Don't panic!* Morten Dam Jørgensen - Computerfysik.dk

Simulering I
Don’t panic! *
Morten Dam Jørgensen
* Large friendly letters

Oversigt
• Hvad I skal tage med fra denne forelæsning
• Hvad er simulering
• Fra model til simulering
• Numerisk løsning af differentialligninger
• Frit fald
• Luftmodstand
• Sammenligning med den analytiske løsning
• En advarsel om præcision
• Et ikke-mekanisk system
• Conway’s Life
Simulation is the
imitation of some real
thing, state of affairs, or
process. The act of
simulating something
generally entails
representing certain key
characteristics or
behaviours of a selected
physical or abstract
system.
wikipedia.org

Hvad er det I skal lære?
• Fra mig: En måde at tænke på
• Praktisk træning: Lab øvelsen i denne uge
• Resten af Mek1 og Mek2: Bliv gode til at
omsætte fysiske problemstillinger til
simuleringer (tænk struktureret).
• Statistik: Test af simulering i forhold til
eksperiment (indirekte hypotesetest).

Fysik = Ændringer
• Fysikkens store kvalitet er at den bygger på
et kvantitativt grundlag.
• Det er (typisk) ændringerne af en given
størrelse vi opfatter som fysisk.
• Differentialligninger er grundlaget for
den teoretiske beskrivelse af stort set alle
fysiske fænomener.

Ingredienser
• Model (Et sæt differentialligninger)
• Begyndelsesbetingelser (Positionen af objekterne i
vores system)
• Randbetingelser (Definition af fysikken omkring
systemets grænser)

Ingredienser
• Model (Et sæt differentialligninger)
• Begyndelsesbetingelser (Positionen af objekterne i
vores system)
• Randbetingelser (Definition af fysikken omkring
systemets grænser)
Model
“Ændringen i acceleration skal
være proportional med
kraftpåvirkningen”
“Den elektromotoriske kraft
genereret er proportional med
ændringen i den magnetiske fluks
i systemet”
Begyndelsesbetingelser
“Raketten befinder sig på et
sfærisk objekt med en masse på
10 22 kg, med en ækvatoriale
hastighed på 465 m/s”
“Gletsjerens hastighed er 28 m/
døgn, den er 2 km tyk med et
areal på 110.000 km 2 ”
Randbetingelser
“Partiklerne er spærret inde i en
tæt og restitutionsløs boks med
dimensionerne: 20x20x20 cm”
“Bilens maksimumshastighed er
begrænset til 210 km/t”
“Vejen skifter fra asfalt til grus
efter 400 m”

Randbetingelser
Randbetingelser
fluid hastighed = 0 ved
vingerne
Luftens bevægelse omkring
Begyndelsesbetingelser
Flyets hastighed, position af
vingerne, luftens viskositet,
volumen, densitet...
en flyvinge
“Navier-Stokes”
Model for fluid
bevægelse

Frit fald
• Et objekt i frit fald (uden luftmodstand)
Vi antager at tyngdeaccelerationen er konstant:
m d2y = F
dt2 Fg = mg
Vi kan benytte Newtons 2. lov til at finde positionen y(t) ved at
sætte F = Fg
d2y = g
dt2 Vi ønsker at løse denne 2. ordens-differentialligning...
HHGTTG

• 2-ordens ligning
For at lette den numeriske
løsning omskriver vi,
d2y = g
dt2 Til et system af to
1. ordens differentialligninger,
dy
dt
= v
dv
dt
Frit fald
= g
(Analytisk løsning)
y(t) =y(0) + v(0)t
1
2 gt2
v(t) =v(0) + v(0) gt
Husk
Enhver normal differentialligning
(ODE) af n-orden kan omskrives
til et system af n første-ordens
differentialligninger.

