Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen
Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen
Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Plane Differentialligningssystemer<br />
– <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong><br />
Rovdyr<br />
1.6<br />
1.5<br />
1.4<br />
1.3<br />
1.2<br />
1.1<br />
1.0<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2<br />
AALBORG UNIVERSITET<br />
Institut for Matematiske fag<br />
Byttedyr<br />
Gruppe G3-114, MAT 1<br />
Sabrina Munch Hansen<br />
<strong>Lars</strong> <strong>Holm</strong> <strong>Jensen</strong><br />
Maria Lundbo<br />
Thanh Dong Nguyen<br />
Camilla Bøge Slej Petersen
AALBORG UNIVERSITET <br />
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG<br />
Titel:<br />
Plane<br />
Differentialligningssystemer-<br />
<strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong><br />
Projektgruppe:<br />
G3-114<br />
Gruppemedlemmer:<br />
Sabrina Munch Hansen<br />
<strong>Lars</strong> <strong>Holm</strong> <strong>Jensen</strong><br />
Maria Lundbo<br />
Thanh Dong Nguyen<br />
Camilla Bøge Slej Petersen<br />
Vejleder:<br />
Lisbeth Fajstrup<br />
Semester:<br />
Mat 1<br />
Projekt Periode:<br />
04.09.06 til 21.12.06<br />
Oplagstal:<br />
8<br />
Antal sider:<br />
107<br />
SYNOPSIS:<br />
Dette projekt handler om plane<br />
systemer af 1. ordens sædvanlige<br />
differentialligninger. Som gennemg˚aende<br />
eksempel anvendes<br />
rovdyr-byttedyrsmodellen. Rapporten<br />
indledes med eksistens og<br />
entydighed af løsninger til differentialligninger.<br />
Dette er valgt som<br />
fokus i projektet, og derfor lægges<br />
hovedvægten her.<br />
Derefter beskæftiger rapporten sig<br />
med lineære differentialligninger.<br />
I den forbindelse bestemmes<br />
den generelle løsning til plane,<br />
lineære differentialligninger. Desuden<br />
bestemmes, hvordan løsningerne<br />
til systemer med kanoniske matricer<br />
ser ud, samt hvilken betydning det<br />
har, at andre matricer er konjugeret<br />
med en kanonisk matrice.<br />
Det næste, der beskrives, er ikkelineære<br />
systemer af differentialligninger.<br />
Der lægges ud med, hvordan<br />
det i nogle tilfælde er muligt at<br />
linearisere de ikke-lineære systemer.<br />
Herefter behandles stabilitet af ligevægtspunkter.<br />
Da det <strong>of</strong>te ikke er muligt at løse differentialligninger<br />
eksakt, ses der til<br />
sidst p˚a to metoder, Euler og Runge-<br />
Kutta, til numerisk løsning af differentialligninger.
Forord<br />
Dette projekt er udarbejdet i forbindelse med Mat1-semestret af gruppe G3-114<br />
ved Institut for Matematiske Fag ved Aalborg Universitet i perioden 4. sept. -<br />
21. dec. 2006. Projektets emne er ”Dynamiske systemer”, jf. Studieordningen.<br />
Det forudsættes, at læseren har kendskab til de basale begreber fra linear algebra<br />
s˚asom egenværdier, egenvektorer og lineær uafhængighed.<br />
Vi vil gerne takke vores vejleder, Lisbeth Fajstrup, samt vores underviser i<br />
”Differentiation, integration og dynamiske systemer”, Martin Raussen, for den<br />
store hjælp, de har ydet i forbindelse med projektets udarbejdelse.<br />
Læsevejledning<br />
Notationsmæssigt har vi valgt at skrive alle vektorer og vektorfunktioner med<br />
fede typer. Beviser afsluttes med .<br />
N˚ar der benyttes en norm, er det som udgangspunkt den Euklidiske norm, hvis<br />
ikke andet er nævnt.<br />
N˚ar der refereres til en ligning, er der parentes rundt om ligningens nummer.<br />
Dette er ikke tilfældet, n˚ar der refereres til alt andet, s˚asom kapitler og sætninger.<br />
Kilden, der er anvendt til det p˚agældende afsnit, angives ved afsnittets<br />
begyndelse. Hvis det blot er nogle f˚a sætninger, noteres kilden efter den sidste.<br />
Aalborg den 21/12 2006<br />
Sabrina Munch Hansen <strong>Lars</strong> <strong>Holm</strong> <strong>Jensen</strong><br />
Maria Lundbo Thanh Dong Nguyen<br />
Camilla Bøge Slej Petersen
Indhold<br />
1 Introduktion til differentialligninger 3<br />
1.1 Rovdyr og byttedyr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.2 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
2 Eksistens og entydighed 9<br />
2.1 Metriske rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
2.2 Banachs fikspunktssætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
2.3 Eksistens og entydighed af løsning . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2.3.1 Eksempler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
2.4 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
3 Lineære, plane differentialligningssystemer 31<br />
3.1 Plane systemer af differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
3.2 Systemer med kanoniske matricer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
3.2.1 Reelle egenværdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
3.2.2 Komplekse egenværdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
3.2.3 Gentagen egenværdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
3.2.4 Løsning af et vilk˚arligt plant, lineært system . . . . . . . 48<br />
3.2.5 Den invertible matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
3.3 Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
3.4 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
4 Linearisering 55<br />
4.1 Linearisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
4.1.1 Sadler er sadler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
4.2 <strong>Lotka</strong>-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
4.2.1 Eksistens og entydighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
4.2.2 Ligevægtspunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
4.3 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
5 Stabilitet 69<br />
5.1 Stabilitetsundersøgelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
5.1.1 Nulkliner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
5.1.2 Lyapunov-funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
5.2 <strong>Lotka</strong>-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
5.2.1 Nulkliner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
5.2.2 Lukkede kurver og Lyapunov-funktionen . . . . . . . . . . 78<br />
5.3 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
viii INDHOLD<br />
6 Numerisk approksimation 83<br />
6.1 Eulers metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83<br />
6.1.1 Afvigelse ved Eulers metode . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br />
6.2 Runge-Kuttametoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br />
6.2.1 Afvigelse ved Runge-Kuttametoder . . . . . . . . . . . . . 86<br />
6.3 <strong>Lotka</strong>-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
6.3.1 Eulers metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
6.3.2 Runge-Kuttametoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br />
6.4 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br />
7 Afrunding 91<br />
A Appendiks 95<br />
A.1 Separation af de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95<br />
A.2 Kædereglen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97<br />
A.3 Middelværdisætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
A.4 Taylors formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102<br />
A.5 Iterationer ved RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Indledning<br />
Dette projekt tager udgangspunkt i sædvanlige differentialligninger. Disse er interessante<br />
at beskæftige sig med, eftersom der findes mange fænomener, som kan<br />
beskrives ved hjælp heraf. Et eksempel herp˚a er forholdet mellem populationer<br />
af rovdyr og byttedyr.<br />
Rovdyrenes eksistens er fortrinsvist betinget af, at de har adgang til nok føde.<br />
Rovdyrene for˚arsager dermed, at der sker et fald i antallet af byttedyr. N˚ar der<br />
ikke længere er nok byttedyr til at opretholde populationen af rovdyr, vil denne<br />
aftage. Populationen af byttedyr vil s˚aledes igen vokse.<br />
De to populationers størrelser er dermed i høj grad afhængige af hinanden. Dette<br />
afhængighedsforhold kan modelleres vha. et differentialligningssystem. Det gøres<br />
ved at lade en differentialligning beskrive væksten for byttedyrene og en anden<br />
beskrive væksten for rovdyrene. Hvis antallet af rovdyr og byttedyr til et givet<br />
tidspunkt er kendt, vil det ud fra kendskabet til tilvæksten for populationerne<br />
være muligt at udtale sig om antallet af rovdyr og byttedyr efter et stykke tid.<br />
Rovdyr-byttedyrsmodellen blev først beskrevet af de to matematikere Alfred<br />
James <strong>Lotka</strong> og Vito Volterra. De havde udviklet den uafhængigt af hinanden i<br />
midten af 1920’erne. Modellen kaldes derfor ogs˚a for <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>.<br />
I denne rapport anvendes <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong> som gennemg˚aende eksempel.<br />
Dvs. at vi efter gennemgangen af noget teori eksemplificerer det gennemg˚aede<br />
med <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>.<br />
Efter en kort introduktion til differentialligninger og systemer af s˚adanne, indledes<br />
rapporten med eksistens og entydighed af løsninger til differentialligninger.<br />
Dette er fokus i projektet. Det er af naturlige˚arsager væsentligt at vide, hvorvidt<br />
en løsning overhovedet eksisterer. Men entydigheden af en s˚adan er ogs˚a meget<br />
vigtig. Det skyldes, at det f.eks. i <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong> ikke er hensigtsmæssigt,<br />
at der f˚as forskellige forslag til forholdet mellem bestanden af rovdyr og<br />
byttedyr til et givet tidspunkt. Modellen vil i s˚a fald være nyttesløs.<br />
Vi anvender i kapitlet om eksistens og entydighed ikke <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong><br />
som eksempel. Dette vælger vi, eftersom vi finder det væsentligt at komme med<br />
eksempler p˚a løsninger til differentialligninger, som enten ikke er globale eller<br />
entydige.<br />
Efter eksistens og entydighed beskæftiger vi os med den teori, som knytter sig til<br />
løsninger til plane systemer af differentialligninger. Dette kan ikke umiddelbart<br />
anvendes til <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>. Derfor udelader vi at eksemplificere i dette<br />
tilfælde. Teorien er imidlertid en forudsætning for vores videre arbejde med<br />
modellen, hvorfor det er medtaget.<br />
Dernæst beskæftiger vi os med linearisering og stabilitet af ligevægtspunkter.<br />
Dette er to vigtige metoder, som kan bruges til at konkludere, hvorledes et<br />
system, der ikke umiddelbart er analyserbart, opfører sig. Vi anvender begge
2 INDHOLD<br />
værktøjer til at analysere <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>.<br />
Da det ikke i alle tilfælde er muligt at løse en differentialligning eksakt, vil vi<br />
som det sidste i rapporten beskæftige os med numeriske metoder. Vi beskriver<br />
Eulers metode og to Runge-Kuttametoder og anvender dem p˚a <strong>Lotka</strong>-<br />
<strong>Volterramodellen</strong>.
Kapitel 1<br />
Introduktion til<br />
differentialligninger<br />
Vi vil i dette afsnit, som bygger p˚a [HSD04], introducere nogle basale begreber<br />
vedrørende differentialligninger. Vi starter med at definere, hvad en differentialligning<br />
er.<br />
Definition 1.1 En sædvanlig differentialligning<br />
En sædvanlig differentialligning er en ligning, hvori de ubekendte er en<br />
funktion af én variabel og en eller flere af dens afledede.<br />
Herunder følger en definition af en differentiallignings orden.<br />
Definition 1.2 Ordenen af en differentialligning<br />
En sædvanlig differentialligning, hvor den højeste afledte, der indg˚ar,<br />
er den n’te afledte, har orden n.<br />
En 1. ordens sædvanlig differentialligning indeholder s˚aledes kun den første<br />
afledte af den ukendte funktion. Generelt kan 1. ordens differentialligninger derfor<br />
skrives p˚a formen:<br />
dx<br />
dt = fx(t), t <br />
(1.1)<br />
Her er x : R → R, og f : R 2 → R. Vi vil i resten af rapporten kun beskæftige<br />
os med 1. ordens sædvanlige differentialligninger, hvorfor vi blot vil referere til<br />
dem som 1. ordens differentialligninger.<br />
Differentialligning (1.1) kaldes ikke-autonom, eftersom højresiden udover at<br />
afhænge af x eksplicit afhænger af t.<br />
Hvis højresiden af differentialligningen kun afhænger af x, kaldes differentialligningen<br />
autonom:<br />
dx<br />
dt = f x(t) <br />
Her er x, f : R → R.
4<br />
KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL<br />
DIFFERENTIALLIGNINGER<br />
En lineær 1. ordens differentialligning er en differentialligning p˚a følgende form<br />
[Jen00]:<br />
dx<br />
dt + a0x = q(t), t ∈ I (1.2)<br />
Her er a0 ∈ R, I ⊆ R, og q : I → R er en kontinuert funktion.<br />
Differentialligninger, der ikke kan skrives p˚a denne form, kaldes for ikke-lineære.<br />
Hvis q(t) ≡ 0, kaldes differentialligning (1.2) homogen, mens den kaldes inhomogen,<br />
s˚afremt q(t) ≡ 0.<br />
Vi vil nu definere, hvad der forst˚as ved en løsning til en differentialligning:<br />
Definition 1.3 En løsning til en differentialligning<br />
En funktion x(t) er en løsning til en differentialligning, s˚afremt x(t)<br />
opfylder differentialligningen ved indsættelse.<br />
Følgende sætning handler om løsningsmængden til x ′ (t) = ax(t):<br />
Sætning 1.4 Løsningen til x ′ (t) = ax(t)<br />
Lad a, k, t ∈ R. Differentialligningen x ′ (t) = ax(t) har følgende<br />
generelle løsning:<br />
x(t) = ke at<br />
Bevis. For at bevise at x(t) = ke at er en løsning, differentieres udtrykket og<br />
indsættes i x ′ (t) = ax(t):<br />
x ′ (t) = ake at = ax(t)<br />
Eftersom x(t) = ke at opfylder ligningen x ′ (t) = ax(t), er det en løsning.<br />
Herefter skal det bevises, at der ikke eksisterer løsninger p˚a en anden form.<br />
Derfor antages, at u(t) er en anden løsning. Betragt udtrykket u(t)e −at , der<br />
differentieret giver:<br />
d −at<br />
u(t)e<br />
dt<br />
= u ′ (t)e −at + u(t) −ae −at<br />
Eftersom u(t) er en løsning, er u ′ (t) = au(t). Dette indsættes i ligning (1.3):<br />
d<br />
dt (u(t)e−at ) = au(t)e −at − au(t)e −at = 0<br />
Idet den afledede af u(t)e −at giver nul, gælder at<br />
u(t)e −at = k ⇔ u(t) = ke at , k ∈ R<br />
(1.3)<br />
Det fremg˚ar heraf, at løsningen u(t) er p˚a samme form som x(t). Hermed er det<br />
ønskede bevist.
For at kunne bestemme en specifik løsning til en differentialligning er det nødvendigt<br />
at have kendskab til en eller flere betingelser, som løsningen skal opfylde.<br />
Dette kaldes for et begyndelsesværdiproblem:<br />
Definition 1.5 Et begyndelsesværdiproblem<br />
Et begyndelsesværdiproblem best˚ar af en differentialligning dx<br />
dt =<br />
f(x(t), t) og en eller flere betingelser, som skal opfyldes. Hvis der er<br />
én betingelse, som skal opfyldes, kan begyndelsesværdiproblemet f.eks.<br />
noteres:<br />
dx<br />
dt = f(x(t), t), x(t0) = x0 (1.4)<br />
Her er x : R → R, f : R 2 → R, og t0, x0 ∈ R.<br />
Værdien x0 kaldes begyndelsesværdien, og ligning x(t0) = x0 benævnes<br />
begyndelsesbetingelsen.<br />
I nogle situationer er det ikke tilstrækkeligt at modellere et fænomen med en<br />
enkelt differentialligning. Dette kan løses ved at opstille flere differentialligninger.<br />
Herunder følger et afsnit, som omhandler systemer af differentialligninger.<br />
Systemer af 1. ordens differentialligninger<br />
Et system af 1. ordens sædvanlige differentialligninger best˚ar af to eller flere differentialligninger.<br />
De variable størrelser kan indg˚a i en eller flere af ligningerne.<br />
Et s˚adant system ser derfor s˚aledes ud:<br />
dx1<br />
dt = f1(t, x1, x2, . . . , xn)<br />
dx2<br />
dt = f2(t, x1, x2, . . . , xn)<br />
.<br />
dxn<br />
dt = fn(t, x1, x2, . . . , xn)<br />
Her er fj : Rn+1 → R, og xi : R → R for i = 1, 2, . . . n.<br />
For systemer af differentialligninger gælder begreberne om, hvorn˚ar systemet<br />
er lineært, homogent og autonomt p˚a samme m˚ade som for de enkelte differentialligninger.<br />
Det er ogs˚a muligt at løse et begyndelsesværdiproblem for et<br />
system af differentialligninger. Det skal imidlertid være til samme t-værdi, at<br />
begyndelsesværdierne er angivet, dvs. x(t0) = x0, hvor<br />
⎡ ⎤<br />
x1<br />
⎢x2⎥<br />
⎢ ⎥<br />
x(t) = ⎢ ⎥<br />
⎣ . ⎦<br />
Et ikke-koblet differentialligningssystem er et system, hvor hver ligning er p˚a<br />
formen:<br />
dxi<br />
dt = fi(t, xi), hvor i = 1, 2, . . . , n<br />
xn<br />
5
6<br />
KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL<br />
DIFFERENTIALLIGNINGER<br />
I et koblet differentialligningssystem indg˚ar en eller flere variable i to eller flere<br />
af systemets ligninger.<br />
Det er muligt at skrive et system af differentialligninger p˚a den simplere matrixform:<br />
Her er<br />
x ′ = f(t, x)<br />
⎡<br />
⎤<br />
f1(t, x1, x2, . . . , xn)<br />
⎢<br />
⎢f2(t,<br />
x1, x2, . . . , xn) ⎥<br />
f(t, x) = ⎢<br />
⎥<br />
⎣ . ⎦<br />
fn(t, x1, x2, . . . , xn)<br />
Bemærk, at funktionen fi for i ∈ {1, 2, . . . , n} betegner en kontinuert funktion,<br />
hvor ikke andet er nævnt.<br />
Herover er de grundlæggende begreber for differentialligningssystemer blevet<br />
gennemg˚aet. I det følgende afsnit udledes to differentialligninger for rovdyr og<br />
byttedyr.<br />
1.1 Rovdyr og byttedyr<br />
I indledningen blev der givet en kort introduktion til rovdyr-byttedyrsmodellen,<br />
der ogs˚a kaldes <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>. I dette afsnit, der er baseret p˚a [Wei91],<br />
redegøres for, hvordan det matematisk set er muligt at beskrive, hvorledes<br />
rovdyrene og byttedyrene i et økosystem p˚avirker hinanden.<br />
Vi lægger ud med at betragte, hvordan bestanden af byttedyr vil opføre sig over<br />
tid, hvis de lever isolerede fra rovdyrene. For at gøre modellen simpel antages det,<br />
at byttedyrene har ubegrænset adgang til nødvendige ressourcer, s˚asom føde,<br />
plads og parringspartnere. Derudover antages det, at byttedyrene ikke betragter<br />
hinanden som potentiel føde. Det eneste, vi s˚aledes tager med i modellen, er<br />
fødsels- og dødsrate.<br />
Vi lader b(t) være en kontinuert funktion, som repræsenterer antallet af byttedyr<br />
til tiden t. Ganske vist kan en kontinuert funktion ikke beskrive antallet af dyr<br />
præcist, men den er tilstrækkelig præcis for større populationer. Hvis ∆b angiver<br />
ændringen i populationens størrelse over et tidsinterval [t, t + ∆t], f˚as:<br />
∆b = b(t + ∆t) − b(t) (1.5)<br />
Vi lader A være en konstant, der repræsenterer fødselsrate pr. tidsenhed minus<br />
dødsrate pr. tidsenhed. Vi antager, at fødselsraten er større end dødsraten, n˚ar<br />
byttedyrene lever isolerede. Dermed er A > 0.<br />
Vi vil s˚aledes være i stand til at beskrive populationen af byttedyr til tiden<br />
t + ∆t ved følgende model:<br />
Hvis vi i ligning (1.5) isolerer b(t + ∆t) f˚as<br />
b(t + ∆t) = b(t) + Ab(t)∆t (1.6)<br />
b(t + ∆t) = ∆b + b(t)
1.2 Opsummering 7<br />
Dette udtryk sættes ind i ligning (1.6):<br />
∆b + b(t) = b(t) + Ab(t)∆t ⇔<br />
∆b = Ab(t)∆t ⇔<br />
∆b<br />
= Ab(t), ∆t = 0<br />
∆t<br />
Vi har dermed fundet den gennemsnitlige væksthastighed af b(t) over intervallet<br />
[t, t + ∆t]. Ved at tage grænseværdien til differenskvotienten ∆b<br />
∆t finder vi<br />
differentialkvotienten:<br />
db ∆b<br />
= lim = lim Ab(t) = Ab(t)<br />
dt ∆t→0 ∆t Deltat→0<br />
Ændringen i populationen af byttedyr, n˚ar de lever isolerede, kan dermed<br />
beskrives ved differentialligningen:<br />
db<br />
= Ab, A ∈ R+<br />
dt<br />
Løsningen til denne differentialligning er ifølge sætning 1.4 givet ved:<br />
b(t) = ke At , k ∈ R<br />
Vi ser nu p˚a, hvordan populationen af rovdyr vil ændre sig over tid, s˚afremt<br />
rovdyrene lever isolerede fra byttedyrene. Rovdyrene vil s˚aledes være foruden<br />
deres fødekilde. Vi antager derfor i dette tilfælde, at fødselsraten pr. tidsenhed<br />
er mindre end dødsraten pr. tidsenhed. Konstanten D, som repræsenterer fødselsrate<br />
pr. tidsenhed minus dødsrate pr. tidsenhed, bliver dermed negativ. For<br />
at tydeliggøre hvad der sker, vælger vi imidlertid at gøre D positiv og i stedet<br />
placere minusset foran, n˚ar vi opskriver differentialligningen.<br />
Vi lader funktionen r(t) beskrive antallet af rovdyr til tiden t. Ved at anvende<br />
samme udledningsmetode som for byttedyrene, f˚ar vi, at populationen af rovdyr,<br />
n˚ar de lever isolerede, kan beskrives ved følgende differentialligning:<br />
dr<br />
dt<br />
= −Dr, D ∈ R+<br />
Løsningen til denne differentialligning er ifølge sætning 1.4 ligeledes givet ved:<br />
r(t) = ke −Dt , k ∈ R<br />
Det er naturligvis ikke realistisk, at de to arter lever isolerede fra hinanden.<br />
Vi vil derfor i et senere kapitel modellere, hvad der sker, n˚ar byttedyrene og<br />
rovdyrene omg˚as hinanden.<br />
1.2 Opsummering<br />
Vi har i dette kapitel gennemg˚aet de nødvendige begreber i forhold til at kunne<br />
opskrive og beskæftige os med 1. ordens differentialligninger, der modellerer<br />
bestanddelen af rovdyr og byttedyr.<br />
Til sidst i kapitlet opskrev vi to differentialligninger. Én for forandringen i populationen<br />
af byttedyr, n˚ar de lever isolerede, og én for rovdyrene, n˚ar de lever
8<br />
KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL<br />
DIFFERENTIALLIGNINGER<br />
isolerede. Disse differentialligninger er ikke et realistisk billede af den egentlige<br />
udvikling.<br />
Derfor vil vi i afsnit 4.2.2 ende op med et koblet differentialligningssystem, som<br />
tegner et mere realistisk billede af samspillet mellem rovdyr og byttedyr.
Kapitel 2<br />
Eksistens og entydighed<br />
2.1 Metriske rum<br />
I dette kapitel, der er baseret p˚a [Coh03], behandles spørgsm˚al om eksistensen<br />
og entydigheden af en løsning til et begyndelsesværdiproblem. Til at starte med<br />
defineres et metrisk rum. Derefter følger to afsnit. I det første bevises Banachs<br />
fikspunktssætning, mens det andet afsnit indeholder den egentlige sætning om<br />
eksistens og entydighed.<br />
Herunder indføres en definition af et rum, hvori der kan tales om afstande mellem<br />
elementer i en mængde. Dette skal gøres p˚a en m˚ade, s˚a definitionen dækker den<br />
intuitive forst˚aelse af afstand mellem tal p˚a en tallinie og afstand mellem punkter<br />
i planen.<br />
Definition 2.1 Metrisk rum<br />
Et metrisk rum er en mængde M og en afstandsfunktion<br />
d : M × M → R+ ∪ {0}, som for alle x, y, z ∈ M opfylder, at<br />
1. d(x, y) = 0 ⇔ x = y<br />
2. d(x, y) = d(y, x)<br />
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)<br />
Afstandsfunktionen d kaldes for en metrik.<br />
Med denne definition kan der arbejdes i præcise termer med den intuitive<br />
forst˚aelse af afstande mellem tal og punkter. For eksempel er de reelle tal med<br />
d(x, y) = |x − y| et metrisk rum. Denne metrik kaldes for den Euklidiske metrik<br />
og noteres dE. Endvidere kan definitionen bruges til at dække mere abstrakte<br />
emner, som afstande mellem funktioner.<br />
Idet et metrisk rum b˚ade best˚ar af en mængde M og en metrik d, noteres det<br />
ved en 2-tupel (M, d). Ofte benyttes kun mængden, n˚ar det er klart hvilken<br />
metrik, der bruges.
10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED<br />
2.2 Banachs fikspunktssætning<br />
Dette afsnit munder ud i at vise Banachs fikspunktssætning. Afsnittet bygger<br />
p˚a [Coh03]. Først skal nogle udtryk og begreber dog introduceres. Vi starter<br />
med konvergens.<br />
Definition 2.2 Konvergens<br />
En følge {xn}n≥1 i et metrisk rum (M, d) konvergerer mod et element<br />
x ∈ M, hvis<br />
∀ε > 0, ∃Nε ≥ 1, ∀n > Nε : d(xn, x) < ε<br />
I definition 2.2 skrives et nedsunket ε efter N for at angive, at N afhænger af<br />
ε. Denne m˚ade at angive, hvis en konstant afhænger af noget, vil blive benyttet<br />
meget fremover. Herunder defineres en speciel type følger:<br />
Definition 2.3 Cauchy-følger<br />
En følge {xn}n≥1 i et metrisk rum (M, d) kaldes en Cauchy-følge, hvis<br />
∀ε > 0, ∃Nε ≥ 1, ∀p, q ≥ Nε : d(xp, xq) < ε<br />
Følgende definition omhandler en egenskab ved et metrisk rum:<br />
Definition 2.4 Fuldstændigt metrisk rum<br />
Hvis enhver Cauchy-følge i et metrisk rum konvergerer, s˚a er det<br />
metriske rum fuldstændigt.<br />
Herefter vises, at en bestemt mængde sammen med en bestemt metrik udgør et<br />
metrisk rum:<br />
Lemma 2.5<br />
<br />
C([a, b]), d∞ er et metrisk rum<br />
Lad a, b ∈ R med a < b, og lad en mængde været givet ved:<br />
C([a, b]) = f : [a, b] → R 2 f er kontinuert p˚a [a, b] <br />
Lad f, g ∈ C([a, b]), og lad d∞ være metrikken givet ved:<br />
<br />
d∞(f, g) = sup f(t) − g(t) t∈[a,b]<br />
Da er <br />
C([a, b]), d∞ et metrisk rum.<br />
Bevis. For at vise at C([a, b]), d∞<br />
er et metrisk rum, skal det vises, at d∞<br />
opfylder de tre betingelser givet i definition 2.1. Derudover skal der gælde, at
2.2 Banachs fikspunktssætning 11<br />
værdimængden for d∞ er R+ ∪ {0}. Sidstnævnte krav opfylder d∞, eftersom<br />
afstanden mellem to funktioner ikke kan være negativ. I resten af beviset er<br />
f, g, h ∈ C([a, b]).<br />
Punkt 1:<br />
”⇒”: Antag, at d∞(f, g) = 0, dvs. at<br />
<br />
sup <br />
t∈[a,b]<br />
f(t) − g(t) = 0<br />
I henhold til definitionen af normen er<br />
<br />
f(t) − g(t) ≥ 0 (2.1)<br />
Eftersom supremum af udtrykket p˚a venstresiden i ulighed (2.1) giver nul, og<br />
supremum er en øvre grænse, er f(t) = g(t) for alle t ∈ [a, b].<br />
”⇐”: Antag, at f(t) = g(t) for alle t ∈ [a, b]. Dermed er f(t) − g(t) = 0 for<br />
alle t ∈ [a, b], s˚a<br />
<br />
d∞(f, g) = sup <br />
t∈[a,b]<br />
f(t) − g(t) = 0<br />
Punkt 2:<br />
Her udnyttes, at der gælder følgende:<br />
Det betyder, at<br />
d∞(f, g) = sup<br />
t∈[a,b]<br />
∀t ∈ [a, b] : f(t) − g(t) = g(t) − f(t) <br />
<br />
f(t) − g(t) = sup<br />
t∈[a,b]<br />
<br />
g(t) − f(t) = d∞(g, f)<br />
Punkt 3:<br />
Af sætning 6.9 i [Axl97] omhandlende trekantsuligheden f˚as, at følgende gælder<br />
for alle t ∈ [a, b]:<br />
<br />
f(t) − h(t) = f(t) − g(t) + g(t) − h(t) <br />
≤ f(t) − g(t) + g(t) − h(t) <br />
<br />
≤ sup <br />
t∈[a,b]<br />
f(t) − g(t) <br />
+ sup <br />
t∈[a,b]<br />
g(t) − h(t) <br />
Idet ulighed (2.2) gælder for alle t ∈ [a, b], f˚as at<br />
sup<br />
t∈[a,b]<br />
Hermed gælder, at<br />
<br />
f(t) − h(t) ≤ sup<br />
t∈[a,b]<br />
<br />
f(t) − g(t) + sup<br />
t∈[a,b]<br />
d∞(f, h) ≤ d∞(f, g) + d∞(g, h)<br />
<br />
g(t) − h(t) <br />
(2.2)<br />
Dermed er samtlige punkter i definition 2.1 opfyldt, hvilket betyder, at<br />
C([a, b]), d∞ er et metrisk rum. <br />
Fremover vil det metriske rum <br />
C([a, b]), d∞ blot noteres C([a, b]).
12 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED<br />
Sætning 2.6 C([a, b]) er fuldstændigt<br />
Det metriske rum C([a, b]) er et fuldstændigt metrisk rum.<br />
Bevis. For at bevise sætningen tages en vilk˚arlig Cauchy-følge i C([a, b]), og<br />
det vises, at den konvergerer mod en funktion, der ogs˚a er indeholdt i C([a, b]).<br />
Lad {fn}n≥1 i C([a, b]) være en Cauchy-følge. Det betyder, at følgende gælder:<br />
∀ε > 0, ∃ Ñε ≥ 1, ∀p, q ≥ Ñε : d∞(fp, fq) < ε (2.3)<br />
Herefter skal konstrueres en kontinuert funktion f : [a, b] → R 2 , s˚a<br />
Det betyder, at<br />
lim<br />
n→∞ fn = f<br />
∀ε > 0, ∃Nε ≥ 1, ∀n ≥ Nε : d∞(fn, f) < ε (2.4)<br />
Anvend uligheden d∞(fp, fq) < ε fra udsagn (2.3) og benyt derudover definitionen<br />
p˚a metrikken d∞. Dermed f˚as, at<br />
∀t ∈ [a, b], p, q ≥ Ñε : fp(t) − fq(t) ≤ d∞(fp, fq) < ε (2.5)<br />
Hold t fast. Det fremg˚ar dermed af udsagn (2.5), at {fn(t)}n≥1 er en Cauchyfølge<br />
i (R2 , dE), eftersom<br />
<br />
fp(t) − fq(t) <br />
= dE fp(t), fq(t) <br />
Fra [Coh03] vides, at (R 2 , dE) er et fuldstændigt metrisk rum, hvilket i henhold<br />
til definition 2.4 medfører, at alle Cauchy-følger konvergerer. Det betyder, at<br />
∃f(t) ∈ R 2 : lim<br />
n→∞ fn(t) = f(t)<br />
Dette kan ogs˚a skrives p˚a følgende m˚ade:<br />
∀ε > 0, ∃Ñε,t ≥ 1, ∀n ≥ Ñε,t : fn(t) − f(t) < ε (2.6)<br />
Vælg nu et andet t, som holdes fast. Dernæst gentages ovenst˚aende procedure.<br />
Dermed f˚as til ethvert t en værdi f(t). S˚aledes konstrueres en funktion<br />
f : [a, b] → R 2<br />
Herefter skal det vises, at limn→∞ fn = f. Det gøres ved at bevise, at udsagn<br />
(2.4) gælder:<br />
<br />
fn(t) − f(t) = fn(t) − fq(t) + fq(t) − f(t) <br />
≤ fn(t) − fq(t) + fq(t) − f(t) ,<br />
for alle q, n ≥ 1, t ∈ [a, b]<br />
(2.7)<br />
Vælg ε<br />
2 i stedet for ε i udsagn (2.3), hvormed Ñε ændres til Ñ ε . P˚a samme<br />
2<br />
m˚ade vælges ε<br />
2 i stedet for ε i udsagn (2.6), hvormed Ñε,t ændres til Ñ ε<br />
2 ,t.
