XÂY DỰNG CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH CỦA CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG TỔNG THỂ

https://twitter.com/daykemquynhon 

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 

www.facebook.com/daykem.quynhon 

https://daykemquynhon.blogspot.com 

http://daykemquynhon.ucoz.com 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / 

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định 

Đề tài: 

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG 

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 

KHOA TOÁN 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP 

XÂY DỰNG CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC THEO HƯỚNG PHÁT 

TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH CỦA CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG 

TỔNG THỂ 

Đà Nẵng, tháng 1/ 2019 

DIỄN ĐÀN TOÁN - LÝ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM 

HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú 

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


















Luận văn tốt nghiệp 

LỜI CẢM ƠN 



GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy 




Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy, cô giáo trường đại học Đại học sư phạm – 

Đại học Đà Nẵng nói chung, các thầy, cô giáo khoa toán nói riêng đã tận tình dạy dỗ tôi 

trong suốt thời gian học tập tại trường 

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn: đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và chỉ 

bảo cho tôi trong suốt quá trình làm luận văn này. 

Đà Nẵng, tháng 1 năm 2019 

Sinh viên thực hiện 

Nguyễn Thị Phương Thảo 


















MỤC LỤC 

1: Lí do chọn đề tài: ........................................................................................................... 1 

2: Mục đích nghiên cứu: .................................................................................................... 2 

3: Nhiệm vụ nghiên cứu: ................................................................................................... 2 

4: Phương pháp nghiên cứu: ............................................................................................ 2 

5: Cấu trúc luận văn: ......................................................................................................... 2 

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................................ 4 

1.1 Năng lực và phát triển năng lực của học sinh theo chương trình phổ thông 

tổng thể: ........................................................................................................................... 4 

1.1.1 Năng lực là gì? .................................................................................................... 4 

1.1.2 Các năng lực chung: ........................................................................................... 4 

1.2 Năng lực toán học ................................................................................................... 10 

1.2.1 Năng lực toán học: ............................................................................................ 10 

1.2.2 Năng lực giải toán: ........................................................................................... 11 

1.3 Lý luận về dạy học môn toán: ............................................................................... 16 

1.3.1: Mục đích, vị trí, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ 

thông: .......................................................................................................................... 16 

1.3.2: Vị trí vai trò của bài tập toán: ....................................................................... 17 

1.3.3: Ý nghĩa: ............................................................................................................ 18 

1.3.4 Chức năng của bài tập toán: ........................................................................... 18 

1.4 Nội dung lượng giác ở chương trình toán THPT: ............................................... 19 

1.4.1: Khái quát nội dung chương trình lượng giác: ............................................. 19 

1.4.2: Mục tiêu: .......................................................................................................... 20 


1.4.3: Phương pháp dạy học chương trình lượng giác: ......................................... 21 

1.4.4: Kiểm tra, đánh giá theo năng lực của học sinh:........................................... 21 





SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang 2 













CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ LƯỢNG GIÁC NHẰM 

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH THEO CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG 

TỔNG THỂ: ..................................................................................................................... 23 

2.1 Chuyên đề về hàm số lượng giác lượng giác: ....................................................... 23 

2.1.1 Một số phép biến đổi đồ thị: ............................................................................ 23 

2.1.2 Các hàm số lượng giác: .................................................................................... 24 

2.1.3 Sơ lược về hàm lượng giác ngược: .................................................................. 29 

2.2 Chuyên đề về phương trình lượng giác: ............................................................... 33 

2.2.1. Xây dựng hệ thống bài toán gốc cho các dạng toán sau đó đề xuất các bài 

toán nâng cao nhằm phát triển năng lực cho học sinh: ......................................... 37 

2.2.2. Xây dựng hệ thống bài tập nhằm giúp học sinh khắc phục, sửa chữa 

những sai lầm thường gặp trong nội dung phương trình lượng giác: ................. 48 

2.3 Một số ứng dụng của lượng giác trong vật lý: ..................................................... 53 



























1: Lí do chọn đề tài: 







Trong thời đại công nghệ và khoa học phát triển nhanh chóng như hiện nay thì việc phát 

triển phẩm chất và năng lực người học là định hướng nổi trội của nhiều nước tiên tiến đã 

và đang thực hiện từ thế kỉ XXI đến nay. Các nước đều chú ý hình thành, phát triển 

những năng lực cần chú ý cho việc học và gắn bó với cuộc sống hằng ngày. 

Đảng và nhà nước ta đã nhận định rõ tình hình đó và đưa ra định hướng đổi mới căn bản, 

toàn diện về giáo dục và đào tạo. Điều này thể hiện rõ trong Hội nghị lần thứ 8, Ban chấp 

hành Trung Ương Đảng khóa XI vừa qua đã đổi mới mục tiêu giáo dục: Chuyển mạnh từ 

chủ yếu chú trọng trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất 

người học. 

Đặc trưng của môn Toán học là môn học nhiều lý thuyết, có tính trừu tượng cao, vì thế 

đòi hỏi ở học sinh rất nhiều về năng lực học tập để học sinh có thể tư duy, phân tích, tổng 

hợp và có khả năng tìm tòi, sáng tạo để nắm vững kiến thức. Nhưng thời gian dạy học 

trên lớp còn hạn hẹp, không phải học sinh nào cũng có đủ thời gian để thấu hiểu, ghi nhớ 

và vận dụng những kiến thức mà giáo viên đã truyền thụ. Vì thế, thực trạng của việc 

giảng dạy hiện nay, còn nhiều điểm tồn tại, các giáo viên chủ yếu tập trung cung cấp khối 

lượng kiến thức xác định trong giờ lên lớp mà chưa quan tâm đúng mức đến đổi mới 

phương pháp dạy học để phát triển năng lực dạy học cho học sinh. 

Chủ đề lượng giác đối với học sinh ở trường THPT được coi là một chủ đề khó nhưng nó 

cơ bản và quan trọng trong chương trình phổ thông, tuy nhiên chưa gây được sự chú ý 

hứng thú trong học tập của học sinh. Học sinh với tâm lý ngại và sợ học chủ đề này dẫn 

tới hiệu quả dạy và học không cao. Để cải thiện tình hình nói trên, giáo viên cần phải có 

những biện pháp tích cực trong việc thay đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực 

hơn phù hợp với năng lực của học sinh là cấp thiết. Thay đổi phương pháp dạy học như 

thế nào là bài toán rất khó cần nhiều thời gian và công sức tìm tòi của giáo viên, tuy 

nhiên quan trọng hơn vẫn là sử dụng phương pháp dạy học theo năng lực sao cho hiệu 

quả. 


Với những lí do trên, tôi đã chọn nghiên cứu luận văn “Xây dựng chuyên đề lượng giác 

theo hướng phát triển năng lực học sinh của chương trình phổ thông mới” 















2: Mục đích nghiên cứu: 

Nghiên cứu một số vấn đề về giải toán; năng lực và năng lực toán học. 

Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn. 


Xây dựng chuyên đề lượng giác theo hướng phát triển năng lực của học sinh của chương 

trình phổ thông tổng thể mới nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học Đại số và giải tích lớp 

11 ở trường THPT, hình thành và phát triển các kĩ năng giải các dạng toán và phát triển 

năng lực học toán cho học sinh. 

3: Nhiệm vụ nghiên cứu: 

Để đạt được mục tiêu trên, tôi thấy luận văn này cần thực hiện các nhiệm vụ sau: 

1: Tổng quan về các phẩm chất, năng lực, năng lực toán học 

2: Đưa ra hệ thống bài tập giúp học sinh rèn luyện các năng lực trí tuệ và phát triển phẩm 

chất, kĩ năng học toán. 

3: Bài tập củng cố lý thuyết, ví dụ, một số bài tập nâng cao, hướng giải quyết và rút ra 

nhận xét cho từng loại 

4: Tìm hiểu một số ứng dụng của lượng giác trong vật lý. 

4: Phương pháp nghiên cứu: 

Nghiên cứu lí luận: 

- Nghiên cứu các tài liệu lí luận (chương trình phổ thông tổng thể mới, triết học, giáo dục 

học, tâm lí học, lí luận dạy học bộ môn toán) có liên quan tới đề tài luận văn. 

- Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí toán học, các tài liệu trong nước có 

liên quan nội dung lượng giác, giải toán lượng giác và bồi dưỡng năng lực giải toán cho 

học sinh trung học phổ thông. 

5: Cấu trúc luận văn: 

Luận văn gồm phần “Mở đầu”, “Kết luận” và hai chương 


Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn 

Chương 2: Xây dựng một số chuyên đề về lượng giác theo định hướng phát triển năng 

lực của học sinh theo chương trình phổ thông tổng thể mới. 














Danh mục tham khảo và các phụ lục mới. 






















CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 


1.1 Năng lực và phát triển năng lực của học sinh theo chương trình phổ 

thông tổng thể: 

1.1.1 Năng lực là gì? 

Năng lực là khả năng thực hiện thành công hoạt động trong một bối cảnh nhất định 

nhờ sự huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác 

như hứng thú, niềm tin, ý chí, ... Năng lực của cá nhân được đánh giá qua phương 

thức và kết quả hoạt động của cá nhân đó khi giải quyết các vấn đề của cuộc sống. 

Năng lực chung là năng lực cơ bản, thiết yếu mà bất kỳ một người nào cũng cần có 

để sống, học tập và làm việc. Các hoạt động giáo dục (bao gồm các môn học và hoạt 

động trải nghiệm sáng tạo), với khả năng khác nhau, nhưng đều hướng tới mục tiêu 

hình thành và phát triển các năng lực chung của học sinh. 

Năng lực đặc thù môn học (của môn học nào) là năng lực mà môn học (đó) có 

ưu thế hình thành và phát triển (do đặc điểm của môn học đó). Một năng lực có thể 

là năng lực đặc thù của nhiều môn học khác nhau. 

1.1.2 Các năng lực chung: 

● Năng lực tự học: 

Xác định mục tiêu học tập: 

- Xác định nhiệm vụ học tập có tính đến kết quả học tập trước đây và định 

hướng phấn đấu tiếp, mục tiêu học được đặt ra chi tiết, cụ thể, đặc biệt tập trung 

nâng cao hơn những khía cạnh còn yếu kém. 

Lập kế hoạch và thực hiện cách học: 

- Đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; hình thành cách học tập 

riêng của bản thân; tìm được nguồn tài liệu phù hợp với các mục đích, nhiệm vụ 

học tập khác nhau; thành thạo sử dụng thư viện, chọn các tài liệu và làm thư mục 


phù hợp với từng chủ đề học tập của các bài tập khác nhau; ghi chép thông tin đọc 

được bằng các hình thức phù hợp, thuận lợi cho việc ghi nhớ, sử dụng, bổ sung khi 

cần thiết; tự đặt được vấn đề học tập. 

















Đánh giá và điều chỉnh việc học: 


- Tự nhận ra và điều chỉnh những sai sót, hạn chế của bản thân trong quá trình học 

tập; suy ngẫm cách học của mình, đúc kết kinh nghiệm để có thể chia sẻ, vận dụng vào 

các tình huống khác; trên cơ sở các thông tin phản hồi biết vạch kế hoạch điều chỉnh cách 

học để nâng cao chất lượng học tập. 

● Năng lực giải quyết vấn đề: 

Phát hiện và làm rõ vấn đề: 

- Phân tích được các tình huống trong học tập, trong cuộc sống, phát hiện và nêu 

được tình huống có vấn đề trong học tập và cuộc sống. 

Đề xuất, lựa chọn giải pháp: 

- Thu thập và làm rõ các thông tin có liên quan đến các vấn đề; đề xuất và phân tích 

được một số giải pháp giải quyết vấn đề; lựa chọn được giải pháp phù hợp nhất. 

Thực hiện và đánh giá giải pháp giải quyết vấn đề: 

- Thực hiện và đánh giá giải pháp giải quyết vấn đề; suy ngẫm về cách thức và tiến 

trình giải quyết vấn đề để điều chỉnh và vận dụng trong bối cảnh mới. 

● Năng lực sáng tạo: 

- Đặt câu hỏi có giá trị để làm rõ các tình huống và những ý tưởng trừu tượng; xác 

định và làm rõ thông tin, ý tưởng mới và phức tạp từ các nguồn thông tin khác nhau; 

phân tích các nguồn thông tin độc lập để thấy được khuynh hướng và có độ tin cậy của ý 

tưởng mới. 

- Xem xét sự vật với những góc nhìn khác nhau; hình thành và kết nối các ý tưởng; 

nghiên cứu để thay đổi giải pháp trước sự thay đổi của bối cảnh; đánh giá rủi ro và có dự 

phòng. Lập luận về quá trình suy nghĩ, nhận ra yếu tố sáng tạo trong các quan điểm trái 

chiều; phát hiện được các điểm hạn chế trong quan điểm của mình; áp dụng điều đã biết 

trong hoàn cảnh mới. 

- Say mê; nêu được nhiều ý tưởng mới trong học tập và cuộc sống; không sợ sai; 

suy nghĩ không theo lối mòn; tạo ra yếu tố mới dựa trên những ý tưởng khác nhau. 

● Năng lực tự quản lí: 


- Đánh giá được ảnh hưởng của các yếu tốt tác động đến hành động, việc làm của 

mình, trong học tập và trong cuộc sống hàng ngày; làm chủ được cảm xúc của bản thân 

trong học tập và cuộc sống. 


















- Bước đầu biết làm việc độc lập theo thời gian biểu; nhận ra được những tình 

huống an toàn hay không an toàn trong học tập và trong cuộc sống hằng ngày. 

- Nhận ra và tự điều chỉnh được một số hạn chế của bản thân trong học tập, lao 

động và sinh hoạt, ở nhà, ở trường. 

- Diễn tả được một số biểu hiện bất thường trong cơ thể; thực hiện được một số 

hành động vệ sinh và chăm sóc sức khỏe bản thân; nhận ra được và không tiếp cận với 

những yếu tố ảnh hưởng xấu tới sức khỏe, tinh thần trong gia đình và ở trường. 

