Diskret matematik - Georg Mohr-Konkurrencen

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1
Diskret matematik
Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver
der kan løses ved farvelægning.
1 Skuffeprincippet
Skuffeprincippet benytter de fleste helt intuitivt, og det hører egentlig ikke hjemme under
noget bestemt emne, men benyttes i mange forskellige opgavetyper. Skuffeprincippet går
ud på at hvis man har n + 1 bolde som man placerer i n skuffer, så findes der mindst en
skuffe med mindst to bolde.
1.1 Eksempel
Hvis 1100 mennesker er forsamlet så vil mindst 4 ifølge skuffeprincippet have fødselsdag
samme dag da 3 · 366 = 1098 < 1100.
1.2 Eksempel
Man kan også bruge skuffeprincippet til at vise at visse følger er periodiske fra et vist
trin: Betragt følgen 1, 3, 6, 0, 9, 5, 4, . . . hvor det næste tal i følgen, fra og med det fjerde,
er summen af de tre foregående modulo 10. Den må være periodisk fra et vist trin ifølge
skuffeprincippet da der kun er endeligt mange kombinationer af tre cifre.
1.3 Eksempel
I en vilkårlig delmængde af mængden M = {1, 2, 3, . . . , 100} med 15 elementer findes to
talpar med samme differens: I delmængden er der nemlig i alt ( )
15
2 = 105 forskellige talpar
hvis differens er et helt tal mellem 1 og 99.
Her er nogle eksempler på meget forskellige opgavetyper hvor man kan anvende skuffeprincippet.
1.4 Opgave
Vis at hvis et 2×2 kvadrat indeholder 10 punkter, da vil der findes to punkter med afstand
mindre end en.
1.5 Opgave
Under en matematikforelæsning sover fem matematikere præcis to gange hver. De var alle
vågne da forelæsningen startede, og for hvert par af matematikere var der et tidspunkt
hvor de begge sov.
Vis at der på et tidspunkt var mindst tre matematikere der sov samtidig.
1.6 Opgave
Vis at uanset hvordan 15 punkter afsættes inden for en cirkel med radius 2 (cirkelranden
medregnet), vil der eksistere en cirkel med radius 1 (cirkelranden medregnet) som
indeholder mindst 3 af de 15 punkter. (Georg Mohr 91)

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 2
1.7 Opgave
Ethvert punkt i planen er malet i en af n givne farver. Vis at der findes et rektangel hvis
hjørner alle har samme farve. (Engel)
2 Grafteori
I dette afsnit får du en meget kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt
eksempler på opgavetyper inden for emnet.
2.1 Definition af graf
En graf er et par bestående af en ikke-tom mængde af knuder (også kaldet hjørner eller
punkter) samt en mængde af kanter, hvor hver kant forbinder to knuder med hinanden
eller forbinder en knude med knuden selv. En kant der forbinder en knude med sig selv,
kaldes en løkke.
En knudes valens er det antal kanter der støder op til knuden, dog tæller en kant der går
fra knuden til knuden selv, dobbelt. Bemærk at summen af samtlige punkters valens er
lige da hver kant bidrager med to til summen.
2.2 Veje og sammenhængende grafer
En vej (også kaldet en sti) er en følge af kanter e 1 , e 2 , . . . e n således at kant e k , 1 < k < n
har den ene endeknude tilfælles med e k−1 og den anden med e k+1 .
En graf kaldes for sammenhængende hvis der for to vilkårlige knuder findes en vej fra den
ene knude til den anden.
2.3 Eksempel
Figur 1:
Denne graf består af 6 knuder og 8 kanter, og knuden A har valens 3. Grafen er sammenhængende
og indeholder fx en vej som består af seks kanter fra A til F .
2.4 Komplet graf
En komplet graf er en graf hvor samtlige par af knuder er forbundet med netop en kant.
En komplet graf med fx fire knuder har derfor ( 4
2)
= 6 kanter, og en komplet graf med n
kanter har ( n
2)
kanter.