2.2 Banachs fikspunktssætning 13<br />
Idet ulighed (2.7) gælder for alle q, n ≥ 1 og t ∈ [a, b], tages et vilk˚arligt t ∈ [a, b]<br />
og dernæst vælges<br />
n ≥ Ñ ε<br />
2 og qt = max{ Ñ ε<br />
2 , Ñ ε<br />
2 ,t}<br />
Herefter betragtes ulighed (2.7), som nu kan vurderes opadtil:<br />
<br />
fn(t) − f(t) ≤ <br />
fn(t) − f <br />
qt(t)<br />
+ fqt(t) − f(t) < ε (2.8)<br />
Det sidste ulighedstegn i ulighed (2.8) følger af ulighederne i udsagn (2.3) og<br />
udsagn (2.6). Dermed f˚as, at<br />
∀t ∈ [a, b], n ≥ Ñ ε<br />
2 : fn(t) − f(t) < ε<br />
Hermed er d∞(fn, f) < ε, hvilket i henhold til udsagn (2.4) betyder, at<br />
limn→∞ fn = f.<br />
Funktionen f er s˚aledes konstrueret. Det sidste, der mangler, er at vise, at f er<br />
kontinuert p˚a [a, b], hvilket medfører, at f er i C([a, b]). For at vise det vælges<br />
et vilk˚arligt punkt i [a, b], hvorefter det vises, at f er kontinuert i det punkt.<br />
Tag t0 ∈ [a, b]. For at vise at f er kontinuert i t0, skal følgende udsagn bevises:<br />
∀ε > 0, ∃δε,t0 > 0, ∀t ∈ (t0 − δε,t0 , t0 + δε,t0 ) ∩ [a, b] : f(t) − f(t0) < ε<br />
Dette vises ved at benytte sætning 6.9 i [Axl97] vedrørende trekantsuligheden:<br />
<br />
f(t) − f(t0) = f(t) − fn(t) + fn(t) − fn(t0) + fn(t0) − f(t0) <br />
≤ f(t) − fn(t) + fn(t) − fn(t0) + fn(t0) − f(t0) ,<br />
for alle n ≥ 1, t, t0 ∈ [a, b]<br />
Vælg n = N ε<br />
3 i udsagn (2.4). Dermed f˚as, i henhold til definitionen af d∞, at<br />
<br />
f(t) − fn(t) < ε<br />
3<br />
og<br />
Det betyder, at ulighed (2.9) kan skrives som<br />
<br />
fn(t0) − f(t0) < ε<br />
3<br />
(2.9)<br />
<br />
f(t) − f(t0) <br />
2ε<br />
<<br />
3 + fN ε (t) − fN ε (t0)<br />
3<br />
3<br />
, for alle t, t0 ∈ [a, b] (2.10)<br />
Eftersom fN ε 3<br />
betyder, at<br />
∈ C([a, b]), er fN ε 3<br />
kontinuert p˚a [a, b] og dermed ogs˚a i t0. Det<br />
∀ε > 0, ∃˜ δε,t0 > 0, t ∈ (t0 − ˜ δε,t0 , t0 + ˜ δε,t0 ) ∩ [a, b] :<br />
<br />
fN ε 3<br />
I stedet for ε vælges ε<br />
3<br />
(t) − fN ε (t0)<br />
3<br />
< ε<br />
i udsagn (2.11):<br />
∀t ∈ (t0 − ˜ δ ε<br />
3 ,t0, t0 + ˜ δ ε<br />
3 ,t0) ∩ [a, b] : fN ε (t) − fN ε (t0)<br />
3<br />
3<br />
<br />
ε<br />
<<br />
3<br />
Hermed kan (2.10) skrives p˚a følgende m˚ade:<br />
∀t ∈ (t0 − ˜ δ ε<br />
3 ,t0, t0 + ˜ δ ε<br />
3 ,t0) ∩ [a, b] : f(t) − f(t0) <br />
2ε ε<br />
< + = ε<br />
3 3<br />
(2.11)
14 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED<br />
Dermed er f kontinuert i t0, og idet t0 er et vilk˚arligt punkt i [a, b], er f kontinuert<br />
p˚a [a, b], dvs. f ∈ C([a, b]).<br />
Det er s˚aledes bevist, at en vilk˚arlig Cauchy-følge i C([a, b]) konvergerer mod en<br />
funktion i C([a, b]). Det betyder, at C([a, b]) er et fuldstændigt metrisk rum. <br />
Hernæst følger en sætning, som handler om en bestemt type funktioner og elementer,<br />
der afbildes over i sig selv:<br />
Definition 2.7 Fikspunkter og kontraktioner<br />
Lad (M, d) være et metrisk rum, og lad S : M → M være en funktion.<br />
• Et punkt x ∈ M kaldes et fikspunkt for S, hvis S(x) = x.<br />
• Funktionen S kaldes en kontraktion, hvis<br />
∃α ∈]0; 1[, ∀x, y ∈ M : d S(x), S(y) ≤ αd(x, y)<br />
Tallet α benævnes kontraktionskonstanten for S.<br />
Inden vi er i stand til at bevise Banachs fikspunktssætning, skal vi først bevise<br />
følgende lemma:<br />
Lemma 2.8 Metrik og kontraktionskonstant<br />
Lad (M, d) være et metrisk rum, og lad S : M → M være en kontraktion<br />
med α som kontraktionskonstant. Lad {xn}n≥1 være følgen<br />
defineret ved xn = S(xn−1), hvor n ≥ 1. Da gælder følgende:<br />
1. ∀n ≥ 0 : d(xn+1, xn) ≤ α n d(x1, x0)<br />
2. ∀k ≥ 1, p ≥ 0 : d(xk+p, xp) ≤ (1 + α + . . . + α k−1 )d(xp+1, xp)<br />
Bevis. Begge punkter bevises ved induktion.<br />
Punkt 1:<br />
Basistrin: Her bevises, at uligheden gælder for n = 0:<br />
d(x1, x0) ≤ α 0 d(x1, x0) = d(x1, x0)<br />
Induktionstrin:<br />
Induktionsantagelsen er, at uligheden gælder for n. Uligheden skal derefter vises<br />
for n + 1:<br />
d(xn+2, xn+1) = d S(xn+1), S(xn) ≤ αd(xn+1, xn) ≤ α n+1 d(x1, x0)<br />
Ved det sidste ulighedstegn er induktionsantagelsen anvendt. Hermed er punkt<br />
1 bevist.
2.2 Banachs fikspunktssætning 15<br />
Punkt 2:<br />
Basistrin: Her bevises, at uligheden gælder for k = 1:<br />
∀p ≥ 0 : d(xp+1, xp) ≤ d(xp+1, xp) ≤ α p d(x1, x0)<br />
I forbindelse med det sidste ulighedstegn er punkt 1 anvendt. Induktionsantagelsen<br />
er, at uligheden gælder for k. Herefter skal uligheden vises for k + 1:<br />
d(x p+(k+1), xp) ≤ d(xp+1+k, xp+1) + d(xp+1, xp) (2.12)<br />
Sæt p ′ = p + 1. Dermed gælder i henhold til induktionsantagelsen, at<br />
d(xp ′ +k, xp ′) ≤ (1 + α + . . . + αk−1 )d(xp ′ +1, xp ′)<br />
Ved at indsætte p ′ = p + 1, f˚as at<br />
d(xp+1+k, xp+1) ≤ (1 + α + . . . + α k−1 )d(xp+2, xp+1)<br />
Herefter er det muligt at fortsætte med ulighed (2.12):<br />
d(xp+1+k, xp+1) + d(xp+1, xp)<br />
≤(1 + α + . . . + α k−1 )d(xp+2, xp+1) + d(xp+1, xp)<br />
≤(1 + α + . . . + α k−1 )αd(xp+1, xp) + d(xp+1, xp)<br />
=d(xp+1, xp)(1 + α + α 2 + . . . + α k )<br />
Dermed er punkt 2 bevist. <br />
Nu er alle de begreber, der skal til for at vise Banachs fikspunktssætning, blevet<br />
introduceret. Her følger sætningen og beviset for denne:<br />
Sætning 2.9 Banachs fikspunktssætning<br />
Enhver kontraktion p˚a et fuldstændigt metrisk rum har ét og kun ét<br />
fikspunkt.<br />
Bevis. Lad S være en kontraktion med kontraktionskonstant α i det fuldstændige<br />
metriske rum (M, d).<br />
Eksistens:<br />
Vælg et vilk˚arligt punkt x0 ∈ M, og lad {xn}n≥1 være en følge i (M, d), som er<br />
givet ved<br />
xn = S(xn−1), n ∈ N<br />
Dermed er x1 = S(x0), og x2 = S(x1) = S 2 (x0). Det vil sige, at<br />
Herefter skal følgende vises:<br />
xn = S n (x0)<br />
1. Følgen {xn}n≥1 er en Cauchy-følge, hvilket medfører, at {xn}n≥1 konvergerer,<br />
jf. definition 2.4.<br />
2. Hvis limn→∞ xn = x∞, s˚a medfører det, at S(x∞) = x∞.
16 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED<br />
Bevis for punkt 1:<br />
Vælg ε > 0. Herefter skal der konstrueres et Nε ≥ 1, s˚aledes d(xp, xq) < ε for<br />
alle p, q ≥ Nε. Sidstnævnte svarer til at skrive følgende:<br />
∀p ≥ Nε, ∀k ≥ 0 : d(xp+k, xp) < ε<br />
Det skyldes, at s˚afremt q ≥ p, kan q skrives som q = p + k, og hvis q < p, kan q<br />
opfattes som p og omvendt.<br />
Herefter betragtes d(xp+k, xp). Ved at bruge lemma 2.8 f˚as, at følgende gælder<br />
for alle k ≥ 1:<br />
0 ≤ d(xp+k, xp) ≤ (1 + α + . . . + α k−1 )d(xp+1, xp)<br />
≤ (1 + α + . . . + α k−1 )α p d(x1, x0)<br />
= 1 − αk<br />
1 − α αp d(x1, x0)<br />
= αp − α k+p<br />
1 − α d(x1, x0)<br />
≤ αp<br />
1 − α d(x1, x0)<br />
I udregning (2.13) benyttes den geometriske række<br />
k−1 <br />
α k =<br />
k=1<br />
1 − αk<br />
1 − α<br />
(2.13)<br />
Eftersom 0 < α < 1, gælder, at limp→∞ α p = 0. Dermed f˚as ifølge ulighed<br />
(2.13), at<br />
lim<br />
p→∞ d(xp+k, xp) = 0<br />
Dvs. at der eksisterer Nε, s˚aledes d(xp+k, xp) < ε for alle p ≥ Nε, og for<br />
alle k ≥ 0. Dermed er {xn}n≥1 en Cauchy-følge, og eftersom (M, d) er et<br />
fuldstændigt metrisk rum, konvergerer følgen.<br />
Bevis for punkt 2:<br />
Sæt limn→∞ xn = x∞. Det skal vises, at d <br />
S(x∞), x∞ = 0, da det medfører,<br />
at S(x∞) = x∞:<br />
0 ≤ d <br />
S(x∞), x∞ ≤ d S(x∞), xn+1 + d(xn+1, x∞)<br />
= d S(x∞), S(xn) + d(xn+1, x∞) ≤ αd(x∞, xn) + d(xn+1, x∞)<br />
≤ d(x∞, xn) + d(xn+1, x∞)<br />
Eftersom limn→∞ d(x∞, xn) = 0, og limn→∞ d(xn+1, x∞) = 0, gælder at<br />
0 ≤ d <br />
S(x∞), x∞ ≤ 0 ⇒ S(x∞) = x∞<br />
Dvs. at x∞ er et fikspunkt for S.<br />
Entydighed:<br />
Antag, at x1, x2 er fikspunkter, dvs. S(x1) = x1, og S(x2) = x2. Eftersom S er<br />
en kontraktion, gælder at<br />
d(x1, x2) = d S(x1), S(x2) ≤ αd(x1, x2)
2.3 Eksistens og entydighed af løsning 17<br />
Idet α < 1, og d(x1, x2) ≥ 0, kan dette kun gælde, hvis d(x1, x2) = 0. Dette<br />
betyder ifølge definition 2.1, at x1 = x2. Hermed er det vist, at x1 er det eneste<br />
fikspunkt for S.<br />
Hermed er b˚ade eksistensen og entydigheden af et fikspunkt bevist. <br />
2.3 Eksistens og entydighed af løsning<br />
I dette afsnit bevises sætningen om eksistensen og entydigheden af en løsning til<br />
en 1. ordens differentialligning. Sætningen omhandler, at der under visse forudsætninger<br />
eksisterer en entydig løsning til følgende begyndelsesværdiproblem:<br />
dx<br />
dt = f t, x(t) , x(t0) = ˜x (2.14)<br />
I sætningen om eksistens og entydighed præciseres de forskellige størrelser, som<br />
indg˚ar i ligning (2.14).<br />
Til at begynde med følger en definition af en mængdes indre og aflukkede:<br />
Definition 2.10 En mængdes indre og aflukkede<br />
Lad (M, d) være et metrisk rum. Lad V ⊆ M være en mængde. Det<br />
indre af V betegnes V ◦ og er givet ved følgende:<br />
V ◦ = v ∈ V ∃r > 0 : Br(v) ⊂ V <br />
Det aflukkede af V betegnes V og er givet ved følgende:<br />
V = {A en mængde | A lukket, og V ⊆ A}<br />
Herunder følger et lemma, som beskriver, hvorledes det er muligt at vurdere<br />
udtryk opadtil eller nedadtil:<br />
Lemma 2.11 Vurdering af udtryk<br />
Lad a, b ∈ R. Da gælder følgende:<br />
1. |a| + |b| ≤ √ 2 |a| 2 + |b| 2<br />
2. √ a 2 + b 2 ≤ |a| + |b|<br />
Bevis. Her følger et bevis for punkt 1:<br />
0 ≤ (|a| − |b|) 2 = |a| 2 + |b| 2 − 2|a||b| ⇔<br />
2|a||b| ≤ |a| 2 + |b| 2 ⇔<br />
|a| 2 + |b| 2 + 2|a||b| ≤ |a| 2 + |b| 2 + |a| 2 + |b| 2 ⇔<br />
|a| 2 + |b| 2 + 2|a||b| ≤ 2|a| 2 + 2|b| 2 ⇔<br />
|a| + |b| 2 ≤ 2 |a| 2 + |b| 2 ⇔<br />
|a| + |b| ≤ √ 2 |a| 2 + |b| 2
18 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED<br />
Herunder er et bevis for punkt 2:<br />
(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab ≥ a 2 + b 2 ⇒<br />
a 2 + b 2 ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| <br />
Følgende sætning handler om en tilstrækkelig betingelse for, at en funktion<br />
opfylder en lokal Lipschitz-betingelse [Jen93].<br />
Sætning 2.12 Lokal Lipschitz-betingelse<br />
Lad U ⊆ R 3 være en ˚aben mængde og<br />
f : U → R 2 en funktion, for hvilken følgende partielle afledede eksisterer<br />
og er kontinuerte:<br />
∂f<br />
(t, x) og<br />
∂x<br />
∂f<br />
∂y (t, x), hvor (t, x) ∈ U og x = [ x y ]<br />
P˚a enhver ˚aben delmængde U ′ = ]tα, tω[×]xα, xω[×]yα, yω[ ⊆ U, for<br />
hvilken U ′ ⊆ U, opfylder f en lokal Lipschitz-betingelse:<br />
∃KU ′ > 0, ∀(t, u), (t, v) ∈ U ′ : f(t, u) − f(t, v) ≤ KU ′||u − v||<br />
Bevis. I nedenst˚aende er f(t, x, y) en anden notation for funktionen f(t, x),<br />
hvor x, y er henholdsvis første og anden komponent i x.<br />
Mængden U ′ er begrænset, hvilket betyder, at<br />
I henhold til definition 2.10 følger, at<br />
Dermed f˚as, at<br />
∃c ∈ U, r > 0 : U ′ ⊆ Br(c)<br />
Br(c) ⊆ Br(c)<br />
U ′ ⊆ U ′ ⊆ Br(c) ⊆ B2r(c)<br />
Dermed er U ′ begrænset. Det betyder i henhold til sætning 4.1.6 i [Coh03], at<br />
(t, x) be-<br />
U ′ er kompakt, idet mængden ogs˚a er lukket. Derfor er ∂f<br />
∂x<br />
grænsede p˚a U ′ , eftersom ∂f<br />
∂x<br />
(t, x) og ∂f<br />
∂y<br />
og ∂f<br />
∂y (t, x) begrænsede p˚a U ′ , idet U ′ ⊆ U ′ :<br />
(t, x) og ∂f<br />
∂y<br />
(t, x) er kontinuerte. S˚aledes er ∂f<br />
∂x<br />
(t, x)<br />
∃ ˜ KU ′, ˜ KU ′ > 0, ∀(t, x) ∈ U ′ :<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∂f <br />
<br />
(t, x) <br />
∂x <br />
≤ ˜ <br />
<br />
<br />
KU ′ og <br />
∂f <br />
<br />
(t, x) <br />
∂y <br />
≤ ˜ KU ′ (2.15)<br />
Lad f1 og f2 benævne henholdsvis første og anden komponent af f. For alle
2.3 Eksistens og entydighed af løsning 19<br />
(t, u), (t, v) ∈ U ′ , hvor u = [ x1<br />
y1 ] , v = [ x2<br />
y2 ] gælder, at<br />
||f(t, x1, y1) − f(t, x2, y2)||<br />
=||f(t, x1, y1) − f(t, x2, y1) + f(t, x2, y1) − f(t, x2, y2)||<br />
≤||f(t, x1, y1) − f(t, x2, y1)|| + ||f(t, x2, y1) − f(t, x2, y2)||<br />
<br />
<br />
x1 <br />
= <br />
∂f <br />
<br />
(t, z, y1)dz<br />
x2 ∂x <br />
+<br />
<br />
y1 <br />
<br />
∂f<br />
<br />
y2 ∂y (t, x2,<br />
<br />
<br />
z)dz<br />
<br />
<br />
<br />
x1 ∂f1<br />
<br />
x2 ∂x (t, z, y1)dz<br />
<br />
= <br />
<br />
<br />
x1 ∂f2<br />
<br />
<br />
x2 ∂x (t, z, y1)dz +<br />
<br />
<br />
y1 ∂f1<br />
<br />
y2 ∂y<br />
<br />
<br />
(t, x2, z)dz<br />
y1 ∂f2<br />
y2 ∂y (t, x2,<br />
<br />
<br />
<br />
z)dz <br />
<br />
<br />
x1 ∂f1<br />
<br />
| x2 ∂x (t, z, y1)|dz<br />
<br />
≤ <br />
<br />
<br />
x1<br />
<br />
<br />
(t, z, y1)|dz +<br />
<br />
<br />
y1 ∂f1<br />
<br />
| y2 ∂y<br />
<br />
<br />
(t, x2,<br />
z)|dz<br />
<br />
<br />
<br />
y1<br />
<br />
<br />
x2<br />
| ∂f2<br />
∂x<br />
y2<br />
| ∂f2<br />
∂y (t, x2, z)|dz<br />
Indsæt (z, y1) i stedet for x i første ulighed i ligning (2.15) og omskriv den:<br />
<br />
<br />
<br />
∂f<br />
∂x<br />
(t, x1,<br />
<br />
<br />
y1) <br />
<br />
≤ ˜ KU ′ ⇔<br />
<br />
∂f1 2 2 ∂f2<br />
(t, z, y1) + (t, z, y1) ≤<br />
∂x ∂x ˜ KU ′ ⇒<br />
<br />
<br />
∂f1<br />
<br />
<br />
(t, z, y1) <br />
∂x ≤ ˜ <br />
<br />
∂f2<br />
<br />
KU ′ ∧ <br />
(t, z, y1) <br />
∂x ≤ ˜ KU ′<br />
Det tilsvarende gøres ved anden ulighed i ligning (2.15), hvor (x2, z) indsættes.<br />
Dermed f˚as, at<br />
<br />
x1 ∂f1<br />
| x2 ∂x (t, z, y1)|dz<br />
<br />
<br />
<br />
x1 ∂f2<br />
<br />
| x2 ∂x (t, z, y1)|dz +<br />
<br />
<br />
y1 ∂f1<br />
<br />
| y2 ∂y<br />
<br />
<br />
(t, x2, z)|dz<br />
y1 ∂f2<br />
| y2 ∂y (t, x2,<br />
<br />
<br />
<br />
z)|dz <br />
<br />
<br />
x1 ˜KU <br />
x2 ≤ <br />
<br />
′dz<br />
x1 ˜KU x2<br />
′dz<br />
<br />
<br />
<br />
+<br />
<br />
<br />
y1 ˜KU <br />
y2 <br />
<br />
′dz<br />
y1 ˜KU y2<br />
′dz<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
˜KU<br />
= <br />
<br />
′|x1 − x2|<br />
˜KU ′|x1<br />
<br />
<br />
− x2| +<br />
<br />
<br />
<br />
˜KU<br />
<br />
<br />
′|y1 − y2|<br />
˜KU ′|y1<br />
<br />
<br />
<br />
− y2| <br />
Ud fra punkt 1 i lemma 2.11 f˚as, at<br />
<br />
<br />
˜KU<br />
<br />
<br />
′|x1 − x2|<br />
˜KU ′|x1<br />
<br />
<br />
− x2| +<br />
<br />
<br />
<br />
˜KU<br />
<br />
<br />
′|y1 − y2|<br />
˜KU ′|y1<br />
<br />
<br />
<br />
− y2| <br />
<br />
= 2 KU<br />
˜ ′|x1 − x2| <br />
2<br />
+ 2 KU<br />
˜ ′|y1 − y2| 2 = ˜ KU ′<br />
<br />
2|x1 − x2| 2 + ˜ KU ′<br />
<br />
2|y1 − y2| 2<br />
≤ max{ ˜ KU ′, ˜ KU ′} 2|x1 − x2| 2 + 2|y1 − y2| 2<br />
= max{ ˜ KU ′, ˜ KU ′}√ 2 |x1 − x2| + |y1 − y2| <br />
≤ max{ ˜ KU ′, ˜ KU ′}√ 2 √ 2 |x1 − x2| 2 + |y1 − y2| 2<br />
=2 max{ ˜ KU ′, ˜ KU ′} |x1 − x2| 2 + |y1 − y2| 2<br />
= ˆ KU ′||(u − v)||, hvor ˆ KU ′ = 2 max{ ˜ KU ′, ˜ KU ′}
20 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED<br />
Hermed er det bevist, at f opfylder en lokal Lipschitz-betingelse p˚a U ′ . <br />
Det følgende lemma, som bruges i beviset for sætningen om eksistens og entydighed,<br />
omhandler, hvorledes det er muligt at omskrive begyndelsesværdiproblem<br />
(2.14).<br />
Lemma 2.13 Differentialligning og integralligning<br />
Lad s, t, t0 ∈ R, ˜x ∈ R 2 , x : R → R 2 , og f : R × R 2 → R 2 . Da gælder,<br />
at<br />
x(t) er en løsning til x ′ (t) = f t, x(t) , x(t0) = ˜x ⇔<br />
t<br />
x(t) er en løsning til x(t) = ˜x + f v, x(v) dv<br />
Bevis.<br />
”⇒”: Antag, at x(t) er en løsning til begyndelsesværdiproblemet<br />
Sæt<br />
t0<br />
x ′ (t) = f t, x(t) , x(t0) = ˜x<br />
t<br />
y(t) = ˜x + f v, x(v) dv (2.16)<br />
t0<br />
Herefter vises, at x(t) = y(t) for alle t ∈ R. Derved er det bevist, at x(t) er en<br />
løsning til integralligning (2.16).<br />
Først indføres en hjælpefunktion m defineret ved<br />
Dernæst udregnes værdien af m(t0):<br />
m(t) = y(t) − x(t)<br />
m(t0) = y(t0) − x(t0) = ˜x − ˜x = 0<br />
Funktionen m differentieres ved at benytte Analysens Hovedsætning (sætning<br />
5.28(i) i [Wad04]):<br />
m ′ (t) = y ′ (t) − x ′ (t) = f t, x(t) − f t, x(t) = 0, ∀t ∈ R<br />
Eftersom m ′ (t) = 0 for alle t ∈ R, er m en konstant funktion. Idet m(t0) = 0,<br />
kan det sluttes, at<br />
m(t) = 0, ∀t ∈ R<br />
Det betyder, at<br />
x(t) = y(t), ∀t ∈ R<br />
”⇐ ”: Antag, at x(t) er en løsning til integralligningen<br />
t<br />
x(t) = ˜x + f v, x(v) dv<br />
t0
2.3 Eksistens og entydighed af løsning 21<br />
Først bevises ved differentiation, at x(t) er en løsning til x ′ (t) = x(t):<br />
x ′ (t) =<br />
<br />
˜x +<br />
t<br />
f v, x(v) dv<br />
t0<br />
′<br />
t<br />
= f v, x(v) dv<br />
t0<br />
′<br />
= f t, x(t) <br />
Dernæst bevises, at x(t) opfylder begyndelsesbetingelsen x(t0) = ˜x:<br />
t0<br />
x(t0) = ˜x +<br />
t0<br />
f v, x(v) dv = ˜x<br />
Hermed er lemmaet beviset. <br />
Herefter er det muligt at bevise nedenst˚aende sætning om eksistens og entydighed<br />
af en løsning.<br />
Sætning 2.14 Eksistens & entydighed<br />
<br />
2 ∈ R .<br />
Lad t0 ∈ R, a, b ∈ R+ og ˜x = ˜x1<br />
˜x2<br />
Sæt<br />
T = [t0 − a, t0 + a]<br />
M = x ∈ R 2 ||x − ˜x|| < b <br />
Lad f : T × M → R 2 være en funktion, som er kontinuert p˚a T × M<br />
og opfylder en lokal Lipschitz-betingelse, dvs.:<br />
∃KT ×M > 0, ∀t ∈ T , x1, x2 ∈ M :<br />
<br />
f(t, x1) − f(t, x2) ≤ KT ×M||x1 − x2||<br />
Da eksisterer h > 0, s˚a der findes en entydig, lokal løsning<br />
x : [t0 − h, t0 + h] → R 2 til begyndelsesværdiproblemet<br />
dx<br />
dt = f t, x(t) , x(t0) = ˜x (2.17)<br />
Bevis. I henhold til lemma 2.13, kan begyndelsesværdiproblem (2.17) omskrives<br />
til følgende integralligning:<br />
t<br />
x(t) = ˜x + f v, x(v) dv<br />
t0<br />
Antag, at t0 < t. Sæt J = [t0 − h, t0 + h], og lad F være en mængde givet ved:<br />
F = u ∈ C(J) ∀t ∈ J : u(t) − ˜x ≤ b <br />
Dernæst vises, at (F, d∞) er et fuldstændigt metrisk rum. Det gøres ved at<br />
betragte en vilk˚arlig Cauchy-følge {fn}n≥1 i (F, d∞), dvs.:<br />
∀ε > 0, ∃Nε ≥ 1, ∀p, q ≥ Nε : d∞(fp, fq) < ε
22 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED<br />
Eftersom en Cauchy-følge i (F, d∞) ogs˚a er en Cauchy-følge i <br />
C(J), d∞<br />
<br />
, og<br />
C(J), d∞ i henhold til sætning 2.6 er fuldstændigt, konvergerer {fn}n≥1 mod<br />
f∞ ∈ C(J), dvs.:<br />
∀ε > 0, ∃Nε ≥ 1, ∀n ≥ Nε : d∞(fn, f∞) < ε<br />
Herefter vises, at f∞ ∈ F , hvilket betyder, at (F, d∞) er et fuldstændigt metrisk<br />
rum. Vælg et vilk˚arligt t ∈ J, og lad n ≥ Nε. Dermed f˚as, at<br />
<br />
f∞(t) − ˜x ≤ f∞(t) − fn(t) + fn(t) − ˜x <br />
≤ f∞(t) − fn(t) + b<br />
< ε + b<br />
Eftersom ε kan vælges vilk˚arligt lille, gælder at<br />
<br />
f∞(t) − ˜x ≤ b<br />
Hermed er f∞ ∈ F , hvilket betyder, at (F, d∞) er et fuldstændigt metrisk rum.<br />
Lad u ∈ F og definer en funktion S med F som definitionsmængde og med<br />
følgende forskrift:<br />
S u(t) t<br />
= ˜x + f v, u(v) dv<br />
Resten af beviset har til form˚al at bevise, at S er en kontraktion p˚a (F, d∞),<br />
dvs. at S i henhold til definition 2.7 opfylder følgende:<br />
1. Billedmængden af S er en delmængde af F , dvs. S(F ) ⊆ F .<br />
t0<br />
2. Funktionen S opfylder udsagnet<br />
<br />
∃α ∈]0; 1[, ∀u1, u2 ∈ F : d∞ S(u1), S(u2) ≤ αd∞(u1, u2) (2.18)<br />
Bevis for punkt 1:<br />
Tag u ∈ F og vis, at S u <br />
∈ F . Det<br />
<br />
gøres<br />
<br />
ved at benytte sætning 5.22 i [Wad04].<br />
Lad derudover f1 v, u(v) og f2 v, u(v) betegne henholdsvis første og anden<br />
komponent af f v, u(v) :<br />
<br />
<br />
t<br />
<br />
<br />
f<br />
t0<br />
v, u(v) <br />
<br />
dv<br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
<br />
t0 = <br />
<br />
f1<br />
<br />
v, u(v) dv<br />
t<br />
t0 f2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
v, u(v) dv <br />
<br />
t<br />
2<br />
<br />
t<br />
2<br />
<br />
= f1 v, u(v) dv<br />
+ <br />
f2 v, u(v) dv<br />
<br />
t0<br />
t0<br />
<br />
t<br />
2 <br />
t<br />
2<br />
<br />
≤ f1 v, u(v) dv + f2 v, u(v) dv<br />
t0<br />
t0<br />
(2.19)<br />
(2.20)
2.3 Eksistens og entydighed af løsning 23<br />
Punkt 2 i lemma 2.11 kan bruges til at vurdere udtryk (2.20) opadtil. Benyttes<br />
derudover antagelsen om, at t0 < t, f˚as følgende:<br />
<br />
t<br />
2 <br />
t<br />
2<br />
<br />
f1 v, u(v) dv + f2 v, u(v) dv<br />
t0<br />
t0<br />
<br />
t<br />
<br />
<br />
≤ f1 v, u(v) dv<br />
<br />
t0<br />
+<br />
<br />
t<br />
<br />
<br />
f2 v, u(v) dv<br />
<br />
t0<br />
t<br />
<br />
t<br />
<br />
= v, u(v) dv + v, u(v) dv<br />
t0<br />
t0<br />
f1<br />
t0<br />
f2<br />
tf1<br />
<br />
= v, u(v) + f2 v, u(v) dv (2.21)<br />
Funktionen f er kontinuert p˚a T × M, der er en lukket mængde og begrænset<br />
mængde. Dermed er f begrænset, dvs.:<br />
∃PT ×M > 0, ∀(t, x) ∈ T × M : f(t, x) ≤ PT ×M<br />
Ved brug af punkt 1 i lemma 2.11 kan udtryk (2.21) dermed vurderes opadtil:<br />
tf1<br />
t √ v, u(v) + f2 v, u(v) dv ≤ 2 f v, u(v) dv<br />
t0<br />
t0<br />
t √<br />
≤ 2PT ×Mdv<br />
Sammenfattes udregningerne fra udtryk (2.19) til ulighed (2.22) f˚as, at<br />
<br />
<br />
t<br />
<br />
<br />
f v, u(v) <br />
<br />
dv<br />
<br />
≤<br />
t √<br />
2PT ×Mdv<br />
Vælg et vilk˚arligt t ∈ J og sæt h ≤<br />
t0<br />
t0<br />
t0<br />
√ b . Dermed f˚as af ulighed (9), at<br />
2PT ×M<br />
(2.22)<br />
<br />
<br />
S<br />
u(t) <br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
− ˜x <br />
= <br />
<br />
f<br />
t0<br />
v, u(v) <br />
<br />
dv<br />
<br />
(2.23)<br />
t √<br />
≤ 2PT ×Mdv (2.24)<br />
t0<br />
= √ 2PT ×M(t − t0)<br />
≤ √ 2PT ×Mh (2.25)<br />
≤ b (2.26)<br />
For at komme fra ligning (2.25) til ligning (2.26) bruges, at h ≤<br />
√ b .<br />
2PT ×M<br />
Da f og u er kontinuerte funktioner, kan Analysens Hovedsætning (sætning<br />
5.28 i [Wad04]) benyttes til at udregne den afledede af ˜x + t<br />
t0 f v, u(v) dv.<br />
Dermed er S u(t) = ˜x + t<br />
t0 f v, u(v) dv differentiabel. Det betyder, at S u(t) <br />
er kontinuert, s˚a S u(t) ∈ F for alle t ∈ J. Det medfører, at S(F ) ⊆ F . S˚aledes<br />
er punkt 1 bevist.