Frit fald
• Vi kan approksimere de afledede, hvis vi
husker grundantagelsen bag differentiering, og
i stedet laver endelige skridtstørrelser ∆t...
y(t + t) y(t)
t
v(t + t) v(t)
t
= v(t)
= g
lim
t!0 !
dy
dt
dv
dt
= v
= g

Frit fald
• Differensligningen kan nu omskrives sådan
at vi får den næste værdi af funktionen y(t)
givet den forrige og ændringsforholdet.
y(t + t) y(t)
t
v(t + t) v(t)
t
= v(t)
= g
t & 0
For små men endelige ∆t værdier, kan vi
omskrive udtrykket for y(t+∆t)
y(t + t) =y(t)+v(t) t
v(t + t) =v(t) g t

y(t + t) =y(t)+v(t) t
v(t + t) =v(t) g t
Vi kan nu løse “differens”-
ligningerne med summering,
som numerisk analogi til
integration ved analytisk
løsning.
Frit fald
g = -9.8;
y0 = 100; v0 = 0; % start
y = y0; v = v0; % sæt start
t = 0; dt = 0.1; % tid
% Euler metoden
while y > 0 % stop ved y=0
t = t + dt;
y = y + v .* dt;
v = v + g .* dt;
plot(t,y,'b+')
end
% Analytisk løsning
t = 0:0.1:t;
y = y0 + v0 + (0.5 .* g .*
t.^2);
plot(t,y,'r')

y(t + t) =y(t)+v(t) t
v(t + t) =v(t) g t
Frit fald
g = -9.8;
y0 = 100; v0 = 0; % start
y = y0; v = v0; % sæt start
t = 0; dt = 0.1; % tid
% Euler metoden
while y > 0 % stop ved y=0
t = t + dt;
y = y + v .* dt;
v = v + g .* dt;
plot(t,y,'b+')
end
% Analytisk løsning
t = 0:0.1:t;
y = y0 + v0 + (0.5 .* g .*
t.^2);
plot(t,y,'r')

• Spørgsmål:
Hvis vi ville indføre
luftmodstand (drag),
hvordan skulle vi bære os
ad?
⇢
~v
Cd
A
~Fdrag = 1
Densitet af mediet (luft)
2 ⇢~v2 CdA
Hastigheden af legemet relativt til mediet
Drag koefficient (dimensionsløs)
Tværsnittet af objektet i bevægelsesretningen
http://en.wikipedia.org/wiki/Drag_(physics)
Frit fald
g = -9.8;
y0 = 100; v0 = 0; % start
y = y0; v = v0; % sæt start
t = 0; dt = 0.1; % tid
% Euler metoden
while y > 0 % stop ved y=0
t = t + dt;
y = y + v .* dt;
v = v + g .* dt;
plot(t,y,'b+')
end

⇢
~v
Cd
A
~Fdrag = 1
Densitet af mediet (luft)
2 ⇢~v2 CdA
Hastigheden af legemet relativt til mediet
Drag koefficient (dimensionsløs)
Tværsnittet af objektet i bevægelsesretningen
http://en.wikipedia.org/wiki/Drag_(physics)
Fdrag(vn) =madrag(vn)
adrag(vn) =Fdrag(vn)/m
vdrag = tF(v)/m
vtyngde = tg
vn+1 = vn + vdrag + vtyngde
Frit fald
g = -9.8;
y0 = 100; v0 = 0; % start
y = y0; v = v0; % sæt start
m = 1; % masse af objekt
rho = 0.1; C_d = 1.2; A = 1;
t = 0; dt = 0.1; % tid
while y > 0 % stop ved y=0
t = t + dt;
y = y + v .* dt;
end
dv_g = g .* dt;
dv_d = dt./m .* ...
(0.5*rho* v^2*C_d*A);
v = v + dv_g + dv_d
plot(t,y,'b+')

• Hvis vi hopper ud fra en Airbus
A380 i 10 kilometers højde, har
har ændringen i atmosfærens
densitet så betydning?
• Let’s find out!
~Fdrag = 1
2 ⇢(y)~v 2 CdA
En adiabatisk atmosfære (don’t ask):
⇢(y) =⇢0
✓
1
1 y
y0
Frit fald
◆ 1/( 1)
rho0 = 1.2; % kg/m^4-1
gamma = 1.4;
y0 = 29400; % m
rho = @(y) rho0 *(1 -
(gamma-1)./gamma* y/y0).^(1/
(gamma-1));
while y > 0 % stop ved y=0
t = t + dt;
y = y + v .* dt;
end
dv_g = g .* dt;
dv_d = dt./m .*
(0.5*rho(y)* v^2*C_d*A);
v = v + dv_g + dv_d
plot(t,y,'b+')