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 3
2.5 Eksempel på komplet graf med farvede kanter
I en komplet graf med 6 knuder er samtlige kanter farvet enten blå eller røde. I dette
eksempel vil vi vise at der uanset hvordan kanterne er farvede, altid findes tre knuder der
er forbundet med kanter af samme farve.
Vælg en tilfældig knude som vi kalder A. Da der fra A udgår fem kanter, udgår der mindst
tre kanter med samme farve, lad os sige rød, til tre andre knuder. Hvis to af disse tre
andre knuder er forbundet med en rød kant, danner de sammen med A tre knuder som er
forbundet med kanter af samme farve. Hvis ikke, er disse tre knuder forbundet udelukkende
med blå kanter.
2.6 Opgave
I en komplet graf med 17 knuder er alle kanter malet enten blå, røde eller grønne.
Vis at der uanset hvordan grafen er farvet, altid findes tre knuder som er forbundet af
kanter af samme farve. (IMO 1964)
2.7 Eulerture og Eulergrafer
En Eulertur i en graf er en vej der indeholder samtlige kanter netop en gang, og en lukket
Eulertur er en Eulertur e 1 , e 2 , . . . e n hvor e 1 og e n støder op til samme knude. (Hvis n = 2
skal e 1 og e 2 have begge endeknuder tilfælles.)
En graf kaldes en Eulergraf hvis alle dens kanter udgør en lukket Eulertur.
2.8 Opgave
Bevis at en sammenhængende graf er en Eulergraf netop hvis alle knuder har lige valens.
2.9 Hamiltonkredse og Hamiltongrafer
En kreds af længde n er en vej e 1 , e 2 , . . . e n hvor e 1 og e n støder op til samme knude, og
hvor en vilkårlig knude i grafen er forbundet med nul eller to af kanterne e 1 , e 2 , . . . e n .
En Hamiltonkreds er en kreds som har samme længde som antallet af knuder i grafen. En
graf kaldes en Hamiltongraf hvis den indeholder en Hamiltonkreds.
2.10 Opgave
I en skov bor der n, n ≥ 3, dyr i hver sin hule, og der er præcis en separat sti mellem hvert
par af huler. Før valget af Skovens Konge laver nogle af dyrene en valgkampagne. Hvert af
de dyr der laver valgkampagne, besøger alle de andre huler præcis en gang, benytter kun
de beskrevne stier, skifter ikke sti mellem to huler og vender til slut tilbage til sin egen
hule. I forbindelse med valgkampagnen benyttes ingen sti af mere end et dyr.
Vis at hvis n er et primtal, da kan netop n−1
2
dyr maksimalt lave valgkampagne.
Hvor mange dyr kan maksimalt lave valgkampagne for n = 9? (BW 1997)
2.11 Orienterede grafer
En orienteret graf er en graf hvor alle kanter har en retning.

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 4
2.12 Eksempel
I et land er der et endeligt antal byer, og nogle af byerne er forbundet med ensrettede veje.
Hvis vi opfatter byerne som knuder og vejene som kanter, har vi en orienteret graf.
Vi ved yderligere at for hvert par af byer kan man komme fra den ene til den anden eller
omvendt eventuelt via andre byer. Vi vil nu vise at der findes en by hvorfra man kan
komme til alle andre byer. Lad A være en by fra hvilken man kan komme til flest andre
byer. Antag at der findes en by B som ikke kan nås fra A. Da kan man komme fra B
til A og derfra videre til alle de byer der kan nås fra A. Dette er i modstrid med A’s
maksimalitet. (BW 1992)
2.13 Opgave
Den Forunderlige Ø’s efterretningstjeneste har 16 spioner i Tartu. Hver af dem overvåger
nogle af sine kolleger, men der er intet par af spioner der overvåger hinanden. Desuden
ved man at hvis man udtager ti tilfældige spioner, kan de nummereres således at nummer
et overvåger nummer to, nummer to overvåger nummer tre osv., og den tiende desuden
overvåger nummer et.
Vis at man også kan gøre dette med 11 tilfældigt valgte spioner. (BW 1994)
De næste opgaver er blandede opgaver hvor alle problemstillingerne drejer sig om grafer.
2.14 Opgave
På en danseaften har enhver af de tilstedeværende herrer danset med mindst en af de
tilstedeværende damer, og enhver dame har ligeledes danset med mindst en af herrerne.
Der findes ingen herre der har danset med samtlige damer, og ingen damer der har danset
med samtlige herrer.
Bevis at der findes to herrer og to damer således at de to herrer har danset med præcis
en af de to damer og omvendt.
2.15 Opgave
Antag at G er en sammenhængende graf med k kanter. Vis at det er muligt at nummerere
kanterne 1, 2, 3, . . . k således at hver knude som er forbundet med mindst to kanter, opfylder
at største fælles divisor af tallene på alle de tilstødende kanter er 1. (IMO 1991)
2.16 Opgave
I en komplet graf med ni knuder er kanterne enten røde, blå eller slet ikke farvede. Lad n
betegne antallet af farvede kanter.
Bestem den mindste værdi af n således at der altid findes tre knuder som er forbundet af
kanter af samme farve. (IMO 1992)
3 Spilstrategier
De spiltyper vi skal se på i disse noter, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere
A og B som skiftes til at trække, der gælder samme regler for hvordan A og B må trække,
og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der er desuden kun et endeligt antal træk, dvs.

