Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz
opfandt
integralregningen
2012 Karsten Juul

EnglÄnderen Isaac Newton (1642-1727) opfandt i 1665 integralregningen.
Tyskeren Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) opfandt i 1675 integralregningen.
Ingen af dem offentliggjorde deres opfindelse med det samme. Leibniz offentliggjorde fÅr Newton.
Dette hÄfte indeholder et historisk forlÅb til gymnasiets matematikundervisning pÇ A- og B-niveau.
Det kan indgÇ som en del af et mundtligt eksamensspÅrgsmÇl i integralregning.
Der er krav om historisk forlÅb.
Évelserne pÇ side 5-8 gÅr det nemt for eleverne at arbejde pÇ at sÄtte sig ind i det stof der stÇr pÇ
side 1-4. NÇr eleverne lÅser Åvelserne, fÇr de samtidig repeteret noget grundlÄggende stof.
Afsnit 1 Indledning ......................................................................................................................... 1
Afsnit 2 En speciel brÄkregel.......................................................................................................... 1
Afsnit 3 En smart udregning af en sum .......................................................................................... 1
Afsnit 4 Princippet i den smarte udregning af sum kan ogsÅ bruges i nogle andre tilfÇlde.......... 2
Afsnit 5 En sum der er ca. lig arealet mellem f-graf og x-akse ...................................................... 2
Afsnit 6 Forberedelse af smart udregning af sum der er ca. lig areal mellem f-graf og x-akse .... 3
Afsnit 7 Smart udregning af summen der er ca. lig arealet mellem f-graf og x-akse..................... 3
Afsnit 8 Hvordan vi kan finde g...................................................................................................... 4
Afsnit 9 En nÄjagtig arealberegningsmetode (dvs. integralregning) ............................................. 4
Afsnit 10 Eksempel pÅ brug af den nÄjagtige arealberegningsmetode (dvs. integralregning) ........ 4
Ävelser ........................................................................................................................................5-9
Hvordan Leibniz opfandt integralregningen
Ñ 2012 Karsten Juul
Dette hÄfte kan downloades fra www.mat1.dk 27/4-2013
HÄftet mÇ benyttes i undervisningen hvis lÄreren med det samme sender en e-mail til kj@mat1.dk
som oplyser at dette hÄfte benyttes (skriv filnavn), og oplyser om hold, niveau, lÄrer og skole.

Afsnit 1 Indledning
I 1675 opfandt Leibniz integralregningen.
NÇr du gennemarbejder dette hÄfte, fÇr du et indtryk af hvordan Leibniz opfandt
integralregningen.
I dette hÄfte har vi ikke brugt samme eksempler og skrivemÇde som Leibniz brugte i det han
skrev.
Afsnit 2 En speciel brÄkregel
1 1
3 4
1
4 31
FÅrste brÅk forlÄnger vi med 4, og anden brÅk forlÄnger vi med 3.
3
4 3
4
4 3
Vi reducerer de to tÄllere: Ön gange et tal er lig tallet.
3
4 3
4
4
3
3
4
1
3
4
Ovenfor lavede vi en udregning med 3 og 4. Vi kan lave tilsvarende udregninger med 4 og 5,
og med 5 og 6, osv. Der gÄlder:
(1)
1
3
4
1
4
5
1
5
6
Osv.
Afsnit 3 En smart udregning af en sum
1
3
1
4
1
5
1
4
1
5
1
6
Reglen (1) fra afsnit 2 ovenfor vil vi bruge til at lÄgge 99 tal sammen pÇ en nem mÇde.
Vi omskriver hvert af de 99 tal ved hjÄlp af regel (1).
SÇ fÇr vi nogle tal der gÇr ud med hinanden to og to sÇ kun fÅrste og sidste tal er tilbage:
1
1
2
1 1
2
3 3
4
1 1
=
98
99 99100
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
=
1
2
2 3
3 4
98 99
99 100
1
1
1 1 1 1 1
1 1 1 1
=
2 2 3 3 4
98 99 99 100
1 1 99
=
1 100 100
For at kunne sÄtte pÇ fÄlles brÅkstreg vil vi skaffe samme nÄvner i
de to brÅker. Dette gÅr vi ved at forlÄnge brÅkerne.
Vi bruger reglen for at trÄkke brÅk fra brÅk nÇr de har samme
nÄvner: NÄvneren beholdes og tÄller trÄkkes fra tÄller.
Hvordan Leibniz opfandt integralregningen 1 2012 Karsten Juul

