Portræt af matematikeren Kurt Gödel - Matema10k.dk

www.matema10k.dkPortræt af matematikerenKurt Gödelskrevet af Flemming Chr. Nielsenbragt i DSB’s magasin Ud & Seseptember 2007(artiklen bringes her på siden efter aftale med Flemming Chr. Nielsen og Ud & Se)

t e k s t F L E M M I N G C H R . N I E L S E NMatematisksultekunstnerDen østrigske matematiker Kurt Gödel var livet igennem bangefor at blive forgiftet og døde af sult på Princeton University i USA.Men i 1931 gjorde han en opdagelse, der revolutioneredematematikken og skabte tvivl om dens grundlag546Ud & Se s e p t e m b e r 2 0 0 7

polfoto

NGEN SLENDRIAN.Som matematikkensoverlærer og professori Göttingen var detden tyske matematikerDavid Hilbertsudgangspunkt. Matematikkenskulle være i stand til at besvareethvert tænkeligt matematisk spørgsmål udenat løbe ind i selvmodsigelser. David Hilbert oghans fyldepen med det røde blæk accepteredeikke den mindste svaghed. Der måtte ikkefindes gådefulde kontinenter i matematikken.Ingen mosehuller. Intet morads. Det varselvfølgelig både smukt og storslået at villegive matematikken et sundt og rødmossetudseende. Og hvor pedantisk David Hilbertvar, fremgår af en anekdote om hans ferierejsei Skotland sammen med en astronom og enfysiker. Fra deres togvindue får de tre lærdeherrer øje på et sort får på en mark. ’I Skotlander fårene altså sorte’, siger astronomen.’Nej’, indvender fysikeren, ‘men der findesåbenbart sorte får i Skotland’. David Hilbertsad og rystede på hovedet. Så fremsatte hansin konklusion. ‘I Skotland findes der mindstén mark, hvorpå der befinder sig mindst étfår, som har mindst én sort side’. I 1899 kunneHilbert afslutte sit tobindsværk om geometriensgrundlag. Det var en kanon over den evigeog udødelige matematik. Men som i modernekanoner kan der siden vise sig uregelmæssigheder,og i England havde matematikerenBertrand Russell allerede en anelse om, atnoget var galt på sejrsskamlen. Uroen bredtesig i de matematiske tidsskrifter, men indtilvidere var den, der en dag skulle vælte helebygningen, kun en sygdomssvækket dreng idet daværende Østrig-Ungarn. Drengen hedKurt Gödel. Han var født i 1906 i Brünn somsøn af en velhavende tekstilfabrikant, og ulykkeligvisfik han et anfald af gigtfeber, da hanvar seks år gammel. Han blev dog rask igen,men gav sig omgående til at forske i sin egensygdom og fandt ud af, at den kunne medførealvorlige hjerteproblemer. Opdagelsen gjordeham til en af verdens yngste hypokondere, ogi resten af sit liv var han konstant bange for atdø. Da han også blev ramt af en ellers harmløsmavelidelse, satte han sig selv på en farligdiæt. Mere og mere mager og afkræftet troedehan, at nogen var ude på at forgifte ham, ogsom paranoid sultekunstner døde han som71-årig. Men det var ikke det asketiske liv, derskabte Kurt Gödels berømmelse. Den opstodi 1931, da han som 25-årig udgav sin afhandling‘Über formal unentscheidbare Sätze derPrincipia Mathematica und verwandter Systeme’.Den tyske titel bliver ikke mere forståelig,fordi den oversættes: ‘Om formelt uafgørligeudsagn i Principia Mathematica og beslægtedesystemer’, men afhandlingen kuldkastedehele David Hilberts matematiske program. Danyheden om Gödels afhandling nåede overAtlanten, stod den store tyske matematikerJohn von Neumann, der siden var med til atudvikle de første computere, midt i en forelæsningsrækkepå det prestigefyldte PrincetonUniversity om Hilberts udødelige matematik.John von Neumann viskede omgående tavlenren og brugte resten af semesteret på en diskussionom Gödels opdagelse af de to såkaldteufuldstændighedssætninger.Opdagelsen var revolutionerende.LøgnerparadoksetHvad var det, Gödel havde bevist? Selvoversat til dansk er hans opdagelse lige såindviklet som titlen på hans afhandling, menden kan illustreres med et rimelig forståeligteksempel, der går tilbage til grækeren Epi-48Ud & Se s e p t e m b e r 2 0 0 7

i l l u st r at i o n p e t e r h e r m a n n’Jeg lyver altid’, sagdeEpimenides. Uansethvordan vi vender ogdrejer påstanden, er denhverken sand eller falsk.menides. ‘Jeg lyver altid’, sagde Epimenides.Hvis påstanden er sand, er Epimenides enløgner, og det var han dermed også, da hanfremsatte sin påstand. Derfor er han alligevelikke en løgner. Hvis påstanden er falsk, erEpimenides ikke en løgner, men det må hanalligevel være, fordi han fremsatte sin usandepåstand. Uanset hvordan vi vender og drejerEpimenides’ påstand, er den hverken sandeller falsk. Den er et såkaldt løgnerparadoks.Inspireret af løgnerparadokset og i et umådeligkompliceret matematisk sprog kunneGödel bevise, at der findes matematiskesætninger, som ikke kan bevises. Og det betødenden på David Hilberts program for enlogisk set ærefuld matematik. Hvis der findessætninger, som ikke har noget bevis og hellerikke noget modbevis, er matematikken ikke etsystem, der er befriet for tvivl og indbyggedemodsigelser. Matematikken kan aldrig blive etperfekt bygningsværk. Og når selv forbilledetfor alle de andre videnskaber ikke er perfekt,er det forgæves at håbe på det perfekte i deøvrige videnskaber. Fire år før Gödels afhandlinghavde tyskeren Werner Heisenberg opdagetfysikkens usikkerhedsprincip. Det betyder,at hvis man vil måle et objekts position medstor nøjagtighed, må man give afkald på atkunne måle det samme objekts hastighedmed samme store nøjagtighed. Og omvendt.Nu var en lignende usikkerhed dukket op imatematikken. I praksis betød Gödels opdagelseheldigvis lige så lidt som Heisenbergs.Fysikkens usikkerhedsprincip gælder kun ikvantefysikkens atomare verden, og Gödelsafhandling kuldkaster ikke de matematiskesætninger, som allerede er bevist. Den forhindrerheller ikke, at der stadig kan fremkommebeviser for hidtil uløste matematiske problemer,men den skabte en evigt nagende uro.Matematik ville aldrig blive den uendeligtfremadskridende videnskab, som David Hilbertdrømte om. Gödel havde vist, at der selvi en så stringent videnskab som matematik eruovervindelige problemer – i form af de ‘uafgørligeudsagn’ i titlen på hans afhandling.Josef Stalins præmieFor at illustrere det dilemma, Gödels sætningerskabte, kan man kigge på den formodning,som den prøjsiske matematiker 5s e p t e m b e r 2 0 0 7 Ud & Se49