle
t > 0.
• Ligevægtspunktet x ∗ kaldes asymptotisk stabilt, hvis det er stabilt,
og limt→∞ x(t) = x ∗ for alle løsningskurver x(t) med
x(0) = x ∗ ∈ O1.
• Ligevægtspunktet x ∗ kaldes ustabilt, hvis der eksisterer en omegn
O om x ∗ , s˚a der for enhver omegn O1 om x ∗ eksisterer mindst en
løsning x(t) med x(0) ∈ O1 og et t0 > 0, for hvilket x(t0) /∈ O.
Det følger af definition 5.1, at dræn og centre er stabile ligevægtspunkter. Ydermere
er et dræn et asymptotisk stabilt ligevægtspunkt, hvilket ogs˚a gælder for
spiraldræn. Kilder, spiralkilder og sadelpunkter er ustabile ligevægtspunkter. P˚a
figur 5.1 er et stabilt ligevægtspunkt x ∗ illustreret.

70 KAPITEL 5. STABILITET
x(0)
Ð×ÒÒ×ÙÖÚÒ x(t)
Figur 5.1: Illustration af et stabilt ligevægtspunkt x ∗ .
Figur 5.2 viser et asymptotisk stabilt ligevægtspunkt x ∗ .
x(0)
x ∗
O1
Ä×ÒÒ×ÙÖÚÒ x(t)
Figur 5.2: Illustration af et asymptotisk stabilt ligevægtspunkt x ∗ .
P˚a figur 5.3 vises et ustabilt ligevægtspunkt x ∗ .
x(0)
x ∗
O1
Ð×ÒÒ×ÙÖÚÒ x(t)
Figur 5.3: Illustration af et ustabilt ligevægtspunkt x ∗ .
x ∗
O1
O
O
O

5.1 Stabilitetsundersøgelse 71
5.1 Stabilitetsundersøgelse
Dette afsnit omhandler en metode, hvormed det er muligt at f˚a oplysninger om,
hvorledes løsningerne til et ikke-lineært system af differentialligninger opfører
sig.
5.1.1 Nulkliner
Den første metode tager udgangspunkt i nulkliner:
Definition 5.2 Nulkliner
Betragt et system p˚a formen:
x ′ = f(x, y)
y ′ = g(x, y)
x-nulklinerne er mængden
(x, y) f(x, y) = 0
Tilsvarende er y-nulklinerne defineret ved
(x, y) g(x, y) = 0
Nulklinerne til et plant system deler planen op i nogle omr˚ader. Herunder forklares
dette nærmere ved at tage udgangspunkt i følgende system, hvor f og g
er kontinuerte:
x ′ = f(x, y)
y ′ = g(x, y)
For at finde x-nulklinerne løses ligningen f(x, y) = 0. Dvs. at x-nulklinerne
udgøres af de punkter (x, y), for hvilke x ′ = f(x, y) = 0. Det betyder, at vektorerne
i vektorfeltet er vertikale p˚a x-nulklinerne. P˚a samme m˚ade løses g(x, y) = 0
for at finde y-nulklinerne, p˚a hvilken vektorerne i vektorfeltet er horisontale.
Planen bliver delt op i omr˚ader af x-nulklinerne. I nogle omr˚ader peger vektorerne
i vektorfeltet til venstre, mens de i andre peger til højre. Dette skyldes, at
f er en kontinuert funktion, samt at det kun er p˚a x-nulklinerne, at vektorerne
er vertikale. P˚a samme m˚ade deler y-nulklinerne planen op i omr˚ader, hvor vektorerne
enten peger nedad eller opad, eftersom g er kontinuert, og det kun er p˚a
y-nulklinerne, at vektorerne er horisontale.
Et punkt (x, y) er et ligevægtspunkt, hvis f(x, y) = 0, og g(x, y) = 0. Dvs. i
planen er eventuelle skæringspunkter mellem x- og y-nulklinerne ligevægtspunkter.
Figur 5.4 viser, hvorledes planen eksempelvis kan deles op af x-nulklinerne
og y-nulklinerne.

72 KAPITEL 5. STABILITET
y
x−nulkline
Ligevægtspunkt
y−nulkline
Figur 5.4: Opdeling af planen efter x- og y-nulklinerne.
Af ovenst˚aende fremg˚ar det, at en opdeling af planen efter x- og y-nulklinerne
giver oplysninger om løsningernes opførsel. Ud fra nulklinerne er det muligt at
bestemme, hvorvidt et ligevægtspunkt er stabilt eller ustabilt. Hvis samtlige
vektorer i de omr˚ader, som grænser op mod ligevægtspunktet, peger ind mod
det, er ligevægtspunktet stabilt. Det er ikke muligt ud fra nulklinerne alene at
bestemme, om et ligevægtspunkt er asymptotisk stabilt eller blot stabilt. Det
skyldes, at der f.eks. kan være lukkede kurver i vektorfeltet. Et eksempel p˚a
dette er Lotka-Volterramodellen, jf. figur 5.5.
5.1.2 Lyapunov-funktioner
I det følgende defineres nogle begreber omhandlende stabilitet. Dette munder
ud i en sætning omhandlende Lyapunov-funktioner, som ogs˚a vil blive defineret
herunder.
Definition 5.3 α- og ω-grænsepunkter
Betragt systemet x ′ = f(x), hvor x ∈ R 2 , og f : R 2 → R 2 . Mængden af
αf -grænsepunkter er givet ved:
αf = z ∈ R 2 | Der eksisterer en løsning x(t) med x(0) = z,
og en følge {tn}n≥1 i R med lim
n→∞ tn = −∞,
s˚aledes lim
n→∞ x(tn) = z
Mængden af ωf -grænsepunkter er følgende:
ωf = z ∈ R 2 | Der eksisterer en løsning x(t) med x(0) = z,
og en følge {tn}n≥1 i R med lim
n→∞ tn = ∞,
s˚aledes lim
n→∞ x(tn) = z
x

5.1 Stabilitetsundersøgelse 73
Som eksempel kan tages et sadelpunkt. Det er et α-grænsepunkt for den ustabile
akse og et ω-grænsepunkt for den stabile akse.
Den følgende definition omhandler, hvad det betyder, hvis en funktion er definit
eller semidefinit:
Definition 5.4 Definit og semidefinit
Lad L : O → R være en differentiabel funktion, hvor O ⊆ R 2 er ˚aben,
og x ∗ ∈ O er et ligevægtspunkt.
• Funktionen L er positiv definit p˚a O, hvis L(x ∗ ) = 0, og L(x) > 0
for alle x ∈ O \ {x ∗ }.
• Funktionen L er negativ definit p˚a O, hvis L(x ∗ ) = 0, og L(x) < 0
for alle x ∈ O \ {x ∗ }.
• Funktionen L er positiv semidefinit p˚a O, hvis L(x ∗ ) = 0, og
L(x) ≥ 0 for alle x ∈ O \ {x ∗ }.
• Funktionen L er negativ semidefinit p˚a O, hvis L(x ∗ ) = 0, og
L(x) ≤ 0 for alle x ∈ O \ {x ∗ }.
Den næste definition behandler urbillede [Coh03]:
Definition 5.5 Urbillede
Lad U, V, W være mængder, og lad f : V → W være en funktion. Hvis
U ⊆ W , kaldes følgende for urbilledet af U:
f −1 (U) = v ∈ V f(v) ∈ U
Ud fra definition 5.4 kan en Lyapunov-funktion defineres:
Definition 5.6 Lyapunov-funktioner
Lad L : O → R være en funktion, hvor O ⊆ R 2 . Betragt differentialligningssystemet
x ′ = f(x) med ligevægtspunktet x ∗ ∈ O. Lad ˙ L : O → R
være en funktion givet ved
˙L(x) = DL(x) f(x)
Funktionen L kaldes en Lyapunov-funktion for f i x ∗ , hvis L er positiv
definit, og ˙ L er negativ semidefinit.
Funktionen L kaldes en strikt Lyapunov-funktion for f i x ∗ , s˚afremt L
er positiv definit og ˙ L er negativ definit.
Før gennemgangen af Lyapunovs sætning gives en begrundelse for definitionen
af ˙ L. Det gøres ved at betragte systemet x ′ = f(x) med ligevægtspunkt x ∗ . Lad
L : O → R være en Lyapunov-funktion for f i x ∗ , og lad x(t) angive en løsning,