24 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED<br />
Bevis for punkt 2:<br />
Først skal følgende udtryk vurderes opadtil:<br />
∀t ∈ J : <br />
S u1(t) − S u2(t) <br />
<br />
<br />
t<br />
= <br />
<br />
f<br />
t0<br />
v, u1(v) − f v, u2(v) <br />
<br />
<br />
dv<br />
<br />
⎡<br />
<br />
<br />
t <br />
<br />
f1 v, u1(v) t0<br />
= ⎣<br />
<br />
<br />
<br />
− f1 v, u2(v) <br />
dv<br />
<br />
t <br />
f2 v, u1(v) t0<br />
<br />
− f2 v, u2(v) <br />
⎤<br />
<br />
<br />
⎦<br />
<br />
dv <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= <br />
t<br />
f1 v,u1(v) −f1 v,u2(v)<br />
t0 2 <br />
<br />
t<br />
dv + f2 v,u1(v) −f2 v,u2(v)<br />
t0 2 dv<br />
<br />
<br />
≤<br />
<br />
t<br />
f1 v,u1(v) −f1 v,u2(v)<br />
t0 <br />
<br />
<br />
dv<br />
+<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
f2 v,u1(v) −f2 v,u2(v)<br />
t0 <br />
<br />
<br />
dv<br />
<br />
≤ <br />
t <br />
dv+ <br />
t <br />
dv<br />
t<br />
f1 v,u1(v) −f1 v,u2(v)<br />
0<br />
t<br />
f2 v,u1(v) −f2 v,u2(v)<br />
(2.27)<br />
0<br />
For at kunne fortsætte vurderingen benyttes, at f opfylder en Lipschitzbetingelse:<br />
∃KT ×M > 0, ∀v ∈ T , u1, u2 ∈ M :<br />
<br />
<br />
f<br />
v, u1(v) − f v, u2(v) <br />
≤ KT ×M||u1(v) − u2(v)|| ⇒<br />
<br />
f1 v,u1(v) −f1 v,u2(v)<br />
2 <br />
+ f2 v,u1(v) −f2 v,u2(v)<br />
2 <br />
f1 v, u1(v) <br />
− f1 v, u2(v) ≤ KT ×M||u1(v) − u2(v)|| ∧<br />
<br />
f2 v, u1(v) <br />
− f2 v, u2(v) ≤ KT ×M||u1(v) − u2(v)||<br />
≤KT ×M||u1(v)−u2(v)|| ⇒<br />
Dermed kan udtryk (2.27) vurderes opadtil:<br />
<br />
t <br />
dv+ <br />
t <br />
dv<br />
t<br />
f1 v,u1(v) −f1 v,u2(v)<br />
0<br />
t<br />
f2 v,u1(v) −f2 v,u2(v)<br />
0<br />
t<br />
t<br />
≤ KT ×M||u1(v) − u2(v)||dv + KT ×M||u1(v) − u2(v)||dv<br />
t0<br />
t<br />
=2KT ×M ||u1(v) − u2(v)||dv<br />
t0<br />
t<br />
≤2KT ×M d∞(u1, u2)dv<br />
t0<br />
=2KT ×Md∞(u1, u2)(t − t0)<br />
Anvend dette samt definitionen af d∞ til at f˚a følgende:<br />
<br />
S(u1), S(u2) <br />
= sup<br />
S u1(t) − S u2(t) <br />
d∞<br />
t∈J<br />
t0<br />
≤ sup 2KT ×Md∞(u1, u2)(t − t0)<br />
t∈J<br />
= 2KT ×Md∞(u1, u2)h<br />
= αd∞(u1, u2), hvor α = 2hKT ×M
2.3 Eksistens og entydighed af løsning 25<br />
1<br />
Sæt h < 2KT ×M , hvilket giver, at 2hKT ×M < 1. Det betyder, at α ∈]0, 1[, da<br />
h, KT ×M > 0. S˚aledes er udsagn (2.18) bevist.<br />
Hermed er det bevist, at S opfylder punkt 1 og punkt 2, s˚afremt<br />
h ≤<br />
b<br />
√ 2PT ×M<br />
1<br />
og h <<br />
2KT ×M<br />
(2.28)<br />
Dermed er S en kontraktion p˚a (F, d∞).<br />
Ifølge sætning 2.9 har en kontraktion p˚a et fuldstændigt metrisk rum et entydigt<br />
fikspunkt, hvilket betyder, at<br />
∃x ∈ F : S x(t) = x(t), ∀t ∈ J ⇒<br />
t<br />
x(t) = ˜x + f v, x(v) dv, ∀t ∈ J<br />
Udover de to uligheder (2.28), som h skal opfylde, skal der ogs˚a gælde, at h ≤ a.<br />
Det betyder, at J ⊆ T , hvilket sikrer, at f er defineret for alle t ∈ J.<br />
Dermed er det bevist, at der eksisterer en entydig, lokal løsning<br />
x : ]t0 − h, t0 + h[→ R 2 til begyndelsesværdiproblem (2.17). <br />
2.3.1 Eksempler<br />
Dette afsnit best˚ar af nogle eksempler p˚a differentialligninger, som enten opfylder<br />
sætning 2.14 om eksistens og entydighed af en løsning, eller som ikke<br />
gør.<br />
Eksempel 2.15<br />
Dette eksempel viser, at en 1. ordens differentialligning ikke altid har løsninger,<br />
der er defineret til alle tidspunkter. Eksemplet bygger p˚a opgave 11 p˚a s. 18 i<br />
[HSD04].<br />
Det g˚ar ud p˚a at finde den generelle løsning til x ′ = x 2 .<br />
Først bruges separation af de variable til at finde en løsning. Denne fremgangsm˚ade<br />
er uddybet i appendiks A.1.<br />
t0<br />
dx<br />
dt = x(t) 2 , x(t) = 0 for t ∈ R ⇒ (2.29)<br />
<br />
<br />
1<br />
2 dx = dt ⇒<br />
x(t)<br />
− 1<br />
= t + k , k ∈ R ⇔<br />
x(t)<br />
x(t) = − 1<br />
, t = −k (2.30)<br />
t + k<br />
Løsningerne x(t) = − 1<br />
t+k er ikke defineret for t = −k. Derfor er løsningerne ikke<br />
globale. Derudover er x(t) ≡ 0 en ligevægtsløsning for t ∈ R.<br />
Det vides, at alle løsninger er fundet, da der gælder implikation fra ligning<br />
(2.29) til ligning (2.30). Det skyldes, at der i ligning (2.29) blev opstillet en<br />
betingelse om, at x(t) = 0 for t ∈ R. Denne betingelse opstilles for at undg˚a, at<br />
der divideres med nul undervejs i udregningen.
26 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED<br />
Betragt følgende begyndelsesværdiproblem<br />
x ′ = x 2 , x(t0) = x0 (2.31)<br />
Først undersøges, for hvilke værdier af t en løsning er defineret. Det gøres ved<br />
at bestemme k:<br />
x(t0) = x0 ⇒<br />
− 1<br />
t0 + k = x0 ⇔<br />
x0(t0 + k) = −1 ⇔<br />
t0 + k = − 1<br />
, x0 = 0 ⇔<br />
x0<br />
k = − 1<br />
− t0<br />
x 0<br />
Eftersom en løsning ikke er defineret i t = −k, gælder at<br />
−∞ < t < 1<br />
1<br />
x0<br />
x0<br />
+ t0, hvis t0 < −k<br />
+ t0 < t < ∞, hvis t0 > −k<br />
Herefter undersøges, om begyndelsesværdiproblem (2.31) opfylder kravene for<br />
eksistens og entydighed af en lokal løsning, jf. sætning 2.14. Det vides, at<br />
f(x) = x 2 er kontinuert. Desuden opfylder f en lokal Lipschitz-betingelse, jf.<br />
sætning 2.12, eftersom f ′ (x) = 2x er kontinuert. Det betyder, at eksistens- og<br />
entydighedssætning 2.14 gælder.<br />
Dermed eksisterer en entydig, lokal løsning til begyndelsesværdiproblem (2.31).<br />
Denne løsning er global, i det tilfælde at x0 = 0, eftersom det betyder, at x(t) ≡ 0<br />
er den entydige løsning. Af eksistens- og entydighedssætning 2.14 følger, at der<br />
ikke er andre løsninger til denne begyndelsesbetingelse,<br />
Ud fra ovenst˚aende fremg˚ar det, at der kun eksisterer en entydig, lokal løsning til<br />
begyndelsesværdiproblem (2.31). Med undtagelse af ligevægtsløsningen er alle<br />
løsninger dermed ikke globale. Eksemplet illustrerer s˚aledes, at der for et begyndelsesværdiproblem,<br />
der opfylder betingelserne i eksistens- og entydighedssætning<br />
2.14, kun med sikkerhed eksisterer en entydig, lokal løsning.<br />
Herunder gives et eksempel p˚a en differentialligning, for hvilken en løsning, der<br />
opfylder x(0) = 0, kun er defineret for −1 < t < 1.<br />
Først findes en funktion, som er defineret i intervallet −1 < t < 1.<br />
x(t) = tan(t) er defineret for − π<br />
2<br />
for −1 < t < 1 og k ∈ R.<br />
Nu bestemmes k, s˚a løsningen opfylder x(0) = 0:<br />
<br />
π<br />
<br />
x(0) = 0 ⇒ tan · 0 + k = 0 ⇔ k = 0<br />
2<br />
Dermed er x(t) = tan π<br />
2 t , hvilket gør, at x ′ (t) = π<br />
<br />
2 1 + tan2 π<br />
2 t.<br />
Det giver følgende differentialligning:<br />
< t < π<br />
2 , dvs. x(t) = tan π<br />
2 t + k er defineret
2.3 Eksistens og entydighed af løsning 27<br />
x ′ = π 2<br />
1 + x<br />
2<br />
<br />
Dette er endnu et eksempel p˚a en differentialligning, for hvilken der kun<br />
eksisterer lokale løsninger.<br />
Eksempel 2.16<br />
Dette eksempel viser, at differentialligninger ikke altid har entydige løsninger,<br />
som opfylder en given begyndelsesbetingelse. Eksemplet bygger p˚a opgave 12 p˚a<br />
s. 18 i [HSD04].<br />
Herunder bevises, at der er uendelig mange forskellige løsninger til x ′ = x 1<br />
3 , som<br />
opfylder x(0) = 0.<br />
Først bruges separation af de variable til at finde en løsning, jf. appendiks A.1:<br />
<br />
dx<br />
dt<br />
1 −<br />
x 3 dx =<br />
= x 1<br />
3 , x(t) = 0 for t ∈ R ⇒ (2.32)<br />
<br />
dt ⇒ (2.33)<br />
3 2<br />
x 3 = t + k , k ∈ R ⇔<br />
2<br />
x 2<br />
3 = 2<br />
(t + k) ⇔<br />
3<br />
<br />
2<br />
x = (t + k)<br />
3<br />
3<br />
2<br />
, t ≥ −k (2.34)<br />
Fra udregning (2.32) til (2.33) forudsættes, at x(t) = 0 , t ∈ R, s˚aledes der ikke<br />
divideres med 0. I udregning (2.34) skal t ≥ −k, da x(t) =<br />
Dernæst kan k udregnes ud fra begyndelsesbetingelsen x(0) = 0:<br />
x(0) = 0 ⇒<br />
3<br />
2 2<br />
(0 + k) = 0 ⇒<br />
3<br />
3<br />
2<br />
<br />
2<br />
3 k<br />
= 0 ⇒<br />
3<br />
2 2<br />
· k<br />
3<br />
3<br />
2 = 0 ⇒<br />
k 3<br />
2 = 0 ⇒<br />
k = 0<br />
3<br />
2<br />
3 (t + k) .<br />
Under mellemregningerne ved separation af de variable forudsættes, at x(t) = 0<br />
for t ∈ R, men begyndelsesbetingelsen er x(0) = 0. Derfor er det nødvendigt<br />
at undersøge, om x(t) = ( 2 3<br />
3t) 2 , t ∈ R er en løsning. Det gøres ved først at<br />
udregne x ′ (t):<br />
2 x ′ (t) =<br />
3<br />
3<br />
2<br />
· t 3<br />
′<br />
2 =<br />
3<br />
2 2<br />
3<br />
· 3 1<br />
t 2 =<br />
2 2<br />
3 ·<br />
1<br />
2 2<br />
3<br />
· 3<br />
<br />
1 2<br />
t 2 =<br />
2 3 t<br />
1<br />
2
28 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED<br />
Derefter udregnes 1<br />
3 x(t) :<br />
2 1<br />
3 x(t) =<br />
3 t<br />
3 1<br />
3<br />
2<br />
=<br />
<br />
2<br />
3 t<br />
3 <br />
6 2<br />
=<br />
3 t<br />
1<br />
2<br />
Dvs. x(t) = ( 2 3<br />
3t) 2 , t ∈ R er en løsning.<br />
Desuden er x(t) ≡ 0 , t ∈ R en ligevægtsløsning, da x ′ (t) = 0, og 1<br />
3 x(t) = 0.<br />
Disse løsninger sammensættes, hvilket giver følgende:<br />
x(t) =<br />
3<br />
2<br />
2<br />
3 (t + k) for t ≥ −k , k ∈ R− ∪ {0}<br />
0 for t < −k , k ∈ R− ∪ {0}<br />
(2.35)<br />
Grunden til, at k ∈ R− ∪ {0}, er, at der om −k skal gælde, at −k ≥ 0, eftersom<br />
begyndelsesbetingelsen x(0) = 0 skal være opfyldt.<br />
Det er nødvendigt at undersøge, om denne sammensætning af løsninger giver<br />
funktioner, som er differentiable i punktet t = −k. Det betyder, at følgende skal<br />
være opfyldt:<br />
x(−k + h) − x(−k) x(−k + h) − x(−k)<br />
lim<br />
= lim<br />
h→0− h<br />
h→0+ h<br />
De to differentialkvotienter udregnes:<br />
x(−k + h) − x(−k) 0<br />
lim<br />
= lim<br />
h→0− h<br />
h→0− h<br />
x(−k + h) − x(−k)<br />
lim<br />
= lim<br />
h→0+ h<br />
h→0+<br />
= lim<br />
h→0+<br />
= lim<br />
h→0+<br />
= 0<br />
= 0<br />
3<br />
2<br />
2<br />
3 (−k + h + k) − 0<br />
3<br />
2 2<br />
3h h<br />
2 3<br />
h<br />
3 <br />
2 √<br />
h<br />
Hermed er det vist, at funktionerne er differentiable i t = −k. Dermed giver<br />
sammensætningen af løsninger i ligning (2.35) uendelig mange løsninger, idet<br />
konstanten k kan vælges arbitrært, og for hvert k f˚as en ny løsning.<br />
Det er ikke i modstrid med eksistens- og entydighedssætning 2.14, at der eksis-<br />
terer flere løsninger, da f(x) = x 1<br />
3 ikke opfylder en lokal Lipschitz-betingelse.<br />
Det skyldes, at følgende ulighed ikke gælder for alle K > 0, hvis x1, x2 er tilpas<br />
1<br />
3 <br />
− x ≤ K|x1 − x2|<br />
sm˚a: x 1<br />
3<br />
1<br />
2
2.4 Opsummering 29<br />
Det fremg˚ar ved at sætte x2 = 0, og 0 < |x1| 2 < 1<br />
K 3 :<br />
|x1| 2 < 1<br />
⇒<br />
K3 K 3 |x1| 2 < 1 ⇒<br />
K 3 |x1| 3 < |x1| ⇒<br />
K|x1| < |x 1<br />
3 | ⇒<br />
1<br />
K|x1 − x2| < |x 1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
3 − x | (2.36)<br />
Da ulighed 2.36 er en modstrid med ulighed 2.16, opfylder differentialligningen<br />
ikke en lokal Lipschitz-betingelse. Dermed er betingelserne i eksistens- og entydighedssætning<br />
2.14 ikke opfyldt. S˚a selvom dette begyndelsesværdiproblem<br />
har uendelig mange løsninger, er det ikke i modstrid med eksistens- og entydighedssætningen.<br />
2.4 Opsummering<br />
Vi har i dette kapitel behandlet eksistensen og entydigheden af en løsning for<br />
en differentialligning.<br />
Til at starte med blev et metrisk rum defineret, samt hvad der menes fuldstændigheden<br />
af et metrisk rum. Efterfølgende blev Banachs fikspunktssætning<br />
bevist.<br />
Eftersom fokus i denne rapport er eksistens og entydighed, blev eksistens- og<br />
entydighedssætningen bevist. Herefter gennemgik vi nogle eksempler p˚a, hvorn˚ar<br />
det er muligt at anvende eksistens- og entydighedssætningen, og hvorn˚ar det g˚ar<br />
galt.<br />
2
Kapitel 3<br />
Lineære, plane<br />
differentialligningssystemer<br />
3.1 Plane systemer af differentialligninger<br />
Inden vi i dette afsnit g˚ar i dybden med plane, lineære systemer af 1. ordens<br />
autonome differentialligninger, vil vi starte med at definere, hvad der menes med<br />
et plant system. Kapitlet bygger p˚a [HSD04].<br />
Definition 3.1 Et plant system<br />
Et system, som best˚ar af to differentialligninger, kaldes et plant system<br />
af differentialligninger.<br />
Et plant, lineært system af autonome differentialligninger kan skrives p˚a formen:<br />
dx1<br />
dt = ax1 + bx2<br />
dx2<br />
dt = cx1 + dx2<br />
(3.1)<br />
Her er x1, x2 ∈ C, og a, b, c, d ∈ R. Det kan ogs˚a skrives p˚a den kortere matrixform:<br />
x ′ = Ax<br />
Her er<br />
x =<br />
x1<br />
x2<br />
<br />
og A =<br />
<br />
a b<br />
c d<br />
I resten af rapporten vil vi beskæftige os med plane systemer af autonome<br />
1. ordens differentialligninger. Derfor vil ethvert system af differentialligninger<br />
være et system af denne type, hvis ikke andet er nævnt.<br />
Herunder følger en definition af et flow for et system af differentialligninger.
32<br />
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE<br />
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER<br />
Definition 3.2 Flow<br />
Lad f : R 2 → R 2 og ϕ : R 2 → R 2 være funktioner, hvor f er differentiabel,<br />
og f ′ er kontinuert.<br />
Lad x(t) være løsningen med x(t0) = x0 til differentialligningssystemet<br />
x ′ = f(x). Da kaldes funktionen ϕ(t, x0) flowet for systemet,<br />
hvis ϕ(t, x0) = x(t) for alle løsninger x.<br />
Herunder følger en definition af en helt særlig type løsninger:<br />
Definition 3.3 Ligevægtspunkt og -løsning<br />
Lad x ′ = f(x) være et system af differentialligninger.<br />
En vektor x ∗ , hvorom det gælder, at f(x ∗ ) = 0 kaldes et ligevægtspunkt<br />
for systemet.<br />
En konstant løsning x(t) ≡ x ∗ til systemet kaldes en ligevægtsløsning.<br />
Til ethvert ligevægtspunkt hører en ligevægtsløsning, og til enhver ligevægtsløsning<br />
hører et ligevægtspunkt.<br />
Følgende sætning omhandler ligevægtspunkter for systemet x ′ = Ax:<br />
Sætning 3.4 Ligevægtspunkter<br />
1. Hvis detA = 0, har x ′ = Ax origo som et entydigt ligevægtspunkt.<br />
2. Hvis A = [ 0 0<br />
0 0 ], har x′ = Ax samtlige vektorer i R2 som ligevægtspunkter.<br />
3. Hvis detA = 0, og A = [ 0 0<br />
0 0 ], har x′ = Ax en ret linie gennem<br />
origo best˚aende af ligevægtspunkter.<br />
Bevis. Betragt x ′ = Ax. Eftersom en ligevægtsløsning x(t) ≡ x ∗ i henhold<br />
til definition 3.3 er defineret ved, at Ax ∗ = 0, gælder følgende biimplikation:<br />
x(t) ≡ x ∗ ⇔ Ax ∗ = 0<br />
Punkt 1:<br />
Antag, at detA = 0. Dermed er der kun én løsning til Ax ∗ = 0:<br />
x ∗ = A −1 0 = 0<br />
Heraf fremg˚ar det, at den entydige løsning er x(t) ≡ x∗ = 0.<br />
Punkt 2:<br />
Antag, at A = [ 0 0<br />
0 0 ]. Dermed gælder, at Ax∗ = 0 for alle x∗ ∈ R2 .<br />
Punkt 3:<br />
Antag, at detA = 0, og at A = [ 0 0<br />
0 0 ]. Det betyder, at rækkerne er lineært<br />
afhængige:<br />
<br />
a b a b<br />
A = ∼<br />
ka kb 0 0
3.1 Plane systemer af differentialligninger 33<br />
Her er k ∈ Z, og a, b ∈ R, hvorom der gælder, at a = 0 ∨ b = 0, idet A = [ 0 0<br />
0 0 ].<br />
I det følgende antages, at a = 0. Argumentet følger analogt, hvis b = 0.<br />
Lad x∗ ∗<br />
x<br />
= . Dermed f˚as, at<br />
1<br />
x ∗<br />
2<br />
Eftersom a = 0, f˚as at<br />
Ax ∗ = 0 ⇔ ax ∗ 1 + bx ∗ 2 = 0<br />
x ∗ 1 = − b<br />
a x∗ 2<br />
Dette er en ret linie igennem origo.<br />
Hermed er sætningen bevist. <br />
Vi vil herefter behandle, hvorledes det er muligt at finde løsninger til et system<br />
x ′ = Ax, hvor matricen A opfylder visse betingelser. I forbindelse hermed er det<br />
nødvendigt med nogle sætninger.<br />
Den følgende sætning omhandler en bestemt løsning til x ′ = Ax:<br />
Sætning 3.5 En løsning til x ′ = Ax<br />
Lad A være en matrix, som har en egenværdi λ ∈ R med tilhørende<br />
egenvektor v ∈ R 2 . S˚a har systemet x ′ = Ax løsningen x(t) = ve λt .<br />
Bevis. Det bevises ved indsættelse, at x(t) = ve λt er en løsning til<br />
Funktionen x(t) differentieres:<br />
x ′ = Ax<br />
dx<br />
dt = λveλt = Ave λt = Ax(t)<br />
Dermed er sætningen bevist. <br />
Den følgende sætning viser, at linearkombinationen af to løsninger til x ′ = Ax<br />
ogs˚a er en løsning:<br />
Sætning 3.6 Sammensætning af løsninger<br />
Lad x1, x2 ∈ R n være løsninger til x ′ = Ax, s˚a er følgende ogs˚a en<br />
løsning:<br />
x(t) = k1x1(t) + k2x2(t), k1, k2 ∈ R<br />
Bevis. Antag, at x1 og x2 er løsninger til x ′ = Ax. Dermed gælder, at<br />
x ′ 1(t) = Ax1(t)<br />
x ′ 2(t) = Ax2(t)<br />
(3.2)
34<br />
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE<br />
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER<br />
Det bevises ved indsættelse i x ′ = Ax, at x(t) = k1x1 + k2x2 er en løsning.<br />
Først indsættes x(t) p˚a venstresiden:<br />
Dernæst indsættes x(t) p˚a højresiden:<br />
x ′ (t) = k1x ′ 1(t) + k2x ′ 2(t)<br />
Ax(t) = A k1x1(t) + k2x2(t) <br />
= k1Ax1(t) + k2Ax2(t) (3.3)<br />
= k1x ′ 1(t) + k2x ′ 2(t) (3.4)<br />
For at komme fra ligning (3.3) til ligning (3.4) benyttes ligningerne (3.2).<br />
Hermed er det bevist, at x(t) er en løsning. <br />
Herunder følger en sætning omhandlende løsningsmængden til x ′ = Ax [Cor06]:<br />
Sætning 3.7 Løsningsmængden til x ′ = Ax I<br />
Lad A være en (2 × 2)-matrix med én egenværdi λ1 ∈ C, og lad v ∈ C 2<br />
være den tilhørende egenvektorer.<br />
Løsningsmængden til differentialligningssystemet x ′ = Ax er s˚aledes<br />
givet ved:<br />
LA = x(t) x ′ = Ax <br />
= k1(t)e λ1t v + k2e λ2t u | k1 : R → C, k2, λ2 ∈ C, u ∈ C 2<br />
Her er u ortogonal p˚a v.<br />
Bevis. I systemet x ′ = Ax har matricen A ifølge sætning 5.10 i [Axl97]<br />
mindst en egenværdi λ1 ∈ C med den tilhørende egenvektor v = [ v1<br />
v2 ] ∈ C2 .<br />
Sætning 5.10 gælder, eftersom A er en lineær operator fra C 2 til C 2 . Idet v er<br />
en egenvektor, gælder at v = 0. Derfor er det muligt at lade v betegne den<br />
normaliserede egenvektor. S˚aledes gælder<br />
Lad u være vektoren [ −v2<br />
v1<br />
bestemme, at v = [ a+bi<br />
c+di<br />
||v|| 2 = v1v1 + v2v2 = 1.<br />
]. Ved at beregne det indre produkt er det muligt at<br />
] er lineært uafhængige:<br />
] og u = [ −c+di<br />
a−bi<br />
〈u, v〉 =(a + bi)(−c + di) + (c + di)(a − bi)<br />
=(a + bi)(−c − di) + (c + di)(a + bi)<br />
= − ac + bd + i(−bc − ad) + ac − bd + i(bc + ad)<br />
= − i(bc + ad) + i(bc + ad)<br />
=0<br />
Da 〈u, v〉 = 0, er vektorerne ortogonale. Normen af u og v er 1. Dermed udgør v<br />
og u en ortonormal liste. Eftersom vektorerne i enhver ortonormal liste i henhold<br />
til sætning 6.16 i [Axl97] er lineært uafhængige, er u og v lineært uafhængige.<br />
De udgør derfor en ortonormalbasis i C 2 .
3.1 Plane systemer af differentialligninger 35<br />
Det er for et givet t dermed muligt at finde komplekse tal ξ(t), µ(t) ∈ C, s˚aledes<br />
x(t) kan skrives som en linearkombination af v og u:<br />
x(t) = ξ(t)v + µ(t)u (3.5)<br />
Da v og u udgør en ortonormalbasis, kan begyndelsesværdien ξ(t0) bestemmes<br />
ved at beregne det indre produkt mellem x(t0) og v. Vektoren x(t0) er ifølge<br />
ligning (3.5) givet ved:<br />
x(t0) = ξ(t0)v + µ(t0)u<br />
Det indre produkt bliver derfor:<br />
〈x(t0), v〉 = ξ(t0)〈v, v〉 + µ(t0)〈u, v〉<br />
Da ||v|| 2 = 1, og der gælder, at 〈v, v〉 = ||v||, er 〈v, v〉 = 1. Eftersom der<br />
desuden gælder, at 〈u, v〉 = 0 f˚as:<br />
ξ(t0)〈v, v〉 + µ(t0)〈u, v〉 = ξ(t0)<br />
Da det er muligt at vise, at 〈v, u〉 = 0, kan begyndelsesværdien µ(0) bestemmes<br />
p˚a samme m˚ade:<br />
〈x(t0), u〉 = ξ(t0)〈v, u〉 + µ(t0)〈u, u〉 = µ(t0)<br />
Idet x(t0) = [ x0<br />
y0 ] kan begyndelsesværdierne skrives som:<br />
ξ(t0) = 〈[ x0<br />
y0 ] , [ v1<br />
v2 ]〉 = x0v1 + y0v2<br />
µ(t0) = 〈[ x0<br />
y0 ] , −v2<br />
v1<br />
〉 = −x0v2 + y0v1<br />
(3.6)<br />
ξ(t) og µ(t) er projektioner af den differentiable funktion x(t) p˚a span{v} og<br />
span{u} med tilhørende transformationsmatricer [ 1 0<br />
0 0 ] og [ 0 0<br />
0 1 ]. Dvs. at de begge<br />
er differentiable. Derfor er det muligt at differentiere ligning (3.5):<br />
Desuden haves, at<br />
Dermed f˚as, at<br />
x ′ (t) = ξ ′ (t)v + µ ′ (t)u<br />
x ′ (t) = Ax(t)<br />
= A(ξ(t)v + µ(t)u)<br />
= ξ(t)Av + µ(t)Au<br />
= ξ(t)λ1v + µ(t)Au<br />
ξ ′ (t)v + µ ′ (t)u = ξ(t)λ1v + µ(t)Au. (3.7)<br />
Vektoren Au kan skrives som en linearkombination af v og u p˚a følgende m˚ade:<br />
Au = 〈Au, v〉v + 〈Au, u〉u<br />
Lad nu c = 〈Au, v〉 og λ2 = 〈Au, u〉, s˚a kan ligning (3.7) skrives som
36<br />
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE<br />
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER<br />
ξ ′ (t)v + µ ′ (t)u = ξ(t)λ1v + µ(t)Au<br />
= ξ(t)λ1v + µ(t)(cv + λ2u)<br />
= ξ(t)λ1v + µ(t)cv + µ(t)λ2u<br />
= ξ(t)λ1 + µ(t)c v + µ(t)λ2u<br />
Derfor m˚a følgende gælde med de begyndelsesværdier fastsat i ligningerne (3.6):<br />
ξ ′ (t) = λ1ξ(t) + cµ(t) (3.8)<br />
µ ′ (t) = λ2µ(t) (3.9)<br />
Bestemmelsen af µ(t)<br />
Ifølge sætning 1.4 er det muligt at bestemme µ(t) ved løsning af ligning (3.9).<br />
Entydigheden af løsning µ(t) følger af sætning 1.4. Lad ϕ(t) være bestemt ved:<br />
S˚a er<br />
ϕ(t) = e −λ2(t−t0) µ(t). (3.10)<br />
ϕ ′ (t) = −λ2e −λ2(t−t0) µ(t) + e −λ2(t−t0) µ ′ (t)<br />
= −λ2e −λ2(t−t0) µ(t) + e −λ2(t−t0) λ2µ(t)<br />
= 0<br />
Dette betyder, at ϕ er en konstant funktion. Ved at indsætte t0 i ligning (3.10)<br />
f˚as, at ϕ(t0) = µ(t0). Da ϕ er konstant, betyder dette at ϕ(t) ≡ µ(t0). S˚aledes<br />
f˚as, at<br />
ϕ(t) = e −λ2(t−t0) µ(t) ⇔ µ(t) = µ(t0)e λ2(t−t0)<br />
Bestemmelsen af ξ(t)<br />
Da µ(t) er bestemt, kan ligning (3.8) omskrives til ξ ′ (t) = λ1ξ(t)+cµ(t0)e λ2(t−t0) .<br />
Denne ligning løses med ξ(t0) som begyndelsesværdi. Lad ψ(t) være ψ(t) =<br />
e −λ1(t−t0) ξ(t), s˚a er<br />
ψ ′ (t) = −λ1e −λ1(t−t0) ξ(t) + e −λ1(t−t0) ξ ′ (t)<br />
= −λ1e −λ1(t−t0) ξ(t) + e −λ1(t−t0) λ1ξ(t) + cµ(t0)e λ2(t−t0)<br />
= cµ(t0)e −(λ1−λ2)(t−t0)<br />
Ifølge definitionen er ψ(t0) = ξ(t0). Ved at bruge Analysens Hovedsætning (sætning<br />
5.28(ii) i [Wad04]) f˚as<br />
t<br />
ψ(t) = ψ(t0) + ψ ′ (s)ds<br />
Nu er ψ(t) bestemt for<br />
t0<br />
t<br />
= ξ(t0) + ψ ′ (s)ds<br />
t0<br />
t<br />
= ξ(t0) + cµ(t0)e −(λ1−λ2)(s−t0) ds<br />
t0<br />
t<br />
= ξ(t0) + cµ(t0) e (λ2−λ1)(s−t0) ds<br />
t0
3.1 Plane systemer af differentialligninger 37<br />
• λ1 = λ2:<br />
• λ1 = λ2:<br />
ψ(t) = ξ(t0) + cµ(t0)(t − t0)<br />
ψ(t) = ξ(t0) + cµ(t0) e(λ2−λ1)(t−t0)<br />
λ2 − λ1<br />
S˚aledes er ξ(t) ogs˚a bestemt, da ξ(t) = e λ1(t−t0) ψ(t). Nu kan løsningen i ligning<br />
(3.5) skrives som<br />
x(t) = ψ(t)e λ1(t−t0) v + µ(t0)e λ2(t−t0) u<br />
Dermed er det nu vist, at der eksisterer løsninger til ligningssystemer af typen<br />
x ′ = Ax, og de kan skrives p˚a formen:<br />
x(t) = k1(t)e λ1t v + k2e λ2t u, k1 : R → C, k2 ∈ C<br />
Dermed er sætningen bevist. <br />
Her følger endnu en sætning om løsningsmængden til x ′ = Ax:<br />
Sætning 3.8 Løsningsmængde til x ′ = Ax II<br />
Lad x1(t) og x2(t) være globale, lineært uafhængige løsninger til x ′ =<br />
Ax. Da er løsningsmængden til x ′ = Ax givet ved:<br />
LA = k1x1(t) + k2x2(t) k1, k2 ∈ R <br />
(3.11)<br />
Bevis. Idet f(x) = Ax er kontinuert og i henhold til sætning 2.12 opfylder<br />
en lokal Lipschitz-betingelse, gælder eksistens- og entydighedssætning 2.14 for<br />
systemet. Dermed f˚as, at der eksisterer en entydig, lokal løsning x(t), hvor<br />
t ∈]t0 − h, t0 + h[ for h > 0, som opfylder x(t0) = x0.<br />
Eftersom x1(t) og x2(t) er lineært uafhængige, er det muligt at vælge k1, k2 ∈ R,<br />
s˚a<br />
k1x1(t0) + k2x2(t0) = x0<br />
Af samme ˚arsag er det muligt at vælge k ′ 1, k ′ 2 ∈ R, s˚a følgende er en løsning til<br />
x ′ = Ax med x(t0) = x0:<br />
u(t) = k ′ 1x1(t) + k ′ 2x2(t)<br />
Da x1(t) og x2(t) er globale løsninger, er u(t) ogs˚a global. S˚aledes er denne<br />
løsning ogs˚a defineret for t ∈]t0 − h, t0 + h[. I henhold til eksistens- og entydighedssætning<br />
2.14 er løsningen entydig, s˚a<br />
x(t) = u(t) = k ′ 1x1(t) + k ′ 2x2(t)<br />
Dermed er løsningen p˚a formen angivet i mængde (3.11).
