สรุปสูตร เรื่องตรีโกณมิติ

วงกลมหนึ ่งหน่วย
สรุปสูตร เรื่องตรีโกณมิติ
1. นิยาม sin y และ cos x ดังนั้น
,
2. อัตราส่วนตรีโกณมิติ
a
sinÄ
b
c
cos A
b
a
tan A
c
b
cos ecA
a
b
sec A
c
c
cot A
a
3. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่ควรจําได้
ฟังก์ชัน 0 o
sin 0
cos 1
tan 0
30
6
1
2
3
2
o
45
4
1
2
1
2
2
2
2
2
y 3
5
tan , , ,...
x 2 2 2
x
cot , ,
2,
3,...
y
1 3
5
sec , , , ,...
x 2 2 2
1
csc , ,
2,
3,...
y
o
60
3
o
90
2
o
180
3
2
1 0
1
2
0 1
1
3
1 3 _ 0
cot _ 3 1
1
3
0 _
sec 1
2
3
2 2 _ 1
cosec _ 2 2
2
3
1 _

อยู
4. การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณของมุมประกอบที่ค่าของฟังก์ชันไม่เปลี่ยนแปลง
ถ้ากําหนดให้
0
2
่ ควอดรันต์ 2 อยู ่ ควอดรันต์ 3 2
อยู ่ ควอดรันต์ 4
อยู ่ ควอดรันต์ 4
sin( )
sin sin( )
sin sin( 2
)
sin sin( ) sin
cos( )
cos cos( )
cos cos( 2
)
cos cos( ) cos
tan( )
tan
tan( ) tan tan( 2
)
tan tan( ) tan
กรณีที่มุมเป็นองศา
ก็เช่นเดียวกัน
o
o
o
180 อยู ่ ควอดรันต์ 2 180 อยู ่ ควอดรันต์ 3 360 อยู ่ ควอดรันต์ 4
อยู ่ ควอดรันต์ 4
o
sin( 180 )
sin
o
cos( 180 )
cos
o
tan( 180 )
tan
o
sin( 180 )
sin
o
cos( 180 )
cos
o
tan( 180 )
tan
ในทํานองเดียวกันถ้า n I และเป็นฟังก์ชันของมุมที่เกินรอบ
sin( 2n
)
sin sin( 2n
)
sin
cos( 2n
)
cos cos( 2n
)
cos
tan( 2n
)
tan tan( 2n
)
tan
o
sin( 360 )
sin
o
cos( 360 )
cos
o
tan( 360 )
tan
หมายเหตุ สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับ ทุกขนาดของมุมหรือจํานวนจริงใด ๆ
การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณของมุมประกอบที่ค่าของฟังก์ชันต้องเปลี่ยนแปลงฟังก์ชัน
(co-function)
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
่ ่ ่
อยู ควอดรันต์ 1 อยู ควอดรันต์ 2
2
2
3
อยู ควอดรันต์ 3
2
3
อยู
2
sin( )
cos
2
sin( )
cos
2
3
sin( )
cos
2
3
sin( )
cos
2
cos( )
sin
2
cos( )
sin
2
3
cos( )
sin
2
3
cos( )
sin
2
tan( )
cot
2
tan( )
cot
2
3
tan( )
cot
2
3
tan( )
cot
2
่ ควอดรันต์ 4
กรณีที่มุมเป็นองศา
ก็เช่นเดียวกัน
o
o
o
o
90 อยู ่ ควอดรันต์ 1 90 อยู ่ ควอดรันต์ 2 270 อยู ่ควอดรันต์ 3 270 อยู ่ควอดรันต์ 4
o
sin( 90 )
cos
o
cos( 90 )
sin
o
tan( 90 )
cot
o
sin( 90 )
cos
o
cos( 90 )
sin
o
tan( 90 )
cot
5. ค่าสูงสุดและตํ่าสุดของ
a
sin b cos คือ
o
sin( 270 )
cos
o
cos( 270 )
sin
o
tan( 270 )
cot
2
a b
2
o
sin( 270 )
cos
o
cos( 270 )
sin
o
tan( 270 )
cot

6. เอกลักษณ์พื้นฐานที่ควรทราบ
กําหนดให้ เป็น มุม , ความยาวส่วนโค้ง หรือ จํานวนจริงใด ๆ
sin
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
2
2
2
sin จะเลือก + หรือ – ต้องขึ้นอยู
cos 1 1
cos
2
2
2
cos 1
sin จะเลือก + หรือ – ต้องขึ้นอยู
และ
1 cot cos ec 1
tan sec
2
ฟังก์ชัน กราฟ โดเมน เรนจ์ คาบ
แอมพลิจูด
y sin x
y cos x
y tan x
y cot x
y sec x
y cos ecx
R
R
2n
1
x
x
2
n I
x x n
n I
2n
1
x
x
2
n I
x x n
n I
2
[ 1,
1]
[ 1,
1]
R
R
( , 1]
[
1,
)
( , 1]
[
1,
)
่กับ
่กับ
2
2
2
2

สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรือจํานวนจริง
sin( A B)
sin A cos B cos A sin
B
sin( A B)
sin A cos B cos A sin
B
cos( A B)
cos A cos B sin A sin
B
cos( A B)
cos A cos B sin A sin
B
tan( A B)
tan( A B)
cot( A B)
cot( A B)
สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 2 เท่า
tan A tan B
1
tan A tan B
tan A tan B
1
tan A tan B
cot A cot
B 1
cot B cot A
cot A cot
B 1
cot B cot A
sin 2A
2 sin A cos A หรือ sin A
2 2
cos 2A
cos A sin A หรือ cos A
2
หรือ
2 cos A 1 cos A
tan 2A
2
1
2 sin A หรือ
2 tan A
1
tan
cot 2
2
A
หรือ
cos A
tan A
A A
2sin cos
2 2
2 A 2 A
cos sin
2 2
2 A
2 cos 1
2
2 A
1
2 sin
2
A
2 tan
2
2 A
1
tan
2
cot 2A
A 1
2 cot A
2 tan A
เนื่องจาก
tan 2A
เราสามารถหา sin 2A
2
1
tan A
2 tan A
2
1
tan A
สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 3 เท่า
sin 3A
3sin
A 4 sin A
cos 3A
4 cos A 3cos
A
tan 3A
cot 3A
3
3 tan A tan
cot
1
3 tan
3cot
สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมครึ่ง
sin 2
cos 2
A
A
3
2
3
3
A
1
A
A 3cot
A
2
1 cos 2A
2
1 cos 2A
2
หรือ
หรือ
sin A
cos A
cos 2A
1 cos 2A
2
1 cos 2A
2
1
tan
1
tan
2
2
A
A

tan 2
A
1
cos 2A
1
cos 2A
ค่าของฟังก์ชันของมุมบางมุมที่ควรทราบ
o
sin15 cos 75
o
o o
sin 75 cos15
o o
tan15 cot 75
o
tan 75 cot15
o
18
o
sin cos 72
o
cos18
o
36
o
o
sin 72
cos sin 54
o o
sin 36 cos 54
o
sin 22.
5 cos 67.
5
o
o
o o
cos 22.
5 sin 67.
5
หรือ
tan A
3 1
6
2 2 4
3 1
6
2 2 4
3 1
3 1
3 1
3 1
5 1
4
10 2
4
5 1
4
10 2
4
2
2
2
2
สูตรการเปลี่ยนผลคูณของฟังก์ชันเป็นผลบวกหรือผลต่างของฟังก์ชัน
2 sin A cos B sin( A B)
sin( A B)
หรือ
2 cos A sin B sin( A B)
sin( A B)
หรือ
2 cos A cos B cos( A B)
cos( A B)
หรือ
2 sin A sin B cos( A B)
cos( A B)
หรือ
สูตรการเปลี่ยนผลบวกหรือผลต่างของฟังก์ชันเป็นผลคูณของฟังก์ชัน
sin A sin B
sin A sin B
cos A cos B
A B A B
2 sin
cos
2 2
A B A B
2 cos
sin
2 2
A B A B
2 cos
cos
2 2
5
5
2
2
2
2
1
cos 2A
1
cos 2A
2 sin
cos sin( sum)
sin( diff )
2 cossin
sin( sum)
sin( diff )
2 cos
cos cos( sum)
cos( diff )
2 sin
sin cos( diff ) cos( sum)
A B B A
A B A B
cos A cos B 2 sin
sin
หรือ 2 sin
sin
2 2
2 2
o
o
sin 20 sin 40 sin
80
8
o o o
cos 20 cos 40 cos
80
1
หรือ
8
o
3 หรือ
o
o
sin 20 sin
40 sin
60 sin
80
o
o
cos 20 cos
40 cos
60 cos
80
o
o
o
o
3
16
1
16

อินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ อินเวอร์สของฟังก์ชัน ฟังก์ชันอินเวอร์ส โดเมนของ เรจน์ของ
ฟังก์ชันอินเวอร์ส ฟังก์ชันอินเวอร์ส
y sin x x sin y y arcsin x หรือ
y sin
1
y cos x x cos y y arccos x หรือ
y cos
1
y tan x x tan y y arctan x
y tan
สูตรความสัมพันธ์ของฟังก์ชันอินเวอร์สตรีโกณมิติ
1. arcsin(x) arcsin x x 1, 1
2. arccos(x) arccos x x 1, 1
3. arctan(x) arctan x x R
4. sin(arcsin x)
x x 1, 1
และ
arcsin(sin x)
x
,
2 2
x
x
x ดังนั้น
sin(arcsin x)
arcsin(sin x)
x 1, 1
5. cos(arccos x)
x x 1, 1
และ
arccos(cos x)
x x 0,
ดังนั้น
1
y cot x x cot y y arc cot x
1
cos(arccos x)
arccos(cos x)
x 1, 1
6. tan(arctan x)
x x R และ
arctan(tan x)
x
,
2 2
หรือ
x ดังนั้น
tan(arctan x)
arctan(tan x)
x
,
2 2
x
หรือ
y cot x
y sec x x sec y y arc sec x หรือ
y sec
1
y csc x x csc y y arc csc x หรือ
y csc
1
x
x
[ 1,
1]
[ 1,
1]
,
2 2
0 ,
R
,
2 2
R
R ( 1,
1)
( 0,
)
0 ,
2
R ( 1,
1)
,
0
2 2

7. arc cot x)
cot( x x R และ
arc cot(cot x)
x x ( 0,
)
ดังนั้น
cot( arc cot x)
arc cot(cot x)
x ( 0,
)
8. arc sec x)
sec( x x R ( 1,
1)
และ
arc sec(sec x)
x 0,
2
sec( arc sec x)
arc sec(sec x)
9. arc csc x)
10.
x ดังนั้น
x 0,
csc( x x R ( 1,
1)
2
และ
arc csc(csc x)
x x
, 0
2 2
ดังนั้น
sec( arc sec x)
arc sec(sec x)
x R ( 1,
1)
arctan x arctan y
arctan x arctan y
arctan x arctan y
arctan x arctan y
11. 2 arctan x
12. arcsin x
13.
2x
arctan
1
x
2
arccos 1
x
arctan
arc cot
arc sec
arc csc
arcsin x arccos x
arctan x arc cot x
arc sec x arc csc x
x y
arctan
1
xy
x y
arctan
1
xy
x y
arctan
1
xy
x y
arctan
1
xy
x
2
1
x
2
1
x
x
1
1
x
1
x
2
2
2
x 1,
1
2
x R
x R 1, 1
2
arctan x arctan y
2
2
arctan x arctan y
2
2
arctan x
arctan x
arctan y
2
arctan y
2
การแก้สมการตรีโกณมิติ
1. ถ้าโจทย์กําหนด เอกภพสัมพัทธ์ ต้องตอบในรูปของเซตจํากัด
2. ถ้าโจทย์ไม่กําหนด เอกภพสัมพัทธ์ ต้องตอบในรูปทั่วไป
และกําหนดให้ เอกภพสัมพัทธ์ R ดังนี้
n
2.1 ถ้า sin x sin คําตอบของสมการ คือ x n
( 1)
2.2 ถ้า cos x cos คําตอบของสมการ คือ x
2n

2.3 ถ้า tan x tan คําตอบของสมการ คือ x n
3. หลักที่ควรคํานึงถึงเกี่ยวกับเรื่องการแก้สมการ
คือ
3.1 การแปลงทุกค่าของตัวแปรให้เป็นฟังก์ชันเดียวกันและมุมเดียวกัน
3.2 การแยกตัวประกอบ
การแก้อสมการตรีโกณมิติ
ใช้หลักเหมือนกับการแก้สมการในระบบจํานวนจริง โดยมีค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นตัวแปรใด ๆ
การแก้รูปสามเหลี่ยม
ใช้หลักดังนี้ คือ
1. ถ้าสามเหลี่ยมดังกล่าวนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากใช้
1.1 ทฤษฎีบทพีธากอรัส
1.2 อัตราส่วนตรีโกณมิติ
2. ถ้าสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมใด
ๆ ใช้
2.1 กฎของไซน์ คือ
2.2 กฎของโคไซน์ คือ
a
b
c
2
2
2
b
a
a
2
2
2
c
c
b
2.3 กฎของโปรเจกชัน
a b cos C c cos B
b a cos C c cos A
c a cos B b cos A
2
2
2
a
sin A
b
sin B
c
sin C
b c a
2bc
cos A cos A
2bc
a c b
2ac
cos B cos B
2ac
a b c
2ab
cos C cos C
2ab
1
3. การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม
ฐาน สูง
4. การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
ab sin C
2
1
s( s a)(
s b)(
s c)
โดยที่
s ( a b c)
2
1
4.1 เมื่อทราบความยาวฐานโค้ง
ฐานโค้ง รัศมี ตารางหน่วย
2
1
r
2
4..2 เมื่อทราบขนาดของมุมที่จุดศูนย์กลาง
2
r
ตารางหน่วย
o
360
r
2
2