● Năng lực giao tiếp: 

Sử dụng tiếng Việt: 

- Đọc lưu loát, đúng ngữ điệu và biết thay đổi theo đặc điểm văn bản và mục đích 

giao tiếp; đọc hiểu các văn bản phức tạp trong chương trình học và đời sống, phù hợp 

với tâm lí lứa tuổi; phản hồi một cách tích cực và hiệu quả những nội dung đã đọc; luôn 

có ý thức tìm tòi, mở rộng phạm vi đọc… 

- Viết đúng và sáng tạo các dạng văn bản phức tạp về các chủ đề học tập và đời 

sống (kết hợp có hiệu quả ngôn ngữ với hình ảnh, đồ thị minh họa); biết tóm tắt nội dung 

của những văn bản phức tạp; trình bày một cách thuyết phục quan điểm của cá nhân, có 

tính đến quan điểm của người khác… 

- Có vốn từ vựng phong phú; sử dụng linh hoạt và có hiệu quả các kiểu câu khác 

nhau; nói rõ ràng, mạch lạc, chính xác, tự tin và đúng ngữ điệu; thuyết trình được nội 

dung chủ đề thuộc chương trình học tập; biết trình bày và bảo vệ quan điểm của cá nhân 

một cách chặt chẽ, có sức thuyết phục; kết hợp một cách hiệu quả lời nói với động tác cơ 

thể và các phương tiện hỗ trợ khác… 

- Nghe hiểu và chắt lọc được thông tin quan trọng, bổ ích từ các bài đối thoại, 

chuyện kể, lời giải thích, cuộc thảo luận, tranh luận phức tạp; có thái độ tích cực trong khi 

nghe; có phản hồi linh hoạt và phù hợp… 

Sử dụng ngoại ngữ: 

- Đạt năng lực bậc 3 về một ngoại ngữ. 

Xác định mục đích giao tiếp: 


- Xác định được mục đích giao tiếp phù hợp với đối tượng, bối cảnh giao tiếp; dự 

kiến được thuận lợi, khó khăn để đạt được mục đích trong giao tiếp. 

Thể hiện thái độ giao tiếp: 

















tiếp. 


- Chủ động trong giao tiếp; tôn trọng, lắng nghe có phản hồi tích cực trong giao 

Lựa chọn nội dung và phương thức giao tiếp: 

- Lựa chọn nội dung, ngôn ngữ phù hợp với ngữ cảnh và đối tượng giao tiếp; biết 

kiềm chế; tự tin khi nói trước nhiều người. 

● Năng lực thẩm mỹ: 

Nhận ra cái đẹp 

- Đánh giá được giá trị cơ bản, phổ biến của văn hoá, tryền thống và đạo đức Việt 

Nam, giá trị nhân văn cơ bản của nhân loại. 

Diễn tả, giao lưu thẩm mỹ: 

- Phân tích, đánh giá được tính thẩm mỹ, giá trị vật liệu, giá trị văn hoá của các sự 

vật, hiện tượng, quá trình trong tự nhiên, đời sống xã hội và nghệ thuật. 

cá nhân. 

Tạo ra cái đẹp 

- Đề xuất được ý tưởng, sáng tạo được các sản phẩm có tính thẩm mỹ mang dấu ấn 

● Năng lực thể chất: 

Sống thích ứng và hài hòa với môi trường: 

- Nêu được cơ sở khoa học của các biện pháp bảo vệ môi trường sống không bị ô 

nhiễm, giữ cân bằng sinh thái; điều chỉnh chế độ học tập và sinh hoạt phù hợp với thể 

trạng của bản thân; thực hành các hoạt động cải thiện môi trường sống; thích ứng với các 

hoạt động xã hội. 

Rèn luyện sức khoẻ thể lực: 

- Đánh giá được thể trạng sức khoẻ của bản thân; đọc hiểu được các chỉ số cơ bản 

của sức khoẻ qua kiểm tra y tế; nhận ra các biểu hiện và phản ứng của bản thân với một 

số bệnh thông thường; có thói quen, biết lựa chọn các hình thức tập luyện thể dục, thể 

thao phù hợp để cải thiện các chức năng của cơ thể. 

Nâng cao sức khoẻ tinh thần: 

- Biết cải thiện các mối quan hệ để đem lại niềm vui, hạnh phúc cho bản thân và 


mọi người; hài hoà các hoạt động học tập, lao động, giải trí; tinh thần thoải mái; tham gia 

tích cực các hoạt động xã hội. 

● Năng lực hợp tác: 

Xác định mục đích và phương thức hợp tác: 


















- Chủ động đề xuất mục đích hợp tác để giải quyết một vấn đề do bản thân và 

những người khác đề xuất; lựa chọn hình thức làm việc nhóm với quy mô phù hợp với 

yêu cầu và nhiệm vu. 

Xác định trách nhiệm và hoạt động của bản thân 

- Tự nhận trách nhiệm và vai trò của mình trong hoạt động chung của nhóm, phân 

tích được các công việc cần được thực hiện để hoàn thành nhiệm vụ đáp ứng được mục 

đích chung. Đánh giá khả năng của mình có thể đóng góp thúc đẩy hoạt động của nhóm. 

Xác định nhu cầu và khả năng của người hợp tác: 

- Phân tích được khả năng của từng thành viên để tham gia đề xuất phương án phân 

công công việc, dự kiến phương án phân công, tổ chức hoạt động hợp tác. 

Tổ chức và thuyết phục người khác: 

- Theo dõi tiến độ hoàn thành của nhóm để tổng kết kết quả đạt được; đánh giá mức 

độ đạt mục đích của cá nhân 

Đánh giá hoạt động hợp tác 

- Căn cứ vào mục đích hoạt động của nhóm để tổng kết kết quả đạt đước; Đánh giá 

mục đích của cá nhân và của nhóm và rút kinh nghiệm cho bản thân và góp ý cho từng 

người trong nhóm. 

● Năng lực sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông: 

Sử dụng và quản lý các phương tiện, công cụ của công nghệ kỹ thuật số: 

- Lựa chọn và sử dụng hiệu quả các thiết bị ICT để hoàn thành nhiệm vụ cụ thể; 

hiểu được các thành phần của hệ thống mạng để kết nối, điều khiển và khai thác các dịch 

vụ trên mạng; tổ chức và lưu trữ dữ liệu an toàn và bảo mật trên các bộ nhớ khác nhau và 

với những định dạng khác nhau. 

Nhận biết, ứng xử phù hợp chuẩn mực đạo đức và pháp luật trong xã hội số hóa: 

Xác định được thông tin cần thiết và xây dựng được tiêu chí lựa chọn, sử dụng kĩ thuật để 

tìm kiếm, tổ chức, lưu trữ để hỗ trợ nghiên cứu kiến thức mới; đánh giá được độ tin cậy 

của các thông tin, dữ liệu đã tìm được; xử lý thông tin hỗ trợ giải quyết vấn đề; sử dụng 


ICT để hỗ trợ quá trình tư duy, hình thành ý tưởng mới cũng như lập kế hoạch giải quyết 

cũng như lập kế hoạch giải quyết vấn đề; sử dụng công cụ ICT để chia sẻ, trao đổi thông 

tin và hợp tác với người khác một cách an toàn, hiệu quả. 

Phát hiện và giải quyết vấn đề trong môi trường công nghệ tri thức: 


















Xác định được tiêu chí đánh giá độ tin cậy, lựa chọn thông tin; sử dụng được kỹ thuật tìm 

kiếm nâng cao, kỹ thuật tổ chức, lưu trữ thông tin hỗ trợ quá trình tìm giải pháp phù hợp 

nhất; sử dụng được công cụ ICT để xử lý thông tin, hình thành ý tưởng mới, lập kế hoạch 

giải quyết vấn đề; biết cách tổ chức dữ liệu cơ bản trong chuyển giao thuật toán cho máy 

tính và tạo được sản phẩm đơn giản trong việc chuyển giao cho máy tính giải quyết vấn 

đề. 

Học tập, tự học với sự hỗ trợ của ICT: 

- Chủ động tìm hiểu để sử dụng được một số loại phần mềm hỗ trợ học tập; sử dụng 

thành thạo môi trường mạng máy tính trong tìm hiểu tri thức mới; biết lựa chọn, khai thác 

các dịch vụ đào tạo và kiểm tra đánh giá hiện đại trong môi trường số hoá. 

Giao tiếp, hòa nhập, hợp tác qua môi trường ICT: 

- Chủ động lựa chọn và sử dụng các công cụ ICT một cách hệ thống, hiệu quả và an 

toàn để chia sẻ, trao đổi thông tin, mở mang tri thức và tạo sản phẩm hữu ích; lựa chọn 

được các quy tắc giao tiếp thích hợp cho các công cụ truyền thông khác nhau khi hợp tác 

với các đối tượng khác nhau; biết các rủi ro có thể có trong giao tiếp và hợp tác liên quan 

đến sử dụng môi trường ICT, thiết lập được các biện pháp an ninh thích hợp. 

● Năng lực sử dụng ngôn ngữ: 

- Nghe hiểu và chắt lọc được thông tin bổ ích từ các bài đối thoại, chuyện kể, lời giải 

thích, cuộc thảo luận; nói với cấu trúc logic, biết cách lập luận chặt chẽ và có dẫn chứng 

xác thực, thuyết trình được nội dung chủ đề thuộc ICT học tập; đọc và lựa chọn được các 

lí luận logic, thuật ngữ đa dạng, đúng chính tả, đúng cấu trúc, rõ ý. 

- Sử dụng hợp lí từ vựng và mẫu câu trong hai lĩnh vực khẩu ngữ và bút ngữ, có từ 

vựng dùng cho kĩ năng đối thoại và độc thoại; phát triển kĩ năng phân tích của mình; làm 

quen với các cấu trúc ngôn ngữ khác nhau thông qua các cụm từ có nghĩa trong các bối 

cảnh tự nhiên trên cơ sở hệ thống ngữ pháp. 

- Đạt năng lực bậc 3 về 1 ngoại ngữ. 

● Năng lực tính toán: 

Sử dụng các phép tính và đo lường cơ bản: 


- Vận dụng thành thạo các phép tính trong học tập và cuộc sống; sử dụng hiệu quả 

các kiến thức, kĩ năng về đo lường ước tính trong các tình huống ở nhà trường cũng như 

trong cuộc sống. 

Sử dụng ngôn ngữ toán: 


















- Sử dụng hiệu quả các thuật ngữ, kí hiệu toán học, tính chất các số và tính chất của 

các hình trong hình học; sử dụng được thống kê để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong 

bối cảnh thực; hình dung và vẽ được hình dạng các đối tượng trong môi trường xung 

quanh, hiểu tính chất cơ bản của chúng, mô hình hoá toán học được một số vấn đề 

thường gặp; vận dụng được các bài toán tối ưu trong học tập và trong cuộc sống; sử dụng 

được một số yếu tố của logic hình thức trong học tập và trong cuộc sống. 

Sử dụng công cụ tính toán: 

- Sử dụng hiệu quả máy tính cầm tay với chức năng tính toán tương đối phức tạp; sử 

dụng được một số phần mềm tính toán và thống kê trong học tập và trong cuộc sống… 

- Mô hình hóa toán học được một số vấn đề thường gặp, vận dụng được các bài toán 

tối ưu trong học tập và trong cuộc sống; sử dụng được một số yếu tố của logic hình thức 

trong học tập và trong cuộc sống. 

1.2 Năng lực toán học 

1.2.1 Năng lực toán học: 

- Về khái niệm năng lực toán học, theo nhà tâm lí học người Nga V.A Cruchetxki sẽ 

được giải thích trên hai bình diện: 

● Như là các năng lực sáng tạo (khoa học) – các năng lực hoạt động toán học tạo ra được 

các kết quả, thành tựu, khách quan và quý giá. 

● Như là các năng lực học tập các giáo trình phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết 

quả cao các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương xứng. 

● Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là các đặc điểm 

hoạt động trí tuệ) đáp ứng được các yêu cầu của hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh 

hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng và 

sâu sắc trong những điều kiện như nhau. 

Cũng theo V.A Cruchetxki: Có 8 đặc điểm hoạt động trí tuệ của học sinh có năng lực 

Toán học là: 

● Khả năng tri giác có tính chất hình thức hóa tài liệu toán học, gắn liền với sự thâu tóm 

nhanh chóng các cấu trúc hình thái của chúng trong một bài toán cụ thể vào trong một 


biểu thức toán học. 

● Khả năng tư duy có tính khái quát hóa nhanh và rộng. 

● Xu thế suy nghĩ bằng những suy lý rút gọn 

● Sự tư duy logic lành mạnh 

















● Tính linh hoạt cao của các quá trình tư duy thể hiện ở: 

- Sự xem xét cách giải các bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau 


- Sự di chuyển dễ dàng và tự do từ một thao tác trí tuệ này sang một thao tác trí tuệ khác, 

từ tiến trình suy nghĩ thuận sang tiến trình suy nghĩ nghịch 

● Xu hướng tìm cách giải tối ưu cho một vấn đề toán học, khát vọng tìm ra lời giải rõ 

ràng, đơn giản, hợp lí, tiết kiệm. 

● Trí nhớ có tính chất khái quát về các kiểu toán học, các phương thức giải, sơ đồ lập 

luận, sơ đồ logic 

● Khả năng tư duy logic, trừu tượng phát triển tốt. 

1.2.2 Năng lực giải toán: 

Trên đây đã nói đến khái niệm năng lực, năng lực toán học. Năng lực giải toán là một 

phần của năng lực toán học. Vậy năng lực giải toán là gì và thể hiện như thế nào? 

Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết một vấn đề có 

tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo, nhằm đạt kết 

quả sau một số bước thực hiện. 

Như vậy, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó nắm vững kiến thức, 

kĩ năng, kĩ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình 

độ trung bình của những người khác cũng tiến hành hoạt động giải toán đó trong những 

hoàn cảnh và điều kiện tương đương. 