38<br />
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE<br />
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER<br />
3.2 Systemer med kanoniske matricer<br />
Indtil videre har vi beskæftiget os med systemet x ′ = Ax, hvor A har været en<br />
generel matrix. I dette afsnit vil vi udlede den generelle løsning til dette system,<br />
n˚ar A er p˚a kanonisk form, dvs. A er en af følgende matricer:<br />
λ1 0<br />
0 λ2<br />
<br />
,<br />
3.2.1 Reelle egenværdier<br />
<br />
α<br />
<br />
β<br />
−β α<br />
eller<br />
<br />
λ 1<br />
0 λ<br />
Vi vil her se p˚a det tilfælde, hvor matricen A har to forskellige reelle egenværdier<br />
λ1 < λ2. Det forudsættes i første omgang at λi = 0 for i = 1, 2. Sæt<br />
<br />
λ1 0<br />
A =<br />
0 λ2<br />
For at tjekke at λ1 og λ2 er egenværdier, løses ligningen det(A − λI) = 0:<br />
det(A − λI) = 0 ⇔<br />
<br />
<br />
<br />
λ1<br />
<br />
− λ 0 <br />
<br />
0 λ2 − λ<br />
= 0 ⇔<br />
(λ − λ1)(λ − λ2) − 0 = 0<br />
Dette betyder, at λ1 og λ2 er egenværdier. For at finde de tilhørende egenvektorer,<br />
indsættes de fundne egenværdier i det(A − λI) = 0. Først bestemmes<br />
egenvektoren hørende til egenværdien λ1:<br />
Eλ1 (A) = null(A − λ1I)<br />
<br />
λ1 − λ1 0<br />
= null<br />
0 λ2 − λ1<br />
<br />
0 λ2 − λ1 0 1<br />
= null<br />
= null<br />
0 0<br />
0 0<br />
<br />
1<br />
= span<br />
0<br />
Herefter bestemmes egenvektoren hørende til egenværdien λ2:<br />
<br />
λ1 − λ2 0<br />
Eλ2(A) = null(A − λ2I) = null<br />
0 λ2 − λ2<br />
<br />
λ1 − λ2 0 1 0<br />
= null<br />
= null<br />
0 0 0 0<br />
<br />
0<br />
= span<br />
1<br />
<br />
0 0<br />
= null<br />
0 λ2 − λ1<br />
Den generelle løsning x(t) bliver ifølge sætning 3.5 og sætning 3.8<br />
x(t) = k1e λ1t<br />
<br />
1<br />
+ k2e<br />
0<br />
λ2t<br />
<br />
0<br />
, k1, k2 ∈ R (3.12)<br />
1<br />
Faseportrættets udseende for x ′ = Ax afhænger af fortegnene p˚a de to egenværdier.<br />
Eftersom λ1 < λ2, bliver der tre tilfælde at undersøge:
3.2 Systemer med kanoniske matricer 39<br />
1. λ1 < 0 < λ2<br />
2. λ1 < λ2 < 0<br />
3. 0 < λ1 < λ2<br />
Det er forudsat, at λi = 0 for i = 1, 2, hvilket umuliggør, at detA = 0. Ifølge<br />
sætning 3.4 er origo derfor det eneste ligevægtspunkt.<br />
Tilfælde 1<br />
N˚ar k2 = 0 i ligning (3.12) f˚as løsninger p˚a formen:<br />
x(t) = k1e λ1t<br />
<br />
1<br />
0<br />
Disse løsninger vil ligge p˚a x-aksen, da de er multipla af vektoren [ 1 0 ]. Eftersom<br />
λ1 < 0, vil løsningerne nærme sig origo, n˚ar t → ∞. Dette skyldes, at n˚ar a < 0,<br />
er limt→∞ eat = 0. I dette tilfælde kaldes x-aksen den stabile akse.<br />
Hvis k1 = 0 i ligning (3.12), vil løsningerne være p˚a formen:<br />
x(t) = k2e λ2t<br />
<br />
0<br />
1<br />
Her er løsningerne multipla af vektoren [ 0 1 ], hvilket medfører, at de ligger p˚a yaksen.<br />
Da λ2 > 0, vil løsningerne fjerne sig fra origo, n˚ar t → ∞. Dette skyldes,<br />
at n˚ar a > 0, s˚a er limt→∞ eat = ∞. I dette tilfælde kaldes y-aksen den ustabile<br />
akse.<br />
S˚afremt k1, k2 = 0, vil x(t) nærme sig <br />
0 λ2t<br />
k2 e , n˚ar t → ∞. Dette betyder, at<br />
alle andre løsninger end ligevægtsløsningen, samt de to, som ligger p˚a akserne,<br />
g˚ar mod ∞ i retning af den ustabile akse, n˚ar t → ∞.<br />
Et faseportræt for et plant system er et koordinatsystem med x1 og x2 afbildet<br />
ud af akserne, hvori repræsentative løsninger indtegnes. Faseportrættet for dette<br />
system er vist p˚a figur 3.1. Ligevægtspunktet (0, 0) kaldes i dette tilfælde et<br />
sadelpunkt.<br />
Figur 3.1: Faseportræt af et sadelpunkt
40<br />
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE<br />
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER<br />
Tilfælde 2<br />
Vi betragter nu tilfældet, hvor λ1 < λ2 < 0. Hvis k2 = 0 i ligning (3.12), kommer<br />
løsningerne til at være p˚a samme form som i det første tilfælde. Dvs. at de ligger<br />
p˚a x-aksen, og at de nærmer sig origo, n˚ar t → ∞.<br />
S˚afremt k1 = 0, vil løsningerne p˚a samme m˚ade som i tilfælde 1 ligge p˚a y-aksen.<br />
De vil imidlertid nærme sig origo, n˚ar t → ∞, da λ2 er negativ.<br />
Det følger heraf, at samtlige løsninger vil nærme sig origo, n˚ar t → ∞. For at<br />
bestemme hvorledes de nærmer sig origo, beregnes hældningen dy<br />
dx af en løsning.<br />
En forudsætning herfor er imidlertid, at k2 = 0.<br />
dy dy/dt<br />
=<br />
dx dx/dt<br />
= λ2k2e λ2t<br />
λ1k1e<br />
λ2k2<br />
= λ1t<br />
λ1k1<br />
e λ2−λ1t<br />
I starten blev det antaget, at λ1 < λ2 < 0. Derfor er λ2 − λ1 > 0. Det følger<br />
heraf, at dy<br />
dx → ±∞, n˚ar t → ∞. Dette betyder, at løsningerne nærmer sig origo<br />
med y-aksen som tangent.<br />
Dette er skildret i figur 3.2. Ligevægtspunktet kaldes her et dræn.<br />
Figur 3.2: Faseportræt af et dræn<br />
Tilfælde 3<br />
Til slut ser vi p˚a det tilfælde, hvor 0 < λ1 < λ2. Hvis k2 = 0 i (3.12), vil<br />
løsningerne ligge p˚a x-aksen. Eftersom λ1 er positiv, vil løsningerne fjerne sig<br />
fra origo, n˚ar t → ∞.<br />
P˚a samme m˚ade vil løsningerne ligge p˚a y-aksen og fjerne sig fra origo, n˚ar<br />
t → ∞, hvis k1 = 0, da λ2 > 0.<br />
Samtlige løsninger vil derfor fjerne sig fra origo, n˚ar t → ∞. Eftersom der ogs˚a<br />
i dette tilfælde gælder, at λ2 − λ1 > 0, vil hældningen for disse løsninger ogs˚a<br />
g˚a mod ±∞, n˚ar t → ∞. Løsningerne fjerner sig dermed fra origo med y-aksen<br />
som tangent.<br />
P˚a figur 3.3 er faseportrættet for dette system vist. Ligevægtspunktet kaldes i<br />
dette tilfælde en kilde.
3.2 Systemer med kanoniske matricer 41<br />
Figur 3.3: Faseportræt af en kilde<br />
Nul som egenværdi<br />
I begyndelsen af afsnittet forudsatte vi, at λi = 0 for i = 1, 2, fordi det medfører,<br />
at origo er det eneste ligevægtspunkt, jf. sætning 3.4. Ud fra sætningen f˚as ogs˚a,<br />
at hvis én af egenværdierne er 0, f˚as en ret linie gennem origo best˚aende af<br />
ligevægtspunkter.<br />
Hvis λ1 = 0, bliver den rette linie af ligevægtspunkter i faseportrættet x-aksen,<br />
eftersom vektorerne, der ligger p˚a denne akse, ved indsættelse i x ′ = Ax giver<br />
x ′ = 0. De andre løsninger vil nærme sig denne akse, hvis λ2 < 0, eller fjerne<br />
sig, hvis λ2 > 0. Disse løsninger vil altid bevæge sig lodret, eftersom x ′ (t) = 0<br />
for alle t ∈ R.<br />
S˚afremt λ1, λ2 = 0, er samtlige vektorer i R 2 ligevægtspunkter, jf. sætning 3.4.<br />
3.2.2 Komplekse egenværdier<br />
Vi vil i dette afsnit udlede den generelle løsning til systemet x ′ = Ax, hvor<br />
<br />
α β<br />
A =<br />
−β α<br />
Her er α ∈ C og β ∈ C \ {0}.<br />
For at udlede den generelle løsning til x ′ = Ax bestemmes først den karakteristiske<br />
ligning:<br />
det(A − λI) = 0 ⇒<br />
<br />
α − λ β<br />
det<br />
= 0 ⇒<br />
−β α − λ<br />
(α − λ)(α − λ) − β(−β) = 0 ⇒<br />
λ 2 − 2αλ + α 2 + β 2 = 0 (3.13)<br />
For at finde egenværdierne hørende til matricen A bestemmes rødderne i ligning
42<br />
(3.13):<br />
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE<br />
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER<br />
λ = −(−2α) ± (−2α) 2 − 4(α 2 + β 2 )<br />
= α ± 1<br />
2<br />
= α ± 1√<br />
<br />
−4 β2 2<br />
2<br />
4α 2 − 4α 2 − 4β 2<br />
= α ± 1<br />
2 · 2i β 2<br />
= α ± iβ (3.14)<br />
Dermed er λ1 = α + iβ og λ2 = α − iβ egenværdierne.<br />
Herefter bestemmes mængden Eλ1 (A), best˚aende af egenvektorerne hørende til<br />
λ1:<br />
Eλ1(A) = null(A − λ1I)<br />
<br />
α − (α + iβ) β<br />
= null<br />
−β α − (α + iβ)<br />
<br />
−iβ β<br />
= null<br />
−β −iβ<br />
<br />
β iβ<br />
= null<br />
−β −iβ<br />
<br />
β iβ<br />
= null<br />
0 0<br />
<br />
1<br />
= span<br />
i<br />
Dvs. [ 1 i ] er en egenvektor til egenværdien λ1. Ifølge sætning 3.7 er følgende en<br />
løsning til systemet x ′ = Ax:<br />
x(t) = e (α+iβ)t<br />
<br />
1<br />
= e<br />
i<br />
αt e iβt<br />
<br />
1<br />
i<br />
Ligning (3.15) kan omskrives ved hjælp af Eulers formel [Wik]:<br />
Dermed f˚as<br />
e ix = cos(x) + i sin(x)<br />
x(t) = e αt cos(βt) + i sin(βt) <br />
1<br />
i<br />
= e αt<br />
<br />
cos(βt) + i sin(βt)<br />
− sin(βt) + i cos(βt)<br />
= e αt<br />
<br />
cos(βt)<br />
+ ie<br />
− sin(βt)<br />
αt<br />
<br />
sin(βt)<br />
cos(βt)<br />
= xRe + ixIm<br />
Inden vi g˚ar videre, har vi brug for et lemma [Jen00]:<br />
(3.15)
3.2 Systemer med kanoniske matricer 43<br />
Lemma 3.9 Reelle løsninger fra en kompleks løsning<br />
Hvis v(t) = vRe(t) + ivIm(t) er en kompleks løsning til x ′ = Ax, s˚a er<br />
vRe(t) og vIm(t) reelle løsninger til systemet.<br />
Bevis. Antag, at v(t) = vRe(t) + ivIm(t) er en kompleks løsning til x ′ = Ax.<br />
Dermed gælder, at<br />
v ′ (t) = Av(t) ⇒<br />
v ′ (t)Re + iv ′ (t)Im = AvRe(t) + iAvIm(t) ⇒<br />
v ′ (t)Re = AvRe(t) ∧ v ′ (t)Im = AvIm(t)<br />
Heraf fremg˚ar det, at vRe(t) og vIm(t) opfylder x ′ = Ax, s˚a vRe(t) og vIm(t) er<br />
reelle løsninger. <br />
Fra lemma 3.9 vides dermed, at xRe(t) og xIm(t) er løsninger til x ′ = Ax.<br />
Herefter undersøges om xRe(0) og xIm(0) er lineært uafhængige:<br />
xRe(0) = e 0α<br />
<br />
cos(0β) 1<br />
=<br />
− sin(0β) 0<br />
xIm(0) = e 0α<br />
<br />
sin(0β) 0<br />
=<br />
cos(0β) 1<br />
Dermed er xRe(0) og xIm(0) lineært uafhængige vektorer. Det betyder, at xRe(t)<br />
og xIm(t) er lineært uafhængige løsninger. Ifølge sætning 3.8 bliver den generelle<br />
løsning s˚aledes følgende:<br />
x(t) = k1e αt<br />
<br />
cos(βt)<br />
+ k2e<br />
− sin(βt)<br />
αt<br />
<br />
sin(βt)<br />
cos(βt)<br />
(3.16)<br />
Dernæst undersøges faseportrættet for systemet x ′ = Ax, n˚ar den generelle<br />
løsning er p˚a formen angivet i ligning (3.16). Af sætning 3.4 følger, at x ′ = Ax<br />
har et entydigt ligevægtspunkt i origo, idet β = 0 medfører at:<br />
detA = α 2 + β 2 = 0<br />
Betragt først det tilfælde, hvor α = 0. Det giver følgende generelle løsning:<br />
<br />
cos(βt) sin(βt)<br />
x(t) = k1<br />
+ k2<br />
− sin(βt) cos(βt)<br />
Eftersom f(x) = cos(x) og g(x) = sin(x) for x ∈ R er periodiske funktioner med<br />
. Samtlige<br />
perioden 2π, er enhver løsning til x ′ = Ax periodisk med perioden 2π<br />
β<br />
løsninger afbildes som cirkler med centrum i origo. For at indse dette bemærkes,<br />
at løsningerne er cirkler i origo, hvis og kun hvis ||x(t) − 0|| 2 = ||x(t)|| 2 = k,<br />
hvor k ∈ R. Dette gør sig gældende i dette tilfælde, hvilket begrundes herunder.<br />
Der gælder, at<br />
<br />
<br />
<br />
cos(βt) <br />
<br />
<br />
− sin(βt) =<br />
<br />
<br />
<br />
sin(βt) <br />
<br />
<br />
cos(βt) =<br />
sin(βt) 2 + cos(βt) 2 = 1
44<br />
Desuden gælder, at<br />
<br />
cos(βt)<br />
·<br />
− sin(βt)<br />
Heraf fremg˚ar det, at<br />
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE<br />
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER<br />
<br />
sin(βt)<br />
= cos(βt) sin(βt) − sin(βt) cos(βt) = 0<br />
cos(βt)<br />
<br />
cos(βt)<br />
og<br />
− sin(βt)<br />
<br />
sin(βt)<br />
er ortogonale.<br />
cos(βt)<br />
Dermed kan Pythagoras’ sætning 6.3 i [Axl97] benyttes, hvilket giver, at<br />
||x(t)|| 2 <br />
<br />
= <br />
k1<br />
2 <br />
cos(βt) <br />
<br />
− sin(βt) + <br />
k2<br />
sin(βt) <br />
<br />
cos(βt) <br />
= k 2 <br />
2 <br />
<br />
cos(βt) <br />
<br />
1 <br />
− sin(βt) + k 2 <br />
<br />
<br />
sin(βt) <br />
<br />
2 <br />
cos(βt) <br />
= k 2 1 + k 2 2<br />
Heraf fremg˚ar det, at ||x(t)|| 2 er konstant. Det betyder, at løsningerne afbildes<br />
som cirkler med centrum i origo. I dette tilfælde kaldes ligevægtspunktet for et<br />
center, jf. figur 3.4.<br />
Figur 3.4: Faseportræt af et center<br />
Herefter undersøges faseportrættet i det tilfælde, hvor α > 0. Da vil<br />
limt→∞ e αt = ∞, s˚a i stedet for at være cirkler spiralerer løsningskurverne væk<br />
fra origo, se figur 3.5. I dette tilfælde kaldes ligevægtspunktet for en spiralkilde.<br />
Hvis α < 0, er limt→∞ e αt = 0, hvilket betyder, at løsningskurverne spiralerer<br />
ind mod origo, jf. figur 3.6. I denne situation kaldes ligevægtspunktet for et<br />
spiraldræn.<br />
2<br />
2
3.2 Systemer med kanoniske matricer 45<br />
Figur 3.5: Spiralkilde Figur 3.6: Spiraldræn<br />
3.2.3 Gentagen egenværdi<br />
I dette afsnit vil vi udlede den generelle løsning til systemet x ′ = Ax, hvor<br />
matricen A har én reel egenværdi med algebraisk multiplicitet 2. Først behandles<br />
det tilfælde, hvor<br />
A =<br />
<br />
λ 0<br />
0 λ<br />
Her er λ ∈ R. Til at starte med beregnes den karakteristiske ligning for at tjekke,<br />
at λ er en egenværdi med algebraisk multiplicitet 2:<br />
det(A − λ1I) = 0 ⇔<br />
<br />
λ − λ1 0<br />
= 0 ⇔<br />
0 λ − λ1<br />
(λ − λ1)(λ − λ1) = 0<br />
Heraf ses, at λ er en egenværdi med algebraisk multiplicitet 2. Ved at indsætte<br />
λ i den karakteristiske ligning f˚as egenvektorerne:<br />
Eλ(A) = null(A − λI)<br />
<br />
λ − λ 0<br />
= null<br />
0 λ − λ<br />
<br />
0 0<br />
= null<br />
0 0<br />
Ud fra dette fremg˚ar det, at enhver vektor v ∈ R 2 \{0} er en egenvektor. Dermed<br />
er den generelle løsning ifølge sætning 3.5 samt eksistens- og entydighedssætning<br />
2.14 givet ved:<br />
x(t) = ke λt v, k ∈ R (3.17)<br />
Lad w1, w2 ∈ R 2 være to lineært uafhængige vektorer, og sæt<br />
kv = k1w1 + k2w2
46<br />
Da kan ligning (3.17) ogs˚a skrives som<br />
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE<br />
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER<br />
x(t) = k1e λt w1 + k2e λt w2, k1, k2 ∈ R<br />
Samtlige løsninger er rette linier igennem origo, eftersom de er multipla af vektoren<br />
v, jf. ligning (3.17). Løsningerne bevæger sig mod origo, hvis λ < 0, og<br />
væk fra origo, s˚afremt λ > 0.<br />
Herefter behandler vi det tilfælde, hvor<br />
A =<br />
<br />
λ 1<br />
0 λ<br />
Ved at foretage de samme udregninger som før f˚as, at λ er en egenværdi med<br />
algebraisk multiplicitet 2. Herefter beregnes egenvektorerne:<br />
Eλ(A) = null(A − λI)<br />
<br />
λ − λ 1<br />
= null<br />
0 λ − λ<br />
<br />
0 1<br />
= null<br />
0 0<br />
<br />
1<br />
= span<br />
0<br />
Heraf fremg˚ar det, at egenrummet hørende til λ har dimension 1. Derfor kan<br />
der kun vælges én lineært uafhængig egenvektor, som f.eks. kan være [ 1 0 ]. Det<br />
giver følgende løsning:<br />
x(t) = k1e λt<br />
<br />
1<br />
, k1 ∈ R<br />
0<br />
Denne løsning er en ret linje igennem origo, idet den er multipla af vektoren [ 1 0 ].<br />
For at finde andre løsninger omskrives x ′ = Ax til følgende, hvor x(t) =<br />
Fra sætning 1.4 f˚as, at<br />
x ′ 1 = λx1 + x2<br />
x ′ 2 = λx2<br />
x2(t) = k2e λt , k2 ∈ R<br />
Derfor kan ligning (3.18) omskrives til følgende:<br />
x ′ 1 = λx1 + k2e λt<br />
Den tilhørende homogene differentialligning er<br />
x ′ 1 = λx1<br />
x1(t)<br />
x2(t)<br />
<br />
:<br />
(3.18)<br />
(3.19)<br />
Denne differentialligning har ifølge sætning 1.4 den fuldstændige løsning<br />
x1(t) = k3e λt , hvor k3 ∈ R. Dermed er følgende et kvalificeret gæt p˚a den<br />
fuldstændige løsning til differentialligning (3.19) ifølge [CR05]:<br />
x1(t) = k3e λt + k4te λt , k4 ∈ R
3.2 Systemer med kanoniske matricer 47<br />
Dette udtryk differentieres:<br />
x ′ 1(t) = k3λe λt λt λt<br />
+ k4 e + λte <br />
Det differentierede udtryk og gættet indsættes i differentialligning (3.19):<br />
k3λe λt + k4<br />
e λt + λte λt = λ k3e λt + k4te λt + k2e λt ⇔<br />
x2<br />
k4e λt = k2e λt<br />
Heraf ses, at k2 = k4, og at k3 er arbitrær.<br />
Dermed bliver en løsning til x ′ = Ax:<br />
<br />
x1<br />
x = = k3e λt<br />
<br />
1<br />
+ k2e<br />
0<br />
λt<br />
<br />
t<br />
1<br />
(3.20)<br />
Dette er den generelle løsning, hvilket følger af eksistens- og entydighedssætning<br />
2.14.<br />
Herefter undersøger vi, hvorledes faseportrættet kommer til at se ud. Hvis λ < 0<br />
gælder, at<br />
lim<br />
t→∞ k3e λt = 0<br />
lim<br />
t→∞ k2e λt = 0<br />
For at finde grænseværdien for k2te λt , n˚ar t → ∞, omskrives udtrykket:<br />
k2te λt = t<br />
1<br />
k2e λt<br />
(3.21)<br />
Ved at opfatte udtrykket p˚a højresiden af ligning (3.21) som en kvotient mellem<br />
to funktioner, kan l’Hôpital’s regel bruges [Wad04]. Sæt derfor<br />
Heraf fremg˚ar det, at<br />
f(x) = t og g(x) = 1<br />
k2e λt<br />
lim f(x) = ∞<br />
t→∞<br />
lim g(x) = ∞<br />
t→∞<br />
Dermed kan l’Hôpital’s regel bruges, hvilket gør det muligt at tage grænseværdien<br />
af kvotienten mellem f ′ (x) og g ′ (x) i stedet for grænseværdien af kvotienten<br />
mellem f(x) og g(x). Inden reglen anvendes, differentieres f(x) og g(x):<br />
S˚aledes f˚as, at<br />
f ′ (x) = 1<br />
g ′ <br />
1<br />
(x) =<br />
e<br />
k2<br />
−λt<br />
′<br />
= 1<br />
(−λ)e<br />
k2<br />
−λt = −λ<br />
k2eλt lim<br />
t→∞ k2te λt f(x) f<br />
= lim = lim<br />
t→∞ g(x) t→∞<br />
′ (x)<br />
g ′ = lim<br />
(x) t→∞<br />
<br />
− 1<br />
<br />
λt<br />
k2e = 0<br />
λ
48<br />
Det resulterer i, at<br />
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE<br />
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER<br />
lim<br />
t→∞<br />
<br />
λt 1 0<br />
k3e =<br />
0 0<br />
<br />
t 0<br />
=<br />
1 0<br />
λt<br />
lim k2e<br />
t→∞<br />
Dermed g˚ar alle løsninger mod origo, n˚ar t → ∞. Omvendt vil samtlige løsninger<br />
fjerne sig fra origo for t → ∞, n˚ar λ > 0. Figur 3.7 viser et faseportræt af et<br />
system med gentagen negativ egenværdi.<br />
Figur 3.7: Faseportræt af et system med gentagen negativ egenværdi<br />
3.2.4 Løsning af et vilk˚arligt plant, lineært system<br />
I afsnit 3.2 blev den generelle løsning til x ′ = Ax udledt, hvor A var p˚a kanonisk<br />
form. I dette afsnit vises, hvordan vi ud fra kendskab til den generelle løsning<br />
for et system med en matrix p˚a kanonisk form, kan finde frem til den generelle<br />
løsning for alle systemer repræsenteret af (2×2)-matricer. Til dette skal følgende<br />
definition bruges:<br />
Definition 3.10 Konjugerede matricer og systemer<br />
En matrix A er konjugeret med en anden matrix B via en invertibel<br />
matrix T , hvis<br />
T −1 AT = B<br />
Et system repræsenteret ved A siges her at være konjugeret med systemet<br />
repræsenteret ved B.<br />
Det viser sig, at løsninger til systemer repræsenteret af to konjugerede matricer<br />
har en direkte sammenhæng. Sammenhængen beskrives i formelle termer i følgende<br />
sætning:
3.2 Systemer med kanoniske matricer 49<br />
Sætning 3.11 Løsninger til konjugerede systemer<br />
Lad T være en invertibel matrix. Betragt det lineære differentialligningssystem<br />
y ′ = (T −1 AT )y<br />
Lad y(t) være en løsning til systemet, s˚a er T y(t) en løsning til x ′ = Ax.<br />
Bevis. Antag, at y(t) er en løsning til y ′ = (T −1 AT )y, hvor T er en invertibel<br />
matrix, s˚a gælder, at:<br />
(T y(t)) ′ = T y ′ (t) = T (T −1 AT )y(t) = A(T y(t))<br />
Det første lighedstegn skyldes, at differentiation er en lineær operation, jf. sætning<br />
4.10 i [Wad04]. Hermed er det ønskede bevist. <br />
Sætning 3.11 betyder, at hvis der eksisterer en invertibel matrix, s˚a et givent system<br />
repræsenteret af matricen B er konjugeret med et andet system repræsenteret<br />
af matricen A, hvis generelle løsning kendes, kan den generelle løsning til<br />
systemet x ′ = Bx findes.<br />
3.2.5 Den invertible matrix<br />
I det følgende vil vi gennemg˚a, hvorledes det altid er muligt at finde en invertibel<br />
matrix, s˚a en vilk˚arlig matrix kan konjugeres med et system, som har en generel<br />
løsning, der er kendt. Fremgangsm˚aden er delt op i tre tilfælde afhængig af,<br />
hvilken af de følgende tre kategorier egenværdierne for matricen tilhører:<br />
• Reelle og forskellige egenværdier<br />
• Komplekse egenværdier<br />
•<br />
Én egenværdi med algebraisk multiplicitet 2.<br />
Vi vil herunder gennemg˚a hvert tilfælde.<br />
Reelle og forskellige egenværdier<br />
Lad A være en matrix med to reelle egenværdier λ1 og λ2, hvor λ1 = λ2, med<br />
tilhørende egenvektorer v1 og v2. Lad endvidere T være den matrix, som har<br />
søjlerne v1 og v2, dvs. T = <br />
v1 v2 . S˚aledes gælder, at<br />
T e1 = v1 ⇒ T −1 v1 = e1<br />
T e2 = v2 ⇒ T −1 v2 = e2<br />
Her angiver e1 og e2 vektorerne i standardbasen i R 2 .<br />
Dermed gælder følgende:<br />
(T −1 AT )ei = T −1 Avi = T −1 (λivi) = λiT −1 vi = λiei, hvor i = 1, 2.<br />
Det betyder, at<br />
T −1 <br />
λ1 0<br />
AT =<br />
0 λ2
50<br />
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE<br />
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER<br />
Systemet x ′ = T −1 AT x kan anskues, som et system af to ikke-koblede, lineære<br />
differentialligninger. Den generelle løsning til dette system blev udledt i afsnit<br />
3.2.1. N˚ar den generelle løsning x(t) til systemet er fundet, vil T x(t) være den<br />
generelle løsning til y ′ = Ay, jf. sætning (3.11).<br />
Komplekse egenværdier<br />
Lad A være en matrix med den komplekse egenværdi α + iβ, hvor β = 0. Lad<br />
v1 + iv2 være den tilhørende egenvektor, hvor v1, v2 ∈ R 2 . Ligesom i tilfældet<br />
med de reelle egenværdier betegner T den matrix, som har søjlerne v1 og v2.<br />
For at T har en invers matrix, skal v1 og v2 være lineært uafhængige, jf. sætning<br />
8 i afsnit 2.3 i [Lay03]. Det vises herunder, at hvis v1 og v2 er lineært afhængige<br />
fører det til en modstrid:<br />
Lad v1 og v2 være lineært afhængige, og lad v2 = 0. Det sidste er muligt at<br />
antage, eftersom v1 = 0 = v2 ikke er muligt, idet v1 + iv2 er en egenvektor, og<br />
en egenvektor skal være forskellig fra nulvektoren. Dermed eksisterer k ∈ R, s˚a<br />
v1 = kv2. Idet v1 + iv2 er en egenvektor og α + iβ en egenværdi, gælder at<br />
A(v1 + iv2) = (α + iβ)(v1 + iv2) = (α + iβ)(kv2 + iv2) = (α + iβ)(k + i)v2<br />
P˚a den anden side gælder det ogs˚a, at<br />
Derfor m˚a<br />
A(v1 + iv2) = Av1 + iAv2 = (k + i)Av2<br />
(α + iβ)v2 = Av2<br />
(3.22)<br />
Men dette er en modstrid, eftersom venstresiden i ligning (3.22) er en kompleks<br />
vektor, idet β = 0, mens højresiden er en reel vektor.<br />
Dermed er det vist, at T er invertibel. Herunder vil vi finde elementerne i matricen<br />
T −1 AT .<br />
Idet v1 + iv2 er en egenvektor med egenværdien α + iβ, s˚a gælder, at<br />
A(v1 + iv2) = (α + iβ)(v1 + iv2) = αv1 − βv2 + i(βv1 + αv2) (3.23)<br />
Eftersom to komplekse tal er lig med hinanden, hvis og kun hvis deres realdel<br />
og imaginære del er ens, kan ligning (3.23) deles op i to:<br />
Av1 = αv1 − βv2<br />
Av2 = βv1 + αv2<br />
Da T har v1 og v2 som søjler, gælder at<br />
T e1 = v1 og T e2 = v2<br />
Nu kan elementerne i T −1 AT beregnes. Første søjle giver<br />
(T −1 AT )e1 = T −1 Av1 = T −1 (αv1 − βv2) = αT −1 v1 − βT −1 v2 = αe1 − βe2<br />
Anden søjle i T −1 AT beregnes p˚a tilsvarende m˚ade:<br />
(T −1 AT )e2 = T −1 Av2 = T −1 (βv1 + αv2) = βT −1 v1 + αT −1 v2 = βe1 + αe2
3.2 Systemer med kanoniske matricer 51<br />
Dermed f˚as, at<br />
T −1 AT =<br />
<br />
α β<br />
.<br />
−β α<br />
Den generelle løsning til systemet x ′ = T −1 AT x blev udledt i afsnit 3.2.2. Hvis<br />
x(t) er den generelle løsning til systemet, s˚a er T x(t) den generelle løsning til<br />
y ′ = Ay.<br />
Én egenværdi med algebraisk multiplicitet 2<br />
Lad A være en matrix med én reel egenværdi λ. Hvis A har to lineært uafhængige<br />
egenvektorer v1, v2, er A p˚a formen<br />
<br />
λ 0<br />
A =<br />
(3.24)<br />
0 λ<br />
Det skyldes, at<br />
Dermed gælder følgende:<br />
Av1 = λv1<br />
Av2 = λv2<br />
∀v ∈ R 2 : v = av1 + bv2, a, b ∈ R ⇒<br />
Av = aλv1 + bλv2 = λ(av1 + bv2) = λv<br />
Heraf fremg˚ar, at alle vektorer p˚a nær nulvektoren er egenvektorer tilhørende<br />
egenværdien λ. Dermed gælder det ogs˚a for e1 og e2, dvs.:<br />
Det betyder, at<br />
Ae1 = λe1<br />
Ae2 = λe2<br />
A = <br />
λ 0<br />
0 λ<br />
Systemet x ′ = Ax er et system af to ikke-koblede, lineære differentialligninger.<br />
Lad x(t) = , da gælder, at<br />
x ′ (t)<br />
y ′ (t)<br />
x ′ (t) = A<br />
<br />
x(t)<br />
=<br />
y(t)<br />
<br />
λx(t)<br />
λy(t)<br />
Ifølge sætning 1.4 er den generelle løsning til x ′ = Ax givet ved:<br />
<br />
k1e<br />
x(t) =<br />
λt<br />
k2eλt <br />
, k1, k2 ∈ R<br />
Antag i stedet, at A har v som egenvektor, og at alle andre egenvektorer er i<br />
span{v}. Lad w være en vilk˚arlig vektor, der er lineært uafhængig af v. Eksistensen<br />
af w følger af, at span{v} = R 2 , eftersom der skal to lineært uafhængige<br />
vektorer til at udspænde R 2 .<br />
Idet v og w udgør en basis gælder, at Aw = k1v + k2w, hvor k1, k2 ∈ R.<br />
Her er k1 = 0, idet w ellers vil være en anden lineært uafhængig egenvektor
52<br />
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE<br />
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER<br />
med tilhørende egenværdi k2, men vi har antaget, at en s˚adan egenvektor ikke<br />
eksisterer.<br />
Hvis k2 − λ = 0, f˚as at<br />
A<br />
<br />
w + k1<br />
k2 − λ v<br />
<br />
= Aw + k1<br />
k2 − λ Av<br />
= k1v + k2w + k1<br />
k2 − λ λv<br />
<br />
= k2w + k1 + λk1<br />
<br />
v<br />
k2 − λ<br />
<br />
k1(k2 − λ) λk1<br />
= k2w +<br />
+ v<br />
k2 − λ k2 − λ<br />
<br />
k1k2 − k1λ + λk1<br />
= k2w +<br />
v<br />
k2 − λ<br />
= k2w + k1k2<br />
k2 − λ v<br />
<br />
= k2 w + k1<br />
k2 − λ v<br />
<br />
Dermed er k2 en egenværdi, men dette er i modstrid med antagelsen om, at A<br />
kun har én egenværdi. Derfor m˚a k2 = λ. Lad u = 1 w, s˚a er<br />
k1<br />
Au = A 1<br />
w = 1<br />
(k1v + k2w) = v + k2<br />
w = v + λ<br />
w = v + λu<br />
k1<br />
k1<br />
Nu konstrueres T s˚aledes, at T e1 = v, og T e2 = u, dvs.<br />
T = v u <br />
For at bestemme elementerne i T −1 AT beregnes (T −1 AT )e1 og (T −1 AT )e2:<br />
Dermed f˚as, at<br />
k1<br />
(T −1 AT )e1 = T −1 Av = T −1 λv = λe1<br />
(T −1 AT )e2 = T −1 Au = T −1 (v + λu) = e1 + λe2<br />
T −1 AT =<br />
<br />
λ 1<br />
0 λ<br />
Den generelle løsning x(t) til et system med denne matrix blev udledt i afsnit<br />
3.2.3, og T x(t) er den generelle løsning til x ′ = Ax.<br />
3.3 Klassifikation<br />
I dette afsnit behandles klassifikation af plane systemer. Vi beskæftiger os med<br />
spor-determinantplanen. Heri kortlægges, hvordan faseportrættet af et system<br />
af differentialligninger ser ud, n˚ar sporet og determinanten af matricen for et<br />
differentialligningssystem er kendt.<br />
En m˚ade at klassificere en plan, lineær differentialligning p˚a er ved hjælp af<br />
en spor-determinantplan, idet egenværdierne for en 2 × 2 matrix er bestemt<br />
k1
3.3 Klassifikation 53<br />
ved dens spor og determinant. For at komme nærmere ind p˚a hvordan en spordeterminantplan<br />
kan benyttes til klassifikation, tages der udgangspunkt i lineære<br />
differentialligninger.<br />
Følgende system af to lineære differentialligninger betragtes:<br />
dx1<br />
dt = ax1 + bx2<br />
dx2<br />
dt = cx1 + dx2<br />
<br />
⇒ x ′ = Ax, hvor A =<br />
<br />
a b<br />
c d<br />
For at bestemme egenværdierne λ1, λ2 for matricen A løses det karakteristiske<br />
polynomium:<br />
0 = λ 2 − (a + d)λ + (ad − bc) ⇔<br />
0 = λ 2 <br />
− (tr A)λ + det A , hvor<br />
tr A =<br />
det A =<br />
a + d<br />
ad − bc ⇔<br />
λ = 1<br />
<br />
tr A ±<br />
2<br />
(tr A) 2 <br />
− 4 det A<br />
Her angiver tr sporet. Sæt<br />
λ1 = 1<br />
<br />
2<br />
λ2 = 1<br />
2<br />
tr A + (tr A) 2 <br />
− 4 det A<br />
<br />
tr A − (tr A) 2 <br />
− 4 det A<br />
(3.25)<br />
Egenværdiernes fortegn afhænger af diskriminanten d = (tr A) 2 − 4 det A i ligning<br />
(3.25). Der er tre forskellige tilfælde:<br />
• d < 0 ⇒ λ1, λ2 ∈ C og Im λ1, Im λ2 = 0<br />
• d = 0 ⇒ λ1, λ2 ∈ R og λ1, λ2 har algebraisk multiplicitet 2<br />
• d > 0 ⇒ λ1, λ2 ∈ R og λ1 = λ2<br />
Figur 3.8 viser spor-determinantplanen med de forskellige typer faseportrætter.