Afsnit 4 Princippet i den smarte udregning af sum kan ogsÅ bruges i nogle andre tilfÇlde
I afsnit 3 startede vi med en sum
y y
1
2
SÇ fandt vi tal
sÇ
yn
p0 1 p 2 p n p
y
1
p0
p1
y2 p1
p2
yn pn1
pn
Herefter kunne vi nemt udregne summen fordi p-tallene gÇr ud mod hinanden to og to:
y y
1
2
yn
(2) p p
p p p p
=
0 1 1 2 n1
n =
p0 pn
Ved at bruge andre omskrivninger end (1) kan metoden (2) bruges pÇ nogle summer der ikke
ligner summen fra afsnit 3.
I afsnit 3 var
og
y
1
1
1
2
1
0
1
p
1
y2
2
3
1
1
2
p
y n
1
2
3
p
y
99
p n
1
99100
99 p
Hvordan Leibniz opfandt integralregningen 2 2012 Karsten Juul
1
100
Afsnit 5 En sum der er ca. lig arealet mellem f-graf og x-akse
Leibniz havde arbejdet med metoden (2) fra afsnit 4 og ville prÅve ogsÇ at bruge den til at
udregne arealer. Dette fÅrte til at han opfandt integralregningen.
Vi vil finde arealet mellem f-graf og x-akse
(se figur til hÅjre).
Vi deler arealet op i lodrette strimler der alle har
bredden 1 enhed (se figur nedenfor til hÅjre).
Den fÅrste strimmel er ca. lig et rektangel med
bredde 1 og hÅjde y 1 , sÇ arealet er ca. y 1 .
Arealet af nÄste strimmel er ca. y 2 .
Osv.
Hele arealet er altsÇ ca. lig
(3) n y y y 1
2
a b
y
y
1 2
1 1
f
f
yn
a b

Afsnit 6 Forberedelse af smart udregning af sum der er ca. lig areal mellem f-graf og x-akse
Vi forsÅger at bruge metoden (2) fra afsnit 4 til
at udregne summen (3) fra afsnit 5.
Vi vÄlger et tal p 0 .
SÇ kender vi tallene 0 p og 1 y , 2 y , , y n ,
og vi udregner 1 p , 2 p , ,
pn sÇdan:
p p y
1
0
1
p2 p1
y2
p p y
n
n1
n
Vi afsÄtter n1 punkter som vist pÇ figuren til hÅjre
sÇdan at der er Ön enhed mellem ”stolperne”.
Afsnit 7 Smart udregning af summen der er ca. lig arealet mellem f-graf og x-akse
Vi forestiller os at vi har en funktion g hvis graf gÇr
gennem de n1 punkter fra afsnit 6
(se figuren til hÅjre).
Da
og
p g(
a)
0
pn g(b)
y p p
1
1
0
y2 p2
p
y p p
1
n
n n1
kan vi udregne arealet mellem f-graf og x-akse sÇdan:
Areal n y y y 1
2
Der gÄlder altsÇ
= p p p p
p p
1 0 2 1
n n1
= 0 p pn = g( b)
g(
a)
(4) Areal g( b)
g(
a)
Hvordan Leibniz opfandt integralregningen 3 2012 Karsten Juul
p0
p0
a
a
p1
1 1
p1
1
p2
p2
1
g
a b
f
g( b)
g(
a)
pn
pn
b
b

Afsnit 8 Hvordan vi kan finde g
Formlen (4) fra afsnit 7 er vigtig fordi vi ofte
kan finde g nÇr vi kender f .
Nu kommer forklaringen pÇ dette.
PÇ figuren til hÅjre har vi tegnet linjen s der gÇr
gennem Q og R , og tangenten t i R .
g (x)
= hÄldningskoefficient for t
hÄldningskoefficient for s
= p2 p1
= y2
= f (x)
Vi kan gÅre det samme med andre vÄrdier af x , sÇ
(5) g( x)
f ( x)
Vi kan altsÇ finde g ved at finde en funktion som giver f nÇr vi differentierer den.
Afsnit 9 En nÄjagtig arealberegningsmetode (dvs. integralregning)
Formlerne (4) og (5) gÄlder mere nÅjagtigt hvis vi bruger en enhed der er mindre (dvs. bruger
smallere strimler).
Leibniz forestillede sig at der fandtes tal som er uendelig smÇ, men ikke er 0.
Han sagde at hvis vi lader enheden vÄre sÇdan et uendelig lille tal,
sÇ vil der gÄlde = i stedet for i (4) og (5), dvs.
Hvis vi kan finde en funktion g der differentieret giver f ,
(6) sÅ kan vi udregne arealet mellem f-grafen og x-aksen
ved hjÇlp af formlen Areal = g( b)
g(
a)
.
Der er ikke uendelig smÇ tal i de tal vi regner med i gymnasiets matematikundervisning.
Det er muligt at forestille sig nogle uendelig smÇ tal pÇ sÇdan en mÇde at man kan bruge dem
til at finde korrekte formler.
Afsnit 10 Eksempel pÅ brug af den nÄjagtige arealberegningsmetode (dvs. integralregning)
Det er metoden (6) fra afsnit 9 vi plejer at bruge.
Vi vil udregne arealet mellem f-graf og x-akse nÇr
7 32
f ( x)
2
1
, x
,
x 5 5
De funktioner, som differentieret giver f , er
F( x)
2ln(
x)
x
c .
Vi kan vÄlge den simpleste af dem, dvs. den hvor c 0 :
32
5
areal
2
)
7 x
5
( 1
dx 2ln( x)
x
Hvordan Leibniz opfandt integralregningen 4 2012 Karsten Juul
32
5
7
5
( 2ln(
32 ) 32)
( 2ln(
7)
7)
2ln(
32)
5
5
5
5
5
7
a
7
5
Q
p1
1 1
R
p2
x
f
g
s t
b
32
5