Từ đặc điểm hoạt động trí tuệ của những HS có năng lực toán học và khái niệm về năng 

lực giải toán chúng ta có thể rút ra một số đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán 

như sau: 

● Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêu cầu của một lời 

giải, biết trình bày rõ ràng, đẹp đẽ. 

● Sự phát triển mạnh mẽ của tư duy logic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khả năng lập luận 

chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán. 

● Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các ký hiệu, ngôn ngữ toán 

học. Khả năng chuyển đổi từ điều kiện của bài toán sang ngôn ngữ: Ký hiệu, quan hệ, 


phép toán giữa các đại lượng đã biết, chưa biết và ngược lại. 

● Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển của năng lực giải 

quyết vấn đề. 


















● Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động trí óc cao trong lao động 

giải toán. 

● Khả năng tìm tòi nhiều lời giải, huy động nhiều kiến thức cùng lúc vào việc giải bài 

tập, từ đó lựa chọn được lời giải tối ưu. 

● Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành được một số kiến thức mới 

thông qua hoạt động giải toán, tránh được những nhầm lẫn trong quá trình giải toán 

● Có khả năng nêu ra được một số bài tập tương tự cùng với cách giải (có thể là định 

hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật toán, hoặc thuật toán để giải bài tập đó). 

● Có khả năng khái quát hóa từ bài toán cụ thể thành bài toán tổng quát, từ bài toán có 

một số yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát, nhờ các thao tác trí tuệ: 

Phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, trừu tượng, hệ thống hóa, đặc biệt hóa. 

● Bàn về năng lực, cũng có ý kiến cho rằng: Năng lực là do thượng đế ban cho. Song 

nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là một phần nhỏ, còn phần nhiều là do sự tích lũy, sự bồi 

đắp, sự học hỏi, rèn luyện mà có. Qua quá trình học tập học sinh sẽ được bổ sung các 

kiến thức, được trang bị các phương pháp, từ đó năng lực giải toán được tăng lên. Một 

phần do học sinh phải có ý thức tự tăng thêm năng lực cho mình, một phần do các thầy cô 

hướng dẫn rèn luyện. Chính vì vậy chúng ta rất đề cao các bài ôn tập, bởi chúng đã góp 

phần không nhỏ trong việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh. 

Tóm lại, để rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh, phương pháp tốt nhất là đưa ra một 

hệ thống bài tập nhằm giúp cho học sinh nắm vững kiến thức, phát triển tư duy, hình 

thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. 

* Một số thành tố của năng lực giải toán cần bồi dưỡng cho học sinh THPT: 

● Năng lực dự đoán vấn đề: 

- Theo Đào Văn Trung mô tả: “Dự đoán là một phương pháp tư tưởng được ứng dụng 

rộng rãi trong nghiên cứu khoa học. Đó là căn cứ vào các nguyên lý và sự thật đã biết để 

nêu lên những hiện tượng và quy luật chưa biết. Hay, dự đoán sự nhảy vọt từ giả thiết 

sang kết luận”. 



- Dự đoán có vai trò quan trọng như thế nào trong khoa học, trong cuộc sống, vậy liệu có 


cách nào học được dự doán hay không? Theo G. Polya thì “…trừ những người trời phú 

năng lực cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta phải học tập để có được năng khiếu dự 

đoán đó. Quá trình dự đoán đó có kết quả khi phán đoán mà chúng ta đưa ra gần với chân 

lý nhất, cần nghiên cứu dự đoán của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng chúng 
















đi nếu cần, và như vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc) về các dự đoán sai và 

các dự đoán đúng. Những dự đoán có thể rất táo bạo nhưng phải có căn cứ dựa trên 

những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải đoán mò, càng không phải là điều 

nghĩ liều. 

- Để có năng lực dự đoán, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là học sinh phải giải 

thật nhiều dạng toán, phải tích lũy nhiều kinh nghiệm. Họ cần phải các năng lực thành tố 

như: Năng lực xem xét các đối tượng Toán học, năng lực tư duy biện chứng; năng lực so 

sánh phân tích tổng hợp, đặc biệt hóa, tổng quát hóa; năng lực liên tưởng các đối tượng, 

quan hệ đã biết với các đối tượng tương tự, quan hệ tương tự. 

● Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ 

- Đứng trước một vấn đề, học sinh có thể gặp khó khăn khi tìm cách giải quyết hoặc là 

muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau. Một trong những phương án có thể đáp ứng 

được nhu cầu đó là năng lực chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán đó. 

- Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực quan trọng để huy động 

kiến thức đối với giải toán. Nó thể hiện qua các hoạt động như: 

+ Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ nhìn nhận một nội dung toán học theo mối liên 

hệ liên môn: đại số hóa, hình học hóa, lượng giác hóa, … 

+ Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại hình học: Từ phương pháp tổng 

hợp sang phương pháp giải tích (gồm các phương pháp vecto và các phương pháp tọa 

độ), hoặc phương pháp biến hình. 

-Việc chuyển đổi ngôn ngữ có thể thực hiện hay không còn phụ thuộc vào kĩ năng phân 

tích bài toán tức là bài toán đó có thể chuyển sang được ngôn ngữ, nếu là bài toán hình 

học thì làm sao để chuyển sang được ngôn ngữ vecto hay tọa độ. Tuy nhiên không phải 

bài toán nào cũng chuyển đổi được ngôn ngữ. 

-Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ giúp học sinh có thêm những định hướng, những đường 

lối cho việc tìm tòi nhiều phương pháp, cách giải khác nhau. 

● Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự: 

Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toán được gọi là 


tương tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phương pháp giải, hoặc cùng giả thiết, hoặc cùng 

kết luận, hoặc được đề cập đến những vấn đề giống nhau, những đối tượng có tính chất 

giống nhau. 


















Biến đổi về dạng tương tự là một hoạt động biến đổi đối tượng, hoạt động này thể 

hiện trong tiến trình người giải toán phải bộc lộ đối tượng của hoạt động (các khái niệm 

toán học, các quy luật về mối quan hệ giữa các đối tượng toán học, các quan hệ giữa 

chúng). 

Nhờ quá trình biến đổi vấn đề, biến đổi các bài toán học sinh có thể quy các vấn 

đề trong tình huống mới, các bài toán lạ về các vấn đề quen thuộc, về các bài toán tương 

tự đã giải. 

● Năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau: 

Một bài toán có thể ta phải chuyển đổi ngôn ngữ bằng cách: đại số hóa, lượng giác 

hóa, hình học hóa; hoặc chuyển đổi trong nội tại của một ngôn ngữ như: chuyển đổi ngôn 

ngữ hình học sang ngôn ngữ vecto, tọa độ, biến hình. Hoặc có thể nhìn nhận nó dưới 

nhiều “cái riêng” khác nhau, chẳng hạn nhìn tam giác là một tứ giác có một cạnh bằng 0, 

một tứ giác có một góc bằng 180 độ, cái tương tự như tứ diện trong không gian, … hoặc 

xem xét, đặt nó trong môi trường không gian khác, chẳng hạn có thể nghiên cứu hình 

chóp trong hình hộp, đường tròn trong mặt cầu … 

Nếu đứng trước một vấn đề mỗi người làm toán có thói quen nhìn nhận theo nhiều 

góc độ khác nhau dựa trên những tri thức, những kinh nghiệm đã có thì sẽ hình thành dần 

nên trong họ một tư duy nhạy bén, sắc sảo một niềm tin sẽ giải quyết một vấn đề bởi lẻ 

bài toán đang giải đó nó còn ẩn tàng những cách giải ở những góc độ nào đó mà chúng ta 

phải khám phá ra. 

● Năng lực phân chia trường hợp: 

Trong việc trình bày lí thuyết, hệ thống hóa lý thuyết, cũng như khi giải toán biện 

luận, ... ta cần phải phân chia một khái niệm. Người ta quan niệm rằng: “Phân chia khái 

niệm là thao tác logic, chia các đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm cần phải phân chia 

thành các nhóm theo những tiêu chuẩn nhất định. Nói cách khác, phân chia khái niệm là 

đem ngoại diên của khái niệm ấy chia thành nhiều bộ phận 

Phân chia là phân chia một tập hợp đối tượng cho trước thành những tập hợp con, 

dựa trên cơ sở một dấu hiệu chung 


Giữa phân chia khái niệm và phân loại thường không có sự phân biệt rõ ràng, 

người ta thường dùng phân loại theo nghĩa phân chia khái niệm 

Việc phân chia, phân loại phải dựa theo một số quy tắc nhất định: 

+ Sự phân chia (phân loại) phải triệt để, không bỏ sót; 

















loại) 

+ Sự phân chia (phân loại) không trùng lặp; 


+ Cùng một lúc không được đưa vào nhiều dấu hiệu khác nhau để phân chia (phân 

+Phân chia phải liên tục 

● Năng lực suy luận logic: 

Trong logic học người ta quan niệm rằng: “Suy luận là quá trình suy nghĩ phải để rút ra 

một mệnh đề từ một hoặc nhiều mệnh đề đã có trước đó” 

Ta phải phân biệt hai hình thức suy luận: Suy luận diễn dịch (suy diễn) và suy luận quy 

nạp. 

- Suy luận diễn dịch (hay phép suy diễn) là suy luận theo những quy tắc (quy tắc 

suy diễn) xác định rằng nếu tiền đề (các tiền đề) là đúng thì kết luận rút ra cũng đúng. 

- Suy luận quy nạp: Chúng ta gọi các kết luận được rút ra trên cơ sở các quan sát và 

thực nghiệm, tức là những kết quả nhận được bằng con đường xem xét các trường hợp 

riêng và sau đó khái quát lên thành những quy luật cho các trường hợp tổng quát gọi là 

suy luận quy nạp. 

Theo Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn: “Để đi đến cái mới trong Toán học phải biết được tư 

duy logic và tư duy biện chứng. Trong việc phát hiện ra vấn đề và định hướng giải quyết 

thì tư duy biện chứng giữ vai trò chủ đạo, còn hướng giải quyết vấn đề đã rõ thì tư duy 

logic giữ vai trò chính”. 

● Năng lực khái quát hóa: 

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang 

một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của 

các phần tử trong tập hợp xuất phát”. 

Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đến phương pháp tư 

duy khái quát. Đúng như Đại văn hào Nga – Lep Tonstoi đã nói: “Chỉ khi trí tuệ của con 

người tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quát thì con người mới có thể hiểu được nó”. 

Không có khái quát thì không có khoa học, không biết khái quát là không biết cách học. 

Khả năng khái quát là khả năng học tập vô cùng quan trọng trong khả năng khái quát 


Toán học là một khả năng đặc biệt. 



Để giúp học sinh phát triển năng lực khái quát hóa cần tập luyện cho học sinh hoạt động 

khái quát hóa và điều cốt yếu nhất là nắm vững phương pháp khái quát hóa. Trên tinh 
















thần đó, để phát triển năng lực khái quát hóa cho học sinh có thể thực hiện theo các cách 

sau: 

+ Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hóa trên cơ sở so sánh các trường 

hợp riêng có sự tham gia của hoạt động phân tích – tổng hợp. 

+ Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hóa trên trừu tượng hóa cùng với 

hoạt động phân tích và tổng hợp. 

+ Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát trên cơ sở hoạt động tương tự hóa 

và đặc biệt hóa. 

Ví dụ: Sau khi chứng minh: 

quả tổng quát: 

sin 20sin 40sin 60 

3 

8 

1 

sinx.sin 60 x.sin 60 x 

sin3x 

3 

● Năng lực diễn đạt bài toán bằng theo những cách khác nhau: 

bằng khái quát hóa ta tìm ra kết 

- Bài tập toán: Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một 

cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt đến mục đích trông thấy rõ ràng, nhưng 

không thể đạt được ngay. Giải toán tức là tìm phương tiện đó. 

Như vậy, bài tập là một tình huống kích thích đòi hỏi người giải một lời giải đáp, mà lời 

giải này về toàn bộ hoặc từng phần không ở trạng thái có sẵn ở người giải tại thời điểm 

bài tập được đưa ra. 

1.3 Lý luận về dạy học môn toán: 

1.3.1: Mục đích, vị trí, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông: 

G. Polya cho rằng: “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn rất 

nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu 

thích hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên nghiệp, ta 

không chỉ truyền thụ cho HS những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải 

dạy cho họ đến một mức độ nào đó nắm vững môn học. Vậy thế nào là nắm vững môn 

toán? Đó là biết giải toán! Trên cơ sở đó, ta có thể thấy rõ hơn mục đích, vị trí, vai trò và 

ý nghĩa của bài tập toán trong trường THPT như sau: 


Mục đích: 



Để tạo được những con người đáp ứng được đòi hỏi của xã hội ngày nay, những 

con người năng động, sáng tạo, có tinh thần trách nhiệm, có trí tuệ, có khả năng lao động 
















kĩ thuật cao, …. Trong các nhà trường THPT đã đặt ra nhiều mục đích, mục tiêu cụ thể 

cho việc đào tạo. 

Toán học có vai trò to lớn trong đời sống, trong khoa học và công nghệ hiện đại, 

kiến thức toán học là công cụ để HS học tập tốt các môn học khác, giúp HS hoạt động có 

hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Vì vậy, trong dạy học toán nói chung, giải bài tập toán nói 

riêng cần xác định những mục đích cụ thể, sát thực. Có thể thấy rõ mục đích bài tập ở 

trường THPT là: 

● Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp HS biết những tri thức 

khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân, thành công cụ để 

nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như trong học tập 

hiện nay và sau này. 

● Làm cho học sinh từng bước nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống 

những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn 

và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể, vào đời sống, 

vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa học khác. 

● Thông qua việc học tập, học sinh khắc sâu các kiến thức đã học, biết xâu chuỗi các 

kiến thức với nhau, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo các kiến thức mới đối với học sinh. 

Qua đó rèn luyện tư duy logic, sáng tạo, tính kiên trì, cần cù, chịu khó, … ở người học 

sinh. 