Resultatet

Modellens præcision

Valg af skridtstørrelse
• Euler metoden er ikke den
bedste i verden, og størrelsen af
tidsskridtet har stor betydning
for resultatet
• Lokale fejl
• Akkumulerende fejl
• En god “regl”, sæt dt til den
højeste værdi du kan, som ikke
ændrer resultatet i forhold til en
lavere værdi. ∆t={0,0001,
0.001,0.01,0.1,1,...,42}
• Vi vil se på mere præcise
metoder i Mek2.
Jo længere man kører en simulering
des større betydning får præcisionen,
da små fejl i hvert tidsskridt
akkumulerer indtil simuleringen løber
løbsk
Demo: jumper.m

Conway’s Game of Life
• Et zero-player “spil” i.e. en
simulering
• "Universet" er et uendeligt
gitter (som en uendelig
skakplade), hver celle i
gitteret har en af to
tilstande: levende eller død.
• Hver celler har i alt otte
naboceller.

Conway’s Game of Life
• I hvert tidskridt sker følgende,
• Alle levende celler med mindre end 2 levende
naboer dør pga. underbefolkning.
• Alle levende celler med to eller tre levende
naboer lever videre til den næste generation.
• Alle levende celler med mere end tre levende
naboer dør af overbefolkning.
• Alle døde celler med præcis tre levende naboer
bliver levende ved reproduktion.
• Det er begyndelsesbetingelserne som er afgørende
for dynamikken

Conway’s Game of Life
• < 2 levende naboer
• 2 || 3 levende naboer
• 3 > levende naboer
• Døde med 3 levende
naboer

Conway’s Game of Life
• < 2 levende naboer
• 2 || 3 levende naboer
• 3 > levende naboer
• Døde med 3 levende
naboer
Grafik fra:
http://www.leda-tutorial.org/en/official/ch02s02s02.html

n = 100; % grid size (n x n)
X = randi(2,n,n)-1; % MAGIC GOES HERE!!!!
Y = X; colormap bone
for t=1:1000000 % number of steps
image(Y) % Tegn gitter
for x=1:size(X,1)
for y=1:size(X,2)
if x == 1
if y == 1
s = sum(sum(X(x:x+1, y:y+1))) - X(x,y);
B
elseif y == size(X,2)
s = sum(sum(X(x:x+1, y-1:y))) - X(x,y);
else
E
s = sum(sum(X(x:x+1, y-1:y+1))) - X(x,y);
end
elseif x == size(X,1)
K
if y == 1
s = sum(sum(X(x-1:x, y:y+1))) - X(x,y);
elseif y == size(X,2)
L
s = sum(sum(X(x-1:x, y-1:y))) - X(x,y);
else
s = sum(sum(X(x-1:x, y-1:y+1))) - X(x,y);
A
end
else
if y == 1
s = sum(sum(X(x-1:x+1, y:y+1))) - X(x,y);
G
elseif y == size(X,2)
s = sum(sum(X(x-1:x+1, y-1:y))) - X(x,y);
else
E
s = sum(sum(X(x-1:x+1, y-1:y+1))) - X(x,y);
end
end
R
if X(x,y) == 1 && s < 2 % Too few neighbours, underpopulation
Y(x,y) = 0;
elseif X(x,y) == 1 && (s == 2 || s == 3) % balance
Y(x,y) = X(x,y);
elseif X(x,y) == 1 && s > 3 % over-population
Y(x,y) = 0;
elseif X(x,y) == 0 && s == 3 % Spawn new cell
Y(x,y) = 1;
end
end
end
pause(0.01)
X = Y;
end

Opsummering
• Modeller ~= løsninger, løsninger er næsten umulige af finde
eksakt
• Simulering og numerisk løsning i stedet
• Numerisk løsning af ODEer er nemt, men præcisionen er
en vigtig detalje
• Hvor realistisk skal vores simulering være?
• Der findes andre typer simulering end bare løsning af
differentialligninger, nogle benytter slet ikke matematiske
strukturer
• Morten kan også skrive grimt kode..

Aflevering 2
• Programmering
• Betingelser
• Løkker
• Variable
• Datastrukturer
• Funktioner
• Forvent at i skal kode lidt selv
• Åben så MATLAB!
• (P.s. I var rigtig gode i aflevering 1 - awesome!)

Næste uge
• Statistik (med Troels Petersen)
• Det I kender: middelværdi, spredning osv..
• Det I ikke kender: Fitting, hypotesetest og
andre lækkerier