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 5
spillet kan ikke ende uafgjort, og en af de to spillere må derfor have en vindende strategi.
(Hvorfor det? Overvej.)
I det første eksempel og de første opgaver vi skal se på, er strategien at dele alle startpositioner
i to grupper: Dem hvor første spiller har en vindende strategi, og dem hvor hun
ikke har, dvs. dem hvor spiller nummer to har en vindende strategi.
3.1 Eksempel
I et spil ligger der n sten på et bord, og de to spillere A og B må i hvert træk fjerne
1, 2, . . . , k − 1 eller k sten fra bordet. Den spiller der tager de sidste sten, har vundet.
Spørgsmålet er nu for hvilke værdier af n den første spiller A har en vindende strategi.
Dette kan man finde ud af ved at prøve sig frem med små tal. Det er for eksempel indlysende
at for n ∈ {1, 2, . . . , k} har spiller A en vindende strategi, mens for n = k + 1 har
hun ikke. Dvs. A har en vindende strategi, hvis hun efter første træk kan efterlade k + 1
sten på bordet, og det kan hun netop for n ∈ {k + 2, k + 3, . . . , 2k + 1}. På denne måde ser
man induktivt at A har en vindende strategi, netop når n ikke er et multiplum af k + 1.
Hvis n ikke er et multiplum af k + 1, kan A nemlig efter hvert træk efterlade et bord med
et multiplum af k + 1 sten, mens hvis der fra starten er et multiplum af k + 1 sten, vil
B efter hvert træk have mulighed for at efterlade et multiplum af k + 1 sten på bordet.
(Engel)
3.2 Vindermængde og tabermængde
Af eksemplet fremgår det hvordan man deler startmulighederne op i to mængder
som vi kalder tabermængden, og
som vi kalder for vindermængden.
T = {n ∈ N|n = m(k + 1) for m ∈ N}
V = {n ∈ N|n ≠ m(k + 1) for m ∈ N}
Med et udgangspunkt fra vindermængden skal der findes et træk så man lander i tabermængden,
og med udgangspunkt i tabermængden skal man efter et vilkårligt lovligt træk
lande i vindermængden.
3.3 Opgave
I et spil ligger der n sten på et bord, og de to spillere A og B må i hvert træk fjerne
1, 2, 4, 8, . . . (altså alle potenser af 2) sten fra bordet. Den spiller der tager de sidste sten,
har vundet.
Bestem de værdier af n for hvilke spiller A har en vindende strategi. (Engel)
3.4 Opgave
Fire bunker med henholdsvis 38, 45, 61 og 70 tændstikker ligger på et bord. To spillere
skiftes til at udvælge to bunker og fjerne et antal tændstikker fra hver. (De skal altså fjerne
mindst en fra hver bunke, men behøver ikke at fjerne lige mange fra hver.) Den spiller som
først ikke kan trække, taber.
Hvilken af de to spillere har en vindende strategi? (Baltic Way 1996)