54<br />
T 2 =4D<br />
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE<br />
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER<br />
Figur 3.8: Spor-determinantplanen, hvor T=trA og D=det(A)<br />
3.4 Opsummering<br />
Vi har i dette kapitel bearbejdet plane, lineære systemer af 1.ordens autonome<br />
differentialligninger. Vi har beskæftiget os med, hvorledes et s˚adant system kan<br />
repræsenteres ved hjælp af en (2 × 2)-matrix. Dernæst har vi behandlet ligevægtspunkter<br />
og -løsninger.<br />
I afsnit 3.2 er de tre tilfælde, hvor egenværdierne kan falde ind under, blevet<br />
gennemg˚aet.<br />
Ud fra dette er der blevet opstillet en spor-determinantplan, som viser, hvordan<br />
determinanten og sporet afgører faseportrættets udseende. Teorien gennemg˚aet i<br />
dette kapitel skal benyttes i kapitel 4. I dette kapitel vil vi ved hjælp af linearisering<br />
behandle <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>s opførsel omkring dets ligevægtspunkter.<br />
det<br />
tr
Kapitel 4<br />
Linearisering<br />
Vi vil i dette kapitel redegøre for, hvorledes det er muligt at anvende linearisering<br />
til at udtale sig om, hvordan flowet for et ikke-lineært differentialligningssystem<br />
ser ud. Før vi bliver i stand til dette, er vi nødt til at introducere partielle<br />
afledede og medtage en sætning om deres eksistens.<br />
Definition 4.1 Partielle afledede<br />
Lad U være en ˚aben delmængde af R 2 og f : U → R være en funktion.<br />
Den 1. ordens partielle afledte af f i punktet a ∈ U med hensyn til den<br />
j’te variabel xj er givet ved:<br />
∂f<br />
∂xj<br />
f(a + hej) − f(a)<br />
(a) = lim<br />
h→0 h<br />
(4.1)<br />
Vi vil nu definere, hvad det vil sige, at en vektorfunktion er differentiabel:<br />
Definition 4.2 Differentiabilitet af vektorfunktioner<br />
Lad f : R 2 → R 2 .<br />
• Vektorfunktionen f er differentiabel i et punkt a ∈ R 2 , hvis og<br />
kun hvis der findes en ˚aben delmængde V ⊂ R 2 , der indeholder<br />
a, s˚aledes f : V → R2 , og der findes en lineær transformation<br />
→ 0, n˚ar h → 0, er opfyldt for funktionen<br />
T : R 2 → R 2 , s˚a ε(h)<br />
||h||<br />
ε(h) = f(a + h) − f(a) − T (h)<br />
• Vektorfunktionen f er differentiabel p˚a en mængde E, hvis og<br />
kun hvis E = ∅, og f er differentiabel i ethvert punkt i E.<br />
Ifølge sætning 8.15 i [Wad04] kan T ∈ L(R 2 , R 2 ) altid repræsenteres ved hjælp<br />
af en (2 × 2)-matrix. Dermed er vektorfunktionen f differentiabel i et punkt a,
56 KAPITEL 4. LINEARISERING<br />
hvis og kun hvis der eksisterer en matrix B s˚aledes<br />
f(a + h) − f(a) − Bh<br />
lim<br />
= 0 (4.2)<br />
h→0 ||h||<br />
Før vi er i stand til at bevise en sætning vedrørende eksistensen af de partielle<br />
afledede, er vi nødt til at introducere følgende lemma:<br />
Lemma 4.3 Kontinuitet af vektorfunktion<br />
Lad vektorfunktionen f : R 2 → R 2 være givet ved f(x) =<br />
hvor fi : R 2 → R og lad vektoren a best˚a af komponenterne [ a1<br />
a2<br />
gælder, at<br />
lim f(x) = a ⇔ lim fi(x) = ai for i = 1, 2<br />
x→x0<br />
x→x0<br />
<br />
f1(x)<br />
f2(x)<br />
]. Der<br />
Bevis.<br />
” ⇒ ”: Antag, at limx→x0 f(x) = a. Af definition 3.1 i [Wad04] gælder, at<br />
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ||x − x0|| < δ ⇒ ||f(x) − a|| < ε<br />
Da ||f(x) − a|| = (f1(x) − a1) 2 + (f2(x) − a2) 2 f˚as:<br />
Heraf følger det, at<br />
||f(x) − a|| = (f1(x) − a1) 2 + (f2(x) − a2) 2 < ε<br />
|f1(x) − a1| = (f1(x) − a1) 2 (4.3)<br />
≤ (f1(x) − a1) 2 + (f2(x) − a2) 2 (4.4)<br />
= ||f(x) − a||<br />
< ε,<br />
Uligheden mellem udtryk (4.3) og udtryk (4.4) følger af, at der lægges noget<br />
positivt til. Tilsvarende argument benyttes for |f2(x) − a2| < ε. Dermed er<br />
limx→x0 fi(x) = ai.<br />
” ⇐ ”: Antag, at limx→x0 fi(x) = ai. Af definition 3.1 i [Wad04] følger, at<br />
∀ε > 0, ∃δi > 0 : ||x − x0|| < δi ⇒ |fi(x) − ai| < ε<br />
, for i = {1, 2}<br />
2<br />
Vælges δ = max{δ1, δ2} f˚as:<br />
||f(x) − a|| = (f1(x) − a1) 2 + (f2(x) − a2) 2<br />
≤ |f1(x) − a1| + |f2(x) − a2|<br />
< ε ε<br />
+ = ε<br />
2 2<br />
For at komme fra den første linie i udregningen til den anden, anvendes lemma<br />
2.11. Hermed er limx→x0 f(x) = a
Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevise en sætning omhandlende, hvorn˚ar de 1.<br />
ordens partielle afledede eksisterer:<br />
Sætning 4.4 Eksistensen af de 1. ordens partielle afledede<br />
Lad f : R 2 → R 2 være en funktion. Hvis f er differentiabel i punktet<br />
a ∈ R 2 , s˚a eksisterer begge 1. ordens partielle afledede af f i a.<br />
Bevis. Lad B være en 2 × 2 matrix, som opfylder ligning (4.2). Lad j = 1, 2<br />
og sæt h = tej. Om vektor h gælder dermed, at<br />
<br />
1 t<br />
h = t =<br />
0 0<br />
∨<br />
<br />
0 0<br />
h = t =<br />
1 t<br />
Først undersøges det tilfælde, hvor t > 0. N˚ar ||h|| beregnes, er det underordnet,<br />
hvilken af de to vektorer h er. Derfor beregnes den for h = [ t 0 ]:<br />
||h|| = t 2 + 0 2 = |t| = t<br />
Ved at indsætte de fundne udtryk for h og ||h|| i (4.2) f˚as:<br />
f(a + tej) − f(a) − Btej<br />
lim<br />
= 0<br />
t→0+<br />
t<br />
⇔<br />
f(a + tej) − f(a)<br />
lim<br />
− Bej = 0<br />
t→0+ t<br />
⇔<br />
f(a + tej) − f(a)<br />
lim<br />
= Bej<br />
t→0+ t<br />
<br />
b1j<br />
N˚ar enhedsvektoren ej ganges p˚a matricen B, f˚as vektoren<br />
sættes i ligning (4.5):<br />
f(a + tej) − f(a)<br />
lim<br />
=<br />
t→0+ t<br />
b1j<br />
b2j<br />
<br />
b2j<br />
57<br />
(4.5)<br />
<br />
. Dette ind-<br />
For at de partielle afledede eksisterer er det nødvendigt, at grænseværdien bliver<br />
den samme, n˚ar t < 0. N˚ar t < 0, bliver ||h||:<br />
||h|| = t 2 + 0 2 = |t| = −t<br />
||h|| samt h = tej indsættes i ligning (4.2):<br />
f(a + tej) − f(a) − Btej<br />
lim<br />
= 0 ⇔<br />
t→0−<br />
−t<br />
f(a + tej) − f(a)<br />
lim<br />
+ Bej = 0 ⇔<br />
t→0− −t<br />
f(a + tej) − f(a)<br />
− lim<br />
= Bej ⇔<br />
t→0− −t<br />
f(a + tej) − f(a)<br />
lim<br />
= Bej ⇔<br />
t→0− t<br />
<br />
f(a + tej) − f(a) b1j<br />
lim<br />
=<br />
t→0− t<br />
b2j
58 KAPITEL 4. LINEARISERING<br />
Grænseværdien er dermed den samme for t > 0 og t < 0:<br />
<br />
f(a + tej) − f(a) b1j<br />
lim<br />
=<br />
t→0 t<br />
b2j<br />
Ved at angive vektorfunktionen f komponentvis f˚as:<br />
<br />
f1(a + tej) f1(a)<br />
−<br />
f2(a + tej) f2(a)<br />
lim<br />
=<br />
t→0<br />
t<br />
Ifølge lemma 4.3 gælder følgende:<br />
f1(a + tej) − f1(a)<br />
t<br />
= b1j og<br />
b1j<br />
b2j<br />
<br />
f2(a + tej) − f2(a)<br />
t<br />
= b2j<br />
Da venstresiden i begge ligninger er lig med den partielle afledede af xj jf.<br />
definition 4.1 f˚as:<br />
∂fi<br />
(a) = bij<br />
∂xj<br />
for i = 1, 2<br />
Matricen B bliver s˚aledes:<br />
⎡<br />
∂f1<br />
(a)<br />
⎢∂x1<br />
⎢<br />
B = ⎢<br />
⎣ ∂f2<br />
(a)<br />
∂x1<br />
⎤<br />
∂f1<br />
(a)<br />
∂x2 ⎥<br />
⎦ ∂f2<br />
(a)<br />
∂x2<br />
Dermed er sætningen bevist. <br />
Hvis de 1. ordens partielle afledede til vektorfunktionen f eksisterer i punktet<br />
a, kaldes matricen B for Jacobimatricen for f i a, og den noteres Df(a). Det<br />
er vigtigt at bemærke, at sætningen ikke gælder den anden vej. Det er derfor<br />
muligt, at Jacobimatricen for en funktion f eksisterer, uden funktionen er<br />
differentiabel.<br />
4.1 Linearisering<br />
Vi vil herunder p˚a basis af [KJ06] redegøre for, hvordan linearisering fungerer.<br />
Vi betragter systemet x ′ = f(x), der skrevet p˚a komponentform ser s˚aledes ud:<br />
x ′ 1 = f1(x1, x2)<br />
x ′ 2 = f2(x1, x2)<br />
Vektorfunktionen f skal være C 2 . Dette defineres herunder:<br />
Definition 4.5 Funktioner i mængden C p<br />
En funktion f af reelle tal er C p , hvis f’s afledte op til p’te orden<br />
eksisterer og er kontinuerte.<br />
(4.6)<br />
Vi lader x ∗ = (x1 ∗ , x2 ∗ ) være et ligevægtspunkt for system (4.6) og betragter<br />
et punkt (x1, x2) tæt p˚a ligevægtspunktet. Ved at Taylorudvikle f1(x1, x2) og
4.1 Linearisering 59<br />
f2(x1, x2) omkring ligevægtspunktet opn˚as en god approksimation af f1(x1, x2)<br />
og f2(x1, x2) nær (x1 ∗ , x2 ∗ ) jf. sætning A.8. Vi bestemmer Taylorpolynomiet 1.<br />
orden, da vi ellers vil f˚a ikke-lineære led med. S˚aledes vil vi ikke være kommet<br />
nærmere en løsning til den oprindelige ikke-lineære differentialligning.<br />
f1(x1, x2) = f1(x1 ∗ , x2 ∗ ) + ∂f1(x1 ∗ , x2 ∗ )<br />
+ ∂f1(x1 ∗ , x2 ∗ )<br />
(x2 − x2<br />
∂x2<br />
∗ )<br />
∂x1<br />
f2(x1, x2) = f2(x1 ∗ , x2 ∗ ) + ∂f2(x1 ∗ , x2 ∗ )<br />
+ ∂f2(x1 ∗ , x2 ∗ )<br />
(x2 − x2<br />
∂x2<br />
∗ )<br />
∂x1<br />
(x1 − x1 ∗ )<br />
(x1 − x1 ∗ )<br />
(4.7)<br />
For at vurdere hvorvidt det er en god approksimation, er det nødvendigt at se<br />
p˚a restleddet:<br />
R f1,x∗<br />
2 (x) = 1<br />
2! D(2) f(c, x − x ∗ )<br />
R f2,x∗<br />
2 (x) = 1<br />
2! D(2) g(c, x − x ∗ )<br />
Eftersom vi krævede, at f er C 2 , kan vi tillade os at vurdere p˚a restleddet.<br />
Punktet (x1, x2) ligger tæt p˚a ligevægtspunktet, derfor vil (x1 − x1 ∗ ) 2 være<br />
endnu mindre, n˚ar x1 − x1 ∗ < 1. Da punktet c er valgt mellem x og x ∗ , vil de<br />
forskellige partielle afledede af 2. orden i c ogs˚a blive meget sm˚a. Dermed bliver<br />
restleddet meget lille.<br />
Eftersom (x1 ∗ , x2 ∗ ) er ligevægtspunktet, giver leddene f(x1 ∗ , x2 ∗ ) og g(x1 ∗ , x2 ∗ )<br />
i ligningerne (4.7) begge nul.<br />
Vi opn˚ar s˚aledes følgende approksimation af f(x1, x2) og g(x1, x2):<br />
f(x1, x2) = ∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )<br />
∂x1<br />
g(x1, x2) = ∂g(x1 ∗ , x2 ∗ )<br />
∂x1<br />
Dette kan ogs˚a skrives som<br />
⎡<br />
x ′ ⎢<br />
= ⎣<br />
∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )<br />
∂x1<br />
∂g(x1 ∗ , x2 ∗ )<br />
∂x1<br />
(x1 − x1 ∗ ) + ∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )<br />
(x2 − x2<br />
∂x2<br />
∗ )<br />
(x1 − x1 ∗ ) + ∂g(x1 ∗ , x2 ∗ )<br />
(x2 − x2<br />
∂x2<br />
∗ )<br />
∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )<br />
∂x2<br />
∂g(x1 ∗ , x2 ∗ )<br />
∂x2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ (x − x ∗ )<br />
Da x ∗ er en konstant vektor, er det muligt at erstatte x ′ med [x − x ∗ ] ′ .<br />
Ved at sætte y = x − x ∗ opn˚as følgende linearisering af systemet x ′ = f(x):<br />
⎡<br />
y ′ ⎢<br />
= ⎣<br />
∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )<br />
∂x1<br />
∂g(x1 ∗ , x2 ∗ )<br />
∂x1<br />
∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )<br />
∂x2<br />
∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )<br />
∂x2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ y
60 KAPITEL 4. LINEARISERING<br />
Matricen i ovenst˚aende ligning er identisk med Jacobimatricen for f i punktet<br />
x ∗ . Derfor kan lineariseringen skrives som<br />
y ′ = Df(x ∗ )y<br />
Det er imidlertid ikke altid muligt at linearisere et ikke-lineært differentialligningssystem.<br />
For at være i stand til at udtale sig om, hvorn˚ar det er muligt, er<br />
følgende definition nødvendig:<br />
Definition 4.6 Hyperbolsk ligevægtspunkt<br />
Et ligevægtspunkt x ∗ til et ikke-lineært system kaldes hyperbolsk, hvis<br />
begge egenværdier til Jacobimatricen Df(x ∗ ) ikke har 0 som realdel<br />
Den næste sætning udtaler sig om, under hvilke betingelser linearisering er<br />
berettiget.<br />
Sætning 4.7 Lineariseringssætningen<br />
Antag, at det 2-dimensionelle system x ′ = f(x) har et hyperbolsk ligevægtspunkt<br />
i x ∗ . Det ikke-lineære flow er da konjugeret til flowet for<br />
det lineariserede system i nærheden af x ∗ .<br />
Vi vil ikke bevise denne sætning. Vi vil i stedet koncentrere os om tilfældet, hvor<br />
det lineariserede system har et ligevægtspunkt med sadelopførsel. Dette har vi<br />
valgt, eftersom sadeltilfældet er det eneste tilfælde, vi f˚ar brug for i forbindelse<br />
med <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>.<br />
4.1.1 Sadler er sadler<br />
Dette afsnit er baseret p˚a [HSD04]. For at vide noget om eksistensen og entydigheden<br />
af en løsning er vi først og fremmest nødt til at kræve, at den vektorfunktion<br />
f, vi betragter, er C 1 . Vi antager, at Df(x ∗ ) har λ og −µ som egenværdier.<br />
Ved at diagonalisere systemet opn˚ar vi, følgende Taylorapproksimation<br />
af systemet:<br />
x ′ = λx + g1(x, y)<br />
y ′ = −µy + g2(x, y)<br />
Her er −µ < 0 < λ og gi(x, y) betegner fejlen. Om systemet skal der gælde at<br />
gj(x, y)<br />
lim = 0<br />
r→0 r<br />
Her betegner r afstanden fra origo til et punkt (x, y). Denne afstand er givet<br />
ved r = x 2 + y 2 .<br />
Det lineariserede system fremkommer ved at udelade de højere ordens led. Derfor<br />
bliver systemet s˚aledes: <br />
′ x<br />
y ′<br />
<br />
=<br />
<br />
λ<br />
<br />
0 x<br />
0 −µ y
4.1 Linearisering 61<br />
I dette system har begge egenværdier en realdel, som er forskellig fra 0. Dermed<br />
har vi et hyperbolsk ligevægtspunkt. For det lineariserede system er origo ligevægtspunkt.<br />
Eftersom λ er positiv, er x-aksen den ustabile akse, og y-aksen er<br />
den stabile akse, da −µ er negativ.<br />
Det er ikke sikkert, at y- og x-aksen tjener som henholdsvis stabil og ustabil<br />
akse i det ikke-lineære tilfælde. Men i henhold til lineariseringssætning 4.7, som<br />
gælder, da vi har et hyperbolsk ligevægtspunkt, eksisterer der nogle kurver med<br />
lignende egenskaber.<br />
Vi lader W s (0) betegne mængden af begyndelsesbetingelser, hvis løsninger g˚ar<br />
mod origo, n˚ar t → ∞. Dermed er W s (0) den stabile kurve. P˚a samme m˚ade<br />
lader vi W u (0) benævne mængden af begyndelsesbetingelser, hvis løsninger g˚ar<br />
mod origo for t → −∞. Hermed er W u (0) den ustabile kurve.<br />
Vi ønsker at bevise, at løsninger i nærheden af en ikke-lineær sadel i høj grad<br />
opfører sig som i det lineære tilfælde. Den følgende sætning udtaler sig om den<br />
stabile kurve. P˚a samme m˚ade er det muligt at opstille en sætning for den<br />
ustabile kurve [HSD04]. Det har vi imidlertid fravalgt at gøre her.<br />
Sætning 4.8 Den stabile kurvesætning<br />
Givet systemet<br />
Antag, at −µ < 0 < λ og gj(x,y)<br />
x ′ = λx + g1(x, y)<br />
y ′ = −µy + g2(x, y)<br />
r<br />
→ 0 for r → 0. I s˚a fald gælder, at<br />
der eksisterer ε > 0 og en kurve x = h s (y), som er defineret for |y| < ε<br />
og opfylder, at h s (0) = 0. Desuden gælder følgende tre ting:<br />
1. Samtlige løsninger, hvis begyndelsesbetingelser ligger p˚a denne<br />
kurve, vil blive p˚a denne kurve for alle t ≥ 0, og de vil nærme sig<br />
origo, n˚ar t → ∞.<br />
2. I origo er y-aksen tangent til kurven h s (y).<br />
3. Alle andre løsninger, hvis begyndelsesbetingelser ligger p˚a en<br />
cirkelskive, der har origo som centrum og en radius ε, vil forlade<br />
denne cirkelskive, n˚ar t vokser.<br />
Kurven x = h s (y) kaldes den lokale stabile kurve i 0. Ved at følge løsninger<br />
p˚a den lokale stabile kurve tilbage i tiden er det muligt at bestemme hele den<br />
stabile kurve W s (0). Grunden til at den lokale stabile kurve udtrykkes som en<br />
funktion af y, er, at vi i et lineært tilfælde ikke vil kunne skrive den som en<br />
funktion af x.<br />
Bevis. Lad Bε betegne kvadratet, der er begrænset af x = ±ε og y = ±ε:<br />
Bε = {(x, y) ∈ R 2 | − ε ≤ x ≤ ε, −ε ≤ y ≤ ε}<br />
Lad S ± ε betegne øvre og nedre grænse af Bε:<br />
S ± ε = {(x, y) ∈ R 2 | − ε ≤ x ≤ ε, |y| = ε}
62 KAPITEL 4. LINEARISERING<br />
Lad endvidere C betegne det kegleformede omr˚ade i Bε, der er givet ved:<br />
C = {(x, y) ∈ Bε| |y| ≥ |x|}<br />
Ved C + forst˚as den del af keglen, som er placeret over x-aksen og ved C −<br />
den del, der er placeret under x-aksen. Før det er muligt at sige noget om<br />
løsningskurverne, er det nødvendigt at bevise følgende to punkter:<br />
1. Der eksisterer et ε > 0, s˚aledes vektorfeltet peger udenfor C for punkter,<br />
der ligger p˚a grænsen af C ∩ Bε(p˚anær i origo).<br />
2. Der eksisterer et ε > 0 s˚aledes y ′ < 0 i C + , og y ′ > 0 i C −<br />
Bevis for punkt 1:<br />
Det blev stillet som betingelse, at |g1(x,y)|<br />
r<br />
et ε, s˚aledes der gælder, at<br />
∀(x, y) ∈ Bε :<br />
→ 0 for r → 0. Der skal bestemmes<br />
|g1(x, y)|<br />
r<br />
≤ λ<br />
2 √ 2<br />
Der eksisterer et µ, som er større end r, s˚aledes ovenst˚aende gælder. Den største<br />
værdi, som r kan antage, er √ ε 2 + ε 2 = ε √ 2. Ved at vælge ε = µ √ 2 f˚as, at<br />
(x, y) ∈ Bε ⇒ r < µ<br />
Antag, at x > 0. Langs den højre grænse af C + , dvs. hvor y = x, f˚as:<br />
x ′ = λx + g1(x, x)<br />
Ved at tage den numeriske værdi af g1(x, x) gælder følgende ulighed, eftersom<br />
b˚ade x og λ er positive:<br />
x ′ ≥ λx − |g1(x, x)|<br />
Herefter indsættes |g1(x, y)| ≤ λ<br />
2 √ 2 r:<br />
x ′ ≥ λx − λ<br />
2 √ 2 r<br />
Da r = x 2 + y 2 , og y = x p˚a grænsen af keglen, kan dette indsættes istedet<br />
for r:<br />
x ′ ≥ λx − λ<br />
2 √ 2 r<br />
x 2 + x 2<br />
= λx − λ<br />
2 √ 2<br />
= λx − λ<br />
2 √ √<br />
2x2 2<br />
= λx − λ<br />
2 √ 2 x√2 = λx − λx<br />
2<br />
= λ<br />
2 x
4.1 Linearisering 63<br />
Da λ,x > 0 f˚as, at x ′ > 0 p˚a højre side af grænsen af keglen.<br />
For at vise hvad der sker med y ′ p˚a højre side af grænsen af C, vælges ε, s˚a<br />
∀(x, y) ∈ Bε : |g2(x, y)| ≤ µ<br />
2 √ 2 r<br />
Langs den højre side af grænsen af C, dvs. hvor y > 0, f˚as:<br />
y ′ = −µy + g2(y, y)<br />
≤ −µy + |g2(y, y)|<br />
≤ −µy + µ<br />
2 √ 2 r<br />
y 2 + y 2<br />
= −µy + µ<br />
2 √ 2<br />
= −µy + µ<br />
2 √ 2 y√2 = −µy + µy<br />
2<br />
= − µy<br />
2<br />
Eftersom −µ < 0, og y > 0, betyder det, at y ′ < 0<br />
Der gælder s˚aledes, at vektorfeltet peger nedad og til højre p˚a den del af kanten<br />
af C, der ligger i 1. kvadrant, n˚ar ε vælges til at være det mindste af de to<br />
foresl˚aede. Dette betyder, at vektorfeltet peger udenfor C for punkter, der ligger<br />
p˚a grænsen.<br />
Det er p˚a samme m˚ade muligt at vise, at for alle andre kanter p˚a C peger<br />
vektorfeltet ogs˚a udenfor C. Hermed er det ønskede bevist. P˚a figur 4.1 fremg˚ar<br />
det, hvordan vektorfelterne opfører sig langs kanterne af C.<br />
−ε<br />
y<br />
ε<br />
−ε<br />
y = x<br />
Figur 4.1: Keglen C og vektorfelterne langs kanterne.<br />
Bevis for punkt 2:<br />
Det vises først, at y ′ < 0 i C + :<br />
ε<br />
x
64 KAPITEL 4. LINEARISERING<br />
Da y > 0 i C + gælder, at |x| ≤ y. Ved at indsætte dette i r 2 = x 2 + y 2 f˚as:<br />
Herefter vælges ε, s˚a<br />
I C + f˚as derfor følgende:<br />
r 2 ≤ y 2 + y 2 ≤ ⇔ r ≤ y √ 2<br />
∀(x, y) ∈ Bε : |g2(x, y)| ≤ µ<br />
2 √ 2 r<br />
y ′ ≤ −µy + |g2(x, y)|<br />
≤ −µy + µ<br />
2 √ 2 r<br />
≤ −µy + µ<br />
2 √ 2 y√ 2<br />
≤ −µy + µ<br />
2 y,<br />
≤ − µ<br />
2 y<br />
Dermed er y ′ < 0, eftersom −µ < 0, og y > 0.<br />
Herefter vises, at y ′ > 0 i C − :<br />
Da y < 0 i C − , betyder det, at |x| ≤ −y. Ved at indsætte dette i r 2 = x 2 + y 2<br />
f˚as:<br />
r 2 ≤ (−y) 2 + y 2 ⇔ r ≤ |y| √ 2<br />
|g2(x, y)| vælges til det samme som i foreg˚aende bevis. I C − gælder der om y ′ ,<br />
at<br />
y ′ = −µy + g2(x, y)<br />
≥ −µy − |g2(x, y)|<br />
≥ −µy − µ<br />
2 √ 2 r<br />
≥ −µy − µ<br />
2 √ 2 |y|√ 2<br />
= −µy − µ(−y)<br />
<br />
2<br />
1<br />
= (−µy)<br />
2<br />
Eftersom b˚ade −µ og y er negative, betyder det, at y ′ > 0 i C − . Det ønskede er<br />
dermed bevist.<br />
Det følger heraf at løsninger, der starter p˚a S + ε ∩ C, er aftagende i y-aksens retning,<br />
s˚a længe de er i C + . Det er dermed kun muligt for en løsning at blive i C +<br />
for alle t, s˚afremt den nærmer sig origo. Mængden af punkter i S + ε , hvortil løsningen<br />
forlader C til højre, er dermed ét ˚abent interval. Dette skyldes eksistensog<br />
entydighedssætning 2.14, da det er umuligt for to løsningskurver at skære<br />
hinanden, se figur 4.2.