74 KAPITEL 5. STABILITET
som opfylder x(t0) = x0. Ved anvendelse af kædereglen fra appendiks A.2 f˚as
følgende:
d
L ◦ x (t0) = DL
dt
x(t0) x ′ (t0)
= ∇L x(t0) x ′ (t0)
= ∇L(x0) f(x0)
= DL(x0) f(x0)
= ˙ L(x0)
(5.1)
(5.2)
(5.3)
For at komme fra ligning (5.1) til ligning (5.2) benyttes, at værdimængden for L
er de reelle tal. Dermed har Jacobimatricen for L i punktet x(t0) én søjle. Derfor
anvendes notationen ∇L x(t0) i stedet for DL x(t0) . Dette er en vektor frem
for en matrix. Vektoren ∇L x(t0) kaldes gradienten af L i punktet x(t0).
Fra ligning (5.2) til ligning (5.3) udnyttes, at x(t0) er en løsning gennem x0 til
differentialligningssystemet. Det betyder, at x ′ (t0) = f(x0).
En Lyapunov-funktion L er i henhold til definition 5.6 positiv definit, og ˙ L er
negativ semidefinit. Lad x(t) være en vilk˚arlig løsning, der ikke er en ligevægtsløsning,
men hvis begyndelsesbetingelse er indeholdt i O. Da fremg˚ar det af
sammenhængen mellem L og ˙ L, at L af x(t) aldrig vokser i O, idet ˙ L(x) ≤ 0
for alle x ∈ O \ {x ∗ }.
Sætning 5.7 Lyapunovs sætning
Lad L : O → R være en differentiabel funktion, hvor O ⊆ R 2 er ˚aben.
Lad x ∗ ∈ O være et ligevægtspunkt for x ′ = f(x), hvor f : O → R 2
er C 1 . Ligevægtspunktet x ∗ er stabilt, hvis L er en Lyapunov-funktion
for f i x ∗ .
Ligevægtspunktet x ∗ er asymptotisk stabilt, hvis L er en strikt
Lyapunov-funktion for f i x ∗ .
Denne sætning kan bruges til at bestemme stabiliteten af et ligevægtspunkt x ∗
uden at løse differentialligningssystemet. Dette gøres ved at finde en Lyapunovfunktion
for f i ligevægtspunktet.
Bevis. Antag, at L er en Lyapunov-funktion for f i x ∗ . Dermed skal bevises,
at x ∗ er et stabilt ligevægtspunkt for x ′ = f(x).
Mængden O er ˚aben, hvilket gør det muligt at vælge δ > 0, s˚a
Dernæst defineres
Bδ(x ∗ ) = x ∈ R 2 ||x − x ∗ || ≤ δ} ⊆ O
Sδ(x ∗ ) = x ∈ R 2 ||x − x ∗ || = δ
Mængden Sδ(x ∗ ) er randen af kuglen Bδ(x ∗ ). Da Sδ(x ∗ ) er lukket og begrænset,
er Sδ(x ∗ ) ifølge sætning 4.1.6 i [Coh03] kompakt. Foretag en restriktion af L til
Sδ(x ∗ ), dvs. L : Sδ(x ∗ ) → R+. Værdimængden for L er R+, idet L er positiv
definit. Dermed f˚as af sætning 4.3.2 i [Coh03], at
∃α ∈ R, ∀x ∈ Sδ(x ∗ ) : L(x) ≥ α (5.4)

5.1 Stabilitetsundersøgelse 75
Idet L er positiv definit, er α > 0. Lad herefter L være restringeret til B◦ δ , dvs.
L : B◦ δ (x∗ ) → R+ ∪ {0}. Definer mængden
O1 = x ∈ Bδ(x ∗ )
L(x) < α (5.5)
= x ∈ B ◦ δ (x ∗ )
L(x) < α (5.6)
= L −1 [0, α[
(5.7)
Fra udtryk (5.5) til udtryk (5.6) bruges udtryk (5.4). For at komme fra udtryk
(5.6) til udtryk (5.7) benyttes definition 5.5 af et urbillede.
Funktionen L er differentiabel p˚a O, s˚a den er kontinuert p˚a O. Derudover er
[0, α[ en ˚aben mængde i R+ ∪ {0}. For at bevise det er det nok at vise, at 0
ligger i det indre af R+ ∪ {0}. Hertil benyttes metrikken dE:
∃r > 0 : Br(0) = x ∈ R+ ∪ {0} dE(x, 0) = x < r = [0, r[⊂ R+ ∪ {0}
Af sætning 5.4.4 i [Coh03] følger dermed, at O1 = L −1 [0, α[ er en˚aben mængde
i B ◦ δ (x∗ ). Eftersom L(x ∗ ) = 0, og α > 0, er x ∗ ∈ O1. Det betyder, at O1 er en
omegn om x ∗ .
En løsning x(t), for hvilken x(0) = x0 ∈ O1, opfylder, at L(x0) < α. Da ˙ L er
negativ semidefinit, vokser L ikke langs løsningskurver i O. Dermed f˚as, at
∀t ≥ 0, L x(t) ≤ L(x0) < α
Heraf fremg˚ar det, at x(t) ∈ O1 for alle t ≥ 0. Det sidste, der skal bruges,
er et argument for, at alle løsningskurver, som har en begyndelsesbetingelse,
der ligger i O1, er defineret i O for alle t > 0. For dette argument henvises til
korollar p˚a side 397 i [HSD04]. Dermed følger af definition 5.1, at x ∗ er et stabilt
ligevægtspunkt.
Herefter skal vises, at hvis L er en strikt Lyapunov-funktion for f i x ∗ , s˚a er x ∗
et asymptotisk stabilt ligevægtspunkt. Det betyder, at L er positiv definit, og
˙L er negativ definit. Dermed er L aftagende langs løsningskurver i O.
Først bevises, at ωf = Ø. Lad x(t) ∈ O1 for alle t ≥ 0 være en løsning. Eftersom
Bδ(x ∗ ) er kompakt, følger det af sætning 5.3.4 i [Coh03], at Bδ(x ∗ ) er føl-
gekompakt. Det betyder, at enhver følge x(tn)
x(tnk ) , hvorom det gælder, at
k≥0
n→∞ i Bδ(x ∗ ) har en delfølge
lim
k→∞ x(tnk ) = z0 ∈ Bδ(x ∗ ) ⇔ (5.8)
∀ε > 0, ∃K > 0, ∀k > K : x(tnk ) ∈ Bε(z0) (5.9)
Det betyder i henhold til definition 5.3, at z0 ∈ ωf .
Herefter vises, at z0 = x ∗ . Det gøres ved et indirekte bevis. Antag, at z0 = x ∗ .
Lad z(t) være en løsning med z(0) = z0. Hold s > 0 fast.
Flowet ϕ til systemet x ′ = f(x) er ifølge korollar p˚a s. 147 i [HSD04] en kontinuert
funktion af x. Da L ogs˚a er kontinuert, er afbildningen
x0 ↦→ L ϕ(x0, s) = L x(s) kontinuert p˚a O i henhold til sætning 3.24(ii) i
[Wad04]. Dermed gælder, at
∀ε > 0, ∃δs > 0 :
L y(s) − L z(s) < ε, n˚ar ||y0 − z0|| < δs og y0 ∈ O

76 KAPITEL 5. STABILITET
Sæt y0 = x(tn k ′ ), hvor k ′ > K fra udsagn (5.9). I henhold til sætning 2.12
opfylder f en lokal Lipschitz-betingelse. Dermed f˚as ifølge sætning 2.14 omhandlende
eksistensen og entydigheden af en løsning, at
y(s) = ϕ(y0, s)
= ϕ x(tn k ′ ), s
= ϕ ϕ(x0, tn k ′ ), s
= ϕ(x0, tn k ′ + s)
= x(tn k ′ + s)
Idet ˙ L er negativ definit, er L(z0) − L z(s) > 0. Dermed er det muligt at sætte
ε = L(z0) − L z(s) . Der findes s˚aledes δ > 0, s˚a der for
y0 − z0
< δ gælder
følgende:
L y(s) − L(z(s) < L(z0) − L z(s)
Dermed f˚as, at
Det betyder, at
L y(s) = L z(s) + L y(s) − L z(s)
< L z(s) + ε
= L z(s) + L(z0) − L z(s)
= L(z0)
L x(tn k ′ + s) = L y(s) < L(z0) (5.10)
Funktionen L er kontinuert, s˚a i henhold til ligning (5.8) og sætning 1.9.2 i
[Coh03] gælder, at
lim
k→∞ L x(tnk ) = L(z0)
Der eksisterer m ∈ R, s˚a tn k ′ + s ≤ tm. Idet ˙ L er negativ definit, f˚as at
L x(tn k ′ + s) ≥ L x(tm) > L(z0)
Dette er i modstrid med ulighed (5.10). Dermed er ωf = {x ∗ }. Herefter skal vises,
at samtlige løsninger med en begyndelsesbetingelse, der ligger i O1, konvergerer
mod x ∗ . I forvejen vides, at disse løsninger bliver i O1 for alle t ≥ 0. Ved brug
af ligning (5.8) f˚as følgende:
lim x(t) = x∗
t→∞
Dette fremg˚ar ved at antage det modsatte, dvs.:
∃ ˜ δ > 0, ∀T > 0, ∃t > T : x(t) /∈ B˜ δ (x ∗ )
(5.11)
Sæt T = n. Dermed eksisterer tn > n, s˚a x(tn) /∈ B˜ δ (x ∗ ). For hvert n f˚as
et tn. Dermed konstrueres en følge x(tn)
n≥1 i Bδ(x ∗ ). Denne følge har en
konvergent delfølge, men x(tn)
er konstrueret p˚a en m˚ade, s˚a
n≥1
x(tn) − x ∗ ≥ δ˜