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 6
3.5 Opgave
I et spil ligger der n sten på et bord, og de to spillere A og B må i hvert træk fjerne p n ,
hvor p er et primtal og n et ikke-negativt helt tal, sten fra bordet. Den spiller der tager
de sidste sten, har vundet.
Bestem tabermængden. (Engel)
3.6 Uendelig tabermængde
I de foregående eksempler og opgaver har vi eksplicit bestemt tabermængden og vindermængden,
men det er ikke altid så let. I dette eksempel skal vi se på et spil hvor der ligger
to bunker med sten på bordet. Hvert træk består i at fjerne et antal sten fra den ene bunke
eller fjerne samme antal sten fra begge bunker. En udgangsposition med a sten i den ene
bunke og b i den anden betegner vi med (a, b).
Dette eksempel går ud på at vise at der findes uendeligt mange udgangspositioner så
spiller B har en vindende strategi, men altså ikke bestemme dem. Dette svarer til at vise
at tabermængden er uendelig.
Man kan godt pusle sig frem til de første elementer i tabermængden og finde en algoritme
for hvordan det næste element fremkommer og derved vise at den er uendelig, men i dette
eksempel skal I se et andet trick hvor man overhovedet ikke behøver at bestemme et eneste
element i tabermængden.
Vi viser det i stedet indirekte ved at antage at tabermængden er endelig. Da findes
et største element i tabermængden (n, m), n ≥ m, således at ingen andre elementer i
tabermængden indeholder en bunke med flere end n sten. Dermed må udgangspositionen
(n + 1, 2n + 2) ligge i vindermængden, og der skal altså findes et træk så man fra denne
position ender i tabermængden, men det gør der ikke. Dermed har vi en modstrid, og
tabermængden er dermed uendelig.
Samme trick skal du benytte i næste opgave.
3.7 Opgave
To personer spiller følgende spil. Der ligger til at starte med n sten på bordet, og hver
spiller skiftes til at tage m 2 sten fra bordet hvor m er et naturligt tal. Den spiller der tager
de sidste sten, har vundet.
Vis at der findes uendeligt mange værdier af n for hvilke spiller nummer to har en vindende
strategi. (Baltic Way 1995)
Nu skal vi se på nogle spil som nemt bliver så uoverskuelige at det er umuligt at bestemme
taber- og vindermængden. Når man er på jagt efter en vindende strategi, kan man ikke
få overblik over alle de situationer der kan opstå i spillet, men man kan ved hjælp af en
strategi der bygger på symmetri, sørge for at man kun kommer ud i et overskueligt udvalg
af alle disse muligheder.
3.8 Parring ved hjælp af symmetri
På et skakbræt skiftes spiller A og B til at placere en springer. Spiller A placerer hvide
springere og B sorte. De må kun placere springerne på tomme felter som ikke er truet af
en springer af modsat farve. Den spiller som først ikke kan placere en springer, har tabt.
Vi skal nu undersøge hvem af A og B der har en vindende strategi, når spiller A starter.

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 7
Det er let at se at det bliver fuldstændigt uoverskueligt at opdele samtlige mulige situationer
i en vinder- og tabermængde, men hvis vi blot kan finde en vindende strategi for en
af spillerne, er det også godt nok. I dette tilfælde har spiller B en vindende strategi. Hvis
hun udnytter den vandrette (eller lodrette) symmetriakse midt gennem brættet der parrer
felterne to og to, og hver gang at spiller A har placeret en springer, placerer en springer
på det felt der er parret med det felt hvor spiller A placerede, vil hun altid have mulighed
for at trække.
Her udnytter man altså at felterne kan parres to og to så man hele tiden har mulighed for
at kopiere modspillerens træk og dermed sikre sig at han først står i en situation hvor han
ikke kan trække.
3.9 Opgave
På et skakbræt skiftes spiller A og B til at placere en løber. Spiller A placerer hvide løbere
og B sorte. De må kun placere løberne på tomme felter som ikke er truet af en løber af
modsat farve. Den spiller som først ikke kan placere en løber, har tabt.
Afgør hvilken af de to spillere der har en vindende strategi. (Engel)
3.10 Opgave
På et 5 × 5 skakbræt spiller to spillere følgende spil. Den første spiller placerer en springer
på brættet hvorefter spillerne på skift startende med den anden spiller flytter springeren
til et felt som ikke før har været besøgt. Den første spiller som ikke kan flytte springeren,
har tabt.
Hvilken af de to spillere har en vindende strategi? (Baltic Way 1997)
3.11 Opgave
Georg og hans mor spiller et spil hvor der til at starte med er n bunker med lige mange
mønter i hver. De har tur på skift, og i hver tur må de fjerne en eller flere mønter fra
samme bunke. Den spiller der tager den sidste mønt, har vundet. Georg starter altid.
Bestem de værdier af n for hvilke Georg har en vindende strategi.
3.12 Opgave
Astrid og Malte spiller følgende spil på et n × 1001 skakbræt, hvor n ≥ 1001. På skift
farver de for et naturligt tal k alle de k 2 felter i et k × k kvadrat røde. Tallet k må gerne
variere fra træk til træk, men det er ikke tilladt at kvadratet indeholder felter som allerede
er farvede. Den spiller der først ikke kan trække, har tabt. Bestem samtlige værdier af n
for hvilke Astrid har en vindende strategi når hun er den der trækker først.
3.13 Opgave
På et uendeligt skakbræt skiftes to spillere til at markere et tomt felt. Den ene spiller
markerer med kryds og den anden med bolle. Den der først har udfyldt fire felter som
danner et 2 × 2 kvadrat med sit symbol, har vundet.
Har den spiller der starter, altid en vindende strategi? (Baltic Way 1996)
(Bemærk at dette spil afviger fra de andre vi har set på, da det kan fortsætte i det
uendelige.)

