Formler, ligninger, funktioner og grafer - VUC Aarhus

Matematik på AVUEksempler til niveau F, E og DFormler, ligninger, funktioner og graferOmskrivning af formler, funktioner og ligninger ..................... 100Grafisk løsning af ligningssystemer .......................................... 102To ligninger med to ubekendte – beregning af løsninger ......... 105Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 99

Matematik på AVUEksempler til niveau F, E og DGrafisk løsning af ligningssystemerLigningen − 2x + y = 4 har to ubekendte: x og y.Ligningens løsninger er de talpar (x , y), som får lighedstegnet til at passe. Fx er (1 , 6) en løsning.Hvis man sætter x = 1 og y = 6 ind, så passer lighedstegnet. Man får nemlig:− 2x + y = 4− 2 ⋅1+6 = 4− 2 + 6 = 44 = 4Men ligningen har mange andre løsninger. Kontroller selv at (0 , 4) og (2 , 8) fx også er løsninger.Eksempel på opgaveOmskriv ligningen − 2x + y = 4 til en forskrift for en lineær funktion.Tegn også grafen for funktionen og beskriv løsningerne til ligningenVed at bruge metoderne fra ligningsløsningkan ligningen omskrives til en funktionsforskrift:− 2x + y = 4− 2x + y + 2x = 4 + 2xy = 2x + 4Ligningen betyder altså det samme som forskriftenfor den lineære funktion y = 2x + 4 .Ud fra funktionsforskriften kan man lave en tabel:x -3 -2 -1 0 1 2 3y -2 0 2 4 6 8 10Alle talpar i tabellen er løsning til ligningen.Ud fra tabellen kan man tegne grafen til højre.Alle punkter på linjen svarer til et talpar, som er løsning,så der er faktisk uendelig mange løsninger!!1086420-4 -2 0 2 4-2-4Ligninger med to ubekendte, der kan omskrives til en lineær funktion, kaldes lineære ligninger.Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 102

Matematik på AVUEksempler til niveau F, E og DHvis man har to lineære ligninger med to ubekendte,kan man:- omskrive hver ligning til en lineær funktion- tegne graferne for funktionerne i et koordinatsystem- aflæse linjernes skæringspunktSkæringspunktet er løsning til begge ligningerTo ligninger med to ubekendte kaldes et ligningssystem.Eksempel på opgaveFind løsningen til ligningssystemet2y − 4x = −6og x + 2y = 4De to ligninger omskrives hver for sig til lineære funktioner. Man får:2y − 4x = −6x + 2y = 42y − 4x + 4x = −6+ 4x2y = 4x − 62y24x − 6=2y = 2x − 3Der laves en tabel for begge funktioner. Man får fx:x -4 -2 0 2 4y = 2x − 3 -12 -7 -3 1 5y = −0,5x+ 2 4 3 2 1 0Ud fra tabellen kan man tegne graferne til højre.Ud fra både tabel og grafer kan man se,at skæringspunktet er (2 , 1).Løsningen til ligningssystemet er x = 2 og y = 1x + 2y − x = 4 − x2y = −x+ 42y2− x + 4=2y = −0,5x+ 26420-4 -2 0 2 4-2Hvis to ligninger med to ubekendte kan omskrives til-4den samme lineære funktion (linjerne ligger oven ihinanden), så er alle talpar på linjen løsninger.Hvis to ligninger med to ubekendte kan omskrives til-6forskrifterne for to parallelle linjer, som ikke skærer hinanden,så er der ingen løsninger. -8Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 103

Matematik på AVUEksempler til niveau F, E og DI det næste eksempel er det kun den ene ligning, som er lineær.Eksempel på opgaveFind løsningen til ligningssystemetx + y = 8 og x ⋅ y = 12Ligningen til venstre kan omskrives til en lineær funktion.Ligningen til højre kan omskrives til en omvendt proportional funktion. Man får:x + y = 8x + y − x = 8 − xy = −x+ 8x ⋅ y = 12x ⋅ y=xy =Der laves en tabel for begge funktioner.Man kan ikke finde en y-værdi for x = 0 for den omvendt proportionale funktion.x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12y = −x+ 8 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -412y = 12 6 4 3 2,4 2 1,7 1,5 1,3 1,2 1,1 1xUd fra tabellen kan man tegne graferne til højre.Ud fra både tabel og grafer kan man se,at der er to skæringspunktet: (2 , 6) og (6 , 2)og dermed to sæt af løsninger.Husk at grafen for en omvendt proportionalefunktion består af to dele (to buer):En for positive x-værdier og en for negative.Her er kun vist den del af grafen,som svarer til de positive x-værdier.4Der er fordi, at der i dette eksempelikke er skæringspunkter mellem linjen2og den anden del af grafen.0I eksemplerne på disse sider er løsningerne tilligningssystemerne pæne tal, som let kan aflæses.Men det er naturligvis ikke altid tilfældet!0 2 4 6 8 10 12Så må man aflæse så godt som muligt og evt. efterfølgende prøve sig fremtil nogle til nogle mere præcise løsninger – fx med et regneark eller et andet IT-program.12108612x12xFormler, ligninger, funktioner og grafer Side 104

Matematik på AVUEksempler til niveau F, E og DTo ligninger med to ubekendte – beregning af løsningerMan kan godt løse to lineære ligninger med to ubekendte uden at tegne grafer.Der er flere metoder. Her er vist den ene:Eksempel på opgaveFind løsningen til ligningssystemet- 3x + 2y = 4 og x + y = 4De to ligninger omskrives først således, at enten x eller y står alene til venstre i begge ligninger.Her er valgt y:− 3x + 2y = 4x + y = 4− 3x + 2y + 3x = 4 + 3x2y = 3x + 42y23x + 4=2y = 1,5x + 2Derefter kan man sætte højresidernelig med hinanden for at finde x. Man får:1,5x + 2 = −x+ 41,5x + 2 + x − 2 = −x+ 4 + x − 2x + y − x = 4 − xy = −x+ 4Når man løser ligningernesom vist, svarer det til at findeskæringspunktet for linjerney = 1,5⋅x + 2 og y = −x+ 4 .Man finder først x-værdien ogderefter y-værdien.52,5x = 22,5x2,5=22,5x = 0,8Til sidst findes y ved at sætte x = 0,8ind i en af de omskrevne ligninger:y = −x+ 4y = −0,8+ 4 = 3,2Løsningen er altså x = 0,8 og y = 3,2432100 1 2Man kan let lave fejl, når man løser ligningssystemer, og så det er en god ide at kontrollere sineudregninger ved at sætte løsningen ind i de oprindelige ligninger. Det kan gøres således:− 3x + 2y = −3⋅0,8 + 2 ⋅ 3,2 = −2,4+ 6,4 = 4x + y = 0,8 + 3,2 = 4Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 105