5.2 Lotka-Volterra 77
Derfor kan delfølgen ikke konvergere mod x ∗ . Idet ωf = {x ∗ }, kan delfølgen ikke
konvergere mod andre punkter. S˚a det er en modstrid, hvormed er ligning (5.11)
sand. Derfor er x ∗ et asymptotisk stabilt ligevægtspunkt.
Vi har i dette kapitel beskrevet forskellige metoder til stabilitetsundersøgelse
af ligevægtspunkter for ikke-lineære systemer. Herunder har vi ogs˚a behandlet,
hvorledes det er muligt at vurdere et systems opførsel omkring dets ligevægtspunkter.
Dette skal benyttes til en stabilitetsundersøgelse af Lotka-Volterra
modellen.
5.2 Lotka-Volterra
Vi vil i dette afsnit anvende de metoder, vi i dette kapitel har gennemg˚aet i
forbindelse med stabilitetsundersøgelse p˚a Lotka-Volterramodellen.
5.2.1 Nulkliner
Størrelserne db dr
dt og dt angiver, som nævnt i afsnit 4.2, væksten for byttedyrenes
og rovdyrenes population. Hvis der er positiv vækst, vil værdierne være positive,
mens de vil være negative, hvis væksten er negativ. Endvidere er værdierne
0, hvis der ingen ændringer er i populationerne. For at kunne sige mere om
løsningerne til systemet, findes dets nulkliner:
Først angives b-nulklinerne:
db
dt
Dernæst opskrives r-nulklinerne:
r
(0, 0)
dr
dt
A
= 0 ⇔ r = , b = 0
B
D
= 0 ⇔ b = , r = 0
C
b = D
C
D
C
A
, B
r = A
B
Figur 5.5: Lotka-Volterramodellens nulkliner, retningsfelt og ligevægtspunkter
b

78 KAPITEL 5. STABILITET
Pilene p˚a figur 5.5 angiver, hvordan løsningskurverne løber og i hvilken retning.
Endvidere angiver pilene langs r-aksen og b-aksens retning kun de tilfælde, hvor
der henholdsvis ingen byttedyr er og rovdyr er. Dette kan tolkes ved, at hvis en
population af rovdyr lever uden tilstedeværelse af byttedyr, vil rovdyrene p˚a et
tidspunkt uddø. Ligeledes hvis en population af byttedyr lever uden rovdyr, vil
populationen af byttedyr forøge sig.
Ud fra figur 5.5 er det muligt at f˚a en idé om, hvordan løsningerne ser ud. Men
det er ikke muligt at sige noget med sikkerhed. Vi vil derfor g˚a videre ved at
konstruere en Lyapunov-funktion.
5.2.2 Lukkede kurver og Lyapunov-funktionen
Ud fra linearisering var vi ikke i stand til at konkludere noget, om Lotka-
Volterramodellens opførsel omkring ligevægtspunktet
D A
C , B . Vi vil derfor
forsøge at finde en Lyapunov-funktion.
S˚adan som modellen er opstillet, er bestanden af byttedyr afhængig af rovdyrbestandens
størrelse. P˚a samme vis er populationen af rovdyr afhængig af populationen
af byttedyr. Dette kan opstilles som følgende:
dr
db =
= (Cb − D)r
dr
dt
db
dt
, (som angivet i differentialligningssystem (4.8))
(A − Br)b
Ifølge appendix A.1 kan separationsreglen benyttes, da (Cb − D)r og (A − Br)b
er kontinuerte, og (Cb − D)r, (A − Br)b > 0 for alle andre punkter end (0, 0).
Ved benyttelse af separationsreglen f˚as:
A
r
− B
dr =
C − D
b
db ⇔
A ln(r) − Br + k1 = Cb − D ln(b) + k2, hvor k1, k2 ∈ R ⇔
A ln(r) + D ln(b) = k3 + Br + Cb, hvor k3 = k1 + k2 ⇔
ln(r A ) + ln(b D ) = k3 + Br + Cb ⇔
ln(r A b D ) = k3 + Br + Cb ⇔
r A b D = e k3+Br+Cb ⇔
r A b D
eBr+Cb = k, hvor k = ek3 ⇔ (5.12)
rA Cb e
= k
eBr bD
(5.13)
Betragtes funktionerne g(b) = bD
eCb og h(r) = rA
eBr , s˚a gælder fra ligning (5.13),
at k = g(b)h(r). Ved at undersøge g ′ og g ′′ kan g’s maksima findes:
g(b) = bD
e Cb = bD e −Cb ⇒
g ′ (b) = Db D−1 e −Cb − b D Ce −Cb = e −Cb b D−1 (D − Cb)

5.2 Lotka-Volterra 79
M b
n
()
g(b)
b1Db2 C
Figur 5.6: Funktionen g(b) = bD
e Cb
Herefter bestemmes, hvorn˚ar g ′ (b) = 0:
b
g ′ (b) = 0 ⇒ b = D
C
M r
o
()
h(r)
r1Ar2 B
Figur 5.7: Funktionen h(r) = rA
e Br
∨ b = 0
Til sidst undersøges g ′′ i de to punkter:
g ′′
D
< 0
C
og g ′′ (0) = 0
Heraf fremg˚ar det, at g ′′ har maksimum i b = D
C
har maksimum i A
B
. P˚a samme m˚ade findes, at h
. Figur 5.6 og 5.7 viser afbildninger af begge funktioner samt
deres maksima i ( D
C , Mb) og ( A
B , Mr). Hvis k > MbMr, har ligning (5.13) ingen
løsning. Hvis k = MbMr, s˚a har ligning (5.13) præcis én løsning, hvor b = D
C og
r = A
B . Det eneste tilfælde, der mangler, er det tilfælde, hvor k < MbMr. Lad
k = nMr for n < Mb. S˚a har n = g(b) = bD
e Cb to løsninger b1, b2, hvorom der
gælder, at b1 < D
eller b > b2, s˚a der gælder, at
Det giver, at
C , og b2 > D
C
, som vist i figur 5.6. I de tilfælde, hvor b < b1
bD eCb
< n ⇔ 1 < n
eCb bD h(r) = rA
Cb e
= k
eBr bD
= Mr
eCb n > Mr
bD Dette er ikke en løsning. Er b = b1, eller b = b2, har ligning (5.13) en løsning,
hvilken er r = A
B . I det sidste tilfælde, hvor b1 < b < b2 har ligningen (5.13)
to løsninger. Begge løsninger er vist som r1 og r2 i figur 5.7. Dette indikerer,
at ligning (5.13) beskriver en lukket kurve, da funktionerne g(b) og h(r) kan
betragtes, som profilen eller et tværsnit af grafen for funktionen g(b)h(r), hvis
niveaukurver er løsninger i differentialligningssystem (4.8), jf. figur 5.8.
Endvidere kan ligning (5.12) betragtes som en funktion:
L(b, r) = rAbD = k (5.14)
eBr+Cb r

80 KAPITEL 5. STABILITET
S˚aledes kan vi konstruere en Lyapunov-funktion for systemet
˜L(b,
D A
r) = −L(b, r) + L ,
C B
D = −rAbD +
eBr+Cb A
B
A D
C
e A+D
Dette er en Lyapunov-funktion, da ˜ L for det første opfylder, at
˜L
D A D A D A
, = −L , + L , = 0
C B C B C B
For det andet fordi ˜ L er C 1 , hvilket betyder, at de partielle afledede eksisterer
og er kontinuerte:
∂ ˜ L
∂b (b, r) = −rADbD−1e Br+Cb + rAbDCe Br+Cb
(eBr+Cb ) 2
= rA b D C − r A Db D−1
e Br+Cb
∂ ˜ L
∂r (b, r) = −ArA−1bDeBr+Cb + rAbDBe Cb+Br
(eBr+Cb ) 2
= rA b D B − Ar A−1 b D
e Br+Cb
Da de enkelte led er kontinuerte f˚as af sætning 3.22 i [Wad04], at hele udtrykket
er kontinuert. Da ˜ L er konstant p˚a alle punkter i en løsning, understøtter
dette yderligere, at systemet har lukkede løsningskurver, da det ikke indeholder
grænsecykler, dvs. lukkede kurver af α- eller ω-grænsepunkter, jf. korollar 5, s.
230 i [HSD04].
Eftersom vi har fundet en Lyapunov-funktion for ligevægtspunktet D
C
det i henhold til sætning 5.7 stabilt.
Figur 5.8: En 3D-illustration af niveaukurver for L(b, r)
A , B , er

5.3 Opsummering 81
5.3 Opsummering
Vi startede kapitlet med at definere tre former for stabilitet, som et ligevægtspunkt
kan befinde sig i. Derefter gennemgik vi to metoder til stabilitetsundersøgelse,
nulkliner og Lyapunov-funktionen. Dernæst benyttede vi de to metoder
p˚a Lotka-Volterramodellen. Først fandt vi systemets nulkliner, og ud fra dem
fik vi en idé om, hvordan løsninger til systemet kunne se ud.
For at f˚a et mere sikkert billede af det, kiggede vi Lyapunov-funktionen for det
ene ligevægtspunkt. Derigennem n˚aede vi frem til, at systemets løsninger er
lukkede kurver omkring ligevægtspunktet. For at undersøge systemet yderligere
vil vi i næste kapitel gennemg˚a to numeriske metoder og anvende disse p˚a Lotka-
Volterramodellen.