Ävelse 1
Hvilke af fÅlgende tal er lige store?
(1)
2
5
(7)
(2)
2
4
(8)
5 5
Ävelse 2
2
3
5
3
2 4
5
(3)
Hvilke af fÅlgende tal er lige store?
1
(1)
7
(7)
(2)
8 7
7
8 7
8
Ävelse 3
18
7
8
(8)
2
3
5
3
(4)
2
3 (5)
3
(9)
2
4 (10)
5
1
(3) 8 (4)
7
1 1
(9)
7 8
1
7
8
SÄt pÇ fÄlles brÅkstreg. Skriv mellemregninger.
2 1
(1)
3 5
1 1
(2)
6 7
Ävelse 4
8
7
8
2
4
5
5
Hvordan Leibniz opfandt integralregningen 5 2012 Karsten Juul
(10)
(5)
8
7
7
8
GÅr rede for at hvis m er 1 stÅrre end n , dvs. hvis m n
1,
sÇ er
Ävelse 5
1 1 1
n m n
m
(a) ReducÖr:
a a
a
a
a a
(b) SÄt pÇ fÄlles brÅkstreg. Skriv mellemregninger.
1
a
1
a
4 5
(c) Bevis fÅlgende ved at sÄtte pÇ fÄlles brÅkstreg:
1
k
2
1
2
k 1
1
k
2
6
2 3
3
1
2
7
2
(6) 2
1
(6)
3
(d) Brug reglen fra (c) til at omskrive nedenstÇende. Du skal ikke udregne potenserne.
1
4
2
3
2
1
2
2
1
2
(e) Brug metoden (2) fra afsnit 4 pÇ side 2 til at udregne nedenstÇende sum.
1
2
1 1
1
=
2 3
n
2 2
2

Ävelse 6
Figuren til hÅjre stammer fra afsnit 5. I dette afsnit er
omtalt et rektangel med hÅjde y1 og bredde 1 som ligger i
den fÅrste strimmel.
(a) Tegn dette rektangel.
(b) Tegn ogsÇ rektanglet med hÅjde y2 i nÄste strimmel.
Ävelse 7
I denne Åvelse har bogstavbetegnelserne samme betydning
som i
afsnit 5 pÇ side 2
afsnit 6 pÇ side 3
afsnit 7 pÇ side 3
bortset fra at vi i stedet for grafen i afsnit 5 bruger f-grafen til
hÅjre pÇ millimeterpapir.
(a) a , b , n
(b) y 1 , y 2 , y3
(c) VÄlg at sÄtte p 0,
8 .
0
p , p , p
1
2
(d) I koordinatsystemet til hÅjre skal du tegne punkter svarende
til punkterne i koordinatsystemet i afsnit 6.
(e) Tegn grafen for g .
(f ) g (a)
, g(b)
(g) Regel (4) fra afsnit 7 siger at for omrÇdet
mellem f-grafen og x-aksen er
Ävelse 8
areal
(a) I afsnit 6 afsatte vi punkter ud fra grafen i afsnit 5.
I denne Åvelse skal du pÇ tilsvarende mÇde afsÄtte
punkter ud fra grafen nedenfor. BemÄrk at enheden
er mindre end i Åvelse 7.
(b) Tegn g-grafen gennem disse punkter.
(c) Tallet g(
) g(
)
er en tilnÄrmet vÄrdi for arealet mellem f-grafen
og x-aksen.
f
Hvordan Leibniz opfandt integralregningen 6 2012 Karsten Juul
3
y1
y2
f
f
yn
a b
Dette er teori. Du skal ikke bruge metoden
i eksamensopgaver. (Hvis metoden
skulle give et resultat med stor nÅjagtighed,
sÇ mÇtte vi dele op i sÇ mange
strimler at en computer var nÅdvendig).