● Bồi dưỡng thế giới quan tư duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức 

của người lao động mới. 

1.3.2: Vị trí vai trò của bài tập toán: 

Trong dạy học toán ở trường THPT, bài tập toán có vai trò vô cùng quan trọng, vì 

theo Nguyễn Bá Kim: “Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Các bài 

tập ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được 

trong việc giúp HS nắm vững những tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo, 

ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt 

các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải 

bài tập toán có vai trò quyết định với chất lượng dạy học toán.” 




Cũng theo Nguyễn Bá Kim: “Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn 

toán. Điều căn bản là bài tập có vai trò mang hoạt động của học sinh. Thông qua việc giải 

bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả những hoạt động 
















toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí 

tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. 

Như vậy, bài tập toán ở trường trung học phổ thông có vị trí, vai trò quan trọng 

trong hoạt động dạy, học toán ở trường THPT. Vì thế, cần lựa chọn các bài tập toán sao 

cho phù hợp với đối tượng và năng lực của học sinh, như thế mới phát huy được năng lực 

giải toán của học sinh. 

1.3.3: Ý nghĩa: 

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể 

xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Việc giải toán có nhiều ý 

nghĩa. Cụ thể: 

● Đó là hình thức tốt để dùng củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ 

năng. Trong nhiều trường hợp, giải toán là một hình thức rất tốt để dẫn dắt học sinh tự 

mình đi tìm kiến thức mới. 

● Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào 

thực tiễn, vào vấn đề mới. 

● Đó là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra và học sinh tự kiểm tra về năng lực, về 

mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học. 

● Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập của học sinh, phát triển trí tuệ và 

giáo dục, rèn luyện người học sinh về rất nhiều mặt. 

1.3.4 Chức năng của bài tập toán: 

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán được sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau. Một bài 

tập có thể tạo tiền dề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với một nội dung mới, để 

củng cố hoặc kiểm tra, … Mỗi bài tập cụ thể được đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá 

trình dạy học đều chứa đụng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác 

nhau, những chức năng này đều hướng đến các mục đích dạy học trong môn Toán, hệ 

thống bài tập có các chức năng sau. 



● Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri 

thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học. Cụ thể như: 


Làm sáng tỏ và khắc sâu những vấn đề về lý thuyết; thu gọn, mở rộng, bổ sung cho lý 

thuyết trên cơ sở thường xuyên hệ thống hóa kiến thức và nhấn mạnh phần trọng tâm của 

lý thuyết. Đặc biệt bài tập còn mang tác dụng giáo dục kĩ thuật, tổng hợp thể hiện qua 
















việc giúp học sinh rèn luyện học tập, kĩ năng thực hành toán học; phương pháp tư duy, 

thói quen đặt vấn đề một cách hợp lí, ngắn gọn tiết kiệm thời gian, … 

● Với chức năng giáo dục, bài tập giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật 

biện chứng, từng bước nâng cao hứng thú học tập, tạo niềm tin ở bản thân học sinh và 

phẩm chất của con người lao động mới, rèn luyện cho học sinh đức tính kiên nhẫn, bền 

bỉ, không ngại khó, sự chính xác và chu đáo trong khoa học. 

● Với chức năng phát triển, bài tập giúp học sinh ngày càng nâng cao khả năng 

suy nghĩ, rèn luyện các thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp, suy nghĩ, quy nạp, 

tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa, ... thông thạo một số phương pháp suy luận toán 

học, biết phát hiện và giải quyết vấn đề một cách thông minh sáng tạo. Từ đó, hình thành 

phẩm chất tư duy khoa học. 

● Với chức năng kiểm tra, bài tập giúp giáo viên và học sinh đánh giá được mức 

độ và kết quả của quá trình dạy và học, đồng thời nó cũng đánh giá khả năng độc lập học 

toán và trình độ phát triển của học sinh. 

Có thể nói rằng hiệu quả của việc dạy toán ở trường trung học phổ thông phần lớn phụ 

thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các 

tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người giáo viên phải có 

nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình. 

1.4 Nội dung lượng giác ở chương trình toán THPT: 

1.4.1: Khái quát nội dung chương trình lượng giác: 

Phần lượng giác ở chương trình toán THPT gồm hai chương: 

Chương 1: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác. 

Bài 1: Cung và góc lượng giác: 

Khái niệm cung và góc lượng giác 

Số đo của cung và góc lượng giác. 

Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung 

Bài 3: Công thức lượng giác: 

Công thức cộng 


Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích. 

Chương 2: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác 

Tìm hiểu các hàm số lượng giác cơ bản như sinx, cosx, tanx, cotx. 


















Phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc nhất hoặc đối với một hàm số 

lượng giác, phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. 

1.4.2: Mục tiêu: 

Chương trình lượng giác là một nội dung quan trọng của chương trình toán trung học phổ 

thông, liên quan đến nhiều nội dung khác nhau như tích phân, đạo hàm, hình học, …; 

đồng thời, bổ trợ cho nhiều môn khoa học quan trọng khác như vật lý, …và cả trong đời 

sống thực tế. 

● Kiến thức: 

Nắm được kiến thức khái niệm đường tròn định hướng, đường tròn lượng giác, cung và 

góc lượng giác. 

Nắm được khái niệm đơn vị độ và radian, mối quan hệ giữa các đơn vị này. 

Nắm được số đo cung và góc lượng giác. 

Nắm vững định nghĩa các giá trị lượng giác của cung , các hằng đẳng thức lượng giác cơ 

bản, mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt. 

Nắm được các công thức lượng giác: công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến 

đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng. 

Hiểu được định nghĩa hàm số lượng giác, tính chẳn, lẻ, chu kì, tập giá trị, tập xác định 

của các hàm số lượng giác. Xây dựng công thức nghiệm của các phương trình, giải được 

các phương trình (cách lấy nghiệm). Tìm điều kiện của tham số để phương trình có 

nghiệm. 

Nắm vững cách giải một số loại phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số 

lượng giác; phương trình bậc nhất đối với sin và cos. 

● Kĩ năng: 

Biết biểu diễn được cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. 

Tính và thành thạo chuyển đổi hai đơn vị đo, tính thành thạo số đo của một cung lượng 

giác. Tính được các giá trị lượng giác của các góc. 

Vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức lượng giác. 

Biết áp dụng các công thức trong việc giải các bài tập. Biến đổi thành thạo các công thức 


lượng giác. Vận dụng các công thức trên để giải bài tập. 

Biết TXĐ, TGT của các hàm số lượng giác, sự biến thiên và biết cách vẽ đồ thị của chúng. 

Có kĩ năng biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác. Nhận dạng và giải thông 

thạo, có khả năng quy về các dạng đã học. 

















● Thái độ: 

Luyện tính nghiêm túc sáng tạo. 

Luyện óc tư duy thực tế, luyện tính cẩn thận, tư duy linh hoạt. 

1.4.3: Phương pháp dạy học chương trình lượng giác: 


Biến đổi về cùng một cung lượng giác; biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích; hạ bậc; 

biến đổi về cùng một hàm lượng giác; biến đổi tan, cot về sin, cos. 

1.4.4: Kiểm tra, đánh giá theo năng lực của học sinh: 

● Đánh giá: 

- Là quá trình thu thập thông tin về hiện trạng chất lượng và hiệu quả, nguyên 

nhân và khả năng của học sinh. Đánh giá gắn bó chặt chẽ với các mục tiêu, chuẩn giáo 

dục. Đánh giá tạo cơ sở đề xuất những quyết định thích hợp để cải thiện thực trạng, nâng 

cao chất lượng và hiệu quả giáo dục. 

- Nước ta đang thiên về cách hiểu: Đánh giá là quá trình thu thập và lí giải kịp 

thời, có hệ thống thông tin về hiện trạng, khả năng hay nguyên nhân của chất lượng và 

hiệu quả giáo dục căn cứ vào mục tiêu dạy học, mục tiêu đào tạo làm cơ sở cho những 

chủ trương, biện pháp và hành động giáo dục tiếp theo. 

● Mục tiêu kiểm tra đánh giá theo hướng phát triển năng lực: 

Người ta nhận thấy kiểm tra đánh giá là một phần không thể thiếu được của quá 

trình dạy học thì ít nhất nó phải vì sự tiến bộ của học sinh. Kiểm tra đánh giá vì sự tiến bộ 

nghĩa là quá trình kiểm tra đánh giá phải cung cấp những thông tin phản hồi giúp học 

sinh biết mình tiến bộ tới đâu, những mảng kiến thức kĩ năng nào còn yếu để điểu chỉnh. 

Vì sự tiến bộ của học sinh thì phải đánh giá sao để học sinh không sợ hãi, không bị tổn 

thương để thúc đẩy học sinh nổ lực. Đánh giá vì sự tiến bộ của học sinh diễn ra trong suốt 

quá trình dạy và học, giúp HS phát hiện thay đổi đạt được mục tiêu học tập của cá nhân. 

Công khai hóa nhận định về năng lực và kết quả học tập của HS, tạo cơ hội phát 

triển kĩ năng tự đánh giá, giúp HS nhận ra sự tiến bộ, động viên tiến bộ. Giúp GV có cơ 

sở nhận ra điểm mạnh và yếu, tự hoàn thiện hoạt động dạy, phấn đấu không ngừng. 

Để xác định được mục tiêu kiểm tra, đánh giá cần chú ý dựa vào mục tiêu môn 


học, mục đích, mối quan hệ giữa mục tiêu học tập và mục tiêu môn học và đánh giá hoạt 

động học tập. 

Đối với HS: 

Tuyển chọn, phân loại đúng năng lực, trình độ. 


















Xác định kết quả tiếp thu, vận dụng kiến thức – kĩ năng và thái độ cần có dựa theo 

mục tiêu đề ra. 

Thúc đẩy học sinh cố gắng khắc phục thiếu sót và phát huy năng lực 

Đối với GV: 

Tạo điều kiện người dạy nắm vững tình hình học tập và rèn luyện của HS. 

Cung cấp thông tin phản hồi giúp họ giảng dạy và giáo dục tốt hơn. 

Tạo điều kiện cải tiến, điều chỉnh nội dung chương trình, PPGD nâng cao chất 

lượng và hiệu quả. 



















CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ LƯỢNG GIÁC NHẰM 

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH THEO CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG 

TỔNG THỂ MỚI: 

2.1 Chuyên đề về hàm số lượng giác lượng giác: 

2.1.1 Một số phép biến đổi đồ thị: 

- Phép tịnh tiến song song với trục tung: 

Đồ thị hàm số 

y f ( x) 

b 

song song với trục tung một đoạn b 

Bằng phép tịnh tiến đồ thị 

số y f ( x) 

được suy ra từ đồ thị hàm số 

y 

f ( x) 

 

OI 

 

0; b 

 

 

y 

f ( x) 

bằng phép tịnh tiến 

với b đơn vị như đã nói ở trên, ta thu được đồ thị hàm 

xét trong hệ trục mới, tức là đồ thị hàm số y f ( x) 

b 

trong hệ trục cũ. 

-Phép tịnh tiến song song với trục hoành: 


y f ( x a) 

song với trục hoành một đoạn (-a) 

Gọi IX, IY là hệ trục mới suy ra từ hệ 

một đoạn (-a) 

Công thức đổi trục 


-Phép co dãn: 

* Đồ thị hàm số 

Y 

x X a 

 

y 

Y 

f(X) 

y kf ( x) 

được suy ra từ đồ thị hàm số 

Ox, 

Oy 

y 

f ( x) 

bằng phép tịnh tiến song 

bằng phép tịnh tiến song song trục hoành 

xét trong hệ trục mới, tức là đồ thị hàm số 

với k > 0 suy ra được từ đồ thị 

y 

f ( x) 

y f ( x a) 

bằng phép co (nếu 

0







2.1.2 Các hàm số lượng giác: 

● Hàm số 

y sinx 

: 


- Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo 

radian bằng x được gọi là hàm số sin. Kí hiệu là y = sinx 

- Tập xác định: D = IR 

- Tập giá trị: [ -1;1] 

- Là hàm số lẻ và đồ thị nhận gốc tọa độ làm trục đối xứng. 

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π 

- Nghịch biến trên mỗi khoảng 

3 

( k2 , k2 ) 

2 2 

- Đồng biến trên mỗi khoảng ( 2 , 2 ),k 

- Hàm số đạt cực tiểu 

- Bảng biến thiên: 

x - 

y 1 

ct 

, k 

 

k k 

2 2 

tại 

 

 

2 

 

 

2 k2 

, đạt cực đại 

y 0 1 

- Đồ thị hàm số là một đường hình sin 

0 

 

2 

y 

 

cd 

1 

tại 

 

 

2 k2 

 

-1 0 



















- Bình luận: Tịnh tiến đồ thị (C) dọc theo trục Ox (sang trái hoặc sang phải) một đoạn 

2 

* Ví dụ: 

ta được đồ thị hàm sin trên IR 

- Từ đồ thị hàm số 

y sin x 

, suy ra đồ thị các hàm số 

hình đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số y = sinx 

-Đồ thị hàm 

y sinx 

có được từ đồ thị (C ) của hàm số 

y sin x 

+Giữ nguyên phần đồ thị của ( C) nằm trong nửa mặt phẳng 

bên trên trục hoành kể cả bờ Ox) 

. Đồ thị hàm 

y sinx bằng cách: 

y sinx 

y 0 (tức nửa mặt phẳng 

+Lấy hình đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị (C ) nằm trong nửa mặt phẳng 

y 0 

(tức là nửa mặt phẳng bên dưới trục hoành không kể bờ Ox); xóa phần đồ thị của (C) nằm 

trong mặt phẳng bờ y < 0 

Tương tự đồ thị 

y 

sin x 

có được từ đồ thị (C) của hàm số y = sinx bằng cách: 

-Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng bờ x 0 (tức là nửa mặt 


phẳng bên phải trục tung kể cả bờ Oy). 