Kapitel 6
Numerisk approksimation
Det er ofte ikke muligt at bestemme eksakte løsninger til differentialligninger. I
s˚a fald kan det forsøges at approksimere en løsning. Vi vil i de følgende afsnit
gennemg˚a forskellige metoder til approksimation af differentialligninger. Først
introduceres Eulers metode efterfulgt af Runge-Kuttametoderne. Approksimationsmetoderne
anvender Taylors formel, som forefindes i appendiks A.4.
6.1 Eulers metode
Dette afsnit er baseret p˚a [Tur00] og [EP01]. Taylorapproksimation anvendes til
Eulers metode. Som udgangspunkt betragtes et 1. ordens begyndelsesværdiproblem,
der er p˚a følgende form:
dx
dt = f(t, x), hvor x(t0) = x0, f er C 1
Ideen er, at der til udvalgte punkter t1, t2, . . . , tn, bestemmes en række værdier
x1, x2, . . . , xn, som approksimerer de eksakte værdier x(t1), x(t2), . . . , x(tn) af
løsningen x(t). Punkterne t1, t2, . . . , tn bestemmes udfra en valgt skridtlængde
h > 0, s˚aledes at ti+1 = ti + h for i = 1, 2, . . . , n − 1.
Ud fra begyndelsesbetingelsen er t0 og x0 kendte. For at bestemme x1 anvendes
en 1. ordens Taylorapproksimation af x(t1):
x(t1) = x(t0 + h) ≈ x0 + h dx
= x0 + hf(t0, x0)
dt0
Denne approksimation betegnes x1:
x1 = x0 + hf(t0, x0)
Ud fra x1 er det muligt at bestemme x2:
x2 = x1 + hf(t1, x1)
Der fortsættes p˚a samme m˚ade, og den generelle formel for at finde approksimationen
xk+1 bliver s˚aledes:
xk+1 = xk + hf(tk, xk) (6.1)

84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATION
6.1.1 Afvigelse ved Eulers metode
Da Eulers metode kun er en approksimation af de egentlige værdier
x1(t), x2(t), . . . , xn(t), vil der være en afvigelse. Der er flere faktorer, der bidrager
til denne afvigelse.
Afvigelsen i følgende lineære approksimationsformel kan bestemmes ved
de = x(tk+1) − xk+1:
x(tk+1) ≈ xk + hf(tk, xk) = xk+1
Denne form for afvigelse betegnes ogs˚a en lokal fejl, da afvigelsens størrelse er
lokalt til punktet tk+1, hvor x(tk+1) skal approksimeres.
Hvert skridt i approksimationsprocessen resulterer i en ny afvigelse. S˚aledes er
en afvigelse, som fremkommer tidligt i forløbet, med til at afgøre, hvordan de
efterfølgende approksimationsresultater bliver. Dette fænomen kaldes ogs˚a for
global fejl.
En m˚ade at begrænse afvigelsen p˚a er, at lade approksimationsprocessen iterere
over flere skridt, hvilket indebærer, at afvigelsen for de enkelte skridt bliver
mindre og dermed giver en mindre afvigelse for et stort antal iterationer.
For at give et estimat af hvad der sker med afvigelsen, n˚ar antallet af skridt
forøges, skal 2. ordens Taylorpolynomiet betragtes med restled R1:
x(t1) = x0 + x ′ (t0)h + 1
2 x′′ (c)h 2 ,
hvor R1 = 1
2 x′′ (c)h 2 , og c ligger mellem t1 og t0
Herefter vurderes den numeriske værdi af restleddet opadtil. Funktionen x ′′ er
kontinuert p˚a en lukket og begrænset mængde, da f er C 1 . Dermed følger det,
at
|R1| = |x1 − x(t1)| ≤ 1
2 Mh2 , hvor M = sup x
c mellem t1 og t0
′′ (c).
Dette viser, at afvigelsen for en lokal fejl er i størrelsesordenen O(h 2 ). Herefter
bestemmes, hvor stor den globale fejl kan blive. For n iterationer med
skridtlængde h er nh = b − a, hvor x0 = a og xn−1 = b. Den globale fejl E
kan derfor bestemmes ved
E = nMh 2 = M(b − a)h (6.2)
Den globale fejl angives med O-notation. Af ligning (6.2) f˚as, at den globale
fejl kun er i størrelsesordenen O(h). Heraf fremg˚ar det, at n˚ar h formindskes,
forbedres approksimationen.
6.2 Runge-Kuttametoder
En anden iterationsmetode kaldes for Runge-Kuttaapproksimation. Denne
metode tager samme udgangspunkt som Eulers metode, hvor der ønskes at approksimere
løsningen x(t), s˚aledes følgende er opfyldt:
dx
dt = f(t, x), x(t0) = x0

6.2 Runge-Kuttametoder 85
For 2. ordens Runge-Kuttametode skal f være C 2 , mens f skal være C 4 for 4.
ordens Runge-Kuttametode. Dette er nødvendigt for at kunne anvende Taylors
formel.
Fordelen ved at benytte Runge-Kuttametoderne er, at de er mere præcis end
Eulers metode. Forbedringerne ligger i at i stedet for at give en approksimation
over et interval h, tilføjer Runge-Kuttametoderne flere punkter og afledede i
intervallet, s˚a approksimationen bliver mere nøjagtig.
Det, der efterfølgende bliver introduceret, er 2. ordens Runge-Kuttametode for
at give et indtryk af, hvordan metoden fungerer. Her benyttes den afledte i
intervallets startpunkt til at finde et punkt midt i intervallet, og efterfølgende
benyttes midtpunktets afledte at approksimere funktionsværdien i intervallets
slutpunkt.
Efter 2. ordens bliver 4. ordens Runge-Kuttametode introduceret. Denne bliver
efterfølgende anvendt til at approksimere Lotka-Volterramodellen, da den er
den mest nøjagtige af disse to.
2. ordens Runge-Kuttametode er baseret p˚a 2. ordens Taylorpolynomier. Antag,
at approksimationerne x1, x2, . . . , xn er bestemt, og at det ønskes at bestemme
xn+1 ≈ x(tn+1).
Betragt det følgende 2. ordens Taylorpolynomium:
x(t1) ≈ x0 + hx ′ (t0) + h2
2 x′′ (t0) (6.3)
Lad k1 = f(t0, x0), hvorved der ud fra et trin af længden αh f˚as, at
x(t0 + αh) ≈ x0 + αhk1
Sæt k2 = f(t0 + αh, x0 + αhk1). Der gælder s˚a, at
x ′′
0 ≈ x′ (t0 + αh) − x ′ (t0)
αh
≈ hf(t0 + αh, x0 + αhk1) − f(t0, x0)
αh
= k2 − k1
αh
Den approksimerede værdi af x(t1) bliver s˚aledes
x1 = x0 + hk1 + h2
=
k2 − k1
2 αh
x0 + h k1 1 − 1
+
2α
k2
2α
(6.4)
(6.5)
Tilsvarende giver ligning (6.5) efter n iterationer
xn+1 = xn + h k1 1 − 1
+
2α
k2
k1 = f(tn, xn)
, hvor
2α
k2 = f (xn + αh, xn + αhk1)
Ovenst˚aende er den generelle formel for 2. ordens Runge-Kuttametode. Med
Runge-Kuttametoden bliver approksimationen bedre jo højere orden, der anvendes.
Den mest anvendte Runge-Kuttametode er 4. ordens, som er givet ved

86 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATION
følgende:
xn+1 = xn + h k1 + 2(k2 + k3) + k4
, hvor
6
⎧
⎪⎨
⎪⎩
k1 = f(tn, xn)
k2 = f(tn + h
2 , xn + h
2 k1)
k3 = f(tn + h
2 , xn + h
2 k2)
k4 = f(tn + h, xn + hk3)
(6.6)
Her er k1, k2, k3 og k4 hældninger, hvilke er estimater p˚anær k1 ved den første
approksimation.
6.2.1 Afvigelse ved Runge-Kuttametoder
Ligesom i Eulers metode angiver vi afvigelsen og fejlen ved hjælp af O-notation.
Fejlens størrelse angives med hensyn til skridtlængden h. Det gøres først for 2.
ordens og efterfølgende for 4. ordens Runge-Kuttametoden.
For 2. ordens Runge-Kuttametoden følger fra ligning (6.4), at den har en fejl af
størrelsesordenen O(h). Fra ligning (6.3) følger, at restleddene er af størrelsesordenen
O(h 3 ), da ligning (6.4) bliver multipliceret med h 2 .
Argumentationen følger analogt for 4. ordens Runge-Kuttametoden. Den globale
fejl bestemmes her til O(h 4 ). Det følger af, at for det enkelte skridt er restleddet
af størrelsesordenen O(h 5 ) ≈ Ch 5 , hvor C ∈ R, eftersom
Ch 5 N = (b − a)Ch 5 = Ch 4
Det skyldes, at N = b − a, og h = b−a
N . Som følge deraf bliver den samlede rest
af størrelsesordenen O(h4 ).
6.3 Lotka-Volterra
Vi benytter i dette afsnit de metoder, som blev gennemg˚aet ovenfor, til at approksimere
en løsning til Lotka-Volterramodellen. Der vurderes ogs˚a p˚a, hvor
gode metoderne er.
6.3.1 Eulers metode
I dette afsnit anvendes Eulers metode p˚a Lotka-Volterramodellen. Som tidligere
nævnt indeholder modellen to variable, b og r:
⎫
db
= (A − Br)b ⎪⎬
dt
hvor A, B, C, D ∈ R+ (6.7)
dr
= (Cb − D)r
⎪⎭
dt
Derfor f˚as ved sætte h = ∆t og anvende formel (6.1), at
bk = bk−1 + (A − Brk−1)bk−1∆t
rk = rk−1 + (Cbk−1 + D)rk−1∆t
For at kunne udføre eksperimenter skal konstanterne A, B, C, D samt begyndelsesværdierne
b(t0) = b0 og r(t0) = r0 være kendte.

