Matematik 1 Semesteruge 7 (20. - 24. oktober 2008) side 1 Lineære ...

Matematik 1 Semesteruge 7 (20. - 24. oktober 2008) side 1Lineære afbildningerStore DagForelæsning: Emner fra Lineær Algebra, kapitel 5 og 6.• Maple-Demo 08 .Aktivitetsopgaver i klassen/databaren, hvor du møder din hjælpelærer kl. 12:00 og dinklasselærer kl. 13:30.1. Regn opgave LA 6.5 og LA 6.22.2. Lad f : C 2 → C 2 være den lineære afbildning, der med hensyn til den sædvanlige basis iC 2 har afbildningsmatricen[ ]1 − i ie F e = −i 1 + iLad endvidere b 1 = (i,i), b 2 = (1,1 + i) og v = (2,2 + 3i) være givne vektorer i C 2 .(a) Vis, at (b 1 ,b 2 ) er en basis for C 2 og find koordinatmatricen for v med hensyn tildenne basis.(b) Find afbildningsmatricen bF bfor f med hensyn til basis (b 1 ,b 2 ) og skriv f (v) somen linearkombination af b 1 og b 2 .3. LA 6.11.4. LA 6.27.5. ⋆ LA 6.29.6. Lad f være afbildningenf : C 0 (R) → C 0 (R),f (x(t)) =Zπx(t − s) · s · ds.0Vis, at f er lineær, og vis, at underrummet U udspændt af en basis (1,cos(t),sin(t),e t ) vedf afbildes ind i sig selv. Angiv til sidst afbildningsmatricen for f : U → U med hensyn tilden angivne basis (brug Maple til integralerne).7. ⋆ LA 6.1.8. ⋆ LA 6.7.Lille DagLille dag benyttes til Kemiøvelser for Bio, Kemi og Miljø og til Temaøvelser i Matematik 1 forde øvrige retninger.Selvstudium. Løs quizzen Euge8.Quiz

side 2 Semesteruge 7 (20. - 24. oktober 2008) Matematik 1Appetitvækker til næste ugeHvis der for en n × n matrix A findes et reelt tal λ og en vektor v med søjle-koordinatmatrixv ≠ 0, således at Av = λv, da kan man fx forstå λ som en egenfrekvens for en svingning, og vsom en egensvingningsform.Hjemmeopgavesæt 3 til aflevering på Lille Dag i semesteruge 8:Afleveres til klasselæreren på Lille Dag i semesteruge 8.1. I vektorrummet R 2 er der givet vektorerne a 1 = (8,−3) og a 2 = (5,−2). Endvidere er enlineær afbildning f : R 2 → R 2 fastlagt vedf (a 1 ) = 2a 1 − 3a 2 og f (a 2 ) = −a 1 + 2a 2 .(a) Gør rede for at (a 1 ,a 2 ) er en basis for R 2 .(b) Angiv afbildningsmatricen for f mht. basis (a 1 ,a 2 ).(c) Bestem afbildningsmatricen for f mht. den sædvanlige basis for R 2 .(d) Bestem kernen for f .(e) Skriv f (a 1 −2a 2 ) både som en linearkombination af a 1 og a 2 og som en linearkombinationaf de sædvanlige basisvektorer i R 2 .(f) Løs den lineære ligning f (x) = (−21,15).2. Lad U ⊆ R 2×2 være mængden af symmetriske 2 × 2 matricer, dvs. at 2 × 2 matricen Atilhører U hvis og kun hvis A = A T .(a) Vis at U er et underrum af R 2×2 .(b) Bestem en basis for U og angiv dimensionen af U .(c) En lineær afbildning f : R 2×2 → R har afbildningsmatricen F = [1 1 1 0] mht. densædvanlige basis i R 2×2 og den sædvanlige basis i R. Bestem kernen for f .(d) Angiv en lineær afbildning g : R 2×2 → R som har U som kerne.3. En afbildning f : P 3 (R) → R 2 er givet ved at(a) Vis at f er lineær.f (P(x)) = (P(1),P(−2)).(b) Find afbildningsmatricen for f med hensym til monomie-basis i P 3 (R) og den sædvanligebasis i R 2 .(c) Find dimensionen af kernen for f og dimensionen af billedrummet af f , og bestemen basis for kernen for f og en basis for billedrummet af f .(d) Vis at x − x 3 er en løsning til den lineære ligning f (P(x)) = (0,6), og bestem denfuldstændige løsning til den lineære ligning.

Matematik 1 Semesteruge 7 (20. - 24. oktober 2008) side 3(e) Bestem en løsning til den lineære ligning f (P(x)) = (0, a), hvor a er et vilkårligtreelt tal.(f) Find afbildningsmatricen for f med hensyn til monomie-basis i P 3 (R) og den iopgave 1 benyttede basis (a 1 ,a 2 ).NB: I vurderingen af dette sæt vil der blive lagt særlig vægt på at du• kan afgøre om en given mængde er et underrum af et vektorrum• kan vise om en given mængde af vektorer er en basis for et givet rum• kan opererere med koordinater, vektorer og afbildningsmatricer• kan skifte koordinater• kan bestemme kernen, rangen og billedet af en lineær afbildning• skriver sammenhængende og præcist og kan udføre simple matematiske ræsonnementer