Estadística Descriptiva e Inferencial 2 fasículo 4 - Portal Educativo ...

COLEGIO DE BACHILLERES
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
E INFERENCIAL II
FASCÍCULO 4. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA
ESTADÍSTICA Y APLICACIÓN EN EL
CONTROL ESTADÍSTICO
Autor: Guadalupe Floiran Martínez
1

COLEGIO DE
BACHILLERES
Colaboradores
Asesoría Pedagógica
Olivia Hernández Romero
Revisión de Contenido
Armando Martínez Cruz
Diseño Editorial
Leonel Bello Cuevas
Javier Darío Cruz Ortiz
2

INTRODUCCIÓN
PROPÓSITO
CUESTIONAMIENTO GUÍA
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA
ESTADÍSTICA Y APLICACIONES
EN EL CONTROL ESTADÍSTICO
RECAPITULACIÓN
1.1 INFERENCIA ESTADÍSTICA 11
1.1.1 Etapas Básicas en Pruebas de Hipótesis 17
1.1.2 Prueba de un Valor Hipotético de la Media
Utilizando la Distribución Normal
1.1.3 Error de Tipo I y II en Pruebas de Hipótesis 22
1.2 ESTIMACIÓN 25
1.2.1 Estimación Puntual de un Parámetro 26
1.2.2 Estimación por Intervalo 27
1.2.3 Nivel de Confianza 1− α 27
1.2.4 Intervalo de Confianza 27
1.2.5 Error de Estimación Máximo E 29
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN
AUTOEVALUCIÓN
Í N D I C E
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
3
5
7
9
11
19
35
36
37
38