-Xóa phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng bờ x < 0 (tức nửa mặt phẳng bên trái 

trục tung kể cả bờ Oy). 






www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 

là 




DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN







-Lấy hình đối xứng qua trục tung của phần đồ thị (C) nằm trong nửa mặt phẳng x > 0 




● Hàm số 

y 

cosx 

- Có tập xác định là R 

-Tập giá trị: [-1;1] 

- Là hàm số chẵn, đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. 

- Tuần hoàn với chu kì 2 

k2 ; k2 , k 

- Đồng biến trên mỗi khoảng 

k2 ; k2 , k 

- Nghịch biến trên mỗi khoảng 

- Hàm số đạt cực đại y 1tại 

-Bảng biến thiên: 

x - 

cd 

x 

k2 

y=cosx 1 

0 

và đạt cực tiểu 

-1 -1 

y 1 

ct 

 

tại 

x 

k2 

 

- Bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx theo vecto u ;0 sang trái một đoạn 

2 

có độ dài bằng 2 

, song song với trục hoành. Ta được đồ thị hàm số là một đường hình 


sin 


















Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số 

y cos x2 

-Đồ thị của hàm số y cos x2 

có được do tịnh tiến đồ thị của hàm số y 

cos xlên trên 

một đoạn có độ dài bằng 2, tức là tịnh tiến theo vecto j( j (0;1)) là các vecto đơn vị trên 

trục tung. 

- Đồ thị hàm số 

một đoạn có độ dài 

hoành) 

● Hàm số 

y 

tan x 

ycos 

 

x 

 

 

4 

 

4 

có được do tịnh tiến đồ thị của hàm số 

, tức là tịnh tiến theo vecto 

ii ( (1,0) 

y 

cos x 

sang phải 

là các vecto đơn vị trên trục 
















Với 

 

D1 \ k 

| k 

2 

sinx 

tan x 

cos x 

là 

D 1 

-Tập xác định 

-Là hàm số lẻ 

 

 

 

, quy tắc đặt tương ứng mỗi số 

được gọi là hàm số tang, kí hiệu là 

 

D1 \ k 

| k 

2 

-Là hàm số tuần hoàn với chu kì 

-Có tập giá trị là 

-Đồng biến trên mỗi khoảng 


x 0 

y=tanx 

 

0 

 

 

 

 

k; k; 

k 

2 2 

 

2 

 

4 

1 

y 

tan x 




xD 1 

. Hàm số 

với mỗi số thực 

 

2 

y 

tan x 

có tập xác định 

- Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k 

, k 

làm một đường tiệm cận đứng. 






● Hàm số 

y 

cot x 








Với 

 

D2 \ k 

| k 

 

, quy tắc đặt tương ứng mỗi số 




xD 2 

với mỗi số thực 

cos x 

cot x 

sin x 

được gọi là hàm cotang, kí hiệu là 

y 

cot x 

. Hàm số 

y 

cot x 

có tập xác 




định là 

D 2 

-Có tập xác định D k 

k 

-Là hàm số lẻ 

2 

\ | 

-Hàm số tuần hoàn với chu kì 

-Có tập giá trị là 

k; k 

, k 

- Nghịch biến trên mỗi khoảng 


x 0 

y = cotx 

 

-Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng 

xk ,(k ) 

0 

 

2 

 

làm một đường tiệm cận. 


 





2.1.3 Sơ lược về hàm lượng giác ngược: 

● Hàm số y = sin x không là đơn ánh trên toàn bộ miền xác định. 











- Tuy nhiên, nếu xét trên đoạn 

 

x 

2 2 

thì hàm số 

tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu 

 

x 

; ; y1;1 

2 2 

 

Do đó, hàm ngược của 

y arcsin x x sin y 

-Miền xác định: D = 

1;1 

-Miền giá trị: T = 

 

y sinx 

 

; 

 

 

2 2 

 

1;1 

-Hàm đồng biến trên 

Tính chất: 

 

arcsin(sinx) x; 

x 

2 2 

sin(arcsin x) x; 1 x 1 

arcsin( x) arcsin 

x 

là 

-Đồ thị của hàm lượng giác ngược 

y arcsin x 

y arcsin x 


y sinx 



x 

arcsin x 

là hàm số đồng biến nên tồn 

. Và 

(y là cung mà sin bằng x) 



















-Ví dụ: 

2 

A sin 

arcsin 

 

12 2 

 

Ta có 

Do đó: 

● Hàm số 

Xét hàm số 

2 

arcsin 

 

 

2 

4 

(vì: 

 

2 

sin 

 

4 2 

3 

A sin sin 

12 4 3 2 

y arccosx 

y 

cos x 

và 

 

 

2 4 2 

trên đoạn 0 x thì hàm số 

nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu 

Vậy 

y cos x,(0 x ; 1 y 1) x arccos y 

Do đó hàm ngược của y = cosx là 

y arccos x x cosy 

-Miền xác định D = [-1;1] 

-Miền giá trị: [0; ] 

1;1 

-Hàm nghịch biến trên 

Tính chất: 

arccos(cosx) x;0 x 

cos(arccos x) x; 1 x 1 

arccos( x) arccos x 

 

 

y 

arccos x 

) 

y 

cos x 

y 

arccos x 

là hàm giảm nên tồn tại duy 






Ví dụ: 











4 

B arccos(cos ) 

3 

4 

cos cos 

cos 

3 3 3 

2 

B arccos( cos ) arc cos(c os ) 

3 3 3 3 

-Đồ thị của hàm lượng giác ngược y = arccosx 

● Hàm lượng giác ngược 

Hàm 

định 

y 

arctan x 

y 

arctan x 

là hàm ngược của hàm 

x và miền giá trị 

 

y arctan x x tan y, 

y 

2 2 

 

arctan(t anx)=x, - x 2 2 

tan(arctan x) x, 

x 

 

y 

2 2 

y 

tan x 

. Hàm ngược 




y 

arctan x 

có miền xác 






● Hàm ngược 

y arc cot x 











Hàm 

định 

y arc cot x 

x 

là hàm ngược của hàm 

và miền giá trị 0 y 

y 

arccotx x=cotgy, 01 phương trình (1) vô nghiệm do sinx 1, x 

R 

Nếu |m| < 1 hoặc |m|=1: 

Xác định α sao cho m = sin α 

Vậy phương trình sinx = m 

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện 

Khi đó, 

-Phương trình cos x m (2) 

y arc cot x 

x 

k2 

sinx sin ( k ) 

x 

k2 

 

 

2 2 

sin 

m 

arcsinm 

k 2 

sinx m 

( k 

) . 

 

arcsinmk 

2 

thì ta viết arcsinm . 

Nếu |m|>1 phương trình (1) vô nghiệm do cos x 1, 

x R 



có miền xác 
















Nếu |m| < 1 hoặc |m|=1: 

Xác định α sao cho m = cos α 

Vậy phương trình cosx = m 


Khi đó, 

-Phương trình cot x m (3) 

Điều kiện: 


x 

k2 

cos x cos ( k Z) 

x 

k2 

0 

 

 

 

cos 

m 

x arccos m k2 

cos x m ( k ) 

x arccos m k2 

 

x k 

( k ) 

Ta xác định α sao cho 

m cot 

thì ta viết 

arccos m. 

Khi đó phương trình cot cot cot( ) 


x m x x k 

k 

0 

 

 

 

cot 

m 


. 


Khi đó, phương trình cotx m ar cot ( ) 

-Phương trình 


tan x 

m 

(4) 

 

x k ( k ) 

2 

Ta xác định α sao cho 

Khi đó, phương trình 

x c m k 

k 

m tan 


Khi đó, phương trình 

arccot 

m 

tan x m tan x tan x k2 

( ) 

tan 

m 

 

2 2 

tan x m x arctan m k 

● Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: 

f ( x ) g ( x ) k 

2 

sin f ( x) sin g( x) 

 

f ( x) g( x) k2 

 

( k ) 

f ( x) g( x) k2 

cos f ( x) cos g( x) 

( k ) 

f ( x) g( x) k2 

tan f ( x) tan g( x) f ( x) g( x) k2 ( k ) 

cot f ( x) cot g( x) f ( x) g( x) k2 ( k ) 

-Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: 




( k ). 

k 

. 

arctanm 












Có dạng 

at 

b 

0 

với 

a, bR, a 0 


; t là một hàm số lượng giác. 






Phương pháp giải: 

học). 

b 

at b 0 t 

a 

(đây là phương trình lượng giác cơ bản đã 

-Phương trình bậc hai (hoặc phương trình đưa về phương trình bậc hai) đối với 

một hàm số lượng giác: 

Có dạng: 

2 

at bt c 

0 

với 

a, b, c ; a 0 

-Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx 

Có dạng asin x bcosx c(3) trong đó 

Phương pháp giải: Chia cả 2 vế cho 

(1) sin( x ) 

 

-Phương trình đẳng cấp: 

a 

Là phương trình dạng 

chẵn hoặc lẻ. 


Bước 1: Xét cos x 0 

c 

b 

2 2 

a 

abc , , 

 

2 2 

a b 

 

 

b 

2 2 

; t là một hàm số lượng giác 

0 

ta được: 

(4) đây là phương trình lượng giác cơ bản. 

f (sinx;cosx)=0 

Kết luận nghiệm 

trong đó lũy thừa của sin và cos có cùng bậc 

Bước 2: Xét cos 0, ta chia 2 vế của phương trình cho cos n x (n là bậc cao nhất) 

x 

đưa về phương trình bậc cao của tanx. 

-Phương trình đối xứng với sinx và cosx: 

Dạng: a sin x bcos 

x c (1) trong đó 


1 1 

t sinx cos x 2( sinx cos x) 

2 2 

t 

2; 2 

 

abc 

, , 

 

ab 

. 0 

2(cos sinx sin cos x) 2 sin( x 

) 

4 4 4 


 

sin( ) 1;1 , x ) 

4 

( vì x 

2 

2 2 t 1 

t (sinx cos x) 1 2sin xcosx sin xcos x 

2 















Phương trình (1) 

Một số ví dụ cơ bản: 

2 

t 1 

at b. 

c 

2 

(là phương trình bậc 2 ẩn t) 

2 2 

Ví dụ 1: Nghiệm của phương trình 2sin x 5sin xcos x cos x 2 (1): 

Với 

2 

cos x 0 sin x1 

 

cosx 0 x k 

2 

Với cos x 0, ta chia cả 2 vế cho 

. Thay vào phương trình (1) 

là nghiệm của (1). 

2 

(1) 2 tan x5tan x1 2. cos 

2 

x 

2 2 

2 tan x 5tan x 1 2.(1 tan x) 

1 

2 

cos xta được: 

3 3 

tanx x arctan( ) k 

( k ) 

5 5 

Kết luận: Nghiệm của phương trình (1) là: 

Lưu ý: 


22 

luôn đúng 

 

x 

k 

2 

( k ) 

3 

x arctan( ) k 

5 

-Khi nhìn các phương án trả lời của bài này bạn phải chia 2 vế cho 

đưa về phương trình bậc 2 theo tanx. 

2 

cos x 0 

-Tuy nhiên đối với các phương án trả lời có nghiệm biểu diễn dạng khác. Học sinh 

có thể giải theo các cách sau: 

+Xét sin 0 không thỏa mãn phương trình (1) 

x 

+Với sinx 0, chia cả 2 vế cho 

 

để 

2 

sin x để đưa phương trình bậc 2 theo cotx 

-Hoặc dùng công thức hạ bậc để đưa về phương trình bậc nhất với sin và cos 

1cos 2x 

1 1cos 2x 

(1) 2. 5. sin 2x 

2 

2 2 2 

5sin 2x 3cos 2x 3 

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x, cos2x đã học trong phần trước 

Hoặc 

2 

(1) 5sin xcos x 3cos x 0 

(đây là phương trình đẳng cấp bậc 2) 

Ví dụ 2: Phương trình sin x cos x 1 2sin xcos 

x có bao nhiêu nghiệm trên 


 

0;2 

 

sinx cos x 1 2sin xcos x(2) 

















 

t sinx+cosx= 2 sin( x ) t 

2; 2 

x 

4 

 

 

 

2 

t 1 

 

2 

2 

t 1 2sin xcosx sin x cos x 

2 t 

0 

2 

t 1 

(2) t 1 2. t t 0 ( TMDK ) 

2 

 

t 1 

Thế t vào giải tìm ra x 

Kết luận: Phương trình có nghiệm 

Suy ra có 4 nghiệm trên [0,2π]. 

Chú ý: Với phương trình 

Đặt: 

 

x 

k 

4 

x k2 ( k ) 

x k2 

2 

a(sinx cos x) bsin xcos x c(3) 

 

t sinx cosx 2 sin( x ) t 2; 2 ; 

x 

 

4 

2 

t x x x 

1 2sin cos sin x cos 

2 

1t 

(2) at b. 

c 

2 

1t 

2 

2 


2.2.1. Xây dựng hệ thống bài toán gốc cho các dạng toán sau đó đề xuất các bài toán 

nâng cao nhằm phát triển năng lực cho học sinh: 

Dạng toán gốc: 

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: a sin cosx c 

Ví dụ 1: Giải phương trình 

x x 

2 2 

xb 

2 

(sin cos ) 3 cos x 2(1) 

Để giải bài toán trên trước tiên ta cần các câu hỏi: 

Phương trình (1) có gì đặc biệt? 

Biến đổi bài toán như thế nào? 

x x 2 

Để giải bài toán trước hết phải biến đổi (sin cos ) về dạng đơn giản hơn: 

2 2 


x x x x 

2 2 2 2 

2 

(sin cos ) 1 2sin cos 1 

sinx 



. 