4.2 <strong>Lotka</strong>-Volterra 65<br />
P˚a samme m˚ade gælder det, at de punkter i S + ε , som forlader C til venstre, er<br />
ét ˚abent interval. Der gælder, at foreningen af de to ˚abne intervaller er et ˚abent<br />
interval. Komplementet til et ˚abent interval er lukket. Da de to intervaller ikke<br />
skærer hinanden, er det lukkede interval, som ligger mellem dem, ikke-tomt.<br />
Idet løsningerne til de begyndelsesbetingelser, der ligger i det lukkede interval,<br />
hverken forlader C + til højre eller til venstre, betyder det, at de m˚a g˚a mod 0,<br />
n˚ar t → ∞. Det samme gælder for C − .<br />
Det næste, der skal vises, er, at der kun ligger ét punkt i det lukkede interval,<br />
at der kun findes én løsning x(t), som bliver i C for alle t og at x(t) er tangent<br />
til y-aksen i origo. Dette er ikke medtaget, s˚a der henvises til [HSD04]. <br />
y<br />
Figur 4.2: Et umuligt scenario for løsningskurverne<br />
4.2 <strong>Lotka</strong>-Volterra<br />
I afsnit 1.1 fandt vi frem til, at væksthastigheden for byttedyrene, n˚ar de lever<br />
isolerede, kan beskrives ved differentialligningen<br />
db<br />
= Ab, A ∈ R+<br />
dt<br />
P˚a samme m˚ade kan væksthastigheden for rovdyrene, n˚ar de lever isolerede,<br />
beskrives ved differentialligningen<br />
dr<br />
dt<br />
= −Dr, D ∈ R+<br />
Vi vil nu beskæftige os med, hvad der sker, n˚ar rovdyrene og byttedyrene omg˚as<br />
hinanden. Vi antager, at antallet af byttedyr falder med en hastighed, som<br />
er proportional med antallet af møder mellem rovdyr og byttedyr. Antallet af<br />
møder antages endvidere at være proportionalt med produktet af antallet af<br />
byttedyr b og antallet af rovdyr r. Ved at lade B udtrykke denne sammenhæng,<br />
x
66 KAPITEL 4. LINEARISERING<br />
kan følgende differentialligning beskrive faldet i antallet af byttedyr:<br />
db<br />
= −Bbr B ∈ R+<br />
dt<br />
Hvis vi sætter de to differentialligninger sammen, som omhandler byttedyrene,<br />
f˚ar vi, at følgende differentialligning modellerer væksthastigheden for byttedyr:<br />
db<br />
= Ab − Brb = (A − Br)b, A, B ∈ R+<br />
dt<br />
P˚a samme m˚ade er det muligt at bestemme en differentialligning, der kan modellere<br />
væksthastigheden for rovdyrene. Mødet med byttedyrene har en positiv<br />
indvirkning p˚a antallet af rovdyr. Vi lader konstanten C betegne reproduktionsraten<br />
for rovdyr, der afhænger af antallet af byttedyr, de har ædt. Dermed kan<br />
følgende differentialligning beskrive væksthastigheden for rovdyrene, n˚ar de har<br />
adgang til deres fødekilde:<br />
dr<br />
dt<br />
= Cbr<br />
Væksthastigheden for rovdyrene kan derfor samlet beskrives med differentialligningen<br />
dr<br />
= Cbr − Dr = (Cb − D)r, C, D ∈ R+<br />
dt<br />
Ovenst˚aende giver anledning til følgende differentialligningssystem:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
f(b, r) =<br />
⎪⎩<br />
db<br />
dt<br />
dr<br />
dt<br />
= (A − Br)b<br />
= (Cb − D)r<br />
, hvor A, B, C, D ∈ R+<br />
(4.8)<br />
P˚a figur 4.3 ses retningsfeltet for differentialligningssystem (4.8). Konstanterne<br />
er i dette tilfælde angivet til A = B = C = D = 1. Desuden viser figuren to<br />
mulige løsningskurver.<br />
Rovdyr<br />
1.6<br />
1.5<br />
1.4<br />
1.3<br />
1.2<br />
1.1<br />
1.0<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2<br />
Byttedyr<br />
Figur 4.3: <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong> med konstanterne A = B = C = D = 1.
4.2 <strong>Lotka</strong>-Volterra 67<br />
Af figur 4.3 tyder det p˚a, at løsningskurverne er lukkede. Der kommer en begrundelse<br />
herfor i et efterfølgende kapitel. Det betyder, at hverken rovdyr eller<br />
byttedyr kan uddø, n˚ar konstanterne A, B, C og D er valgt til 1. P˚a figur 4.3 ses<br />
det, at n˚ar populationen af byttedyr er tilstrækkelig lav, vil antallet af rovdyr<br />
svinde, da der ikke er føde nok til at opretholde populationen. Dette medfører,<br />
at der ikke er s˚a mange rovdyr til at nedfælde byttedyrene, hvilket betyder, at<br />
antallet af byttedyr igen stiger.<br />
I det tidsrum, hvor populationen af byttedyr er i vækst, vil antallet af rovdyr<br />
ogs˚a stige, da rovdyrene nu har adgang til mere føde. Væksten i de to populationer<br />
vil imidlertid foreg˚a tidsforskudt, eftersom væksten i antallet af byttedyr<br />
er en forudsætning for væksten i antallet af rovdyr. N˚ar der er mange byttedyr,<br />
er væksten i populationen hos rovdyrene størst. P˚a et tidspunkt vil populationen<br />
af rovdyr være s˚a stor, at der ikke er føde nok, og populationen vil dermed<br />
svinde. S˚aledes er vi tilbage ved udgangspunktet.<br />
4.2.1 Eksistens og entydighed<br />
Ifølge sætning 2.14 skal højresiderne af ligningssystem (4.8) være kontinuerte<br />
og opfylde en lokal Lipschitz-betingelse, for at der eksisterer en entydig, lokal<br />
løsning til systemet til en bestemt begyndelsesværdi. Da de partielle afledte<br />
eksisterer og er kontinuerte, er disse betingelser opfyldte og s˚aledes har systemet<br />
entydige, lokale løsninger.<br />
4.2.2 Ligevægtspunkter<br />
Det er interessant at bestemme ligevægtspunkter for dette system, fordi et ligevægtspunkt<br />
vil betyde, at populationerne af rovdyr og byttedyr er konstante.<br />
Ligevægtspunkter i differentialligningssystem (4.8) bestemmes ved at finde ud<br />
= 0:<br />
af for hvilke værdier, det er opfyldt, at b˚ade db<br />
dt<br />
= 0, og dr<br />
dt<br />
0 = b(A − Br) og 0 = r(Cb − D)<br />
Først løses ligningen b(A − Br) = 0. Ved hjælp af nulreglen f˚as:<br />
b = 0 ∨ A − Br = 0 ⇔ r = A<br />
∨ b = 0<br />
B<br />
For at bestemme r-værdien hørende til b = 0 indsættes b = 0 i r(Cb − D) = 0:<br />
r(C · 0 − D) = 0 ⇒ −Dr = 0<br />
Da D ∈ R+, f˚ar vi, at r = 0.<br />
For at bestemme b-værdien hørende til r = A<br />
B , indsættes r-værdien i<br />
r(Cb − D) = 0:<br />
A<br />
B<br />
(Cb − D) = 0 ⇔ A<br />
B<br />
A<br />
D<br />
Cb = D ⇔ Cb = D ⇔ b =<br />
B C<br />
Dette betyder, at de to ligevægtspunkter for system (4.8) er givet ved (0, 0) og<br />
( D A<br />
C , B ).<br />
Jacobimatricen for f(b, r) = f1(b, r), f2(b, r) i et punkt (x, y) ser s˚aledes ud:
68 KAPITEL 4. LINEARISERING<br />
⎡<br />
∂f1<br />
⎢ (x, y)<br />
⎢ ∂b<br />
Df(x, y) = ⎢<br />
⎣∂f2<br />
(x, y)<br />
∂b<br />
⎤<br />
∂f1<br />
(x, y)<br />
∂r ⎥<br />
⎦ ∂f2<br />
(x, y)<br />
∂r =<br />
<br />
A − Br<br />
Cr<br />
<br />
−Bb<br />
−D + Cb<br />
Det lineariserede system i (0, 0) bliver derfor følgende:<br />
y ′ <br />
A<br />
=<br />
0<br />
<br />
0<br />
y<br />
−D<br />
Vi har dermed et hyperbolsk ligevægtspunkt, hvor egenværdierne har forskelligt<br />
fortegn. Dette svarer ifølge afsnit 3.2.1 til, at origo er et sadelpunkt i differenti-<br />
alligningssystem (4.8).<br />
Jacobimatricen i ligevægtspunktet ( D<br />
C<br />
Df<br />
<br />
D A<br />
, =<br />
C B<br />
⎡<br />
A A − B · B<br />
⎣<br />
C · A<br />
B<br />
A , B ) beregnes til at være følgende:<br />
−B · D<br />
C<br />
−D + C · D<br />
C<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
Herefter bestemmes egenværdierne til denne matrix:<br />
<br />
D A<br />
det Df , − λI = 0 ⇔<br />
C B<br />
⎡<br />
0 − λ<br />
⎣<br />
−BD<br />
⎤<br />
C<br />
⎦ = 0 ⇔<br />
CA<br />
B 0 − λ<br />
<br />
CA<br />
(−λ)(−λ) −<br />
B ·<br />
<br />
−BD<br />
= 0 ⇔<br />
C<br />
λ 2 + DA = 0 ⇔<br />
⎡<br />
⎣ 0<br />
CA<br />
B<br />
λ = ±√−4DA ⇔<br />
2<br />
λ = ±i √ DA<br />
−BD<br />
C<br />
Eftersom egenværdierne i dette tilfælde har 0 som realdel, er ligevægtspunktet<br />
( D A<br />
C , B ) ikke hyperbolsk. Vi er derfor p˚a nuværende tidspunkt ikke i stand til at<br />
sige noget om systemets opførsel omkring dette ligevægtspunkt.<br />
4.3 Opsummering<br />
Vi startede kapitlet med at definere partielle afledede samt en sætning om deres<br />
eksistens. Derefter fortsatte vi med at gennemg˚a, hvorn˚ar og hvorledes det er<br />
muligt at linearisere et plant system. Herunder valgte vi at g˚a i dybden med det<br />
tilfælde, hvor det lineariserede system har et ligevægtspunkt med sadelopførsel.<br />
Herefter udledte vi <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong> for samspillet mellem rovdyr og byttedyr.<br />
Dernæst beregnede vi ligevægtspunkterne for systemet og bestemte ved<br />
hjælp af linearisering, at origo er et sadelpunkt for systemet. Det andet ligevægtspunkt<br />
er vi p˚a nuværende tidspunkt ikke i stand til at konkludere yderligere<br />
p˚a. Vi vil derfor i næste kapitel beskæftige os med stabilitetsundersøgelse.<br />
0<br />
⎤<br />
⎦
Kapitel 5<br />
Stabilitet<br />
Vi har i forrige kapitel beskæftiget os med linearisering af ikke-lineære systemer<br />
for at kunne beskrive et ikke-lineært systemets opførsel omkring dets ligevægtspunkter.<br />
Dette kapitel handler om stabiliteten af et givent ligevægtspunkt.<br />
Kapitlet er baseret p˚a kapitel 9.1 i [HSD04], og det indledes med en definition<br />
af stabilitet.<br />
Et ligevægtspunkt kaldes stabilt, hvis de nærliggende løsninger forbliver tæt p˚a<br />
ligevægtspunktet i al fremtid. I den følgende definition er dette formuleret mere<br />
præcist. I definitionen benyttes betegnelsen en omegn i R 2 , hvilket er en ikketom<br />
˚aben delmængde af R 2 . Hvis en mængde er en omegn omkring et punkt,<br />
betyder det, at punktet er indeholdt i omegnen.<br />
Definition 5.1 Stabilitet af et ligevægtspunkt<br />
Lad x ∗ ∈ R 2 være et ligevægtspunkt til systemet x ′ = f(x). Da kan x ∗<br />
befinde sig i tre former for stabilitet:<br />
• Ligevægtspunktet x ∗ er stabilt, hvis der for enhver omegn O<br />
om x ∗ i R 2 , eksisterer en omegn O1 om x ∗ i O, s˚a enhver løsningskurve<br />
x(t) med x(0) ∈ O1 er defineret og bliver i O for alle<br />
t > 0.<br />
• Ligevægtspunktet x ∗ kaldes asymptotisk stabilt, hvis det er stabilt,<br />
og limt→∞ x(t) = x ∗ for alle løsningskurver x(t) med<br />
x(0) = x ∗ ∈ O1.<br />
• Ligevægtspunktet x ∗ kaldes ustabilt, hvis der eksisterer en omegn<br />
O om x ∗ , s˚a der for enhver omegn O1 om x ∗ eksisterer mindst en<br />
løsning x(t) med x(0) ∈ O1 og et t0 > 0, for hvilket x(t0) /∈ O.<br />
Det følger af definition 5.1, at dræn og centre er stabile ligevægtspunkter. Ydermere<br />
er et dræn et asymptotisk stabilt ligevægtspunkt, hvilket ogs˚a gælder for<br />
spiraldræn. Kilder, spiralkilder og sadelpunkter er ustabile ligevægtspunkter. P˚a<br />
figur 5.1 er et stabilt ligevægtspunkt x ∗ illustreret.
70 KAPITEL 5. STABILITET<br />
x(0)<br />
Ð×ÒÒ×ÙÖÚÒ x(t)<br />
Figur 5.1: Illustration af et stabilt ligevægtspunkt x ∗ .<br />
Figur 5.2 viser et asymptotisk stabilt ligevægtspunkt x ∗ .<br />
x(0)<br />
x ∗<br />
O1<br />
Ä×ÒÒ×ÙÖÚÒ x(t)<br />
Figur 5.2: Illustration af et asymptotisk stabilt ligevægtspunkt x ∗ .<br />
P˚a figur 5.3 vises et ustabilt ligevægtspunkt x ∗ .<br />
x(0)<br />
x ∗<br />
O1<br />
Ð×ÒÒ×ÙÖÚÒ x(t)<br />
Figur 5.3: Illustration af et ustabilt ligevægtspunkt x ∗ .<br />
x ∗<br />
O1<br />
O<br />
O<br />
O
5.1 Stabilitetsundersøgelse 71<br />
5.1 Stabilitetsundersøgelse<br />
Dette afsnit omhandler en metode, hvormed det er muligt at f˚a oplysninger om,<br />
hvorledes løsningerne til et ikke-lineært system af differentialligninger opfører<br />
sig.<br />
5.1.1 Nulkliner<br />
Den første metode tager udgangspunkt i nulkliner:<br />
Definition 5.2 Nulkliner<br />
Betragt et system p˚a formen:<br />
x ′ = f(x, y)<br />
y ′ = g(x, y)<br />
x-nulklinerne er mængden<br />
(x, y) f(x, y) = 0 <br />
Tilsvarende er y-nulklinerne defineret ved<br />
(x, y) g(x, y) = 0 <br />
Nulklinerne til et plant system deler planen op i nogle omr˚ader. Herunder forklares<br />
dette nærmere ved at tage udgangspunkt i følgende system, hvor f og g<br />
er kontinuerte:<br />
x ′ = f(x, y)<br />
y ′ = g(x, y)<br />
For at finde x-nulklinerne løses ligningen f(x, y) = 0. Dvs. at x-nulklinerne<br />
udgøres af de punkter (x, y), for hvilke x ′ = f(x, y) = 0. Det betyder, at vektorerne<br />
i vektorfeltet er vertikale p˚a x-nulklinerne. P˚a samme m˚ade løses g(x, y) = 0<br />
for at finde y-nulklinerne, p˚a hvilken vektorerne i vektorfeltet er horisontale.<br />
Planen bliver delt op i omr˚ader af x-nulklinerne. I nogle omr˚ader peger vektorerne<br />
i vektorfeltet til venstre, mens de i andre peger til højre. Dette skyldes, at<br />
f er en kontinuert funktion, samt at det kun er p˚a x-nulklinerne, at vektorerne<br />
er vertikale. P˚a samme m˚ade deler y-nulklinerne planen op i omr˚ader, hvor vektorerne<br />
enten peger nedad eller opad, eftersom g er kontinuert, og det kun er p˚a<br />
y-nulklinerne, at vektorerne er horisontale.<br />
Et punkt (x, y) er et ligevægtspunkt, hvis f(x, y) = 0, og g(x, y) = 0. Dvs. i<br />
planen er eventuelle skæringspunkter mellem x- og y-nulklinerne ligevægtspunkter.<br />
Figur 5.4 viser, hvorledes planen eksempelvis kan deles op af x-nulklinerne<br />
og y-nulklinerne.
72 KAPITEL 5. STABILITET<br />
y<br />
x−nulkline<br />
Ligevægtspunkt<br />
y−nulkline<br />
Figur 5.4: Opdeling af planen efter x- og y-nulklinerne.<br />
Af ovenst˚aende fremg˚ar det, at en opdeling af planen efter x- og y-nulklinerne<br />
giver oplysninger om løsningernes opførsel. Ud fra nulklinerne er det muligt at<br />
bestemme, hvorvidt et ligevægtspunkt er stabilt eller ustabilt. Hvis samtlige<br />
vektorer i de omr˚ader, som grænser op mod ligevægtspunktet, peger ind mod<br />
det, er ligevægtspunktet stabilt. Det er ikke muligt ud fra nulklinerne alene at<br />
bestemme, om et ligevægtspunkt er asymptotisk stabilt eller blot stabilt. Det<br />
skyldes, at der f.eks. kan være lukkede kurver i vektorfeltet. Et eksempel p˚a<br />
dette er <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>, jf. figur 5.5.<br />
5.1.2 Lyapunov-funktioner<br />
I det følgende defineres nogle begreber omhandlende stabilitet. Dette munder<br />
ud i en sætning omhandlende Lyapunov-funktioner, som ogs˚a vil blive defineret<br />
herunder.<br />
Definition 5.3 α- og ω-grænsepunkter<br />
Betragt systemet x ′ = f(x), hvor x ∈ R 2 , og f : R 2 → R 2 . Mængden af<br />
αf -grænsepunkter er givet ved:<br />
αf = z ∈ R 2 | Der eksisterer en løsning x(t) med x(0) = z,<br />
og en følge {tn}n≥1 i R med lim<br />
n→∞ tn = −∞,<br />
s˚aledes lim<br />
n→∞ x(tn) = z <br />
Mængden af ωf -grænsepunkter er følgende:<br />
ωf = z ∈ R 2 | Der eksisterer en løsning x(t) med x(0) = z,<br />
og en følge {tn}n≥1 i R med lim<br />
n→∞ tn = ∞,<br />
s˚aledes lim<br />
n→∞ x(tn) = z <br />
x
5.1 Stabilitetsundersøgelse 73<br />
Som eksempel kan tages et sadelpunkt. Det er et α-grænsepunkt for den ustabile<br />
akse og et ω-grænsepunkt for den stabile akse.<br />
Den følgende definition omhandler, hvad det betyder, hvis en funktion er definit<br />
eller semidefinit:<br />
Definition 5.4 Definit og semidefinit<br />
Lad L : O → R være en differentiabel funktion, hvor O ⊆ R 2 er ˚aben,<br />
og x ∗ ∈ O er et ligevægtspunkt.<br />
• Funktionen L er positiv definit p˚a O, hvis L(x ∗ ) = 0, og L(x) > 0<br />
for alle x ∈ O \ {x ∗ }.<br />
• Funktionen L er negativ definit p˚a O, hvis L(x ∗ ) = 0, og L(x) < 0<br />
for alle x ∈ O \ {x ∗ }.<br />
• Funktionen L er positiv semidefinit p˚a O, hvis L(x ∗ ) = 0, og<br />
L(x) ≥ 0 for alle x ∈ O \ {x ∗ }.<br />
• Funktionen L er negativ semidefinit p˚a O, hvis L(x ∗ ) = 0, og<br />
L(x) ≤ 0 for alle x ∈ O \ {x ∗ }.<br />
Den næste definition behandler urbillede [Coh03]:<br />
Definition 5.5 Urbillede<br />
Lad U, V, W være mængder, og lad f : V → W være en funktion. Hvis<br />
U ⊆ W , kaldes følgende for urbilledet af U:<br />
f −1 (U) = v ∈ V f(v) ∈ U <br />
Ud fra definition 5.4 kan en Lyapunov-funktion defineres:<br />
Definition 5.6 Lyapunov-funktioner<br />
Lad L : O → R være en funktion, hvor O ⊆ R 2 . Betragt differentialligningssystemet<br />
x ′ = f(x) med ligevægtspunktet x ∗ ∈ O. Lad ˙ L : O → R<br />
være en funktion givet ved<br />
˙L(x) = DL(x) f(x) <br />
Funktionen L kaldes en Lyapunov-funktion for f i x ∗ , hvis L er positiv<br />
definit, og ˙ L er negativ semidefinit.<br />
Funktionen L kaldes en strikt Lyapunov-funktion for f i x ∗ , s˚afremt L<br />
er positiv definit og ˙ L er negativ definit.<br />
Før gennemgangen af Lyapunovs sætning gives en begrundelse for definitionen<br />
af ˙ L. Det gøres ved at betragte systemet x ′ = f(x) med ligevægtspunkt x ∗ . Lad<br />
L : O → R være en Lyapunov-funktion for f i x ∗ , og lad x(t) angive en løsning,
74 KAPITEL 5. STABILITET<br />
som opfylder x(t0) = x0. Ved anvendelse af kædereglen fra appendiks A.2 f˚as<br />
følgende:<br />
d <br />
L ◦ x (t0) = DL<br />
dt<br />
x(t0) x ′ (t0) <br />
= ∇L x(t0) x ′ (t0) <br />
= ∇L(x0) f(x0) <br />
= DL(x0) f(x0) <br />
= ˙ L(x0)<br />
(5.1)<br />
(5.2)<br />
(5.3)<br />
For at komme fra ligning (5.1) til ligning (5.2) benyttes, at værdimængden for L<br />
er de reelle tal. Dermed har Jacobimatricen for L i punktet x(t0) én søjle. Derfor<br />
anvendes notationen ∇L x(t0) i stedet for DL x(t0) . Dette er en vektor frem<br />
for en matrix. Vektoren ∇L x(t0) kaldes gradienten af L i punktet x(t0).<br />
Fra ligning (5.2) til ligning (5.3) udnyttes, at x(t0) er en løsning gennem x0 til<br />
differentialligningssystemet. Det betyder, at x ′ (t0) = f(x0).<br />
En Lyapunov-funktion L er i henhold til definition 5.6 positiv definit, og ˙ L er<br />
negativ semidefinit. Lad x(t) være en vilk˚arlig løsning, der ikke er en ligevægtsløsning,<br />
men hvis begyndelsesbetingelse er indeholdt i O. Da fremg˚ar det af<br />
sammenhængen mellem L og ˙ L, at L af x(t) aldrig vokser i O, idet ˙ L(x) ≤ 0<br />
for alle x ∈ O \ {x ∗ }.<br />
Sætning 5.7 Lyapunovs sætning<br />
Lad L : O → R være en differentiabel funktion, hvor O ⊆ R 2 er ˚aben.<br />
Lad x ∗ ∈ O være et ligevægtspunkt for x ′ = f(x), hvor f : O → R 2<br />
er C 1 . Ligevægtspunktet x ∗ er stabilt, hvis L er en Lyapunov-funktion<br />
for f i x ∗ .<br />
Ligevægtspunktet x ∗ er asymptotisk stabilt, hvis L er en strikt<br />
Lyapunov-funktion for f i x ∗ .<br />
Denne sætning kan bruges til at bestemme stabiliteten af et ligevægtspunkt x ∗<br />
uden at løse differentialligningssystemet. Dette gøres ved at finde en Lyapunovfunktion<br />
for f i ligevægtspunktet.<br />
Bevis. Antag, at L er en Lyapunov-funktion for f i x ∗ . Dermed skal bevises,<br />
at x ∗ er et stabilt ligevægtspunkt for x ′ = f(x).<br />
Mængden O er ˚aben, hvilket gør det muligt at vælge δ > 0, s˚a<br />
Dernæst defineres<br />
Bδ(x ∗ ) = x ∈ R 2 ||x − x ∗ || ≤ δ} ⊆ O<br />
Sδ(x ∗ ) = x ∈ R 2 ||x − x ∗ || = δ <br />
Mængden Sδ(x ∗ ) er randen af kuglen Bδ(x ∗ ). Da Sδ(x ∗ ) er lukket og begrænset,<br />
er Sδ(x ∗ ) ifølge sætning 4.1.6 i [Coh03] kompakt. Foretag en restriktion af L til<br />
Sδ(x ∗ ), dvs. L : Sδ(x ∗ ) → R+. Værdimængden for L er R+, idet L er positiv<br />
definit. Dermed f˚as af sætning 4.3.2 i [Coh03], at<br />
∃α ∈ R, ∀x ∈ Sδ(x ∗ ) : L(x) ≥ α (5.4)
5.1 Stabilitetsundersøgelse 75<br />
Idet L er positiv definit, er α > 0. Lad herefter L være restringeret til B◦ δ , dvs.<br />
L : B◦ δ (x∗ ) → R+ ∪ {0}. Definer mængden<br />
O1 = x ∈ Bδ(x ∗ ) <br />
L(x) < α (5.5)<br />
= x ∈ B ◦ δ (x ∗ ) <br />
L(x) < α (5.6)<br />
= L −1 [0, α[ <br />
(5.7)<br />
Fra udtryk (5.5) til udtryk (5.6) bruges udtryk (5.4). For at komme fra udtryk<br />
(5.6) til udtryk (5.7) benyttes definition 5.5 af et urbillede.<br />
Funktionen L er differentiabel p˚a O, s˚a den er kontinuert p˚a O. Derudover er<br />
[0, α[ en ˚aben mængde i R+ ∪ {0}. For at bevise det er det nok at vise, at 0<br />
ligger i det indre af R+ ∪ {0}. Hertil benyttes metrikken dE:<br />
∃r > 0 : Br(0) = x ∈ R+ ∪ {0} dE(x, 0) = x < r = [0, r[⊂ R+ ∪ {0}<br />
Af sætning 5.4.4 i [Coh03] følger dermed, at O1 = L −1 [0, α[ er en˚aben mængde<br />
i B ◦ δ (x∗ ). Eftersom L(x ∗ ) = 0, og α > 0, er x ∗ ∈ O1. Det betyder, at O1 er en<br />
omegn om x ∗ .<br />
En løsning x(t), for hvilken x(0) = x0 ∈ O1, opfylder, at L(x0) < α. Da ˙ L er<br />
negativ semidefinit, vokser L ikke langs løsningskurver i O. Dermed f˚as, at<br />
∀t ≥ 0, L x(t) ≤ L(x0) < α<br />
Heraf fremg˚ar det, at x(t) ∈ O1 for alle t ≥ 0. Det sidste, der skal bruges,<br />
er et argument for, at alle løsningskurver, som har en begyndelsesbetingelse,<br />
der ligger i O1, er defineret i O for alle t > 0. For dette argument henvises til<br />
korollar p˚a side 397 i [HSD04]. Dermed følger af definition 5.1, at x ∗ er et stabilt<br />
ligevægtspunkt.<br />
Herefter skal vises, at hvis L er en strikt Lyapunov-funktion for f i x ∗ , s˚a er x ∗<br />
et asymptotisk stabilt ligevægtspunkt. Det betyder, at L er positiv definit, og<br />
˙L er negativ definit. Dermed er L aftagende langs løsningskurver i O.<br />
Først bevises, at ωf = Ø. Lad x(t) ∈ O1 for alle t ≥ 0 være en løsning. Eftersom<br />
Bδ(x ∗ ) er kompakt, følger det af sætning 5.3.4 i [Coh03], at Bδ(x ∗ ) er føl-<br />
gekompakt. Det betyder, at enhver følge x(tn) <br />
<br />
x(tnk ) , hvorom det gælder, at<br />
k≥0<br />
n→∞ i Bδ(x ∗ ) har en delfølge<br />
lim<br />
k→∞ x(tnk ) = z0 ∈ Bδ(x ∗ ) ⇔ (5.8)<br />
∀ε > 0, ∃K > 0, ∀k > K : x(tnk ) ∈ Bε(z0) (5.9)<br />
Det betyder i henhold til definition 5.3, at z0 ∈ ωf .<br />
Herefter vises, at z0 = x ∗ . Det gøres ved et indirekte bevis. Antag, at z0 = x ∗ .<br />
Lad z(t) være en løsning med z(0) = z0. Hold s > 0 fast.<br />
Flowet ϕ til systemet x ′ = f(x) er ifølge korollar p˚a s. 147 i [HSD04] en kontinuert<br />
funktion af x. Da L ogs˚a er kontinuert, er afbildningen<br />
x0 ↦→ L ϕ(x0, s) = L x(s) kontinuert p˚a O i henhold til sætning 3.24(ii) i<br />
[Wad04]. Dermed gælder, at<br />
∀ε > 0, ∃δs > 0 :<br />
<br />
<br />
L y(s) − L z(s) < ε, n˚ar ||y0 − z0|| < δs og y0 ∈ O
76 KAPITEL 5. STABILITET<br />
Sæt y0 = x(tn k ′ ), hvor k ′ > K fra udsagn (5.9). I henhold til sætning 2.12<br />
opfylder f en lokal Lipschitz-betingelse. Dermed f˚as ifølge sætning 2.14 omhandlende<br />
eksistensen og entydigheden af en løsning, at<br />
y(s) = ϕ(y0, s)<br />
= ϕ x(tn k ′ ), s <br />
= ϕ ϕ(x0, tn k ′ ), s <br />
= ϕ(x0, tn k ′ + s)<br />
= x(tn k ′ + s)<br />
Idet ˙ L er negativ definit, er L(z0) − L z(s) > 0. Dermed er det muligt at sætte<br />
ε = L(z0) − L z(s) . Der findes s˚aledes δ > 0, s˚a der for <br />
y0 − z0<br />
< δ gælder<br />
følgende:<br />
<br />
<br />
L y(s) − L(z(s) < L(z0) − L z(s) <br />
Dermed f˚as, at<br />
Det betyder, at<br />
L y(s) = L z(s) + L y(s) − L z(s) <br />
< L z(s) + ε<br />
= L z(s) + L(z0) − L z(s) <br />
= L(z0)<br />
L x(tn k ′ + s) = L y(s) < L(z0) (5.10)<br />
Funktionen L er kontinuert, s˚a i henhold til ligning (5.8) og sætning 1.9.2 i<br />
[Coh03] gælder, at<br />
lim<br />
k→∞ L x(tnk ) = L(z0)<br />
Der eksisterer m ∈ R, s˚a tn k ′ + s ≤ tm. Idet ˙ L er negativ definit, f˚as at<br />
L x(tn k ′ + s) ≥ L x(tm) > L(z0)<br />
Dette er i modstrid med ulighed (5.10). Dermed er ωf = {x ∗ }. Herefter skal vises,<br />