6.3 Lotka-Volterra 87
Selve eksperimentet med Eulers metode best˚ar af to test. I tabel 6.1 ses opsætningerne
til hver test.
1. Opsætning
Konstant A 1
Konstant B 1
Konstant C 1
Konstant D 1
Skridtlængde ∆t 0.01
Beg.-værdier (b0, r0) (1.2,0.7)
Antal iterationer 20000
2. Opsætning
Konstant A 1
Konstant B 1
Konstant C 1
Konstant D 1
Skridtlængde ∆t 0.001
Beg.-værdier (b0, r0) (1.2,0.7)
Antal iterationer 20000
Tabel 6.1: Opsætninger til eksperimentet med Eulers metode
Herunder gennemløbes nogle iterationer med den første opsætning ved hjælp af
Eulers metode:
1. iteration:
b1 = b0 + (A − Br0)b0∆t = 1, 2 + (1 − 1 · 0, 7)1, 2 · 0, 01 = 1, 2036
r1 = r0 + (Cb0 − D)r0∆t = 0, 7 + (1 · 1, 2 − 1)0, 7 · 0, 01 = 0, 7014
2. iteration:
b2 = b1 + (A − Br1)b1∆t = 1, 2036 + (1 − 1 · 0, 7014)1, 2036 · 0, 01 = 1, 2072
r2 = r1 + (Cb1 − D)r1∆t = 0, 7014 + (1 · 1, 2036 − 1)0, 7014 · 0, 01 = 0, 7028
3. iteration:
b3 = b2 + (A − Br2)b2∆t = 1, 2072 + (1 − 1 · 0, 7028)1, 2072 · 0, 01 = 1, 2108
r3 = r2 + (Cb2 − D)r2∆t = 0, 7028 + (1 · 1, 2072 − 1)0, 7028 · 0, 01 = 0, 7043
De efterfølgende approksimationer udregnes p˚a lignende vis. P˚a figur 6.1 og
6.2 ses resultaterne for begge test med nævnte opsætninger. Ved en stor
skridtlængde opn˚as nødvendigvis ikke en særlig præcis approksimation ved hver
udregning, og da den efterfølgende approksimation er baseret p˚a den forrige
udregning giver dette en spiralerende løsningskurve fremfor en lukket kurve.
Hvis skridtlængden bliver tilstrækkeligt lille, som i den 2. opsætning, hvor den
blev mindsket med en faktor 10, kommer den approksimerede løsning tættere p˚a
den eksakte værdi. Det vises i figur 6.2, hvor løsningen bliver en lukket kurve.

88 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATION
Figur 6.1: Eulerapproksimation
med ∆t = 0.01 for Lotka-
Volterramodellen
6.3.2 Runge-Kuttametoder
Figur 6.2: Eulerapproksimation
med ∆t = 0.001 for Lotka-
Volterramodellen
For at kunne sammenligne resultaterne fra Eulers metode er startopsætningen
for de to test valgt til at være ens.
1. Opsætning
Konstant A 1
Konstant B 1
Konstant C 1
Konstant D 1
Skridtlængde ∆t 0.01
Beg.-værdier (b0, t0) (1.2,0.7)
Antal iterationer 20000
2. Opsætning
Konstant A 1
Konstant B 1
Konstant C 1
Konstant D 1
Skridtlængde ∆t 0.001
Beg.-værdier (b0, t0) (1.2,0.7)
Antal iterationer 20000
Tabel 6.2: Opsætninger til eksperimentet med Runge-Kuttametoden
For at vise hvordan Runge-Kuttametoden fungerer med den viste opsætning i
tabel 6.2 laves et eksempel med to iterationer. S˚aledes bestemmes (b1, r1) og
(b2, r2) ud fra begyndelsesværdien (b0, r0).
I tabel 6.3 er resultaterne vist for de hældninger, som bruges til at udregne
approksimationen. For en mere detaljeret udregning henvises til appendiks A.5.

6.4 Opsummering 89
kb11 = 0, 36
kr11 = 0, 14
kb12 = 0, 3597
kr12 = 0, 1414
kb13 = 0, 3597
kr13 = 0, 1414
kb14 = 0, 3594
kr14 = 0, 1428
b1 = 1, 2036
r1 = 0, 7014
kb21 = 0, 3594
kr21 = 0, 1428
kb22 = 0, 3591
kr22 = 0, 1442
kb23 = 0, 3590
kr23 = 0, 1442
kb24 = 0, 3587
kr24 = 0, 1456
b2 = 1, 2072
r2 = 0, 7029
Tabel 6.3: Testresultat for Runge-Kuttametoden af 4. orden
Tabel 6.3 viser approksimationen af to punkter. De efterfølgende approksimationer
udregnes p˚a samme m˚ade. Figurerne 6.3 og 6.4 viser resultaterne for
henholdsvis ∆t = 0, 01 og ∆t = 0, 001.
Figur 6.3: Runge-Kuttametode med
∆t = 0, 01
Figur 6.4: Runge-Kuttametode med
∆t = 0, 001
Til forskel fra Eulers metode bemærkes det, at i dette tilfælde er approksimationerne
s˚a præcise, at en formindskning af skridtlængden ikke har s˚a stor en
betydning. Dette viser, at Runge-Kuttametoderne har en større præcision end
Eulers metode.
6.4 Opsummering
I dette kapitel har vi gennemg˚aet de numeriske metoder, Eulers metode og
Runge-Kuttametoder. Ved Eulers metode n˚aede vi frem til, at skridtlængden
har stor betydning for resultatet. Vi n˚aede frem til dette, da metoden ved
en stor skridtlængde gav en spiralerende kurve, hvorimod det ved en mindre
skridtlængde gav en lukket kurve. Skridtlængden havde derimod ikke den
store betydning i Runge-Kuttametoderne, eftersom det ved begge de valgte
skridtlængder gav lukkede kurver.
Vi kunne derefter sammenligne de to metoder, og hvor godt de approksimerede
en løsning til Lotka-Volterramodellen. Vi n˚aede derigennem frem til, at Runge-

90 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATION
Kuttametoderne er mere præcise end Eulers metode, hvilket fremg˚ar af en sammenligning
af størrelsesordenen af den globale fejl for hver af metoderne.

Kapitel 7
Afrunding
Vi har i denne rapport arbejdet med dynamiske systemer. Vi valgte at beskæftige
os med det dynamiske system, som beskriver samspillet mellem rovdyr og byttedyr.
Først lagde vi ud med en række grundlæggende begreber i forhold til 1.
ordens differentialligninger. Ud fra den gennemg˚aede teori om differentialligninger
opstillede vi to differentialligninger. Én for væksthastigheden for rovdyrene,
n˚ar de lever isolerede, og én for byttedyrene, n˚ar de lever isolerede.
For at være i stand til at tale om entydige løsninger til differentialligninger var
det nødvendigt at bevise eksistens- og entydighedssætningen. Det er ogs˚a herp˚a,
fokus i rapporten har ligget. For at kunne bevise den sætning m˚atte vi gennemg˚a
teori vedrørende metriske rum samt bevise Banachs fikspunktssætning.
Herefter beviste vi eksistens- og entydighedssætningen. For at kunne benytte
sætningen skal en række betingelser for differentialligningssystemet være opfyldt.
Det skal være kontinuert og opfylde en lokal Lipschitz-betingelse. Efterfølgende
beskæftigede vi os med et par eksempler. Det første eksempel illustrerede,
at der kun med sikkerhed er en lokal løsning, n˚ar sætningen gælder. Det
andet eksempel illustrerede et tilfælde, hvor en differentialligning ikke opfylder
en lokal Lipschitz-betingelse. I dette eksempel var der uendelig mange forskellige
løsninger.
Vi behandlede dernæst plane, lineære systemer af 1. ordens autonome differentialligninger.
Vi definerede ligevægtspunkter samt løsninger til et s˚adant system.
Til slut i kapitlet opstillede vi en spor-determinantplan, ud fra hvilken det er
muligt at udtale sig om løsningernes opførsel ved kendskab til systemets egenværdier.
Teorien om plane, lineære systemer blev dernæst brugt i forbindelse med linearisering.
Før vi kunne g˚a i gang med linearisering, m˚atte vi definere differentiabilitet
for en vektorfunktion. Dette gjorde os i stand til at udtale os om,
hvorn˚ar de partielle afledede eksisterer, og taget i et bestemt punkt udgør de
Jacobimatricen.
Vi valgte at gennemg˚a det tilfælde, hvor det lineariserede system har et ligevægtspunkt
med sadelopførsel, eftersom dette havde mest relevans i forhold
til Lotka-Volterramodellen. I forbindelse med denne udledte vi ved hjælp af
væksthastigheden for henholdsvis rovdyrene og byttedyrene en model, hvor
rovdyrene og byttedyrene p˚avirker hinandens eksistens. Modellens to ligevægtspunkter
blev beregnet. I det ene kunne systemet lineariseres. Men ud fra Jacobimatricen
blev det klart, at det andet ligevægtspunkt ikke var hyperbolsk, s˚a