Ävelse 9
(a) I summen a a ) ( a a )
( a a )
( 1 2 2 3
5 6
har vi skrevert i stedet for nogle led. Skriv disse led:
(b) I summen a a ) ( a a )
( a )
er det nÄstsidste led
Ävelse 10
( 2 1 3 2
n an1
(a) q q q q q q ( q q )
q q
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
(b) r r r r
r r r r
5
4 6 5 7 6 8 7
(c) s s
s s s
Ävelse 11
2 1 3 2
n sn1
x 2 3 4 5 x 0 1 2 3
f (x) 15,5 18,0 20,5 23,0 g(x) 5 6 8 11
Kun Ön af funktionerne f og g er lineÄr. Det er og dens hÄldningskoefficient er .
Ävelse 12
Funktionerne f og g er lineÄre. Udfyld tabellerne uden at finde forskrifterne.
x 1 2 3 4 x 3 4 5 6
f (x) 17 22 g(x) 50 100
f 's hÄldningskoefficient er . g 's hÄldningskoefficient er .
Ävelse 13
Af formlen
y2
y1
a
fÇr vi at k 's hÄldningskoefficient
x x
l 's hÄldningskoefficient =
2
k
1
1,
4
m 's hÄldningskoefficient = (Skriv et udtryk med bogstaver).
2,
6
1
l
Hvordan Leibniz opfandt integralregningen 7 2012 Karsten Juul
b
c
1 1
d
m

Ävelse 14
(a) Hvilke af fÅlgende seks tal er ens?
(1) g (u)
(4) h k
(2) g (v)
(5) t 's
hÄldningskoefficient
(3) k h (6) m 's
hÄldningskoefficient
(b) Tegn den tangent hvis hÄldningskoefficient er g (u)
.
Ävelse 15
(a) Arealet mellem grafen og x-aksen skal du dele op
i strimler af bredde 1 som vist i afsnit 5 pÇ side 2.
(b) I afsnit 5 er omtalt nogle rektangler hvis arealer er
ca. lig arealerne af strimlerne. Tegn de tilsvarende
rektangler her (ikke andre som du synes er bedre).
(c) Vi ser at rektanglernes samlede areal er lidt stÅrre
end arealet mellem graf og x-akse, og at forskellen
pÇ arealerne er de dele af rektanglerne der er over
grafen. Marker disse dele.
(d) PÇ den nederste af de to figurer er enheden mindre,
sÇ rektanglernes samlede areal bliver en bedre
tilnÄrmelse til arealet mellem graf og x-akse. Besvar
spÅrgsmÇl (a), (b) og (c) for den nederste figur.
(e) Leibniz sagde at rektanglernes samlede areal er
nÅjagtig lig arealet mellem grafen og x-aksen nÇr
enheden er .
Ävelse 16
(a) PÇ begge figurer skal du tegne tangenten t til
grafen i punktet P .
(b) BemÄrk at enheden er mindre pÇ nederste figur.
PÇ begge figurer skal du tegne linjen m der gÇr
gennem P og det grafpunkt Q hvis x-koordinat
er 1 enhed mindre end P 's x-koordinat.
BemÄrk at enheden er mindre pÇ nederste figur.
(c) m 's hÄldningskoefficient er en tilnÄrmelse til
tangentens hÄldningskoefficient.
TilnÄrmelsen er bedst pÇ nederste figur fordi
enheden er mindre.
Leibniz sagde at m 's hÄldningskoefficient er
nÅjagtig lig tangentens hÄldningskoefficient nÇr
enheden er .
(d) PÇ Åverste figur er
m 's hÄldningskoefficient = =
(e) PÇ nederste figur er
m 's hÄldningskoefficient = =
Hvordan Leibniz opfandt integralregningen 8 2012 Karsten Juul
t
m
g
h
P
P
k
1
u v

Ävelse 17
Vi har fÇet oplyst at
og at
h(
x)
1
2
x
h( x)
g(
x)
Ved at bruge metoden (6) fra side 4 fÇr vi
Areal af M = =
Ävelse 18
Det er oplyst at
m ( x)
n(
x)
.
Hvilke af fÅlgende 6 udtryk er samme tal?
(1) areal mellem m-graf og x-akse
(2) areal mellem n-graf og x-akse
(3) m( 2)
m(
0)
(4) m( 0)
m(
2)
(5) n( 0)
n(
2)
(6) n( 2)
n(
0)
Ävelse 19
Det er oplyst at
f ( x)
h(
x)
.
(a) Hvilke af fÅlgende udtryk er samme tal?
(1) areal mellem h-graf og x-akse
(2) areal mellem f-graf og x-akse
(3) f ( 2)
f ( 2)
(4) h(
2)
h(
2)
(b) Arealet mellem h-grafen og x-aksen er ca. .
Hvordan Leibniz opfandt integralregningen 9 2012 Karsten Juul
M
g
f
h
m
n