at samtlige løsninger med en begyndelsesbetingelse, der ligger i O1, konvergerer<br />
mod x ∗ . I forvejen vides, at disse løsninger bliver i O1 for alle t ≥ 0. Ved brug<br />
af ligning (5.8) f˚as følgende:<br />
lim x(t) = x∗<br />
t→∞<br />
Dette fremg˚ar ved at antage det modsatte, dvs.:<br />
∃ ˜ δ > 0, ∀T > 0, ∃t > T : x(t) /∈ B˜ δ (x ∗ )<br />
(5.11)<br />
Sæt T = n. Dermed eksisterer tn > n, s˚a x(tn) /∈ B˜ δ (x ∗ ). For hvert n f˚as<br />
et tn. Dermed konstrueres en følge x(tn) <br />
n≥1 i Bδ(x ∗ ). Denne følge har en<br />
konvergent delfølge, men x(tn) <br />
er konstrueret p˚a en m˚ade, s˚a<br />
n≥1<br />
<br />
x(tn) − x ∗ ≥ δ˜
5.2 <strong>Lotka</strong>-Volterra 77<br />
Derfor kan delfølgen ikke konvergere mod x ∗ . Idet ωf = {x ∗ }, kan delfølgen ikke<br />
konvergere mod andre punkter. S˚a det er en modstrid, hvormed er ligning (5.11)<br />
sand. Derfor er x ∗ et asymptotisk stabilt ligevægtspunkt. <br />
Vi har i dette kapitel beskrevet forskellige metoder til stabilitetsundersøgelse<br />
af ligevægtspunkter for ikke-lineære systemer. Herunder har vi ogs˚a behandlet,<br />
hvorledes det er muligt at vurdere et systems opførsel omkring dets ligevægtspunkter.<br />
Dette skal benyttes til en stabilitetsundersøgelse af <strong>Lotka</strong>-Volterra<br />
modellen.<br />
5.2 <strong>Lotka</strong>-Volterra<br />
Vi vil i dette afsnit anvende de metoder, vi i dette kapitel har gennemg˚aet i<br />
forbindelse med stabilitetsundersøgelse p˚a <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>.<br />
5.2.1 Nulkliner<br />
Størrelserne db dr<br />
dt og dt angiver, som nævnt i afsnit 4.2, væksten for byttedyrenes<br />
og rovdyrenes population. Hvis der er positiv vækst, vil værdierne være positive,<br />
mens de vil være negative, hvis væksten er negativ. Endvidere er værdierne<br />
0, hvis der ingen ændringer er i populationerne. For at kunne sige mere om<br />
løsningerne til systemet, findes dets nulkliner:<br />
Først angives b-nulklinerne:<br />
db<br />
dt<br />
Dernæst opskrives r-nulklinerne:<br />
r<br />
(0, 0)<br />
dr<br />
dt<br />
A<br />
= 0 ⇔ r = , b = 0<br />
B<br />
D<br />
= 0 ⇔ b = , r = 0<br />
C<br />
b = D<br />
C<br />
D<br />
C<br />
<br />
A<br />
, B<br />
r = A<br />
B<br />
Figur 5.5: <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>s nulkliner, retningsfelt og ligevægtspunkter<br />
b
78 KAPITEL 5. STABILITET<br />
Pilene p˚a figur 5.5 angiver, hvordan løsningskurverne løber og i hvilken retning.<br />
Endvidere angiver pilene langs r-aksen og b-aksens retning kun de tilfælde, hvor<br />
der henholdsvis ingen byttedyr er og rovdyr er. Dette kan tolkes ved, at hvis en<br />
population af rovdyr lever uden tilstedeværelse af byttedyr, vil rovdyrene p˚a et<br />
tidspunkt uddø. Ligeledes hvis en population af byttedyr lever uden rovdyr, vil<br />
populationen af byttedyr forøge sig.<br />
Ud fra figur 5.5 er det muligt at f˚a en idé om, hvordan løsningerne ser ud. Men<br />
det er ikke muligt at sige noget med sikkerhed. Vi vil derfor g˚a videre ved at<br />
konstruere en Lyapunov-funktion.<br />
5.2.2 Lukkede kurver og Lyapunov-funktionen<br />
Ud fra linearisering var vi ikke i stand til at konkludere noget, om <strong>Lotka</strong>-<br />
<strong>Volterramodellen</strong>s opførsel omkring ligevægtspunktet <br />
D A<br />
C , B . Vi vil derfor<br />
forsøge at finde en Lyapunov-funktion.<br />
S˚adan som modellen er opstillet, er bestanden af byttedyr afhængig af rovdyrbestandens<br />
størrelse. P˚a samme vis er populationen af rovdyr afhængig af populationen<br />
af byttedyr. Dette kan opstilles som følgende:<br />
dr<br />
db =<br />
= (Cb − D)r<br />
dr<br />
dt<br />
db<br />
dt<br />
, (som angivet i differentialligningssystem (4.8))<br />
(A − Br)b<br />
Ifølge appendix A.1 kan separationsreglen benyttes, da (Cb − D)r og (A − Br)b<br />
er kontinuerte, og (Cb − D)r, (A − Br)b > 0 for alle andre punkter end (0, 0).<br />
Ved benyttelse af separationsreglen f˚as:<br />
A<br />
r<br />
<br />
− B<br />
dr =<br />
<br />
C − D<br />
<br />
b<br />
db ⇔<br />
A ln(r) − Br + k1 = Cb − D ln(b) + k2, hvor k1, k2 ∈ R ⇔<br />
A ln(r) + D ln(b) = k3 + Br + Cb, hvor k3 = k1 + k2 ⇔<br />
ln(r A ) + ln(b D ) = k3 + Br + Cb ⇔<br />
ln(r A b D ) = k3 + Br + Cb ⇔<br />
r A b D = e k3+Br+Cb ⇔<br />
r A b D<br />
eBr+Cb = k, hvor k = ek3 ⇔ (5.12)<br />
rA Cb e<br />
= k<br />
eBr bD <br />
(5.13)<br />
Betragtes funktionerne g(b) = bD<br />
eCb og h(r) = rA<br />
eBr , s˚a gælder fra ligning (5.13),<br />
at k = g(b)h(r). Ved at undersøge g ′ og g ′′ kan g’s maksima findes:<br />
g(b) = bD<br />
e Cb = bD e −Cb ⇒<br />
g ′ (b) = Db D−1 e −Cb − b D Ce −Cb = e −Cb b D−1 (D − Cb)
5.2 <strong>Lotka</strong>-Volterra 79<br />
M b<br />
n<br />
()<br />
g(b)<br />
b1Db2 C<br />
Figur 5.6: Funktionen g(b) = bD<br />
e Cb<br />
Herefter bestemmes, hvorn˚ar g ′ (b) = 0:<br />
b<br />
g ′ (b) = 0 ⇒ b = D<br />
C<br />
M r<br />
o<br />
()<br />
h(r)<br />
r1Ar2 B<br />
Figur 5.7: Funktionen h(r) = rA<br />
e Br<br />
∨ b = 0<br />
Til sidst undersøges g ′′ i de to punkter:<br />
g ′′<br />
<br />
D<br />
< 0<br />
C<br />
og g ′′ (0) = 0<br />
Heraf fremg˚ar det, at g ′′ har maksimum i b = D<br />
C<br />
har maksimum i A<br />
B<br />
. P˚a samme m˚ade findes, at h<br />
. Figur 5.6 og 5.7 viser afbildninger af begge funktioner samt<br />
deres maksima i ( D<br />
C , Mb) og ( A<br />
B , Mr). Hvis k > MbMr, har ligning (5.13) ingen<br />
løsning. Hvis k = MbMr, s˚a har ligning (5.13) præcis én løsning, hvor b = D<br />
C og<br />
r = A<br />
B . Det eneste tilfælde, der mangler, er det tilfælde, hvor k < MbMr. Lad<br />
k = nMr for n < Mb. S˚a har n = g(b) = bD<br />
e Cb to løsninger b1, b2, hvorom der<br />
gælder, at b1 < D<br />
eller b > b2, s˚a der gælder, at<br />
Det giver, at<br />
C , og b2 > D<br />
C<br />
, som vist i figur 5.6. I de tilfælde, hvor b < b1<br />
bD eCb<br />
< n ⇔ 1 < n<br />
eCb bD h(r) = rA<br />
Cb e<br />
= k<br />
eBr bD <br />
= Mr<br />
eCb n > Mr<br />
bD Dette er ikke en løsning. Er b = b1, eller b = b2, har ligning (5.13) en løsning,<br />
hvilken er r = A<br />
B . I det sidste tilfælde, hvor b1 < b < b2 har ligningen (5.13)<br />
to løsninger. Begge løsninger er vist som r1 og r2 i figur 5.7. Dette indikerer,<br />
at ligning (5.13) beskriver en lukket kurve, da funktionerne g(b) og h(r) kan<br />
betragtes, som pr<strong>of</strong>ilen eller et tværsnit af grafen for funktionen g(b)h(r), hvis<br />
niveaukurver er løsninger i differentialligningssystem (4.8), jf. figur 5.8.<br />
Endvidere kan ligning (5.12) betragtes som en funktion:<br />
L(b, r) = rAbD = k (5.14)<br />
eBr+Cb r
80 KAPITEL 5. STABILITET<br />
S˚aledes kan vi konstruere en Lyapunov-funktion for systemet<br />
<br />
˜L(b,<br />
D A<br />
r) = −L(b, r) + L ,<br />
C B<br />
D = −rAbD +<br />
eBr+Cb A<br />
B<br />
A D<br />
C<br />
e A+D<br />
Dette er en Lyapunov-funktion, da ˜ L for det første opfylder, at<br />
<br />
˜L<br />
D A D A D A<br />
, = −L , + L , = 0<br />
C B C B C B<br />
For det andet fordi ˜ L er C 1 , hvilket betyder, at de partielle afledede eksisterer<br />
og er kontinuerte:<br />
∂ ˜ L<br />
∂b (b, r) = −rADbD−1e Br+Cb + rAbDCe Br+Cb<br />
(eBr+Cb ) 2<br />
= rA b D C − r A Db D−1<br />
e Br+Cb<br />
∂ ˜ L<br />
∂r (b, r) = −ArA−1bDeBr+Cb + rAbDBe Cb+Br<br />
(eBr+Cb ) 2<br />
= rA b D B − Ar A−1 b D<br />
e Br+Cb<br />
Da de enkelte led er kontinuerte f˚as af sætning 3.22 i [Wad04], at hele udtrykket<br />
er kontinuert. Da ˜ L er konstant p˚a alle punkter i en løsning, understøtter<br />
dette yderligere, at systemet har lukkede løsningskurver, da det ikke indeholder<br />
grænsecykler, dvs. lukkede kurver af α- eller ω-grænsepunkter, jf. korollar 5, s.<br />
230 i [HSD04].<br />
Eftersom vi har fundet en Lyapunov-funktion for ligevægtspunktet D<br />
C<br />
det i henhold til sætning 5.7 stabilt.<br />
Figur 5.8: En 3D-illustration af niveaukurver for L(b, r)<br />
<br />
A , B , er
5.3 Opsummering 81<br />
5.3 Opsummering<br />
Vi startede kapitlet med at definere tre former for stabilitet, som et ligevægtspunkt<br />
kan befinde sig i. Derefter gennemgik vi to metoder til stabilitetsundersøgelse,<br />
nulkliner og Lyapunov-funktionen. Dernæst benyttede vi de to metoder<br />
p˚a <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>. Først fandt vi systemets nulkliner, og ud fra dem<br />
fik vi en idé om, hvordan løsninger til systemet kunne se ud.<br />
For at f˚a et mere sikkert billede af det, kiggede vi Lyapunov-funktionen for det<br />
ene ligevægtspunkt. Derigennem n˚aede vi frem til, at systemets løsninger er<br />
lukkede kurver omkring ligevægtspunktet. For at undersøge systemet yderligere<br />
vil vi i næste kapitel gennemg˚a to numeriske metoder og anvende disse p˚a <strong>Lotka</strong>-<br />
<strong>Volterramodellen</strong>.
Kapitel 6<br />
Numerisk approksimation<br />
Det er <strong>of</strong>te ikke muligt at bestemme eksakte løsninger til differentialligninger. I<br />
s˚a fald kan det forsøges at approksimere en løsning. Vi vil i de følgende afsnit<br />
gennemg˚a forskellige metoder til approksimation af differentialligninger. Først<br />
introduceres Eulers metode efterfulgt af Runge-Kuttametoderne. Approksimationsmetoderne<br />
anvender Taylors formel, som forefindes i appendiks A.4.<br />
6.1 Eulers metode<br />
Dette afsnit er baseret p˚a [Tur00] og [EP01]. Taylorapproksimation anvendes til<br />
Eulers metode. Som udgangspunkt betragtes et 1. ordens begyndelsesværdiproblem,<br />
der er p˚a følgende form:<br />
dx<br />
dt = f(t, x), hvor x(t0) = x0, f er C 1<br />
Ideen er, at der til udvalgte punkter t1, t2, . . . , tn, bestemmes en række værdier<br />
x1, x2, . . . , xn, som approksimerer de eksakte værdier x(t1), x(t2), . . . , x(tn) af<br />
løsningen x(t). Punkterne t1, t2, . . . , tn bestemmes udfra en valgt skridtlængde<br />
h > 0, s˚aledes at ti+1 = ti + h for i = 1, 2, . . . , n − 1.<br />
Ud fra begyndelsesbetingelsen er t0 og x0 kendte. For at bestemme x1 anvendes<br />
en 1. ordens Taylorapproksimation af x(t1):<br />
x(t1) = x(t0 + h) ≈ x0 + h dx<br />
= x0 + hf(t0, x0)<br />
dt0<br />
Denne approksimation betegnes x1:<br />
x1 = x0 + hf(t0, x0)<br />
Ud fra x1 er det muligt at bestemme x2:<br />
x2 = x1 + hf(t1, x1)<br />
Der fortsættes p˚a samme m˚ade, og den generelle formel for at finde approksimationen<br />
xk+1 bliver s˚aledes:<br />
xk+1 = xk + hf(tk, xk) (6.1)
84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATION<br />
6.1.1 Afvigelse ved Eulers metode<br />
Da Eulers metode kun er en approksimation af de egentlige værdier<br />
x1(t), x2(t), . . . , xn(t), vil der være en afvigelse. Der er flere faktorer, der bidrager<br />
til denne afvigelse.<br />
Afvigelsen i følgende lineære approksimationsformel kan bestemmes ved<br />
de = x(tk+1) − xk+1:<br />
x(tk+1) ≈ xk + hf(tk, xk) = xk+1<br />
Denne form for afvigelse betegnes ogs˚a en lokal fejl, da afvigelsens størrelse er<br />
lokalt til punktet tk+1, hvor x(tk+1) skal approksimeres.<br />
Hvert skridt i approksimationsprocessen resulterer i en ny afvigelse. S˚aledes er<br />
en afvigelse, som fremkommer tidligt i forløbet, med til at afgøre, hvordan de<br />
efterfølgende approksimationsresultater bliver. Dette fænomen kaldes ogs˚a for<br />
global fejl.<br />
En m˚ade at begrænse afvigelsen p˚a er, at lade approksimationsprocessen iterere<br />
over flere skridt, hvilket indebærer, at afvigelsen for de enkelte skridt bliver<br />
mindre og dermed giver en mindre afvigelse for et stort antal iterationer.<br />
For at give et estimat af hvad der sker med afvigelsen, n˚ar antallet af skridt<br />
forøges, skal 2. ordens Taylorpolynomiet betragtes med restled R1:<br />
x(t1) = x0 + x ′ (t0)h + 1<br />
2 x′′ (c)h 2 ,<br />
hvor R1 = 1<br />
2 x′′ (c)h 2 , og c ligger mellem t1 og t0<br />
Herefter vurderes den numeriske værdi af restleddet opadtil. Funktionen x ′′ er<br />
kontinuert p˚a en lukket og begrænset mængde, da f er C 1 . Dermed følger det,<br />
at<br />
|R1| = |x1 − x(t1)| ≤ 1<br />
2 Mh2 , hvor M = sup x<br />
c mellem t1 og t0<br />
′′ (c).<br />
Dette viser, at afvigelsen for en lokal fejl er i størrelsesordenen O(h 2 ). Herefter<br />
bestemmes, hvor stor den globale fejl kan blive. For n iterationer med<br />
skridtlængde h er nh = b − a, hvor x0 = a og xn−1 = b. Den globale fejl E<br />
kan derfor bestemmes ved<br />
E = nMh 2 = M(b − a)h (6.2)<br />
Den globale fejl angives med O-notation. Af ligning (6.2) f˚as, at den globale<br />
fejl kun er i størrelsesordenen O(h). Heraf fremg˚ar det, at n˚ar h formindskes,<br />
forbedres approksimationen.<br />
6.2 Runge-Kuttametoder<br />
En anden iterationsmetode kaldes for Runge-Kuttaapproksimation. Denne<br />
metode tager samme udgangspunkt som Eulers metode, hvor der ønskes at approksimere<br />
løsningen x(t), s˚aledes følgende er opfyldt:<br />
dx<br />
dt = f(t, x), x(t0) = x0
6.2 Runge-Kuttametoder 85<br />
For 2. ordens Runge-Kuttametode skal f være C 2 , mens f skal være C 4 for 4.<br />
ordens Runge-Kuttametode. Dette er nødvendigt for at kunne anvende Taylors<br />
formel.<br />
Fordelen ved at benytte Runge-Kuttametoderne er, at de er mere præcis end<br />
Eulers metode. Forbedringerne ligger i at i stedet for at give en approksimation<br />
over et interval h, tilføjer Runge-Kuttametoderne flere punkter og afledede i<br />
intervallet, s˚a approksimationen bliver mere nøjagtig.<br />
Det, der efterfølgende bliver introduceret, er 2. ordens Runge-Kuttametode for<br />
at give et indtryk af, hvordan metoden fungerer. Her benyttes den afledte i<br />
intervallets startpunkt til at finde et punkt midt i intervallet, og efterfølgende<br />
benyttes midtpunktets afledte at approksimere funktionsværdien i intervallets<br />
slutpunkt.<br />
Efter 2. ordens bliver 4. ordens Runge-Kuttametode introduceret. Denne bliver<br />
efterfølgende anvendt til at approksimere <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>, da den er<br />
den mest nøjagtige af disse to.<br />
2. ordens Runge-Kuttametode er baseret p˚a 2. ordens Taylorpolynomier. Antag,<br />
at approksimationerne x1, x2, . . . , xn er bestemt, og at det ønskes at bestemme<br />
xn+1 ≈ x(tn+1).<br />
Betragt det følgende 2. ordens Taylorpolynomium:<br />
x(t1) ≈ x0 + hx ′ (t0) + h2<br />
2 x′′ (t0) (6.3)<br />
Lad k1 = f(t0, x0), hvorved der ud fra et trin af længden αh f˚as, at<br />
x(t0 + αh) ≈ x0 + αhk1<br />
Sæt k2 = f(t0 + αh, x0 + αhk1). Der gælder s˚a, at<br />
x ′′<br />
0 ≈ x′ (t0 + αh) − x ′ (t0)<br />
αh<br />
≈ hf(t0 + αh, x0 + αhk1) − f(t0, x0)<br />
αh<br />
= k2 − k1<br />
αh<br />
Den approksimerede værdi af x(t1) bliver s˚aledes<br />
x1 = x0 + hk1 + h2<br />
=<br />
<br />
k2 − k1<br />
2 αh<br />
<br />
x0 + h k1 1 − 1<br />
<br />
+<br />
2α<br />
k2<br />
<br />
2α<br />
(6.4)<br />
(6.5)<br />
Tilsvarende giver ligning (6.5) efter n iterationer<br />
<br />
xn+1 = xn + h k1 1 − 1<br />
<br />
+<br />
2α<br />
k2<br />
<br />
k1 = f(tn, xn)<br />
, hvor<br />
2α<br />
k2 = f (xn + αh, xn + αhk1)<br />
Ovenst˚aende er den generelle formel for 2. ordens Runge-Kuttametode. Med<br />
Runge-Kuttametoden bliver approksimationen bedre jo højere orden, der anvendes.<br />
Den mest anvendte Runge-Kuttametode er 4. ordens, som er givet ved
86 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATION<br />
følgende:<br />
xn+1 = xn + h k1 + 2(k2 + k3) + k4<br />
, hvor<br />
6<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
k1 = f(tn, xn)<br />
k2 = f(tn + h<br />
2 , xn + h<br />
2 k1)<br />
k3 = f(tn + h<br />
2 , xn + h<br />
2 k2)<br />
k4 = f(tn + h, xn + hk3)<br />
(6.6)<br />
Her er k1, k2, k3 og k4 hældninger, hvilke er estimater p˚anær k1 ved den første<br />
approksimation.<br />
6.2.1 Afvigelse ved Runge-Kuttametoder<br />
Ligesom i Eulers metode angiver vi afvigelsen og fejlen ved hjælp af O-notation.<br />
Fejlens størrelse angives med hensyn til skridtlængden h. Det gøres først for 2.<br />
ordens og efterfølgende for 4. ordens Runge-Kuttametoden.<br />
For 2. ordens Runge-Kuttametoden følger fra ligning (6.4), at den har en fejl af<br />
størrelsesordenen O(h). Fra ligning (6.3) følger, at restleddene er af størrelsesordenen<br />
O(h 3 ), da ligning (6.4) bliver multipliceret med h 2 .<br />
Argumentationen følger analogt for 4. ordens Runge-Kuttametoden. Den globale<br />
fejl bestemmes her til O(h 4 ). Det følger af, at for det enkelte skridt er restleddet<br />
af størrelsesordenen O(h 5 ) ≈ Ch 5 , hvor C ∈ R, eftersom<br />
Ch 5 N = (b − a)Ch 5 = Ch 4<br />
Det skyldes, at N = b − a, og h = b−a<br />
N . Som følge deraf bliver den samlede rest<br />
af størrelsesordenen O(h4 ).<br />
6.3 <strong>Lotka</strong>-Volterra<br />
Vi benytter i dette afsnit de metoder, som blev gennemg˚aet ovenfor, til at approksimere<br />
en løsning til <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>. Der vurderes ogs˚a p˚a, hvor<br />
gode metoderne er.<br />
6.3.1 Eulers metode<br />
I dette afsnit anvendes Eulers metode p˚a <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>. Som tidligere<br />
nævnt indeholder modellen to variable, b og r:<br />
⎫<br />
db<br />
= (A − Br)b ⎪⎬<br />
dt<br />
hvor A, B, C, D ∈ R+ (6.7)<br />
dr<br />
= (Cb − D)r<br />
⎪⎭<br />
dt<br />
Derfor f˚as ved sætte h = ∆t og anvende formel (6.1), at<br />
bk = bk−1 + (A − Brk−1)bk−1∆t<br />
rk = rk−1 + (Cbk−1 + D)rk−1∆t<br />
For at kunne udføre eksperimenter skal konstanterne A, B, C, D samt begyndelsesværdierne<br />
b(t0) = b0 og r(t0) = r0 være kendte.
6.3 <strong>Lotka</strong>-Volterra 87<br />
Selve eksperimentet med Eulers metode best˚ar af to test. I tabel 6.1 ses opsætningerne<br />
til hver test.<br />
1. Opsætning<br />
Konstant A 1<br />
Konstant B 1<br />
Konstant C 1<br />
Konstant D 1<br />
Skridtlængde ∆t 0.01<br />
Beg.-værdier (b0, r0) (1.2,0.7)<br />
Antal iterationer 20000<br />
2. Opsætning<br />
Konstant A 1<br />
Konstant B 1<br />
Konstant C 1<br />
Konstant D 1<br />
Skridtlængde ∆t 0.001<br />
Beg.-værdier (b0, r0) (1.2,0.7)<br />
Antal iterationer 20000<br />
Tabel 6.1: Opsætninger til eksperimentet med Eulers metode<br />
Herunder gennemløbes nogle iterationer med den første opsætning ved hjælp af<br />
Eulers metode:<br />
1. iteration:<br />
b1 = b0 + (A − Br0)b0∆t = 1, 2 + (1 − 1 · 0, 7)1, 2 · 0, 01 = 1, 2036<br />
r1 = r0 + (Cb0 − D)r0∆t = 0, 7 + (1 · 1, 2 − 1)0, 7 · 0, 01 = 0, 7014<br />
2. iteration:<br />
b2 = b1 + (A − Br1)b1∆t = 1, 2036 + (1 − 1 · 0, 7014)1, 2036 · 0, 01 = 1, 2072<br />
r2 = r1 + (Cb1 − D)r1∆t = 0, 7014 + (1 · 1, 2036 − 1)0, 7014 · 0, 01 = 0, 7028<br />
3. iteration:<br />
b3 = b2 + (A − Br2)b2∆t = 1, 2072 + (1 − 1 · 0, 7028)1, 2072 · 0, 01 = 1, 2108<br />
r3 = r2 + (Cb2 − D)r2∆t = 0, 7028 + (1 · 1, 2072 − 1)0, 7028 · 0, 01 = 0, 7043<br />
De efterfølgende approksimationer udregnes p˚a lignende vis. P˚a figur 6.1 og<br />
6.2 ses resultaterne for begge test med nævnte opsætninger. Ved en stor<br />
skridtlængde opn˚as nødvendigvis ikke en særlig præcis approksimation ved hver<br />
udregning, og da den efterfølgende approksimation er baseret p˚a den forrige<br />
udregning giver dette en spiralerende løsningskurve fremfor en lukket kurve.<br />
Hvis skridtlængden bliver tilstrækkeligt lille, som i den 2. opsætning, hvor den<br />
blev mindsket med en faktor 10, kommer den approksimerede løsning tættere p˚a<br />
den eksakte værdi. Det vises i figur 6.2, hvor løsningen bliver en lukket kurve.
88 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATION<br />
Figur 6.1: Eulerapproksimation<br />
med ∆t = 0.01 for <strong>Lotka</strong>-<br />
<strong>Volterramodellen</strong><br />
6.3.2 Runge-Kuttametoder<br />
Figur 6.2: Eulerapproksimation<br />
med ∆t = 0.001 for <strong>Lotka</strong>-<br />
<strong>Volterramodellen</strong><br />
For at kunne sammenligne resultaterne fra Eulers metode er startopsætningen<br />
for de to test valgt til at være ens.<br />
1. Opsætning<br />
Konstant A 1<br />
Konstant B 1<br />
Konstant C 1<br />
Konstant D 1<br />
Skridtlængde ∆t 0.01<br />
Beg.-værdier (b0, t0) (1.2,0.7)<br />
Antal iterationer 20000<br />
2. Opsætning<br />
Konstant A 1<br />
Konstant B 1<br />
Konstant C 1<br />
Konstant D 1<br />
Skridtlængde ∆t 0.001<br />
Beg.-værdier (b0, t0) (1.2,0.7)<br />
Antal iterationer 20000<br />
Tabel 6.2: Opsætninger til eksperimentet med Runge-Kuttametoden<br />
For at vise hvordan Runge-Kuttametoden fungerer med den viste opsætning i<br />
tabel 6.2 laves et eksempel med to iterationer. S˚aledes bestemmes (b1, r1) og<br />
(b2, r2) ud fra begyndelsesværdien (b0, r0).<br />
I tabel 6.3 er resultaterne vist for de hældninger, som bruges til at udregne<br />
approksimationen. For en mere detaljeret udregning henvises til appendiks A.5.
6.4 Opsummering 89<br />
kb11 = 0, 36<br />
kr11 = 0, 14<br />
kb12 = 0, 3597<br />
kr12 = 0, 1414<br />
kb13 = 0, 3597<br />
kr13 = 0, 1414<br />
kb14 = 0, 3594<br />
kr14 = 0, 1428<br />
b1 = 1, 2036<br />
r1 = 0, 7014<br />
kb21 = 0, 3594<br />
kr21 = 0, 1428<br />
kb22 = 0, 3591<br />
kr22 = 0, 1442<br />
kb23 = 0, 3590<br />
kr23 = 0, 1442<br />
kb24 = 0, 3587<br />
kr24 = 0, 1456<br />
b2 = 1, 2072<br />
r2 = 0, 7029<br />
Tabel 6.3: Testresultat for Runge-Kuttametoden af 4. orden<br />
Tabel 6.3 viser approksimationen af to punkter. De efterfølgende approksimationer<br />
udregnes p˚a samme m˚ade. Figurerne 6.3 og 6.4 viser resultaterne for<br />
henholdsvis ∆t = 0, 01 og ∆t = 0, 001.<br />
Figur 6.3: Runge-Kuttametode med<br />
∆t = 0, 01<br />
Figur 6.4: Runge-Kuttametode med<br />
∆t = 0, 001<br />
Til forskel fra Eulers metode bemærkes det, at i dette tilfælde er approksimationerne<br />
s˚a præcise, at en formindskning af skridtlængden ikke har s˚a stor en<br />
betydning. Dette viser, at Runge-Kuttametoderne har en større præcision end<br />
Eulers metode.<br />
6.4 Opsummering<br />
I dette kapitel har vi gennemg˚aet de numeriske metoder, Eulers metode og<br />
Runge-Kuttametoder. Ved Eulers metode n˚aede vi frem til, at skridtlængden<br />
har stor betydning for resultatet. Vi n˚aede frem til dette, da metoden ved<br />
en stor skridtlængde gav en spiralerende kurve, hvorimod det ved en mindre<br />
skridtlængde gav en lukket kurve. Skridtlængden havde derimod ikke den<br />
store betydning i Runge-Kuttametoderne, eftersom det ved begge de valgte<br />
skridtlængder gav lukkede kurver.<br />
Vi kunne derefter sammenligne de to metoder, og hvor godt de approksimerede<br />
en løsning til <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>. Vi n˚aede derigennem frem til, at Runge-
90 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATION<br />
Kuttametoderne er mere præcise end Eulers metode, hvilket fremg˚ar af en sammenligning<br />
af størrelsesordenen af den globale fejl for hver af metoderne.