 















(1) 1 sinx 3 cos x 2 

sinx 3 cos x 1 




PT trên là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, học sinh cần nhận dạng 

đúng dạng của PT và áp dụng các thuật toán đã học để giải và kết luận nghiệm 

sinx 3 cos x 1 

1 3 1 

sinx cos x 

2 2 2 

1 

cos( x ) 

6 2 

Sau khi thực hiện các bước phương trình (1) có các nghiệm là: 

 

 

x k2 ; x k2 

2 6 


2 

2cos x 2 3sin x cos x 1 3( 3 cos x sinx) (2) 

Học sinh nên chú ý 

PT (2) trở thành 

1 sin xcos 

Ta có vế trái của phương trình 

2 2 

3cos x 2 3sin x cos x sin x ( 3 cos x sinx) 

2 2 2 

Khi đó PT đã cho trở thành 

2 

( 3 cos xsinx) 3( 3 cos xsinx) 

Vì cả 2 vế của phương trình đều chứa ( 3 cos sinx), 

x 

x 


x 

để giải bài toán bước tiếp 

theo là đặt ( 3 cos sinx) làm nhân tử chung. Khi đó ta được phương trình 

3 cos x sinx 0 

 

3 cosxsinx 3 

PT (*) và (**) là các phương trình có dạng bậc nhất đối với sinx và cosx, để giải học sinh 

áp dụng các thuật toán đã học. Kết hợp nghiệm của (*) và (**) ta được nghiệm của PT đã 


cho là: 

 

 

x k2 ; x k2 ; x k2 

( k ) 

3 3 


















3 

sin x cos xsin 2x 

3 cos3x 2(1 sin x)(4) 

Thoạt nhìn học sinh chưa định hướng được các bước biến đổi của phương trình trên 

nhưng nếu biến đổi phương trình trở thành: 

2 

sin x(1 2sin x) cos x.sin 2x 3 cos3x 

2 

Ta có 

2 

(1 2sin x) cos2x 

sinx.cos2x cosx.sin 2x 

thay vào 

thì việc định hướng sẽ dễ hơn. 

2 

sinx(1 2sin ) cos .sin2 

x x x 

ta được: 

đây chính là công thức khai triển của sin(x+2x) 

Sau các bước biến đổi phương trình đã cho trở thành: 

sin3x 

3cos3x=2 

Đến đây học sinh cần nhận ra dạng phương trình bậc nhất đối với sinu và cosu, áp dụng 

các thuật toán đã học để tìm nghiệm phương trình: 

 

sin 3x 3 cos3x 2 cos(3x ) 1 

6 

Nghiệm của phương trình là: 

Một số bài tập đề nghị: 

2 

x k ( k ) 

18 3 

1)(cos2x 3sin 2 x) 3sinx cos x 4 0 

6 

2)4sin x3cos x 6 

4sin x3cos x1 

Xây dựng hệ thống bài tập nhằm phát triển năng lực phân tích, tổng hợp: 

Ví dụ 1: Giải phương trình: 

4 4 

4(sin x cos x) 3sin 4x 

2(*) 

Hướng dẫn: 

Phương trình trên chưa có dạng mẫu mực, biến đổi thế nào? 

-Phương trình có chứa biểu thức 

cho phù hợp với bài toán? 

4 4 

sin x cos x, 

câu hỏi đặt ra là phải biến đổi như thế nào 

Trong các chương trình đã cho có chứa sin4x, học sinh có thể biến đổi 

cùng cung 4x được hay không? 

Để trả lời câu hỏi trên học sinh phải thực hiện các bước phân tích: 

+Biến đổi từ cung x về cung 2x: 

1 

x x x 

2 

4 4 2 

sin cos 1 

sin 2 

sin 

x 

cos 

4 4 


x 

về 












+Biến đổi từ cung 2x về cung 4x 

Từ 


2 

sin 2x muốn biến đổi về cung 4x học sinh phải vận dụng công thức hạ bậc 



Tổng hợp các bước phân tích trên, phương trình trở thành 

3sin 4x 

cos4x 1(**) 




Đây là phương trình bậc nhất đối với sin4x và cos4x, đến đây để giải bài toán học sinh 

cần nhận đúng dạng của phương trình và áp dụng thuật toán đã học để giải. 

Sau khi thực hiện các bước phân tích học sinh tiến hành sắp xếp các ý rõ ràng và tổng 

hợp lại để có kết quả. 

Giải: Phương trình đã cho 

1 

2 

2 

(*) 4(1 sin 2 x) 3 sin 4x 

2 

 

2 

3 sin 4x 2sin 2x 2 3 sin 4x cos 4x 

1 

 

x k 

2 

 

cos(x ) cos 

4 2 

( k ) 

3 3 

x k 

12 2 

Vậy phương trình có nghiệm là: 

 

x k2 ; x k ( k ) 

4 12 2 

Qua bài toán ta đã thấy được năng lực phân tích của học sinh trong quá trình phân tích đề 

chia bài toán đã cho thành hai bài toán nhỏ: 

+ Rút gọn 

+ Giải PT 

4 4 

4(sin xcos x) 

3sin4x 

cos4x 1 

và năng lực tổng hợp trong quá trình phân tích để đưa 

bài toán về dạng mẫu mực, trình bày logic để tìm ra đáp án cho bài toán. 

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

 

sin 4x cos 6x sin(10 x )(1) 

2 

2 2 21 

Hướng dẫn: Bài toán tương đối phức tạp, việc giải toán quy về phân tích các bước biến 

đổi đưa bài toán từ dạng phức tạp về đơn giản hơn. 

*Năng lực phân tích đối với bài toán thể hiện qua việc chia bài toán thành 3 bài toán nhỏ 


trong quá trình đi tìm hướng giải: 

+Rút gọn 

21 

sin(10 x ) 

2 

2 2 

+ Rút gọn x 

sin 4 cos 6x 















+ Giải PT 

1 

(cos8x cos12 x ) cos10 x 

2 




-Phương trình trên có chứa 

21 

sin(10 x ) 

2 

-hàm lượng giác có chứa , để giải bài toán học 

sinh phải phân tích dựa vào mối quan hệ đặc biệt giữa các cung có liên quan đặc biệt, chu 

kỳ của hàm sin biến đổi hàm đã cho về hàm lượng giác đơn giản hơn: 

21 

sin(10 x ) sin(10 x 10 ) sin(10 x ) cos10x 

2 2 2 

2 2 

- x 

sin 4 cos 6x 

học sinh phải thực hiện hạ bậc. 

có chứa hàm số lượng giác bậc 2. Như vậy để giải bài toán bước tiếp theo 

2 2 1 cos8x 

1 cos12x 

1 

sin 4x cos 6 x 

(cos8x 

cos12 x) 

2 2 2 

Sau khi hạ bậc phương trình có gì đặc biệt không? 

Sau khi hạ bậc ta thấy vế trái của phương trình trên là tổng của 2 hàm cos có cung 8x, 

12x, vế phải là hàm cos10x. 

Vì 

8x12x 

10x 

2 

nên ta tiến hành phân tích vế trái biến đổi tổng thành tích: 

1 

(cos8x cos12 x ) cos10 x cos 2 x 

2 

-Khi đó phương trình đã cho 

cos10x.cos2x 

cos10x 

Đến đây việc giải bài toán trở nên đơn giản, vì cả 2 vế của phương trình đều có chứa 

cos10x nên ta đặt cos10x làm nhân tử chung, việc giải phương trình quy về giải các 

PTLG cơ bản. 

*Tổng hợp: 

Sau khi phân tích các bước giải ta tiến hành tổng hợp và trình bày bài giải cho logic và 

kiểm tra lại bài giải. 

Sau đây là lời giải cho bài toán: 
















1cos8x 1cos12x 

 

(1) sin(10 x 10 ) 

2 2 2 

1 (cos8x cos12 x ) cos10 x 

2 

cos10 x.cos 2x cos10x 

cos10 x(cos 2x1) 0 

cos10x 

0 

 

cos 2x 

1 

1 

x 

k 

 

20 10 

( k ) 

 

x k 

2 


Qua bài tập trên ta đã thấy được năng lực phân tích, tổng hợp trong quá trình tìm kiếm 

kết quả, việc giải bài tập trên là sự đan xen giữa năng lực phân tích chia bài toán thành 

những bài toán nhỏ và năng lực tổng hợp các bài toán nhỏ được tách ra từ bài toán đã cho 

sắp xếp một cách trình tự, logic, để đi đến kết quả đúng, không mắc sai lầm. 

Một số bài toán đề nghị: 

3 

3 

3 3 

1)4 (sin xcos3x cos xsin3 x) cos4x 

1 

6 6 

2(cos xsin x) sinx.cosx 

2) 0 

2 2sin x 

** Từ cách giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx, ta có thể mở rộng 

ra phương trình thuần nhất bậc ba đối với sinx và cosx: 

a x b x x d x 

3 2 2 3 

sin .sin .cosx c.sinx.cos .cos 0 

Ví dụ: Giải phương trình sau: 

3 3 2 2 

sin x 3 cos x sinx.cos x 3sin x.cosx(*) 

Để giải phương trình trên trước hết học sinh cần nhận ra được phương trình đã cho có 

dạng phương trình thuần nhất bậc ba đối với sinx và cosx. 

Câu hỏi đặt ra là liệu thuật toán giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx 

có thể áp dụng đối với phương trình thuần nhất bậc ba không? 


Bây giờ ta kiểm tra trường hợp cos x 0 

Thay giá trị cos x 0 vào phương trình ta có thể kiểm tra và kết luận được cos x 0có 

phải là nghiệm của PT thuần nhất bậc ba hay không? 

















Nếu 

Nếu 

a 

3 

sin x 0 

3 

a sin x 0 

thì cos 0là nghiệm của PT thuần nhất bậc ba. 

x 


thì cos 0không phải là nghiệm của PT thuần nhất bậc ba. 

x 

Tương tự thuật toán PT thuần nhất bậc hai ta xét trường hợp cos 0. 

Chia cả 2 vế của PT cho 

Giải PT theo tanx 

3 

cos x 


x 

. Khi đó PT trở thành PT bậc ba đối với hàm tanx. 

Lưu ý để đi đến kết luận cuồi cùng của phương trình ta phải kết hợp nghiệm ở 

trường hợp cos x 0. 

Việc còn lại là vận dụng các kiến thức đã biết, tổng hợp các bước giải để giải bài toán 

hoàn chỉnh. 

Từ các bước phân tích ở trên ta vận dụng vào giải bài tập đã cho. 

Giải: 

 

x x k 

k 

2 

+ Xét cos 0,( ) thay vào (*) ta được 

không phải là nghiệm của phương trình 

+ Xét cos 0chia cả hai vế của phương trình cho 

tan 

x 

x 

3=tanx- 3 tan 

3 2 

2 2 

tanx(tan x 1) 3(tan x 1) 0 

 

2 

(tan 1)(tan x+ 3) 0 

x 

tan x 1 

( k ) 

tan x 3 

Vậy PT đã cho có các nghiệm là: 

 

x k ; x k2 ,( k ) 

4 2 3 

x 

3 

sin x 0 

3 

cos x ta được 

nên 

 

x k 

( k ) 

2 

Thông qua việc giải dạng PT đẳng cấp 3 đối với sinx và cosx và PT đẳng cấp bậc 2 đã 

được học, ta có khái quát chung: để giải PT đẳng cấp bậc n đối với sinx và cosx trước 

tiên ta phải xét trường hợp cos=0, xét trường hợp cosx 0 sau đó chia cả 2 vế của phương 

trình cho cos n x đưa phương trình về phương trình bậc n đối với hàm tanx để giải. 

Một số bài tập đề xuất: 


3 2 2 3 

1)sin x 4sin x.cosx 5sinx.cos x 2cos x 0 

3 2 3 

2)sin x 2sin 2 x.(sinx cos x) sinx.cos x 2cos x 

*Xây dựng hệ thống bài tập toán nhằm phát triển tính linh hoạt, mềm dẻo, sáng tạo trong 

giải toán. 



















Ví dụ 1: Giải phương trình 4sin 3cosx 0(*) 

x 

Ta nhận thấy phương trình đã cho có dạng a sin cos 

thuật toán đã học đối với dạng phương trình 

 

x b x c 

asin 

x bcos 

x c 

nhưng nếu học sinh áp dụng 

để giải sẽ không hay. 

Nhưng nếu nhận xét cosx=0không phải là nghiệm của PT nên ta chia 2 vế của (*) cho 

cosx. Khi đó (*) 4 tan 3 0 

x 

Đây là dạng PT bậc nhất đối với tanx việc giải bài toán trở nên ngắn gọn và hay hơn 

nhiều. 

Lời giải: 

+ cosx 0 không phải nghiệm của (*). 

 

+Chia cả 2 vế (*) cho cosx ta được 

3 3 

(*) 4tanx 3 0 tanx=- x arctan( ) k 

( k ) 

4 4 

Vậy PT(*) có 1 nghiệm 

Ví dụ 2: Giải PT 

3 

x arctan( ) k 

( k ) 

4 

2 3 

cos10x 2cos 4x 6cos3x.cosx cosx+8cosx.cos 3 x(*) 

Nhìn tổng quát cả 2 vế của (*) ta thấy có xuất hiện 

3 

8cos x.cos 3 x;6cos3 x.cosx 

hoạt đặt 2cos x làm nhân tử chung sẽ xuất hiện công thức nhân ba 

3 

4cos 3x 

3cos3x cos9x 

khi đó bài toán sẽ đơn giản hơn. 

2 3 

(*) cos10x+2cos 4x cosx 2cosx(4cos 3x 

3cos3x) 

cos10x 1 cos8x cosx+2cosx.cos9x 

nếu linh 

Ở phương trình trên vế phải có chứa tích cosx.cos9x , vế trái có chứa tổng cos10x+cos8x 

câu hỏi này đặt ra là có thể biến đổi vế trái về vế phải được hay không? Biến đổi như thế 

nào? 