92 KAPITEL 7. AFRUNDING
derfor kunne det ikke lineariseres.
Vi gik derfor videre med to metoder til stabilitetsundersøgelse for at f˚a et mere
præcist indblik i systemets opførsel omkring det ikke-hyperbolske ligevægtspunkt.
Først definerede vi tre former for stabilitet, som et ligevægtspunkt kan
befinde sig i. Dernæst blev teorien omhandlende nulkliner gennemg˚aet. Herunder
hvordan de findes, og hvad der kan tolkes ud fra dem.
Herefter beskæftigede vi os med en anden metode til stabilitetsundersøgelse,
Lyapunov-funktioner. Først definerede vi, hvad en Lyapunov-funktion er, og
dernæst beviste vi Lyapunovs sætning. De nødvendige værktøjer var hermed
blevet introduceret, og de kunne dernæst anvendes p˚a Lotka-Volterramodellen.
Først fandt vi systemets nulkliner og optegnede retningsfeltet med nulklinerne.
Det var herigennem muligt at f˚a et indblik i løsningernes opførsel omkring
ligevægtspunkterne. For at f˚a større indsigt i løsningernes opførsel konstruerede
vi en Lyapunov-funktion for det ikke-hyperbolske ligevægtspunkt. Derigennem
kunne vi konkludere, at løsningerne enten var spiralerende eller lukkede kurver.
Her sandsynliggjorde vi, at løsningerne omkring dette ligevægtspunkt var
lukkede kurver.
Efter dette gennemgik vi nogle numeriske approksimationsmetoder, Eulers
metode og Runge-Kuttametoder. Vi anvendte først Eulers metode p˚a Lotka-
Volterramodellen og n˚aede frem til, at hvis skridtlængden blev valgt tilpas
lille, fik vi en lukket kurve. Efterfølgende benyttede vi 2. og 4. ordens Runge-
Kuttametoderne p˚a Lotka-Volterramodellen. Her n˚aede vi ligeledes frem til, at
løsningskurverne var lukkede kurver.
Vi har dermed bearbejdet Lotka-Volterramodellen p˚a baggrund af samtlige emner,
som vi har beskæftiget os med i denne rapport. Vi har s˚aledes f˚aet et klart
billede af, hvordan modellen opfører sig.

Litteratur
[Axl97] Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right. Springer, second edition,
1997. ISBN 0-387-98258-2.
[CF99] Jens Carstensen and Jesper Frandsen. Mat 3H. Forlaget Systime A/S,
first edition, 1999. ISBN 87-616-0055-5.
[Che] W W L Chen. Linear functional analysis. http://www.maths.mq.
edu.au/~wchen/lnlfafolder/lfa07-ilt.pdf.
[Coh03] Graeme Cohen. A Course in Modern Analysis and its Applications.
Cambridge University Press, first edition, 2003. ISBN 0-521-52627-2.
[Cor06] Horia D. Cornean. On 2d systems of first order linear ode’s, 2006.
[CR05] Henrik Vie Christensen and Bo Rosbjerg. Kompendium i komplekse
tal og differentialligninger. 2005.
[EP01] C. Henry Edwards and David E. Penney. Differential Equations &
Linear Algebra. Prentice Hall International, Inc., international edition,
2001. ISBN 0-13-090362-0.
[HSD04] Morris W. Hirsch, Stephen Smale, and Robert L. Devaney. Differential
Equations, Dynamical Systems & An Introduction to Chaos. Elsevier
Academic Press, second edition, 2004. ISBN 0-12-349703-5.
[Jen93] Arne Jensen. Fixpunktsætningen og eksistens af løsning til sædvanlig
differentialligning, 1993.
[Jen00] Helge Elbrønd Jensen. Matematisk analyse 1. Notex Tryk & Design,
fourth edition, 2000. ISBN 87-88764-56-7.
[KJ06] Werner Kohler and Lee Johnson. Elementary Differential Equations
with Boundary Value Problems. Pearson Addison Wesley, second edition,
2006. ISBN 0-321-28835-1.
[Lay03] David C. Lay. Linear Algebra and It’s Applications. Pearson Education,
international edition, 2003. ISBN 0-321-14992-0.
[Tur00] Peter R. Turner. Guide to Scientific Computing. Macmillan Press Ltd,
second edition, 2000. ISBN 0-333-79450-8.
[Wad04] William R. Wade. An Introduction To Analysis. Pearson Prentice Hall,
third edition, 2004. ISBN 0-13-124683-6.

[Wei91] Giordano Weir. Differential Equations. Addison Wesley, third edition,
1991. ISBN 0-201-17208-9.
[Wik] Den Frie Encyklopædi Wikipedia. Eulers formel. http://da.
wikipedia.org/wiki/Eulers_formel.

Bilag A
Appendiks
A.1 Separation af de variable
Dette appendiks er baseret p˚a [CF99].
Sætning A.1 Separation af de variable
Lad funktionen h være kontinuert i intervallet I, og lad funktionen g
være kontinuert i intervallet J. Funktionen g skal desuden opfylde, at
g(x) = 0 for alle x ∈ J. Lad f : I → J være en funktion. Da gælder,
at
x = f(t) er løsning til
x = f(t) er løsning til
dx
= h(t)g(x) ⇔
dt
1
dx = h(t)dt
g(x)
Bevis. Det antages, at h er kontinuert p˚a intervallet I, og at g er kontinuert
og forskellig fra 0 p˚a intervallet J.
Der tages udgangspunkt i udtrykket dx
dt = h(t) · g(x). Eftersom g(x) = 0 for alle
x ∈ J, er det tilladt at dividere g(x) over p˚a den anden side:
dx
dt
1 dx
= h(t)g(x) ⇔ = h(t)
g(x) dt
Herefter erstattes x med f(t) og dx
dt med f ′ (t):
1 dx
= h(t) ⇔
g(x) dt
1
g(f(t)) f ′ (t) = h(t) (A.1)
Eftersom g er kontinuert og forskellig fra 0 i intervallet J, betyder det i henhold
til sætning 3.22 i [Wad04], at funktionen 1
g(x) ogs˚a er kontinuert p˚a J. Det er
derfor muligt at finde en stamfunktion G hertil, jf. sætning 5.10 i [Wad04]:
1
G(x) =
g(x) dx ⇔ G′ (x) = 1
g(x)

Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′f(t) f ′ 1 (t) = f
g f(t)
′ (t). Derfor er det muligt at
erstatte venstresiden i (A.1) med (G ◦ f) ′ (t).
Da h er kontinuert p˚a intervallet I, har den ogs˚a en stamfunktion H. Dermed
er det muligt at erstatte højresiden i (A.1) med H ′ (t):
1
g f(t) f ′ (t) = h(t) ⇔
(G ◦ f) ′ (t) = H ′ (t) ⇔
(G ◦ f) ′ (t) − H ′ (t) = 0
Ifølge sætning 4.10 i [Wad04] er det tilladt at samle (G ◦ f) ′ (t) − H ′ (t):
Herefter indsættes, at f(t) = x:
(G ◦ f) ′ (t) − H ′ (t) = 0 ⇔
(G ◦ f)(t) − H(t) ′ = 0 ⇔
G f(t) − H(t) = k, k ∈ R
G f(t) − H(t) = k ⇔
G(x) − H(t) = k ⇔
G(x) = H(t) + k ⇔
1
dx = h(t)dt
g(x)
Den sidste biimplikation følger af definitionen af G og H.

A.2 Kædereglen
Dette appendiks er baseret p˚a [Wad04].
Sætning A.2 Kædereglen for vektorfunktioner
Lad a ∈ R n og lad g : R n → R m og f : R m → R p være vektorfunktioner.
Hvis g er differentiabel i a, og f er differentiabel i g(a), s˚a er f ◦ g
differentiabel i a, og
D(f ◦ g)(a) = Df g(a) Dg(a)
Bevis. Sæt T = Df g(a) Dg(a). Det er værd at bemærke, at matricen T
har den rette størrelse til at være Jacobimatricen for f ◦ g(a). Dette skyldes, at
T er produktet mellem en (p × m)-matrix og en (m × n)-matrix, s˚aledes bliver
T en (p × n)-matrix.
Jacobimatricen for en vektorfunktion i et punkt er entydig. Det følger heraf, at
det, der skal vises, er, at
f(g(a + h)) − f(g(a)) − T (h)
lim
= 0
h→0
||h||
For at vise at ovenst˚aende gælder, sættes b = g(a). For h og k tilstrækkeligt
sm˚a, sættes ε(h) og δ(k) til følgende:
ε(h) = g(a + h) − g(a) − Dg(a)(h)
δ(k) = f(b + k) − f(b) − Df(b)(k)
Da g er differentiabel i a, følger at ε(h)
||h|| → 0 i Rm , n˚ar h → 0 i Rn . P˚a samme
m˚ade følger, at δ(k)
||k|| → 0 i Rp , n˚ar k → 0 i Rm , idet f er differentiabel i g(a).
Lad h være tilstrækkelig lille, og lad k være givet ved:
k = g(a + h) − g(a)
.
Der omskrives nu p˚a udtrykket f(g(a + h)) − f(g(a)). Først trækkes g(a) fra og
lægges til igen:
f(g(a + h)) − f(g(a)) = f(g(a) + g(a + h) − g(a)) − f(g(a))
Herefter indsættes at b = g(a), og k = g(a + h) − g(a):
f(g(a) + g(a + h) − g(a)) − f(g(a)) = f(b + k) − f(b)
Da δ(k) = f(b + k) − f(b) − Df(b)(k), f˚as at
Det indsættes, at k = g(a + h) − g(a):
f(b + k) − f(b) = Df(b)(k) + δ(k)
Df(b)(k) + δ(k) = Df(b)(g(a + h) − g(a)) + δ(k)

Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a) − Dg(a)(h) og b = g(a), f˚as at
Df(b)(g(a + h) − g(a)) + δ(k) =
Df(g(a))(Dg(a)(h) + ε(h)) + δ(k)
Udtrykket Df(g(a)) ganges ind i parentesen:
Df(g(a))(Dg(a)(h) + ε(h)) + δ(k) =
Df(g(a))(Dg(a)(h)) + Df(g(a))(ε(h)) + δ(k)
Da T = Df g(a) Dg(a) og b = g(a), f˚as at
Det følger heraf, at
Df(g(a))(Dg(a)(h) + Df(g(a))(ε(h)) + δ(k) =
T (h) + Df(b)(ε(h)) + δ(k)
f(g(a + h)) − f(g(a)) − T (h) = Df(b)(ε(h)) + δ(k)
For at gøre beviset færdigt sættes
Nu skal det blot vises, at
T1(h) = Df(b)(ε(h)) T2(h) = δ(k)
Tj(h)
||h||
Da Df(b) er en lineær operator, gælder at
Det vides, at ε(h)
||h||
T1(h)
||h||
→ 0, n˚ar h → 0 for j = 1, 2.
= Df(b)(ε(h))
||h||
= Df(b)
ε(h)
||h||
→ 0 n˚ar h → 0. Enhver lineær operator afbilleder 0 over i
0, jf. proposition 3.1 i [Axl97]. Eftersom der ifølge [Che] gælder, at Df(b) er
kontinuert i 0, f˚as at
ε(h)
Df(b) → 0, n˚ar h → 0
||h||
For at bevise at T2(h)
||h||
Derfor bestemmes normen af k:
||k||
→ 0, n˚ar h → 0, skal det først vises, at ||h|| er begrænset.
||k|| = ||g(a + h) − g(a)||
Da ε(h) = g(a + h) − g(a) − Dg(a)(h), f˚as at
||k|| = ||Dg(a)(h) + ε(h)||
Trekantsuligheden anvendes p˚a dette udtryk:
||Dg(a)(h) + ε(h)|| ≤ ||Dg(a)(h)|| + ||ε(h)||

Eftersom Dg(a) er en lineær operator, kan sætning 8.17 i [Wad04] anvendes:
||Dg(a)(h)|| + ||ε(h)|| ≤ ||Dg(a)|| · ||h|| + ||ε(h)||
Samlet set gælder derfor følgende:
Udtrykket ||k||
||h||
||k|| ≤ ||Dg(a)|| · ||h|| + ||ε(h)||
er begrænset, da
∃µ ∈ R+ : ||k||
||ε(h)||
≤ ||Dg(a)|| + ≤ ||Dg(a)|| + 1 for ||h|| < µ
||h|| ||h||
Da ||k|| = ||g(a + h) − g(a)||, betyder det, at k → 0 i Rm , n˚ar h → 0 i Rn . Ved
at forlænge brøken ||T2(h)||
||h|| med ||k|| og indsætte, at T2(h) = δ(k) f˚as følgende:
Da ||k||
||h||
0, gælder at
T2(h)
||h||
||k|| ||δ(k)||
= ·
||h|| ||k||
er begrænset, n˚ar h er tilstrækkelig lille, og grænseværdien til ||δ(k)||
||k|| er
T2(h)
||h||
||k|| ||δ(k)||
= · → 0 n˚ar h → 0
||h|| ||k||
Det kan hermed konkluderes, at f ◦ g er differentiabel i punktet a, og Jacobimatricen
er entydig bestemt ved Df(g(a))Dg(a). Hermed er sætningen bevist.

A.3 Middelværdisætning
For at bevise den generaliserede middelværdisætning er det nødvendigt først at
bevise Rolle’s sætning, da denne bruges til udledning af førstnævnte sætning.
Begge sætninger bygger p˚a [Wad04].
Lemma A.3 Rolle’s sætning
Lad f : I → R, hvor I ⊆ R, være en funktion, og lad a, b ∈ I, hvor
a = b. Hvis f er kontinuert p˚a intervallet [a; b], differentiabel p˚a ]a; b[,
og f(a) = f(b), s˚a eksisterer c ∈]a; b[, s˚aledes f ′ (c) = 0.
Bevis. Funktionen f er kontinuert p˚a det lukket interval [a; b]. I henhold til
sætning 3.26 i [Wad04] antager f dermed b˚ade maksimum M og minimum m
i intervallet. I det tilfælde at m = M, er f en konstant funktion p˚a intervallet
[a; b], og f ′ (x) = 0 for alle x ∈]a; b[.
Antag derfor, at m < M. Hvis f(a) = f(b), antager f enten M eller m i et punkt
c ∈]a; b[. Idet m = M, kan f ikke antage m i det ene endepunkt og M i det
andet. Sætningen bevises i det tilfælde, hvor f antager M i et punkt c ∈]a; b[.
Beviset for f(c) = m følger analogt.
Da M er maksimum for f p˚a [a; b], gælder for alle h ∈ R, for hvilke c+h ∈ [a; b],
følgende:
Hvis h > 0 f˚as, at
For h < 0 f˚as, at
Eftersom f er differentiabel, følger at
f(c + h) − f(c) ≤ 0
f ′ f(c + h) − f(c)
(c) = lim
≤ 0
h→0+ h
f ′ f(c + h) − f(c)
(c) = lim
≥ 0
h→0− h
f ′ f(c + h) − f(c)
(c) = lim
= 0
h→0 h
Hermed er sætningen bevist.
Nu er det muligt at bevise den generaliserede middelværdisætning:
Sætning A.4 Den generaliserede middelværdisætning
Antag, at a, b ∈ R, hvor a = b. Hvis funktionerne f og g er kontinuerte
p˚a intervallet [a; b] og differentiable p˚a ]a, b[, s˚a eksisterer et c ∈]a, b[,
s˚aledes at
f ′ (c) g(b) − g(a) = g ′ (c) f(b) − f(a)

Bevis. Til at bevise sætningen indføres en funktion h:
h(x) = f(x) g(b) − g(a) − g(x) f(b) − f(a)
Af forskriften for h fremg˚ar det, at h er kontinuert p˚a [a; b], eftersom f og g er
kontinuerte p˚a [a; b], jf. sætning 3.22 i [Wad04]. Eftersom f og g er differentiable
p˚a ]a; b[, er h ogs˚a differentiabel p˚a ]a; b[. Det følger af sætning 4.10 i [Wad04].
Hvis h differentieres, f˚as følgende:
h ′ (x) = f ′ (x) g(b) − g(a) − g ′ (x) f(b) − f(a)
Funktionsværdien af h beregnes i endepunkterne af intervallet [a; b]:
h(b) = f(b) g(b) − g(a) − g(b) f(b) − f(a)
= f(b)g(b) − f(b)g(a) − g(b)f(b) + g(b)f(a)
= g(b)f(a) − f(b)g(a)
h(a) = f(a) g(b) − g(a) − g(a) f(b) − f(a)
= f(a)g(b) − f(a)g(a) − g(a)f(b) + g(a)f(a)
= g(b)f(a) − f(b)g(a)
Heraf ses, at h(a) = h(b).
Hermed er det vist, at Rolle’s sætning A.3 kan anvendes p˚a h. Det betyder, at
der eksisterer mindst et c ∈]a; b[, s˚a h ′ (c) = 0, dvs.:
h ′ (c) = f ′ (c) g(b) − g(a) − g ′ (c) f(b) − f(a) = 0 ⇔
g ′ (c) f(b) − f(a) = f ′ (c) g(b) − g(a)
Dermed er sætningen bevist.
Af den generaliserede middelværdisætning følger nedenst˚aende middelværdisætning:
Korollar A.5 Middelværdisætning
Antag, at a, b ∈ R, hvor a = b. Hvis funktionen f er kontinuert p˚a intervallet
[a; b] og differentiabel p˚a ]a, b[, s˚a eksisterer et c ∈]a, b[, s˚aledes
f(b) − f(a) = f ′ (c)(b − a)
Bevis. Indfør en funktion g(x) = x. Eftersom g er kontinuert p˚a [a; b] og
differentiabel p˚a ]a; b[, eksisterer i henhold til A.4 et c ∈]a; b[, s˚a
f ′ (c) g(b) − g(a) = g ′ (c) f(b) − f(a) ⇒
f ′ (c)(b − a) = f(b) − f(a)
Hermed er det ønskede bevist.

