Begreber

Begreber
Model og modelkontrol
Estimation af parametre. Fordeling.
Hypotese og test. Teststørrelse.
konfidensintervaller
Dages tema: “to normalfordelte observationsrækker” (3.2.1
i BG)
Relevant at undersøge om varianserne er ens og om
middelværdierne er ens. Vi tager udgangspunkt i Ex. 2.5.
(De stakkels fluer).
– p. 1/22

To normalfordelte obs. rækker - intro
Lad x ij betegne den jte observation i den ite gruppe for
i = 1, 2 og j = 1,...,n i .
Det vil sige at i angiver gruppen, mens j angiver
gentagelsen.
I Ex. 2.5 har vi, at
i = 1 svarer til gas i 30s
i = 2 svarer til gas i 60s.
Dermed er
n 1 = 16 idet 16 fluer får gas i 30s
n 2 = 15 idet 15 fluer får gas i 60s.
– p. 2/22

Model:
M 0 : X ij ∼ N(µ i ,σ 2 i ).
“To normalfordelte observationsrækker”
Det vil sige
Der er samme fordeling indenfor hver gruppe (“Fluer
der får gas i lige lang tid reagerer ens”).
For fastholdt i har vi blot “en normalfordelt
observationsrække”.
µ i og σi 2 angiver middelværdi hhv. varians i den ite
gruppe.
Eks.: µ 1 er middelværdien for fluer der får gas i 30s i Ex.
2.5.
– p. 3/22

Modelkontrol:
Fraktildiagrammer hvor man kigger efter systematiske
afvigelser fra rette linjer.
I Eks. 2.5 viser fraktildiagrammerne, at vi er nødt til at
logaritmetransformere.
Det vil sige, at x ij angiver logaritmen til kontakttiden for
den jte flue i den ite gruppe.
– p. 4/22

Estimation
Da vi blot har 2× “en normalfordelt observationsrække”,
beregnes estimaterne naturligvis som i Afsnit 3.1.
Dvs. med den nye notation har vi
µ i ← ¯x i. ∼∼ N(µ i ,σ 2 i /n i )
σ 2 i ← s 2 (i) = SSD (i)
f (i)
∼∼ σ 2 i χ 2 (f (i) )/f (i)
for i = 1, 2, hvor
f (i) = n i − 1 og SSD (i) er summen af
kvadratafvigelserne i gruppe i.
– p. 5/22

Bemærkninger
Vi benytter fodtegn (i) til at markere størrelser, der
beregnes i gruppe i.
Alle 4 stokastiske variable er uafhængige.
– p. 6/22

Hypotese og test:
To relevante hypoteser:
H 0σ
2 : σ 2 1 = σ2 2
(samme varians i de to grupper)
H 0µ : µ 1 = µ 2
(samme middelværdi i de to grupper)
Hvis man først kan få accepteret H 0σ 2, er det let at teste
H 0µ .
Vi undersøger derfor først H 0σ 2.
– p. 7/22

Test for H 0σ 2
Vi har
σ 2 i ← s 2 (i) = SSD (i)
f (i)
∼∼ σ 2 i χ 2 (f (i) )/f (i)
Hvis H 0σ
2 er sand, har vi derfor at
F := s2 (1)
s 2 (2)
∼∼ F(f (1) ,f (2) ) .
(Udledning på tavlen).
– p. 8/22

Test for H 0σ 2 - fortsat
Vi forventer at F er tæt på 1.
Det vil sige at store (>> 1) og små (

Test for H 0σ 2 - i Ex. 2.5
Sandsynligheden for at få noget der er større er
P(F > 1.077) = 1 − F F(f(1) ,f (2) )(1.077) = 0.447 .
Hvilke små værdier er mere kritiske end 1.077 →
vanskeligt at afgøre.
– p. 10/22

Test for H 0σ 2 - i Ex. 2.5
Sandsynligheden for at få noget der er større er
P(F > 1.077) = 1 − F F(f(1) ,f (2) )(1.077) = 0.447 .
Hvilke små værdier er mere kritiske end 1.077 →
vanskeligt at afgøre.
Vi ganger derfor med 2 som tidligere og får
Hypotesen accepteres.
p obs (x) = 2 · 0.447 = 0.894 .
– p. 10/22

Generel formel til beregning af testss.
Lad
s 2 tæller = max{s2 (1) ,s2 (2) }
s 2 nævner = min{s 2 (1) ,s2 (2) };
Definer f tæller og f nævner tilsvarende.
(Af regnetekniske årsager er det smart at have det største
variansskøn i tælleren).
Da kan testsandsynligheden for H 0σ
2 beregnes som
p obs (x) = 2
(
( s
2
))
1 − F tæller
F(ftæller ,f nævner )
s 2 .
nævner
– p. 11/22