Quan sát các cung ta thấy 

10 x 8 x 10 8 

9; 

x 

x 

x xdo đó để biến đổi vế trái về về phải 

2 2 

ta sẽ áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Khi đó, phương trình đã cho tương 

đương với 2cos .cos9x 1 cosx 2cosx.cos9 

x 

 

 

x 

. Vì cả 2 vế của PT trên đều chứa 


2cos x.cos9x. Khi đó, ta được PT cơ bản đối với hàm cosx: cos 1 

Tổng hợp các bước phân tích giải và kết luận nghiệm 

Bài giải: 

x 


















2 3 

(*) cos10x+2cos 4x cosx+2cosx(4cos x 3cos3x) 

 

2 

cos10x 2cos 4x cos x 2cos x.cos9x 

cos10x1 cos8x cosx cos10x 

cos8x 

cos x 1 x k2 ;( k ) 

Bài giải trên đã thể hiện được sự sáng tạo của học sinh trong việc đặt 2cos x 

chung, áp dụng công thức 

3 

4cos 3cos3 cos9 

x x x 

làm nhân tử 

, sự linh hoạt trong việc vận dụng các 

công thức biến đổi tổng thành tích (tích thành tổng) để đơn giản hóa các biểu thức lượng 

giác, từ đó có được lời giải hay. 

Ví dụ 3: (bài tập biến đổi không chứa ) Giải PT: cos 


2 4x 

cos x cos( ) 

3 

Phương trình trên mới nhìn học sinh chưa thể định hướng ngay cách giải. 

Bài toán trên biến đổi như thế nào? 

Do phương trình trên có chứa hàm bậc hai trước khi giải học sinh nên hạ bậc trước 

cos x (1 cos 2x) 

2 

2 1 

1 4x 

(1 cos 2 x) cos( ) 

2 3 

để việc giải bài toán nhanh hơn. Khi đó PT tương đương 

Vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để học sinh tìm ra hướng biến đổi tiếp cho bài toán 

2 1 1 2x 4x 2x 

cos x (1 cos 2 x) (1 cos3. );cos( ) cos(2. ) 

2 2 3 3 3 

Việc phân tích tìm ra giá trị cung cơ sở 

2x 

3 

đặt là t được xem như đi tìm “chìa khóa”. 

Không khó cũng không dễ, tùy thuộc vào kiến thức, sự linh hoạt mềm dẻo của mỗi học 

sinh. 

2x 

Đặtt . Khi đó, PT đã cho 

3 

1 

(1 cos3 t ) cos 2 t 1 cos3 t 2cos 2 t 

2 

Phương trình trên có chứa 3t, cos2t giữa chúng có mối liên hệ gì không? 


Cả cos3t, cos2t đều có thể biến đổi theo cost. Sử dụng công thức nhân đôi, nhân ba áp 

dụng vào phương trình ta được phương trình: 

 

3 2 

1 4cos t 3cos t 2.(2cos t 1) 

 

3 2 

4cos t 4cos t 3cos t 3 0 















Phương trình đã cho biến đổi trở thành phương trình bậc ba theo cost. 


Để tìm t học sinh chỉ cần áp dụng các thuật toán giải phương trình bậc ba theo cost. 

Kiểm tra điều kiện t và kết hợp với bước đặt 

t 

2 

(cost1)(4cos t 3) 0 (cost1)(2cos 2 t1) 0 

4x 

1 

cos 

2x 

4x 

 

3 2 

(cos 1)(2cos 1) 0 

3 3 2x 

cos 1 

3 

x 

k3 

 

;( k ) 

x 3k 

4 2 

Vậy pt có 3 nghiệm là: 

3k 

x 3 k; x ( k ) 

4 2 

Ví dụ 4: Giải phương trình: 

2x 

3 

4 4 

sin 2x 

cos 2x 

 

 

tan( x) tan( x) 

4 4 

suy ra nghiệm của phương trình. 

4 

cos 4 x(*) 

Phương trình đã cho có mẫu là hàm tan, trước khi giải học sinh cần chú ý đến điều kiện. 

Đối với bài toán này mẫu là hàm tan do đó nên lưu ý kiểm tra đầy đủ điều kiện để tránh 

nhận nghiệm ngoại lai. 


 

tan( x) tan( x) 0 

4 4 

 

 

cos( x)cos( x) 0 

4 4 

Đối với điều kiện trên nếu giải theo cách thông thường sẽ mất rất nhiều thời gian, do vậy 

học sinh phải linh hoạt trong việc giải điều kiện của bài toán. 

Ta thầy rằng 

 

tan( x) tan( x) 0 sin( x)sin( x) 0 

4 4 4 4 

Do đó, hệ điều kiện ban đầu sẽ tương đương với 


 

sin x sin x 0 1 

 

(cos 2x 

cos ) 

4 4 

2 2 

 

 

cos 2x 

0 

1 

cos x cos x 0 (cos 2x cos ) 

 

4 4 

2 2 

















Vậy điều kiện của bài toán là cos 2 0 

x 


Nhận thấy phương trình (*) rất phức tạp. Cho nên điều kiện cần thiết phải làm là rút gọn 

càng gọn càng tốt. 

 

tan x tan x 

? 

4 4 

+Ta thấy 

 

x 

 

x 

 

 

4 4 2 

nên 

 

x ; 

 

x 

 

4 4 4 

là 2 góc phụ nhau. 

+Dựa vào mối quan hệ giữa các cung phụ nhau ta được điều gì? 

 

tan x tan x tan xcot x 

1 

4 4 4 4 

Sau khi rút gọn ta được phương trình tương đương 

Có mối liên hệ giữa cung 2x và cung 4x? 

4 4 4 

sin 2 cos 2 cos 4 

4 4 2 2 2 2 

sin 2 cos 2 1 2sin 2 .cos 2 1 sin 4 1 1 

cos 4 

 

x x x 

1 1 

x x x x x x 

2 2 

* 2cos 4xcos 4x1 

0 

Khi đó PT (*) 4 2 

kiện 

PT có 2 nghiệm 

sin 2x 

0 

sin 4x 

0 

cos 2x 

0 

2 2 

cos 4x1 sin 4x 

0 

đây là phương trình trùng phương lưu ý điều 

(năng lực so sánh) 

 

x x k k 

2 

Kết hợp điều kiện cos 2x 0 ta chỉ nhận nghiệm sin 2 0, 

Trình bày các bước giải và kết luận nghiệm 

Qua bài tập trên ta thấy được tính linh hoạt, tính độc lập của trí tuệ trong quá trình tìm 

phương hướng giải quyết vấn đề, và trong quá trình giải và đối chiếu điều kiện thông qua 

các năng lực phân tích, tổng hợp. 

Chắc hẳn các bạn sẽ ngạc nhiên bởi cách giải ngắn gọn này, nếu không có sự nhận xét và 

tổng hai cung mà quy đồng và biến đổi thì ra không? 

-Việc giải điều kiện và đối chiếu với điều kiện đặc biệt là những phương trình lượng giác 

có dạng phân thức như trên nếu không khôn khéo thì rất phức tạp. 




-Với ý tưởng nhận xét về tổng các cung trên ta có thể làm tương tự bài toán sau 

 





 

KQ: x k , k 

12 2 












2.2.2. Xây dựng hệ thống bài tập nhằm giúp học sinh khắc phục, sửa chữa những sai 

lầm thường gặp trong nội dung phương trình lượng giác: 

Khi giải phương trình lượng giác học sinh thường gặp một số sai lầm: không đặt điều 

kiện để loại nghiệm, không thống nhất kí hiệu số đo độ, radian trong quá trình giải bài 

tập… sau đây là một số bài tập nhằm giúp học sinh khắc phục sai lầm trên. 

Ví dụ 1: (SGK- Đại số và giải tích 11- Nâng cao/ trang 40) 

x 

Giải phương trình cot 2 cot 

Xét giải 

 

x 

 

2 

 

cot 2x cot x 2 x x k 

x k, 

k 

2 2 2 

Vậy PT có nghiệm là 

Lời giải sai lầm ở chỗ: 

 

x k 

, k 

2 

Đây là phương trình đơn giản, nhưng hầu hết các em lại mắc lỗi khi giải đó là quên đặt 

điều kiện: 

 

 

 

x k 

sin x 

0 2 

2 

; k (*) 

 

 

sin 2x 

0 

x k 

2 

Kết hợp với điều kiện (*) phương trình đã cho vô nghiệm 

Ví dụ 2: (SGK-Đại số và giải tích 11- Nâng cao/42) 

Giải phương trình 

Xét lời giải sau đây: 

tan(2x 

10 ) cotx 0 

tan(2x10 ) 

cot 

x 

 

tan 2x10 

tan x 

 

2 

 

2x 10 x k 

2 

x 80 k, 

k 

Lời giải trên sai lầm ở chỗ: 

tan(2x 10 ) cotx 0 

Không tìm điều kiện tồn tại của phương trình đó là: 

cos(2x+10 ) 0; sinx 0 nên không đối chiếu kiểm tra nghiệm: 



nên dẫn đến kết luận sai. 
















 

 

tan 2x 10 cotx 0 tan 2x 10 cot 

x 

tan 2x 10 tan x 90 2x 10 x 90 k180 

x 80 k180 , 

k 

Nghiệm đúng của phương trình là 

Một số bài tập đề xuất: 

x 

1) tan 2x 

45 tan 180 1 

2 

 

2)2sin3x 

5 cos3x3 

 

x 80 k180 , 

k 


*Xây dựng hệ thống bài tập toán nhằm phát triển năng lực tìm tòi lời giải, biến đổi đưa về 

cách giải cơ bản đã biết: 


4 4 3 

cos x sin x cos x sin 3x 

0(*) 

4 4 2 

Mới nhìn phương trình ta chưa thể định hướng ngay được hướng giải quyết cho bài toán. 

Nhưng nếu quan sát kỹ hơn tìm ra mối quan hệ giữa các cung và biến đổi đưa các yếu tố 

phức tạp về đơn giản việc xác định hướng giải quyết sẽ đơn giản hơn. 

Từ đẳng thức: 

1 

x x x 

2 

4 4 2 

sin cos 1 

sin 2 

và hiệu hai cung 

Từ đó ta định hướng đưa PT về cùng một cung 2x để giải. 

 

Làm thế nào để đưa cos x 

.sin 3x 

về cung 2x? 

4 4 +Ta thấy rằng 

 

3x x 2 x. 

4 4 

ta áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng 

1 

cos x sin 3x sin 2x sin 4x 

 

4 4 2 

 

2 

 

 

Do đó để đưa cos.sin 3 

 

3x x 2x 

4 4 

 

x 

x 

 

4 4 

về cung 2x, 

 

Biến đổi sin 4x 

 

2 theo cung 2x như thế nào? Để biến đổi sin 

4 

x theo cung 2x 

2 

trước tiên ta dựa vào mối quan hệ giữa các cung lượng giác hơn kém 


 

sin 4x 

cos4x. Để phân tích cos4x về cung 2x ta chỉ cần sử dụng công thức nhân 

2 

2 

đôi x 

cos 4 1 2sin 2x. 



 

2 

biến 
















Tổng hợp các bước phân tích ở trên ta biến đổi PTLG đã cho về PT bậc 2 đối với sin2x. 

Giải tìm x, và kết luận nghiệm. 

Lời giải: 

Phương trình 

1 

1 

2 

 

2 

 

2 

2 

sin 2x cos 4x sin 2x 

1 

0 

2 2 

(*) 2sin x.cos x sin 4x sin 2x 

0 

 

2 

sin 2x 

sin 2x 

2 0 

 

sin 2x 1 x k, 

k 

4 

 

Vậy PT có nghiệm x k 

, k 

4 

Qua bài toán trên thông qua việc phân tích đề, tìm ra mối quan hệ giữa các yếu tố trong 

phương trình, biến đổi bài toán về dạng phương trình bậc 2 đối với hàm sin ta đã phát 

triển năng lực tìm lời giải, biến đổi đưa bài toán từ một phương trình phức tạp về phương 

trình dạng mẫu mực đã biết (phương trình bậc 2 đối với hàm sin2x). 

Ví dụ 2: 

3 

x 1 3x 

sin sin (2) 

10 2 2 10 2 

Nhìn vào phương trình ta nghĩ dùng công thức biến đổi sin của một tổng,nhưng nếu giải 

theo hướng này sẽ khó hơn, ta xem 2 cung 

như thế nào. 

Thật vậy 

Từ đó ta đặt 

3 x 

10 2 


và 

3x 

 

10 2 

3 3 9 3 3 

sin x 

sin x 

sin x 

sin3 

x 

 

 

10 2 10 2 10 2 10 2 

3 

x 

t 

10 2 

Để giải phương trình 2sin sin3 

phương trình đã cho (2) 2sin sin 3 

t 

(2) 2sin sin3 2sin 3sin 4sin 

3 

t t t t t 

t 

 

t 

ta tìm mối liên hệ giữa sin 3t và sin t 

t 

có mối liên hệ với nhau 

Đến đây việc giải phương trình trên quy về giải phương trình bậc ba của hàm sin t 

(lưu ý kiểm tra điều kiện hàm sin t 1 


 

3 2 

4sin t sin t 0 (4sin t 1)sin t 0 

Từ trên ta thấy phương trình 

2 

4sin t 1 0 

2 1 

Hướng 1) 4sin t1 0 sin t 

2 


có 2 hướng giải: 















Hướng 2) Hạ bậc 

4sin t 1 0 1 2cos 2t 0 cos 2t 

 

2 

2 1 

Qua trên ta thấy rằng nếu giải theo hướng 2 sẽ nhanh và hay hơn 

(1 2cos 2 t)sin t 0 

sin t 0 t k 

t k 

 

1 

 

, k 

cos 2t 

2t k2 

t k 

2 3 6 


3 

x 

Sau khi tìm t, ta đã đặt t , giải và tìm nghiệm x tương ứng và kết luận nghiệm của 

10 2 

phương trình 

Vậy phương trình có 3 nghiệm: 

3 4 14 

x k2 ; x k2 ; x k2 ( k ) 

5 5 15 

Ví dụ 3: Giải PT cos4 sin5 2 

x 

x 

Đây là phương trình khó theo cách giải thông thường 

Chú ý: Trong quá trình giải lượng giác dạng này ta cần lưu ý các giá trị không âm như 

1sinx ; 1 cos x ; 1sinx ; 1cos x . 

sau: 

1;1 

giá trị 

nên khi lũy thừa nó lên thì giá trị của nó càng nhỏ. 