A.4 Taylors formel
Dette appendiks er baseret p˚a [Wad04] og giver et bevis for Taylors formel
i R 2 . Beviset anvender Taylors formel i R, men denne bevises ikke, da den
forudsættes kendt.
For at kunne bestemme Taylors formel for funktioner af to variable starter vi
med at definere, hvad det vil sige, at en funktions p’te ordens totaldifferentiale
eksisterer.
Definition A.6 Det p’te ordens totaldifferentiale for funktioner
af to variable
Lad V ⊆ R 2 være en ˚aben mængde. Lad a ∈ V , og lad f : V → R.
S˚aledes eksisterer f’s p’te ordens totaldifferentiale i a, hvis og kun hvis
de p’te ordens partielle afledede af f eksisterer og er differentiable i a,
hvor p ≥ 1. Det angives ved:
D (p) f(a; h) =
2
· · ·
i1=1
hvor h = (h1, h2) ∈ R 2
j=1
i1=1
2 ∂pf (a)hi1 . . . hip ,
∂xi1 . . . ∂xip
ip=1
Af definitionen følger, at
D (p) f(a; h) =
(1)
D D (p−1)
f (a; h)
⎛
=
2
2 ∂
⎝ · · ·
∂xj
2
ip−1=1
∂p−1 ⎞
f
(a)hi1 . . . hip−1
∂xi1 . . . ∂xip−1
⎠ hj
Nu da definitionen for totaldifferentialet er etableret, er der kun nogle f˚a definitioner,
som skal p˚a plads, inden Taylors formel i R 2 kan beskrives. Vi starter
med, hvad det vil sige, at en mængde er konveks:
Definition A.7 Konveks mængde
En mængde V i et Euklidisk rum, dvs. et rum med den Euklidiske
afstandsfunktion, kaldes konveks, hvis liniestykket L(a, b) ⊆ V for alle
a, b ∈ V .
Nu kan Taylors formel i R 2 beskrives:

Sætning A.8 Taylors formel i R 2
Lad p ∈ N, og lad V ⊆ R 2 være en ˚aben mængde og x, a ∈ V , som er
konveks og antag endvidere, at f : V → R og f er C p i V . Hvis f’s p’te
totaldifferentiale eksisterer i V , og L(x; a) ⊆ V , s˚a findes der et punkt
c ∈ L(x; a), s˚a
p−1
1
f(x) = f(a) +
k! D(k) f(a; h) + 1
p! D(p) f(c; h). (A.2)
Her er h = x − a.
k=1
Bevis. Lad h = x − a. Vælg et δ > 0, s˚aledes a + th ⊂ V for
t ∈ Iδ = (−δ, 1 + δ). Lad der ogs˚a være en givet funktion F (t) = f(a + th).
Denne funktion er differentiabel p˚a Iδ. Ved induktion vises, at den
j-te afledte af F er givet ved
F (j) (t) =
2
· · ·
i1=1
for j = 1, 2, . . . , p
2 ∂jf (a + th)hi1 . . . hij , (A.3)
∂xi1 . . . ∂xij
ij=1
Basistrin: Basistrinet laves for j = 1, dvs. at den 1. afledte af F bestemmes.
Hertil anvendes kædereglen i appendiks A.2:
F ′ (t) = Df(a + th)(h) = ∂f
(a + th)h1 +
∂x1
∂f
(a + th)h2
∂x2
(A.4)
Dermed gælder ligningen for j = 1.
Induktionstrin: Induktionsantagelsen er, at ligningen gælder for de første (j −1)te
afledede af F .
Ligningen vises nu for den j-te afledede af F :
F (j) (t) = D(D (j−1) f(a + th))
=
=
=
2 ∂
(D
∂xij
(j−1) f(a + th)) · hij
⎛
2
2 ∂
⎝ · · ·
∂xij
2 ∂j−1 ⎞
f
(a + th)hi1 · · · hij−1
⎠ · hij
∂xi1 · · · ∂xij
ij=1
ij=1
2
· · ·
i1=1
ij=1
ij=1
ij−1=1
2 ∂jf (a + th)hi1 · · · hij
∂xi1 · · · ∂xij
Det er hermed bevist, at ligningen gælder.
Endvidere giver
F (j) (0) = D (j) f(a; h), for j = 1, . . . , p − 1
F (p) (t) = D (p) f(a + th; h), for t ∈ Iδ
(A.5)

Da F er p gange differentiabel p˚a Iδ og [0; 1] ⊂ Iδ f˚as ved hjælp af Taylors formel
for én variabel, at der findes et t0 ∈ [0, 1], s˚aledes
f(x) − f(a) = F (1) − F (0), da F (t) = f(a + th)
=
=
Sættes c = a + t0h, f˚as at
f(x) − f(a) =
p−1
j=1
1
j! F (j) (0) + 1
p! F (p) (t0)
p−1
1
j! D(j) f(a; h) + 1
p! D(p) f(a + t0h; h)
j=1
p−1
1
j! D(j) f(a; h) + 1
p! D(p) f(c; h) ⇔
j=1
p−1
1
f(x) = f(a) +
j! D(j) f(a; h) + 1
p! D(p) f(c; h)
j=1
Dermed er sætningen bevist.

A.5 Iterationer ved RK4
I dette afsnit vises en detaljeret udregning af, hvordan iterationerne for 4. ordens
Runge-Kutta metode bliver udregnet. Vi antager, at følgende værdier gælder for
Lotka-Volterramodellen:
1. Opsætning
Konstant A 1
Konstant B 1
Konstant C 1
Konstant D 1
Skridtlængde ∆t 0.01
Startværdier (b0, t0) (1.2,0.7)
Vi viser herunder en gennemgang af to iterationer:
Iteration 1:
Værdierne kb11 . . . kb14 og kr11 . . . kr14 bestemmes først:
kb11 = f(t0, b0) = (A − Br0)b0 = (1 − 1 · 0, 7)1, 2 = 0, 36
kr11 = f(t0, b0) = (Cb0 − D)r0 = (1 · 1, 2 − 1)0, 7 = 0, 14
kb12 =
f t0 + ∆t
2 , b0 + ∆t
2 kb11
= (A − Br0)(b0 + ∆t
2 kb11)
=
0, 01
(1 − 1 · 0, 7)(1, 2 + · 0, 36) = 0, 3597
2
kr12 =
f t0 + ∆t
2 , r0 + ∆t
2 kr11
= (Cb0 − D)(r0 + ∆t
2 kr11)
= (1 · 1, 2 − 1)(0.7 +
0, 01
2
· 0, 14) = 0, 1414
kb13 =
f t0 + ∆t
2 , b0 + ∆t
2 kb12
= (A − Br0)(b0 + ∆t
2 kb12)
=
0, 01
(1 − 1 · 0, 7)(1, 2 + · 0, 3597) = 0, 3597
2
kr13 =
f t0 + ∆t
2 , r0 + ∆t
2 kr12
= (Cb0 − D)(r0 + ∆t
2 kr12)
= (1 · 1, 2 − 1)(0, 7 +
0, 01
2
· 0, 1414) = 0, 1414
kb14 = f (t0 + ∆t, x0 + ∆t · kb13) = (A − Br0)(b0 + ∆t · kb13)
= (1 − 1 · 0, 7)(1.2 + 0, 01 ∗ 0, 3597) = 0, 3594
kr14 = f (t0 + ∆t, x0 + ∆t · kr13) = (Cb0 − D)(r0 + ∆t · kr13)
= (1 · 1, 2 − 1)(0, 7 + 0.01 · 0, 1414) = 0, 1428

1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13) + kb14
6
0, 36 + 2(0, 3597 + 0, 3597) + 0, 3594
= 1, 2 + 0, 01 · = 1, 2036
6
r1 = b0 + ∆t kr11 + 2(kr12 + kr13) + kr14
6
0, 14 + 2(0, 1414 + 0, 1414) + 0, 1428
= 0.7 + 0, 01 · = 0, 7014
6
Iteration 2:
Nu bestemmes værdierne kb21 . . . kb24 og kr21 . . . kr24:
kb21 = f(t0, b0) = (A − Br0)b0 = (1 − 1 · 0.7014)1, 2036 = 0.3594
kr21 = f(t0, b0) = (Cb0 − D)r0 = (1 · 1, 2036 − 1)0, 7014 = 0, 1428
kb22 =
f t0 + ∆t
2 , b0 + ∆t
2 kb21
= (A − Br0)(b0 + ∆t
2 kb21)
=
0, 01
(1 − 1 · 0, 7014)(1, 2036 + · 0, 3594) = 0, 3591
2
kr22 =
f t0 + ∆t
2 , r0 + ∆t
2 kr21
= (Cb0 − D)(r0 + ∆t
2 kr21)
= (1 · 1, 2036 − 1)(0, 7014 +
0, 01
2
· 0, 1428) = 0, 1442
kb23 =
f t0 + ∆t
2 , b0 + ∆t
2 kb22
= (A − Br0)(b0 + ∆t
2 kb22)
=
0, 01
(1 − 1 · 0, 7014)(1, 2036 + · 0, 3591) = 0, 3590
2
kr23 =
f t0 + ∆t
2 , r0 + ∆t
2 kr22
= (Cb0 − D)(r0 + ∆t
2 kr22)
= (1 · 1, 2036 − 1)(0, 7014 +
0, 01
2
· 0, 1442) = 0, 1442
kb24 = f (t0 + ∆, x0 + ∆t · kb23) = (A − Br0)(b0 + ∆t · kb23)
= (1 − 1 · 0, 7014)(1, 2036 + 0, 01 ∗ 0, 3590) = 0, 3587
kr24 = f (t0 + ∆t, x0 + ∆t · kr23) = (Cb0 − D)(r0 + ∆t · kr23)
= (1 · 1, 2036 − 1)(0, 7014 + 0, 01 · 0, 1442) = 0, 1456

2 = b1 + ∆t kb21 + 2(kb22 + kb23) + kb24
6
0, 3594 + 2(0, 3591 + 0, 3590) + 0, 3587
= 1, 2036 + 0, 01 · = 1, 2072
6
r2 = r1 + ∆t kr21 + 2(kr22 + kr23) + kr24
6
0, 1428 + 2(0, 1442 + 0, 1442) + 0, 1456
= 0.7014 + 0, 01 · = 0, 7029
6