Bemærkninger vedr. M 1
Antag at H 0σ
2 accepteres–som i Ex. 2.5. Da er vor model:
M 1 : X ij ∼ N(µ i ,σ 2 ), i = 1, 2,j = 1,...,n i
hvor σ 2 angiver den fælles varians.
Vigtig struktur:
Alle observationer er uafhængige, normalfordelte og
har samme (ukendte) varians.
Der er to ukendte parametre i middelværdistrukturen,
nemlig de to middelværdier µ 1 og µ 2 .
– p. 12/22

Estimation under M 1
Middelværdierne estimeres naturligvis stadig ved
gennemsnittene:
µ i ← ¯x i. ∼∼ N(µ i ,σ 2 /n i )
Senere defineres det middelværdirette variansskøn under
M 1 . Kaldes s 2 1 . – p. 13/22

Estimation under M 1 - fortsat
Vi får derfor, at
Std Error(¯x i. ) =
√
s 2 1
n i
.
Når vi har fundet frihedsgraderne f 1 for s 2 1
beregne 95%-ki for µ i som
kan vi derfor
¯x i. ± t 0.975 (f 1 ) Std Error(¯x i. )
(Ikke samme interval som under M 0 –vi benytter jo et nyt
variansskøn).
– p. 14/22

Variansskønnet s 2 1
Beregnes som et vægtet gennemsnit af de to oprindelige
variansskøn;
σ 2 ← s 2 1 =
f (1)
f (1) + f (2)
s 2 (1) + f (2)
f (1) + f (2)
s 2 (2)
hvor f 1 = f (1) + f (2) .
= SSD (1) + SSD (2)
f 1
– p. 15/22

Variansskønnet s 2 1 - bemærkninger
Fodtegn 1 på variansskøn og frihedsgrader skyldes at
modellen kaldes M 1 .
Der gælder
s 2 1 ∼∼ σ 2 χ 2 (f 1 )/f 1 .
Dermed kan vi udlede et 95%-ki for σ 2 som tidligere.
Dvs vi benytter (3.15); se side 85.
– p. 16/22

Huskeregler:
f 1 = f (1) + f (2) = (n 1 − 1) + (n 2 − 1)
= n 1 + n 2 − 2
er
antallet af observationer minus antallet af ukendte
parametre i middelværdistrukturen.
Vi har
s 2 1 = SSD (1) + SSD (2)
f 1
=
∑ 2
i=1
∑ ni
j=1 (x ij − ¯x i. ) 2
f 1
– p. 17/22

Hypotese H 0µ : µ 1 = µ 2
Bemærk at da
¯x i. ∼∼ N(µ i ,σ 2 /n i )
følger af uafhængigheden at
¯x 1. − ¯x 2. ∼∼ N
(µ 1 − µ 2 ,σ 2 ( 1
n 1
+ 1 n 2
))
Vi forventer at denne forskel er lille (tæt på 0).
– p. 18/22

Test for H 0µ
Dermed betragter vi
t(x) =
√
¯x 1. − ¯x 2.
( ) ∼∼ t(f 1)
1n1
+
n 1 2
s 2 1
hvor store værdier er kritiske. (Udledning på tavlen).
Dvs
p obs (x) = 2(1 − F t(f1 )(|t(x)|))
– p. 19/22

Konfidensinterval for µ 1 − µ 2
Vi ser, at den estimerede spredning på ¯x 1. − ¯x 2. er
Std Error(¯x 1. − ¯x 2. ) =
√
s 2 1
( 1
n 1
+ 1 n 2
)
Et 95%-ki udledes som tidligere, og vi får
¯x 1. − ¯x 2. ± t 0.975 (f 1 ) Std Error(¯x 1. − ¯x 2. ) .
– p. 20/22

Accept af µ 1 = µ 2
Accepteres µ 1 = µ 2 har vi modellen
M 2 : X ij ∼ N(µ,σ 2 )
som jo blot er “en normal fordelt obs. række”.
Estimater:
µ ← ¯x .. ∼∼ N(µ,σ 2 /(n 1 + n 2 ))
←
1 ∑∑
(xij − ¯x .. ) 2
n 1 + n 2 − 1
σ 2
∼∼ σ 2 χ 2 (n 1 + n 2 − 1)/(n 1 + n 2 − 1) .
– p. 21/22

Beregningsformler
Bemærk at i dette tilfælde gælder
USS = USS 1 + USS 2 , S = S 1 + S 2
hvor USS i angiver USSen i ite gruppe, og USS er den
samlede USS.
– p. 22/22