Diskret matematik - Georg Mohr-Konkurrencen

More documents

Recommendations

Info

Noter om opgaver i diskret <strong>matematik</strong>, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 4 2.12 Eksempel I et land er der et endeligt antal byer, og nogle af byerne er forbundet med ensrettede veje. Hvis vi opfatter byerne som knuder og vejene som kanter, har vi en orienteret graf. Vi ved yderligere at for hvert par af byer kan man komme fra den ene til den anden eller omvendt eventuelt via andre byer. Vi vil nu vise at der findes en by hvorfra man kan komme til alle andre byer. Lad A være en by fra hvilken man kan komme til flest andre byer. Antag at der findes en by B som ikke kan nås fra A. Da kan man komme fra B til A og derfra videre til alle de byer der kan nås fra A. Dette er i modstrid med A’s maksimalitet. (BW 1992) 2.13 Opgave Den Forunderlige Ø’s efterretningstjeneste har 16 spioner i Tartu. Hver af dem overvåger nogle af sine kolleger, men der er intet par af spioner der overvåger hinanden. Desuden ved man at hvis man udtager ti tilfældige spioner, kan de nummereres således at nummer et overvåger nummer to, nummer to overvåger nummer tre osv., og den tiende desuden overvåger nummer et. Vis at man også kan gøre dette med 11 tilfældigt valgte spioner. (BW 1994) De næste opgaver er blandede opgaver hvor alle problemstillingerne drejer sig om grafer. 2.14 Opgave På en danseaften har enhver af de tilstedeværende herrer danset med mindst en af de tilstedeværende damer, og enhver dame har ligeledes danset med mindst en af herrerne. Der findes ingen herre der har danset med samtlige damer, og ingen damer der har danset med samtlige herrer. Bevis at der findes to herrer og to damer således at de to herrer har danset med præcis en af de to damer og omvendt. 2.15 Opgave Antag at G er en sammenhængende graf med k kanter. Vis at det er muligt at nummerere kanterne 1, 2, 3, . . . k således at hver knude som er forbundet med mindst to kanter, opfylder at største fælles divisor af tallene på alle de tilstødende kanter er 1. (IMO 1991) 2.16 Opgave I en komplet graf med ni knuder er kanterne enten røde, blå eller slet ikke farvede. Lad n betegne antallet af farvede kanter. Bestem den mindste værdi af n således at der altid findes tre knuder som er forbundet af kanter af samme farve. (IMO 1992) 3 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på i disse noter, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, der gælder samme regler for hvordan A og B må trække, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der er desuden kun et endeligt antal træk, dvs.
Noter om opgaver i diskret <strong>matematik</strong>, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 5 spillet kan ikke ende uafgjort, og en af de to spillere må derfor have en vindende strategi. (Hvorfor det? Overvej.) I det første eksempel og de første opgaver vi skal se på, er strategien at dele alle startpositioner i to grupper: Dem hvor første spiller har en vindende strategi, og dem hvor hun ikke har, dvs. dem hvor spiller nummer to har en vindende strategi. 3.1 Eksempel I et spil ligger der n sten på et bord, og de to spillere A og B må i hvert træk fjerne 1, 2, . . . , k − 1 eller k sten fra bordet. Den spiller der tager de sidste sten, har vundet. Spørgsmålet er nu for hvilke værdier af n den første spiller A har en vindende strategi. Dette kan man finde ud af ved at prøve sig frem med små tal. Det er for eksempel indlysende at for n ∈ {1, 2, . . . , k} har spiller A en vindende strategi, mens for n = k + 1 har hun ikke. Dvs. A har en vindende strategi, hvis hun efter første træk kan efterlade k + 1 sten på bordet, og det kan hun netop for n ∈ {k + 2, k + 3, . . . , 2k + 1}. På denne måde ser man induktivt at A har en vindende strategi, netop når n ikke er et multiplum af k + 1. Hvis n ikke er et multiplum af k + 1, kan A nemlig efter hvert træk efterlade et bord med et multiplum af k + 1 sten, mens hvis der fra starten er et multiplum af k + 1 sten, vil B efter hvert træk have mulighed for at efterlade et multiplum af k + 1 sten på bordet. (Engel) 3.2 Vindermængde og tabermængde Af eksemplet fremgår det hvordan man deler startmulighederne op i to mængder som vi kalder tabermængden, og som vi kalder for vindermængden. T = {n ∈ N|n = m(k + 1) for m ∈ N} V = {n ∈ N|n ≠ m(k + 1) for m ∈ N} Med et udgangspunkt fra vindermængden skal der findes et træk så man lander i tabermængden, og med udgangspunkt i tabermængden skal man efter et vilkårligt lovligt træk lande i vindermængden. 3.3 Opgave I et spil ligger der n sten på et bord, og de to spillere A og B må i hvert træk fjerne 1, 2, 4, 8, . . . (altså alle potenser af 2) sten fra bordet. Den spiller der tager de sidste sten, har vundet. Bestem de værdier af n for hvilke spiller A har en vindende strategi. (Engel) 3.4 Opgave Fire bunker med henholdsvis 38, 45, 61 og 70 tændstikker ligger på et bord. To spillere skiftes til at udvælge to bunker og fjerne et antal tændstikker fra hver. (De skal altså fjerne mindst en fra hver bunke, men behøver ikke at fjerne lige mange fra hver.) Den spiller som først ikke kan trække, taber. Hvilken af de to spillere har en vindende strategi? (Baltic Way 1996)
Page 1 and 2: Noter om opgaver i diskret matemati
Page 3: Noter om opgaver i diskret matemati

Diskret matematik - Georg Mohr-Konkurrencen

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?