Kapitel 7<br />
Afrunding<br />
Vi har i denne rapport arbejdet med dynamiske systemer. Vi valgte at beskæftige<br />
os med det dynamiske system, som beskriver samspillet mellem rovdyr og byttedyr.<br />
Først lagde vi ud med en række grundlæggende begreber i forhold til 1.<br />
ordens differentialligninger. Ud fra den gennemg˚aede teori om differentialligninger<br />
opstillede vi to differentialligninger. Én for væksthastigheden for rovdyrene,<br />
n˚ar de lever isolerede, og én for byttedyrene, n˚ar de lever isolerede.<br />
For at være i stand til at tale om entydige løsninger til differentialligninger var<br />
det nødvendigt at bevise eksistens- og entydighedssætningen. Det er ogs˚a herp˚a,<br />
fokus i rapporten har ligget. For at kunne bevise den sætning m˚atte vi gennemg˚a<br />
teori vedrørende metriske rum samt bevise Banachs fikspunktssætning.<br />
Herefter beviste vi eksistens- og entydighedssætningen. For at kunne benytte<br />
sætningen skal en række betingelser for differentialligningssystemet være opfyldt.<br />
Det skal være kontinuert og opfylde en lokal Lipschitz-betingelse. Efterfølgende<br />
beskæftigede vi os med et par eksempler. Det første eksempel illustrerede,<br />
at der kun med sikkerhed er en lokal løsning, n˚ar sætningen gælder. Det<br />
andet eksempel illustrerede et tilfælde, hvor en differentialligning ikke opfylder<br />
en lokal Lipschitz-betingelse. I dette eksempel var der uendelig mange forskellige<br />
løsninger.<br />
Vi behandlede dernæst plane, lineære systemer af 1. ordens autonome differentialligninger.<br />
Vi definerede ligevægtspunkter samt løsninger til et s˚adant system.<br />
Til slut i kapitlet opstillede vi en spor-determinantplan, ud fra hvilken det er<br />
muligt at udtale sig om løsningernes opførsel ved kendskab til systemets egenværdier.<br />
Teorien om plane, lineære systemer blev dernæst brugt i forbindelse med linearisering.<br />
Før vi kunne g˚a i gang med linearisering, m˚atte vi definere differentiabilitet<br />
for en vektorfunktion. Dette gjorde os i stand til at udtale os om,<br />
hvorn˚ar de partielle afledede eksisterer, og taget i et bestemt punkt udgør de<br />
Jacobimatricen.<br />
Vi valgte at gennemg˚a det tilfælde, hvor det lineariserede system har et ligevægtspunkt<br />
med sadelopførsel, eftersom dette havde mest relevans i forhold<br />
til <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>. I forbindelse med denne udledte vi ved hjælp af<br />
væksthastigheden for henholdsvis rovdyrene og byttedyrene en model, hvor<br />
rovdyrene og byttedyrene p˚avirker hinandens eksistens. Modellens to ligevægtspunkter<br />
blev beregnet. I det ene kunne systemet lineariseres. Men ud fra Jacobimatricen<br />
blev det klart, at det andet ligevægtspunkt ikke var hyperbolsk, s˚a
92 KAPITEL 7. AFRUNDING<br />
derfor kunne det ikke lineariseres.<br />
Vi gik derfor videre med to metoder til stabilitetsundersøgelse for at f˚a et mere<br />
præcist indblik i systemets opførsel omkring det ikke-hyperbolske ligevægtspunkt.<br />
Først definerede vi tre former for stabilitet, som et ligevægtspunkt kan<br />
befinde sig i. Dernæst blev teorien omhandlende nulkliner gennemg˚aet. Herunder<br />
hvordan de findes, og hvad der kan tolkes ud fra dem.<br />
Herefter beskæftigede vi os med en anden metode til stabilitetsundersøgelse,<br />
Lyapunov-funktioner. Først definerede vi, hvad en Lyapunov-funktion er, og<br />
dernæst beviste vi Lyapunovs sætning. De nødvendige værktøjer var hermed<br />
blevet introduceret, og de kunne dernæst anvendes p˚a <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>.<br />
Først fandt vi systemets nulkliner og optegnede retningsfeltet med nulklinerne.<br />
Det var herigennem muligt at f˚a et indblik i løsningernes opførsel omkring<br />
ligevægtspunkterne. For at f˚a større indsigt i løsningernes opførsel konstruerede<br />
vi en Lyapunov-funktion for det ikke-hyperbolske ligevægtspunkt. Derigennem<br />
kunne vi konkludere, at løsningerne enten var spiralerende eller lukkede kurver.<br />
Her sandsynliggjorde vi, at løsningerne omkring dette ligevægtspunkt var<br />
lukkede kurver.<br />
Efter dette gennemgik vi nogle numeriske approksimationsmetoder, Eulers<br />
metode og Runge-Kuttametoder. Vi anvendte først Eulers metode p˚a <strong>Lotka</strong>-<br />
<strong>Volterramodellen</strong> og n˚aede frem til, at hvis skridtlængden blev valgt tilpas<br />
lille, fik vi en lukket kurve. Efterfølgende benyttede vi 2. og 4. ordens Runge-<br />
Kuttametoderne p˚a <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>. Her n˚aede vi ligeledes frem til, at<br />
løsningskurverne var lukkede kurver.<br />
Vi har dermed bearbejdet <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong> p˚a baggrund af samtlige emner,<br />
som vi har beskæftiget os med i denne rapport. Vi har s˚aledes f˚aet et klart<br />
billede af, hvordan modellen opfører sig.
Litteratur<br />
[Axl97] Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right. Springer, second edition,<br />
1997. ISBN 0-387-98258-2.<br />
[CF99] Jens Carstensen and Jesper Frandsen. Mat 3H. Forlaget Systime A/S,<br />
first edition, 1999. ISBN 87-616-0055-5.<br />
[Che] W W L Chen. Linear functional analysis. http://www.maths.mq.<br />
edu.au/~wchen/lnlfafolder/lfa07-ilt.pdf.<br />
[Coh03] Graeme Cohen. A Course in Modern Analysis and its Applications.<br />
Cambridge University Press, first edition, 2003. ISBN 0-521-52627-2.<br />
[Cor06] Horia D. Cornean. On 2d systems <strong>of</strong> first order linear ode’s, 2006.<br />
[CR05] Henrik Vie Christensen and Bo Rosbjerg. Kompendium i komplekse<br />
tal og differentialligninger. 2005.<br />
[EP01] C. Henry Edwards and David E. Penney. Differential Equations &<br />
Linear Algebra. Prentice Hall International, Inc., international edition,<br />
2001. ISBN 0-13-090362-0.<br />
[HSD04] Morris W. Hirsch, Stephen Smale, and Robert L. Devaney. Differential<br />
Equations, Dynamical Systems & An Introduction to Chaos. Elsevier<br />
Academic Press, second edition, 2004. ISBN 0-12-349703-5.<br />
[Jen93] Arne <strong>Jensen</strong>. Fixpunktsætningen og eksistens af løsning til sædvanlig<br />
differentialligning, 1993.<br />
[Jen00] Helge Elbrønd <strong>Jensen</strong>. Matematisk analyse 1. Notex Tryk & Design,<br />
fourth edition, 2000. ISBN 87-88764-56-7.<br />
[KJ06] Werner Kohler and Lee Johnson. Elementary Differential Equations<br />
with Boundary Value Problems. Pearson Addison Wesley, second edition,<br />
2006. ISBN 0-321-28835-1.<br />
[Lay03] David C. Lay. Linear Algebra and It’s Applications. Pearson Education,<br />
international edition, 2003. ISBN 0-321-14992-0.<br />
[Tur00] Peter R. Turner. Guide to Scientific Computing. Macmillan Press Ltd,<br />
second edition, 2000. ISBN 0-333-79450-8.<br />
[Wad04] William R. Wade. An Introduction To Analysis. Pearson Prentice Hall,<br />
third edition, 2004. ISBN 0-13-124683-6.
[Wei91] Giordano Weir. Differential Equations. Addison Wesley, third edition,<br />
1991. ISBN 0-201-17208-9.<br />
[Wik] Den Frie Encyklopædi Wikipedia. Eulers formel. http://da.<br />
wikipedia.org/wiki/Eulers_formel.
Bilag A<br />
Appendiks<br />
A.1 Separation af de variable<br />
Dette appendiks er baseret p˚a [CF99].<br />
Sætning A.1 Separation af de variable<br />
Lad funktionen h være kontinuert i intervallet I, og lad funktionen g<br />
være kontinuert i intervallet J. Funktionen g skal desuden opfylde, at<br />
g(x) = 0 for alle x ∈ J. Lad f : I → J være en funktion. Da gælder,<br />
at<br />
x = f(t) er løsning til<br />
x = f(t) er løsning til<br />
dx<br />
= h(t)g(x) ⇔<br />
dt<br />
<br />
1<br />
dx = h(t)dt<br />
g(x)<br />
Bevis. Det antages, at h er kontinuert p˚a intervallet I, og at g er kontinuert<br />
og forskellig fra 0 p˚a intervallet J.<br />
Der tages udgangspunkt i udtrykket dx<br />
dt = h(t) · g(x). Eftersom g(x) = 0 for alle<br />
x ∈ J, er det tilladt at dividere g(x) over p˚a den anden side:<br />
dx<br />
dt<br />
1 dx<br />
= h(t)g(x) ⇔ = h(t)<br />
g(x) dt<br />
Herefter erstattes x med f(t) og dx<br />
dt med f ′ (t):<br />
1 dx<br />
= h(t) ⇔<br />
g(x) dt<br />
1<br />
g(f(t)) f ′ (t) = h(t) (A.1)<br />
Eftersom g er kontinuert og forskellig fra 0 i intervallet J, betyder det i henhold<br />
til sætning 3.22 i [Wad04], at funktionen 1<br />
g(x) ogs˚a er kontinuert p˚a J. Det er<br />
derfor muligt at finde en stamfunktion G hertil, jf. sætning 5.10 i [Wad04]:<br />
<br />
1<br />
G(x) =<br />
g(x) dx ⇔ G′ (x) = 1<br />
g(x)
Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′f(t) f ′ 1 (t) = f<br />
g f(t)<br />
′ (t). Derfor er det muligt at<br />
erstatte venstresiden i (A.1) med (G ◦ f) ′ (t).<br />
Da h er kontinuert p˚a intervallet I, har den ogs˚a en stamfunktion H. Dermed<br />
er det muligt at erstatte højresiden i (A.1) med H ′ (t):<br />
1<br />
g f(t) f ′ (t) = h(t) ⇔<br />
(G ◦ f) ′ (t) = H ′ (t) ⇔<br />
(G ◦ f) ′ (t) − H ′ (t) = 0<br />
Ifølge sætning 4.10 i [Wad04] er det tilladt at samle (G ◦ f) ′ (t) − H ′ (t):<br />
Herefter indsættes, at f(t) = x:<br />
(G ◦ f) ′ (t) − H ′ (t) = 0 ⇔<br />
(G ◦ f)(t) − H(t) ′ = 0 ⇔<br />
G f(t) − H(t) = k, k ∈ R<br />
G f(t) − H(t) = k ⇔<br />
G(x) − H(t) = k ⇔<br />
G(x) = H(t) + k ⇔<br />
<br />
<br />
1<br />
dx = h(t)dt<br />
g(x)<br />
Den sidste biimplikation følger af definitionen af G og H.
A.2 Kædereglen<br />
Dette appendiks er baseret p˚a [Wad04].<br />
Sætning A.2 Kædereglen for vektorfunktioner<br />
Lad a ∈ R n og lad g : R n → R m og f : R m → R p være vektorfunktioner.<br />
Hvis g er differentiabel i a, og f er differentiabel i g(a), s˚a er f ◦ g<br />
differentiabel i a, og<br />
D(f ◦ g)(a) = Df g(a) Dg(a)<br />
Bevis. Sæt T = Df g(a) Dg(a). Det er værd at bemærke, at matricen T<br />
har den rette størrelse til at være Jacobimatricen for f ◦ g(a). Dette skyldes, at<br />
T er produktet mellem en (p × m)-matrix og en (m × n)-matrix, s˚aledes bliver<br />
T en (p × n)-matrix.<br />
Jacobimatricen for en vektorfunktion i et punkt er entydig. Det følger heraf, at<br />
det, der skal vises, er, at<br />
f(g(a + h)) − f(g(a)) − T (h)<br />
lim<br />
= 0<br />
h→0<br />
||h||<br />
For at vise at ovenst˚aende gælder, sættes b = g(a). For h og k tilstrækkeligt<br />
sm˚a, sættes ε(h) og δ(k) til følgende:<br />
ε(h) = g(a + h) − g(a) − Dg(a)(h)<br />
δ(k) = f(b + k) − f(b) − Df(b)(k)<br />
Da g er differentiabel i a, følger at ε(h)<br />
||h|| → 0 i Rm , n˚ar h → 0 i Rn . P˚a samme<br />
m˚ade følger, at δ(k)<br />
||k|| → 0 i Rp , n˚ar k → 0 i Rm , idet f er differentiabel i g(a).<br />
Lad h være tilstrækkelig lille, og lad k være givet ved:<br />
k = g(a + h) − g(a)<br />
.<br />
Der omskrives nu p˚a udtrykket f(g(a + h)) − f(g(a)). Først trækkes g(a) fra og<br />
lægges til igen:<br />
f(g(a + h)) − f(g(a)) = f(g(a) + g(a + h) − g(a)) − f(g(a))<br />
Herefter indsættes at b = g(a), og k = g(a + h) − g(a):<br />
f(g(a) + g(a + h) − g(a)) − f(g(a)) = f(b + k) − f(b)<br />
Da δ(k) = f(b + k) − f(b) − Df(b)(k), f˚as at<br />
Det indsættes, at k = g(a + h) − g(a):<br />
f(b + k) − f(b) = Df(b)(k) + δ(k)<br />
Df(b)(k) + δ(k) = Df(b)(g(a + h) − g(a)) + δ(k)
Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a) − Dg(a)(h) og b = g(a), f˚as at<br />
Df(b)(g(a + h) − g(a)) + δ(k) =<br />
Df(g(a))(Dg(a)(h) + ε(h)) + δ(k)<br />
Udtrykket Df(g(a)) ganges ind i parentesen:<br />
Df(g(a))(Dg(a)(h) + ε(h)) + δ(k) =<br />
Df(g(a))(Dg(a)(h)) + Df(g(a))(ε(h)) + δ(k)<br />
Da T = Df g(a) Dg(a) og b = g(a), f˚as at<br />
Det følger heraf, at<br />
Df(g(a))(Dg(a)(h) + Df(g(a))(ε(h)) + δ(k) =<br />
T (h) + Df(b)(ε(h)) + δ(k)<br />
f(g(a + h)) − f(g(a)) − T (h) = Df(b)(ε(h)) + δ(k)<br />
For at gøre beviset færdigt sættes<br />
Nu skal det blot vises, at<br />
T1(h) = Df(b)(ε(h)) T2(h) = δ(k)<br />
Tj(h)<br />
||h||<br />
Da Df(b) er en lineær operator, gælder at<br />
Det vides, at ε(h)<br />
||h||<br />
T1(h)<br />
||h||<br />
→ 0, n˚ar h → 0 for j = 1, 2.<br />
= Df(b)(ε(h))<br />
||h||<br />
= Df(b)<br />
<br />
ε(h)<br />
||h||<br />
→ 0 n˚ar h → 0. Enhver lineær operator afbilleder 0 over i<br />
0, jf. proposition 3.1 i [Axl97]. Eftersom der ifølge [Che] gælder, at Df(b) er<br />
kontinuert i 0, f˚as at<br />
<br />
ε(h)<br />
Df(b) → 0, n˚ar h → 0<br />
||h||<br />
For at bevise at T2(h)<br />
||h||<br />
Derfor bestemmes normen af k:<br />
||k||<br />
→ 0, n˚ar h → 0, skal det først vises, at ||h|| er begrænset.<br />
||k|| = ||g(a + h) − g(a)||<br />
Da ε(h) = g(a + h) − g(a) − Dg(a)(h), f˚as at<br />
||k|| = ||Dg(a)(h) + ε(h)||<br />
Trekantsuligheden anvendes p˚a dette udtryk:<br />
||Dg(a)(h) + ε(h)|| ≤ ||Dg(a)(h)|| + ||ε(h)||
Eftersom Dg(a) er en lineær operator, kan sætning 8.17 i [Wad04] anvendes:<br />
||Dg(a)(h)|| + ||ε(h)|| ≤ ||Dg(a)|| · ||h|| + ||ε(h)||<br />
Samlet set gælder derfor følgende:<br />
Udtrykket ||k||<br />
||h||<br />
||k|| ≤ ||Dg(a)|| · ||h|| + ||ε(h)||<br />
er begrænset, da<br />
∃µ ∈ R+ : ||k||<br />
||ε(h)||<br />
≤ ||Dg(a)|| + ≤ ||Dg(a)|| + 1 for ||h|| < µ<br />
||h|| ||h||<br />
Da ||k|| = ||g(a + h) − g(a)||, betyder det, at k → 0 i Rm , n˚ar h → 0 i Rn . Ved<br />
at forlænge brøken ||T2(h)||<br />
||h|| med ||k|| og indsætte, at T2(h) = δ(k) f˚as følgende:<br />
Da ||k||<br />
||h||<br />
0, gælder at<br />
T2(h)<br />
||h||<br />
||k|| ||δ(k)||<br />
= ·<br />
||h|| ||k||<br />
er begrænset, n˚ar h er tilstrækkelig lille, og grænseværdien til ||δ(k)||<br />
||k|| er<br />
T2(h)<br />
||h||<br />
||k|| ||δ(k)||<br />
= · → 0 n˚ar h → 0<br />
||h|| ||k||<br />
Det kan hermed konkluderes, at f ◦ g er differentiabel i punktet a, og Jacobimatricen<br />
er entydig bestemt ved Df(g(a))Dg(a). Hermed er sætningen bevist.
A.3 Middelværdisætning<br />
For at bevise den generaliserede middelværdisætning er det nødvendigt først at<br />
bevise Rolle’s sætning, da denne bruges til udledning af førstnævnte sætning.<br />
Begge sætninger bygger p˚a [Wad04].<br />
Lemma A.3 Rolle’s sætning<br />
Lad f : I → R, hvor I ⊆ R, være en funktion, og lad a, b ∈ I, hvor<br />
a = b. Hvis f er kontinuert p˚a intervallet [a; b], differentiabel p˚a ]a; b[,<br />
og f(a) = f(b), s˚a eksisterer c ∈]a; b[, s˚aledes f ′ (c) = 0.<br />
Bevis. Funktionen f er kontinuert p˚a det lukket interval [a; b]. I henhold til<br />
sætning 3.26 i [Wad04] antager f dermed b˚ade maksimum M og minimum m<br />
i intervallet. I det tilfælde at m = M, er f en konstant funktion p˚a intervallet<br />
[a; b], og f ′ (x) = 0 for alle x ∈]a; b[.<br />
Antag derfor, at m < M. Hvis f(a) = f(b), antager f enten M eller m i et punkt<br />
c ∈]a; b[. Idet m = M, kan f ikke antage m i det ene endepunkt og M i det<br />
andet. Sætningen bevises i det tilfælde, hvor f antager M i et punkt c ∈]a; b[.<br />
Beviset for f(c) = m følger analogt.<br />
Da M er maksimum for f p˚a [a; b], gælder for alle h ∈ R, for hvilke c+h ∈ [a; b],<br />
følgende:<br />
Hvis h > 0 f˚as, at<br />
For h < 0 f˚as, at<br />
Eftersom f er differentiabel, følger at<br />
f(c + h) − f(c) ≤ 0<br />
f ′ f(c + h) − f(c)<br />
(c) = lim<br />
≤ 0<br />
h→0+ h<br />
f ′ f(c + h) − f(c)<br />
(c) = lim<br />
≥ 0<br />
h→0− h<br />
f ′ f(c + h) − f(c)<br />
(c) = lim<br />
= 0<br />
h→0 h<br />
Hermed er sætningen bevist. <br />
Nu er det muligt at bevise den generaliserede middelværdisætning:<br />
Sætning A.4 Den generaliserede middelværdisætning<br />
Antag, at a, b ∈ R, hvor a = b. Hvis funktionerne f og g er kontinuerte<br />
p˚a intervallet [a; b] og differentiable p˚a ]a, b[, s˚a eksisterer et c ∈]a, b[,<br />
s˚aledes at<br />
f ′ (c) g(b) − g(a) = g ′ (c) f(b) − f(a)
Bevis. Til at bevise sætningen indføres en funktion h:<br />
h(x) = f(x) g(b) − g(a) − g(x) f(b) − f(a) <br />
Af forskriften for h fremg˚ar det, at h er kontinuert p˚a [a; b], eftersom f og g er<br />
kontinuerte p˚a [a; b], jf. sætning 3.22 i [Wad04]. Eftersom f og g er differentiable<br />
p˚a ]a; b[, er h ogs˚a differentiabel p˚a ]a; b[. Det følger af sætning 4.10 i [Wad04].<br />
Hvis h differentieres, f˚as følgende:<br />
h ′ (x) = f ′ (x) g(b) − g(a) − g ′ (x) f(b) − f(a) <br />
Funktionsværdien af h beregnes i endepunkterne af intervallet [a; b]:<br />
h(b) = f(b) g(b) − g(a) − g(b) f(b) − f(a) <br />
= f(b)g(b) − f(b)g(a) − g(b)f(b) + g(b)f(a)<br />
= g(b)f(a) − f(b)g(a)<br />
h(a) = f(a) g(b) − g(a) − g(a) f(b) − f(a) <br />
= f(a)g(b) − f(a)g(a) − g(a)f(b) + g(a)f(a)<br />
= g(b)f(a) − f(b)g(a)<br />
Heraf ses, at h(a) = h(b).<br />
Hermed er det vist, at Rolle’s sætning A.3 kan anvendes p˚a h. Det betyder, at<br />
der eksisterer mindst et c ∈]a; b[, s˚a h ′ (c) = 0, dvs.:<br />
h ′ (c) = f ′ (c) g(b) − g(a) − g ′ (c) f(b) − f(a) = 0 ⇔<br />
g ′ (c) f(b) − f(a) = f ′ (c) g(b) − g(a) <br />
Dermed er sætningen bevist. <br />
Af den generaliserede middelværdisætning følger nedenst˚aende middelværdisætning:<br />
Korollar A.5 Middelværdisætning<br />
Antag, at a, b ∈ R, hvor a = b. Hvis funktionen f er kontinuert p˚a intervallet<br />
[a; b] og differentiabel p˚a ]a, b[, s˚a eksisterer et c ∈]a, b[, s˚aledes<br />
f(b) − f(a) = f ′ (c)(b − a)<br />
Bevis. Indfør en funktion g(x) = x. Eftersom g er kontinuert p˚a [a; b] og<br />
differentiabel p˚a ]a; b[, eksisterer i henhold til A.4 et c ∈]a; b[, s˚a<br />
f ′ (c) g(b) − g(a) = g ′ (c) f(b) − f(a) ⇒<br />
f ′ (c)(b − a) = f(b) − f(a) <br />
Hermed er det ønskede bevist.
A.4 Taylors formel<br />
Dette appendiks er baseret p˚a [Wad04] og giver et bevis for Taylors formel<br />
i R 2 . Beviset anvender Taylors formel i R, men denne bevises ikke, da den<br />
forudsættes kendt.<br />
For at kunne bestemme Taylors formel for funktioner af to variable starter vi<br />
med at definere, hvad det vil sige, at en funktions p’te ordens totaldifferentiale<br />
eksisterer.<br />
Definition A.6 Det p’te ordens totaldifferentiale for funktioner<br />
af to variable<br />
Lad V ⊆ R 2 være en ˚aben mængde. Lad a ∈ V , og lad f : V → R.<br />
S˚aledes eksisterer f’s p’te ordens totaldifferentiale i a, hvis og kun hvis<br />
de p’te ordens partielle afledede af f eksisterer og er differentiable i a,<br />
hvor p ≥ 1. Det angives ved:<br />
D (p) f(a; h) =<br />
2<br />
· · ·<br />
i1=1<br />
hvor h = (h1, h2) ∈ R 2<br />
j=1<br />
i1=1<br />
2 ∂pf (a)hi1 . . . hip ,<br />
∂xi1 . . . ∂xip<br />
ip=1<br />
Af definitionen følger, at<br />
D (p) f(a; h) =<br />
<br />
(1)<br />
D D (p−1) <br />
f (a; h)<br />
⎛<br />
=<br />
2<br />
2 ∂<br />
⎝ · · ·<br />
∂xj<br />
2<br />
ip−1=1<br />
∂p−1 ⎞<br />
f<br />
(a)hi1 . . . hip−1<br />
∂xi1 . . . ∂xip−1<br />
⎠ hj<br />
Nu da definitionen for totaldifferentialet er etableret, er der kun nogle f˚a definitioner,<br />
som skal p˚a plads, inden Taylors formel i R 2 kan beskrives. Vi starter<br />
med, hvad det vil sige, at en mængde er konveks:<br />
Definition A.7 Konveks mængde<br />
En mængde V i et Euklidisk rum, dvs. et rum med den Euklidiske<br />
afstandsfunktion, kaldes konveks, hvis liniestykket L(a, b) ⊆ V for alle<br />
a, b ∈ V .<br />
Nu kan Taylors formel i R 2 beskrives:
Sætning A.8 Taylors formel i R 2<br />
Lad p ∈ N, og lad V ⊆ R 2 være en ˚aben mængde og x, a ∈ V , som er<br />
konveks og antag endvidere, at f : V → R og f er C p i V . Hvis f’s p’te<br />
totaldifferentiale eksisterer i V , og L(x; a) ⊆ V , s˚a findes der et punkt<br />
c ∈ L(x; a), s˚a<br />
p−1<br />
1<br />
f(x) = f(a) +<br />
k! D(k) f(a; h) + 1<br />
p! D(p) f(c; h). (A.2)<br />
Her er h = x − a.<br />
k=1<br />
Bevis. Lad h = x − a. Vælg et δ > 0, s˚aledes a + th ⊂ V for<br />
t ∈ Iδ = (−δ, 1 + δ). Lad der ogs˚a være en givet funktion F (t) = f(a + th).<br />
Denne funktion er differentiabel p˚a Iδ. Ved induktion vises, at den<br />
j-te afledte af F er givet ved<br />
F (j) (t) =<br />
2<br />
· · ·<br />
i1=1<br />
for j = 1, 2, . . . , p<br />
2 ∂jf (a + th)hi1 . . . hij , (A.3)<br />
∂xi1 . . . ∂xij<br />
ij=1<br />
Basistrin: Basistrinet laves for j = 1, dvs. at den 1. afledte af F bestemmes.<br />
Hertil anvendes kædereglen i appendiks A.2:<br />
F ′ (t) = Df(a + th)(h) = ∂f<br />
(a + th)h1 +<br />
∂x1<br />
∂f<br />
(a + th)h2<br />
∂x2<br />
(A.4)<br />
Dermed gælder ligningen for j = 1.<br />
Induktionstrin: Induktionsantagelsen er, at ligningen gælder for de første (j −1)te<br />
afledede af F .<br />
Ligningen vises nu for den j-te afledede af F :<br />
F (j) (t) = D(D (j−1) f(a + th))<br />
=<br />
=<br />
=<br />
2 ∂<br />
(D<br />
∂xij<br />
(j−1) f(a + th)) · hij<br />
⎛<br />
2<br />
2 ∂<br />
⎝ · · ·<br />
∂xij<br />
2 ∂j−1 ⎞<br />
f<br />
(a + th)hi1 · · · hij−1<br />
⎠ · hij<br />
∂xi1 · · · ∂xij<br />
ij=1<br />
ij=1<br />
2<br />
· · ·<br />
i1=1<br />
ij=1<br />
ij=1<br />
ij−1=1<br />
2 ∂jf (a + th)hi1 · · · hij<br />
∂xi1 · · · ∂xij<br />
Det er hermed bevist, at ligningen gælder.<br />
Endvidere giver<br />
F (j) (0) = D (j) f(a; h), for j = 1, . . . , p − 1<br />
F (p) (t) = D (p) f(a + th; h), for t ∈ Iδ<br />
(A.5)
Da F er p gange differentiabel p˚a Iδ og [0; 1] ⊂ Iδ f˚as ved hjælp af Taylors formel<br />
for én variabel, at der findes et t0 ∈ [0, 1], s˚aledes<br />
f(x) − f(a) = F (1) − F (0), da F (t) = f(a + th)<br />
=<br />
=<br />
Sættes c = a + t0h, f˚as at<br />
f(x) − f(a) =<br />
p−1<br />
j=1<br />
1<br />
j! F (j) (0) + 1<br />
p! F (p) (t0)<br />
p−1<br />
1<br />
j! D(j) f(a; h) + 1<br />
p! D(p) f(a + t0h; h)<br />
j=1<br />
p−1<br />
1<br />
j! D(j) f(a; h) + 1<br />
p! D(p) f(c; h) ⇔<br />
j=1<br />
p−1<br />
1<br />
f(x) = f(a) +<br />
j! D(j) f(a; h) + 1<br />
p! D(p) f(c; h)<br />
j=1<br />
Dermed er sætningen bevist.
A.5 Iterationer ved RK4<br />
I dette afsnit vises en detaljeret udregning af, hvordan iterationerne for 4. ordens<br />
Runge-Kutta metode bliver udregnet. Vi antager, at følgende værdier gælder for<br />
<strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>:<br />
1. Opsætning<br />
Konstant A 1<br />
Konstant B 1<br />
Konstant C 1<br />
Konstant D 1<br />
Skridtlængde ∆t 0.01<br />
Startværdier (b0, t0) (1.2,0.7)<br />
Vi viser herunder en gennemgang af to iterationer:<br />
Iteration 1:<br />
Værdierne kb11 . . . kb14 og kr11 . . . kr14 bestemmes først:<br />
kb11 = f(t0, b0) = (A − Br0)b0 = (1 − 1 · 0, 7)1, 2 = 0, 36<br />
kr11 = f(t0, b0) = (Cb0 − D)r0 = (1 · 1, 2 − 1)0, 7 = 0, 14<br />
kb12 =<br />
<br />
f t0 + ∆t<br />
2 , b0 + ∆t<br />
2 kb11<br />
<br />
= (A − Br0)(b0 + ∆t<br />
2 kb11)<br />
=<br />
0, 01<br />
(1 − 1 · 0, 7)(1, 2 + · 0, 36) = 0, 3597<br />
2<br />
kr12 =<br />
<br />
f t0 + ∆t<br />
2 , r0 + ∆t<br />
2 kr11<br />
<br />
= (Cb0 − D)(r0 + ∆t<br />
2 kr11)<br />
= (1 · 1, 2 − 1)(0.7 +<br />
0, 01<br />
2<br />
· 0, 14) = 0, 1414<br />
kb13 =<br />
<br />
f t0 + ∆t<br />
2 , b0 + ∆t<br />
2 kb12<br />
<br />
= (A − Br0)(b0 + ∆t<br />
2 kb12)<br />
=<br />
0, 01<br />
(1 − 1 · 0, 7)(1, 2 + · 0, 3597) = 0, 3597<br />
2<br />
kr13 =<br />
<br />
f t0 + ∆t<br />
2 , r0 + ∆t<br />
2 kr12<br />
<br />
= (Cb0 − D)(r0 + ∆t<br />
2 kr12)<br />
= (1 · 1, 2 − 1)(0, 7 +<br />
0, 01<br />
2<br />
· 0, 1414) = 0, 1414<br />
kb14 = f (t0 + ∆t, x0 + ∆t · kb13) = (A − Br0)(b0 + ∆t · kb13)<br />
= (1 − 1 · 0, 7)(1.2 + 0, 01 ∗ 0, 3597) = 0, 3594<br />
kr14 = f (t0 + ∆t, x0 + ∆t · kr13) = (Cb0 − D)(r0 + ∆t · kr13)<br />
= (1 · 1, 2 − 1)(0, 7 + 0.01 · 0, 1414) = 0, 1428
1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13) + kb14<br />
6<br />
0, 36 + 2(0, 3597 + 0, 3597) + 0, 3594<br />
= 1, 2 + 0, 01 · = 1, 2036<br />
6<br />
r1 = b0 + ∆t kr11 + 2(kr12 + kr13) + kr14<br />
6<br />
0, 14 + 2(0, 1414 + 0, 1414) + 0, 1428<br />
= 0.7 + 0, 01 · = 0, 7014<br />
6<br />
Iteration 2:<br />
Nu bestemmes værdierne kb21 . . . kb24 og kr21 . . . kr24:<br />
kb21 = f(t0, b0) = (A − Br0)b0 = (1 − 1 · 0.7014)1, 2036 = 0.3594<br />
kr21 = f(t0, b0) = (Cb0 − D)r0 = (1 · 1, 2036 − 1)0, 7014 = 0, 1428<br />
kb22 =<br />
<br />
f t0 + ∆t<br />
2 , b0 + ∆t<br />
2 kb21<br />
<br />
= (A − Br0)(b0 + ∆t<br />
2 kb21)<br />
=<br />
0, 01<br />
(1 − 1 · 0, 7014)(1, 2036 + · 0, 3594) = 0, 3591<br />
2<br />
kr22 =<br />
<br />
f t0 + ∆t<br />
2 , r0 + ∆t<br />
2 kr21<br />
<br />
= (Cb0 − D)(r0 + ∆t<br />
2 kr21)<br />
= (1 · 1, 2036 − 1)(0, 7014 +<br />
0, 01<br />
2<br />
· 0, 1428) = 0, 1442<br />
kb23 =<br />
<br />
f t0 + ∆t<br />
2 , b0 + ∆t<br />
2 kb22<br />
<br />
= (A − Br0)(b0 + ∆t<br />
2 kb22)<br />
=<br />
0, 01<br />
(1 − 1 · 0, 7014)(1, 2036 + · 0, 3591) = 0, 3590<br />
2<br />
kr23 =<br />
<br />
f t0 + ∆t<br />
2 , r0 + ∆t<br />
2 kr22<br />
<br />
= (Cb0 − D)(r0 + ∆t<br />
2 kr22)<br />
= (1 · 1, 2036 − 1)(0, 7014 +<br />
0, 01<br />
2<br />
· 0, 1442) = 0, 1442<br />
kb24 = f (t0 + ∆, x0 + ∆t · kb23) = (A − Br0)(b0 + ∆t · kb23)<br />
= (1 − 1 · 0, 7014)(1, 2036 + 0, 01 ∗ 0, 3590) = 0, 3587<br />
kr24 = f (t0 + ∆t, x0 + ∆t · kr23) = (Cb0 − D)(r0 + ∆t · kr23)<br />
= (1 · 1, 2036 − 1)(0, 7014 + 0, 01 · 0, 1442) = 0, 1456
2 = b1 + ∆t kb21 + 2(kb22 + kb23) + kb24<br />
6<br />
0, 3594 + 2(0, 3591 + 0, 3590) + 0, 3587<br />
= 1, 2036 + 0, 01 · = 1, 2072<br />
6<br />
r2 = r1 + ∆t kr21 + 2(kr22 + kr23) + kr24<br />
6<br />
0, 1428 + 2(0, 1442 + 0, 1442) + 0, 1456<br />
= 0.7014 + 0, 01 · = 0, 7029<br />
6