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 8
4 Farvning
I dette afsnit skal vi se på opgaver som man kan løse ved at farvelægge de objekter man
betragter, på en hensigtsmæssig måde.
4.1 Eksempel
Et klassisk eksempel på dette er at et skakbræt hvor to diagonalt modsatte hjørner er
fjernet, ikke kan dækkes med 1 × 2 brikker. Disse dækker nemlig alle et hvidt og et sort
felt, men når de to hjørner er fjernet, er der ikke lige mange sorte og hvide felter.
4.2 Eksempel
I foregående eksempel var farvningen allerede givet på forhånd, men nogle gange skal man
selv finde på en smart farvelægning. I dette eksempel skal vi se på et rektangulært gulv
som er dækket af 2 × 2 fliser og 1 × 4 fliser. Spørgsmålet er nu: Hvis en flise knækker, kan
den så hvis man omarrangerer fliserne, erstattes af en flise af den anden type? Vi ønsker
nu at finde en smart farvning der viser at dette ikke kan lade sig gøre, dvs. vi skal finde en
farvelægning således at de to flisetyper ikke dækker lige mange hvide felter og lige mange
sorte. Den traditionelle skakbrætfarvning virker ikke i dette tilfælde, men farvelægningen
på figur 2 opfylder netop dette, og det viser at en enkelt flise ikke kan erstattes af en flise
af den anden type. (Engel)
Figur 2:
4.3 Opgave
Kan et skakbræt hvor alle fire hjørner er fjernet, dækkes af brikker af følgende type?
Figur 3:

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 9
4.4 Opgave
Kan et 13 × 13 skakbræt hvor det midterste felt er fjernet, dækkes af 1 × 4 brikker? (Baltic
Way 1998)
4.5 Opgave
Et 7 × 7 skakbræt er dækket af brikker af følgende to typer:
Vis at der netop er en brik af type b. (Georg Mohr 1997)
Figur 4:
4.6 Opgave
På et uendeligt skakbræt spilles følgende spil. Til at begynde med er der n 2 brikker som
står på et n × n kvadrat således at der er en brik på hvert felt. Et træk består i lade en
brik hoppe hen over en nabobrik lodret eller vandret til et tomt felt lige på den anden
side, og fjerne den brik man hoppede henover.
Bestem samtlige værdier af n for hvilke det er muligt at ende med en brik på brættet.
(IMO 1993)
4.7 Eksempel
I de foregående opgaver har vi udnyttet en smart farvning, men nogen gange er det hensigtsmæssigt
ikke at knytte farver, men tal til de enkelte felter da det giver nye muligheder
som vi skal se i dette eksempel.
Et skakbræt dækkes med 32 dominobrikker således at brikkerne dækker netop to felter
hver. De brikker der ligger vandret, og hvis venstre del dækker et sort felt, kalder vi SHbrikker,
og de brikker hvis venstre del dækker et hvidt felt, kalder vi HS-brikker. Vi vil
nu ved at knytte tal til de enkelte felter på skakbrættet vise at der er lige mange af de
to typer brikker. Nummerer søjlerne 1-8 fra venstre mod højre. Alle sorte felter får tildelt
nummeret fra den søjle de ligger i, og alle hvide felter får tildelt minus dette nummer. Alle
brikker der ligger lodret, dækker nu to felter hvis sum er nul, mens SH-brikker dækker to
felter hvis sum er -1, og HS-brikker dækker to felter hvis sum er 1. Da summen af samtlige
felter er nul, må der være lige mange SH-brikker og HS-brikker.
4.8 Opgave
En kube med sidelængde 2n er sammensat af 4n 3 brikker af formen 2 × 1 × 1 som hver af
sammensat af et hvidt og et sort enhedskvadrat. Brikkerne ligger sådan at alle sidefladerne

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 10
i de hvide enhedskvadrater støder op til sorte og omvendt.
Vis at hvis man ser på alle de brikker der ligger lodret, så har halvdelen den hvide del
opad og halvdelen den sorte del opad.