Ngoài ra, ta đã biết hàm sinx và cosx có tập 

Ta thấy rằng cos4x, sin5x là những hàm lượng giác nên chúng có miền giá trị lớn nhất là 

1 hay 1-cos4x; 1-sin5x là những giá trị không âm. Theo đề toán thì cos4 sin5 2 nên 

ta nghĩ đến việc biến đổi phương trình đã cho về tổng các giá trị không âm để giải: 

 

cos4x sin5x 2 1 cos4x 1sin5x 

0 

1cos4x 

1sin5x 

Vì và là những giá trị không âm nên 

1 cos 4x 

0 

1 cos 4 1sin5 0 

1 sin5x 

0 

x x 

Đến đây việc giải phương trình quy về giải hệ của 2 hàm bậc nhất 

 

4x k2 

x k 

cos4x 

1 

 

 

2 

 

( k ) 

sin5x 1 5x k2 

2 

2 

x 

k 

10 5 




x 

x 





Ở đây ta cần lưu ý học sinh, nghiệm của phương trình chính là nghiệm của hệ trên, do đó 

ta phải tìm ra nghiệm chung của các phương trình trong hệ rồi kết luận. Do thói quen khi 












giải các phương trình lượng giác cơ bản nếu không chú ý, các em sẽ dễ dàng đi đến kết 

luận sai. 

Kết luận ta được nghiệm của PT đã cho là 

Ví dụ 4: Giải PT 

 

 

 

x k2 

k 

 

2 

sin 4x cos x 2sin 4x cos4 x(1 sinx 2cos4 x) 0(*) 


Ban đầu phương trình rất phức tạp, nhưng các bạn hãy để ý nếu phân phối vào thì ta được 

điều lý thú hơn. Đó chính là sự xuất hiện của những hạng tử 

 

2 2 

sin 4 cos 4 ; sin 4 cos cos4 sin 

vào. 

x x x x x x 

Sau khi phân phối vào phương trình trở thành: 

2 2 

sin 4xcos x 2sin 4x cos 4x cos 4xsin x 2cos 4x 

0 

Ta thấy rằng phương trình trên có chứa sin 4 cos ;cos 4 sin 

 

. Do đó, việc cần làm trước tiên là phân phối 

x x x x và 

2 2 

2sin 4 x; 2cos 4xdo 

đó để giải bài toán ta cần phải nhóm các hạng tử này với nhau để xuất hiện những công 

thức, tính chất đặt biệt trong lượng giác 

2 2 

 

sin 4xcos x cos4x sin x 2 sin 4x cos 4x cos4x 

0 

sin 4xcos 

x cos4x sin x 

 

sin 4xcos x cos4x sin x sin5x 

Mặt khác 

2 2 

sin 4xcos 4x 

1 

thành sin5 cos4 2 

x 

x 

+ Giải PT sin5xcos4x 

2 

là dạng khai triển của hàm sin(ax+b) , do đó 

 

tổng hợp các bước phân tích trên phương trình đã cho trở 

Đến đây việc giải PT cũng không phải là đơn giản, nhưng nếu để ý đến tập giá trị 

sin 5x 1;cos 4 x 1 

sin5x 

1 

sin5x cos4x 

2 

cos4x 1 

thì việc giải bài toán sẽ đơn giản hơn nhiều 


Khi giải x ta kết hợp các nghiệm tìm được và kết luận nghiệm của PT 

Sau đây là lời giải cụ thể 

















 

2 2 

* sin 4xcos x cos 4xsin x 2 sin 4x cos 4x cos 4x 

0 

sin5x cos 4x 

2 

sin5x 1 

 

5x k2 

 

 

2 

cos 4x 

1 

 

4x 

k2 

2 

x k 

10 5 

x k2 ( k ) 

 

2 

x k 

2 

Vậy PT có nghiệm là: 

 

x k2 ( k ) 

2 


Qua việc phân tích bài toán ta đã định hướng được quá trình tìm lời giải chuyển phương 

trình từ một phương trình phức tạp về dạng đơn giản hơn và vận dụng các kiến thức đã 

biết để giải. 

Một số bài tập đề nghị: 

2 2 

1)cos x 4cos x 2xsin x x 3 0 

2)4cos x 2cos 2x cos 4x 

7 

2.3 Một số ứng dụng của lượng giác trong vật lý: 

Ứng dụng của đường tròn lượng giác trong các bài toán dao động điều hòa: 

Dao động điều hòa: 

● Phương trình động lực học của dao động và nghiệm của nó: 

Dao động cơ học là chuyển động qua lại quanh vị trí cân bằng 

Xét dao động của vật nặng (m) gắn với lò xo có độ cứng k 

- Phương trình động lực học của vật: 

- Nghiệm của phương trình 

x 

x 

2 

'' x 0 

 

những hằng số, gọi là phương trình dao động 

 

2 

'' x 0 

 

 

có dạng 

● Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa: 

x là li độ của vật tính từ VTCB 

A là biên độ dao động, A>0 và xmax = A 

t 

 

là pha dao động tại thời điểm t 

là pha ban đầu, tức là t 

 

tại thời điểm t = 0 

là tần số góc của dao động, đơn vị là rad/s. 



2 k 

với 

m 

cos 

x A t 

 

trong đó 

A, , 


là 















● Chu kỳ và tần số của dao động điều hòa 

Chu kỳ T là khoảng thời gian vật thực hiện một dao động toàn phần 


t 1 

T () s 

N 

f 

với t là khoảng thời gian vật thực hiện được N dao động 

Tần số 

f 

là số dao động vật thực hiện được trong 1 giây 

● Vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa: 

Vận tốc của vật: 

Khi 

Khi 

x A v 0 

x 0 v A 

max 

 

v x' Asin t 

Acos 

t 

 

 

2 

tại 2 vị trí biên 

tại vị trí cân bằng 

Vận tốc nhanh pha hơn li độ 1 lượng 

● Gia tốc của vật: 

 

2 

cos 

2 2 

a Acos 

t A t 

Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc 1 lượng 

 

Gia tốc ngược pha so với li độ và có độ lớn tỉ lệ với li độ 

Khi ở 2 biên 

Khi ở VTCB 

 

2 

x A a A 

max 

x 0 a 

0 

● Tổng hợp hai dao động cùng phương, cùng tần số: 

 

2 

1 f ( Hz) 

T 

và 

2 

a 

x 

Ta có hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có dạng như sau: 

-Dao động thứ nhất có dạng: 

-Dao động thứ hai có dạng: 

x A cos t 

 

 

1 1 1 

x A cos t 

 

2 2 2 

-Dao động tổng hợp có dạng là: x x x A t 

 

 

 

 

1 2 

cos 




. 


















● Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp: 

2 2 

-Biên độ tổng hợp xác định là: A A A 2A A cos 

Pha ban đầu được xác định: 

 

A 

A 

1 2 

tan 

 

*Nếu hai dao động thành phần: 

- Cùng pha: 

-Ngược pha: 

 

-Vuông pha: 

2n 

A A A 

-Độ lệch pha là bất kỳ thì: 

1 2 1 2 2 1 

A1 sin1 A2 sin2 

A cos 

A cos 

1 2 2 2 

1 2 

và 

1 

2n 1 

A A1 A2 

 

 

 

 

2n 1 A A A 

2 

và 

 

2 2 

1 2 

A A A A A 

hoặc 

1 2 1 2 

1 

2 

A 

A 

nếu 

1 2 

, 

2 

● Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều, biểu diễn dao động điều 

hòa bằng vecto quay. Phương pháp đường tròn lượng giác: 

*Chuyển động tròn đều và các đại lượng đặc trưng: 

- Chuyển động tròn đều là: “Chuyển động chất điểm đi được những cung tròn bằng nhau 

trong những khoảng thời gian bằng nhau”. 

- Các đại lượng đặc trưng của chuyển động tròn đều: 

+Chu kỳ T là khoảng thời gian chất điểm đi hết một vòng trên đường tròn 


+ Tần số f là số vòng chất điểm quay được trong một đơn vị thời gian 

1 

+Liên hệ giữa chu kỳ và tần số T 

f 

nếu 
















+Tốc độ góc của chuyển động tròn đều: Tốc độ góc là góc quay được của bán kính 

trong một đơn vị thời gian 

 

 

t 

. Đơn vị là rad/s. 

●Sự tương giao giữa một dao động điều hòa và chuyển động tròn đều. Biểu diễn dao 

động điều hòa bằng vecto quay. 

Một dao động điều hòa có dạng 

chuyển động đều có: 

cos 

x A t 

 

-Bán kính của đường tròn với biên độ dao động: R=A 

có thể biểu diễn tương ứng với một 

-Vị trí ban đầu của vật trên đường tròn với chiều dương trục Ox một góc 

-Tốc độ quay của vật trên đường tròn bằng 

- Chiều quay của vật ngược chiều kim đồng hồ. 

-Ta có hình vẽ biểu diễn một chất điểm dao động điều hòa 

vecto quay OM như hình vẽ. 

cos 

x A t 

 

bằng một 

- Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x của vecto quay OM biểu diễn dao động điều hòa 

chính là li độ x của dao động 

-Khi vecto OM quay đều với tốc độ góc quanh góc tọa độ O thì hình chiếu P của điểm 

M dao động điều hòa trên trục Ox, thuộc mặt phẳng quỹ đạo của M với li độ bằng tọa độ 

hình chiếu của M 

+Biên độ A bằng độ dài vecto OM 

+Tốc độ góc đúng bằng tần số góc và pha ban đầu bằng góc xOM tại thời điểm t = 

0 


-Một dao động điều hòa có thể được coi như hình chiếu của một vật chuyển động tròn 

đều nằm trong mặt phẳng quỹ đạo 

Bài tập: 

Bài 1: Tìm thời gian ngắn nhất vật đi từ A 

B 


















Ví dụ: Một vật dao động điều hòa với T. Hãy xác định thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị 

trí cân bằng đến 

A 3 

2 

Bài 2: Xác định thời điểm vật vị trí M cho trước 

Ví dụ: Một vật dao động điều hòa với phương trình 

 

x4cos(6 t 

) 

3 

a. Xác định thời điểm vật qua vị trí x = 2 cm theo chiều dương lần thứ 2 kể từ thời 

điểm ban đầu. 

b. Thời điểm vật qua vị trí 


Vật qua vị trí x=2cm (+) 

 

6t k2 

3 6 

 

6t 

k2 

6 

1 k 

t 

36 3 

1 k 

t 2 t 2 

36 3 

Vậy k = 7,8,9, …. 

x 2 3 

1 k 1 9 

t 2,97s 

36 3 36 3 

Bài 3: Xác định quãng đường 

cm 

theo chiều âm lần thứ 3 kể từ t=2s 

Loại 1: Bài toán xác định quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t 

Ví dụ: Vật dao động điều hòa theo phương trình 

t đến 

đường vật đi được trong khoảng thời gian 1 

1,5 

Loại 2: Bài toán xác định max 

Ví dụ: Vật dao động điều hòa với phương trình 

đi được trong khoảng thời gian 6 

T 

min 

 

x 10cos 

t 

 

2 

13 

t2 

 

3 

S ; S vật đi được trong khoảng thời gian t ( 

s? 

 

x5cos 4 

t 

 

6 



cm. Xác định quãng 

T 

t 

2 

. Tìm quãng đường vật 


) 





Loại 3: Tìm max 

S ; S vật đi được trong khoảng thời gian t ( 

min 

T 

T 

t 

) 

2 











Ví dụ: Vật dao động điều hòa với biên độ A. Tìm quãng đường nhỏ nhất vật đi được 

trong khoảng thời gian 

2T 

3 
















KẾT LUẬN 







Trong thời gian viết khóa luận tốt nghiệp, được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Hoàng 

Nhật Quy và sự cố gắng, nỗ lực của bản thân, tôi đã nghiên cứu và trình bày việc xây 

dựng chuyên đề lượng giác theo hướng phát triển năng lực học sinh của chương trình phổ 

thông tổng thể. 

Qua bài nghiên cứu đề tài này, luận văn rút ra một số kết luận sau: 

- Luận văn góp phần làm rõ các vấn đề cơ bản của năng lực, năng lực toán học; biểu 

hiện của năng lực chung và các thành tố và các năng lực toán học; mục đích, vai 

trò, ý nghĩa, chức năng của bài tập toán. 

- Luận văn đã xây dựng được hệ thống bài tập toán vận dụng kiến thức giải phương 

trình lượng giác lớp 11. 

- Việc xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập toán trong luận văn đã mang lại cho 

học sinh những tri thức cần thiết đầy đủ hơn về nội dung “Hàm số lượng giác và 

phương trình lượng giác”. 

Vì thời gian và khả năng có hạn, khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót, rất 

mong quý thầy cô và các bạn đọc thông cảm và đóng góp ý kiến. Hy vọng đề tài là một 

tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên để nâng cao chất lượng dạy học thông qua nội 

dung chuyên đề lượng giác. 
















TÀI LIỆU THAM KHẢO 


1. Bộ Giáo dục và đào tạo – (2018) - Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán - Hà 

Nội. 

2. Bộ Giáo dục và đào tạo – (2014) - Dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả học tập theo 

định hướng phát triển năng lực học sinh - Hà Nội. 

3. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan – (2008) – Đại số và giải tích 11 (Nâng cao) – Nhà 

xuất bản giáo dục. 

4. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan – (2008) – Đại số và giải tích 10 (Nâng cao) – Nhà 

xuất bản giáo dục. 

5. Đặng Việt Đông – (2014) - Công phá toán 2 – Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội. 

6. Tài liệu trên mạng 

https://www.wikipedia.org/ 

https://tailieu.vn/ 

nhiều tài liệu quý trên Internet.

XÂY DỰNG CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH CỦA CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG TỔNG THỂ

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?