Í N T R O D U C C I Ó N
Seguramente te habrás topado repetidas veces con informaciones de tipo estadístico.
Quizá habrás leído, en el transcurso de tus estudios, artículos que incluyen tratamiento
estadístico de datos, te habrás dado cuenta entonces que, en los últimos tiempos, la
Estadística ocupa un lugar cada vez más importante en periódicos, revistas, libros,
programas de radio y televisión, esta penetración es cada vez más presente en nuestras
vidas, y aún cuando creamos estar alejados de esta disciplina, solemos estar
involucrados en ella, un ejemplo de ello son los censos.
Es hora pues, de preguntarte que es en realidad la Estadística, cómo funciona, o que
hace con los datos para llegar a ciertas conclusiones. En este fascículo hablaremos de la
Inferencia Estadística y sus aplicaciones, para que conozcas la aportación tan útil que
nos da este método estadístico, para generalizar informaciones de Investigación o
deducir conclusiones relacionadas con poblaciones a partir de las muestras extraídas de
éstas. También, podrás realizar controles estadísticos de calidad que te ayudarán a
tomar decisiones, con el transcurso de tus estudios o tal vez en el trabajo que
desempeñes.
Como podrás ver, este fascículo te ayudará a conocer otra parte más de esta ciencia tan
fascinante como lo es la Estadística Inferencial.
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P R O P Ó S I T O
El propósito de este fascículo, es el de iniciarte en el estudio de la Estadística Inferencial,
ya que ella te permite obtener conclusiones, que te ayudarán a tomar decisiones sobre
investigaciones que realices.
La Estadística Inferencial, está basada en los estudios que realizaste en el semestre
anterior, pues a través de las medidas de tendencia central y descriptivas, podemos
establecer ciertas características de alguna situación problemática, y con la Estadística
Inferencial, estudiamos más detalladamente esas características.
Con las actividades que desempeñes a lo largo del estudio de la Estadística Inferencial,
te darás cuenta de la utilidad que representa el conocerla, y de lo importante que es,
para poder obtener documentos de investigación confiables.
A través de la aplicación de la Estadística Inferencial, se pueden desarrollar
investigaciones científicas y obtener datos confiables; dichas investigaciones pueden ser
retomadas en diferentes momentos y por diferentes personas para esclarecer algunos
aspectos específicos y que se relacionan con la investigación.
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SENTIDO COMÚN Y ESTADÍSTICA
CUESTIONAMIENTO GUÍA
Cuando el estadista norteamericano Henry Clay (1777-1850), acuñó las palabras “las
estadísticas no son un sustituto del sentido común” quizá no hacía referencia a la
conclusión de una prueba de hipótesis pero sus palabras encierran una gran verdad. La
prueba estadística de una hipótesis es sólo un modelo, con frecuencia muy simplificado,
de la realidad. El problema real debe trasladarse en algún modelo matemático, y la
conclusión que ofrece el modelo debe interpretarse a la luz de la realidad y, además, en
conjunción con factores que no se encuentran incluidos en el modelo.
Supón que una persona desea pintar su recámara. Efectúa un cálculo con el propósito
de conocer la superficie total a pintar: 67m. cuadrados. Entonces lee la etiqueta de una
lata de pintura: “El contenido de esta lata alcanza para pintar una superficie de 32.51m.
cuadrados”. Al ser un genio en matemáticas, dicha persona calcula que necesitará 2.06
latas. Ahora, ¿Cuántas latas de pintura deberá comprar?, ¿Dos o tres? El modelo
matemático del problema real proporciona una respuesta exacta, 2.06 latas, (siempre y
cuando, no esté rebajada la pintura) Pero, con toda claridad, quizá no sean suficientes
dos latas; así que deberán comprarse tres.
Pero el mundo real impone otros aspectos: ¿Está a la venta la pintura?, ¿La tienda se
localiza cerca de la esquina o a 12km. del camino?, ¿Es un pintor pulcro o descuidado?,
¿Es pesimista u optimista?, ¿Cree que el número de está en la etiqueta (67m.
cuadrados) es un promedio o un mínimo?, ¿Le satisfaría que los últimos 1.98m.
cuadrados se cubrieran sólo con una capa delgada? ¿Se va a pintar con un color oscuro
una superficie que tiene un color claro o viceversa?
El modelo matemático proporciona lineamientos para tomar la última decisión, pero se
deben considerar los riesgos al tomar una decisión equivocada. Si sólo se compran dos
botes de pintura, es posible que se tenga que volver a la tienda; quizá ya no tengan el
mismo color de pintura o el precio haya aumentado. Si se compran tres botes quizá se
tenga que volver a la tienda a devolver uno y es posible que en está no se acepten
devoluciones.
En la misma forma, la prueba estadística de una hipótesis es sólo un modelo de una
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situación real. Así que la respuesta que puede darse es: “La persona tiene una
respuesta; quizá sea correcta. Considera las consecuencias de todos los posibles
errores que se encontraría detrás de una decisión equivocada”.
Como te darás cuenta, la prueba de hipótesis, hace referencia a una serie de
cuestionamientos, los cuales conllevan a tomar una decisión. ¿Tú qué decisión tomarías
si fueras a pintar tu casa?
Quizá no tengas tampoco una decisión firme, pero conforme estudies este fascículo, irás
adquiriendo las herramientas necesarias de conocimientos para llegar a tomar
decisiones claras y precisas.
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CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA Y
APLICACIONES EN EL CONTROL ESTADÍSTICO
DE LA CALIDAD
1.1 INFERENCIA ESTADÍSTICA
Supongamos que eres un psicólogo que hace investigaciones con ratas, y que te sientes
atraído por saber la relación que existe entre el hambre y el aprendizaje.
Específicamente, ¿Cuáles serán los efectos de la fuerza del hambre sobre el número de
recorridos que realizan las ratas en un laberinto en forma de T para comer?
Imagínate ahora que eres el líder de un equipo de fútbol, y con el objeto de planear la
adhesión de nuevos miembros te es necesario conocer el número de adultos de tu
localidad, cuyo deseo de pertenecer al equipo sea manifiesto. ¿Cómo le harías para
obtener esta información?
Piensa ahora que eres un sociólogo y quieres conocer las diferencias de la educación
entre niños delincuentes y niños que no son delincuentes.
Imagínate que eres un investigador de mercados y quieres conocer el número de
individuos que prefieren colores distintos y combinaciones diferentes en los automóviles.
Imagínate que eres el encargado de una pista de patinaje y quieres determinar cuando la
capa de hielo está suficientemente gruesa como para permitir el patinaje sin peligro.
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¿Qué tienen todos estos problemas en común?
Seguramente, te habrás dado cuenta que estamos determinando características
cuantitativas, en base a diferentes variables de una población dada, para las cuales,
pretendemos generalizar algunas respuestas.
La Inferencia Estadística se encarga de utilizar los números para proporcionar
información con respecto a grupos más grandes que aquellos a partir de los cuales se
obtuvieron los datos originales.
Las siguientes situaciones son ejemplos de Inferencia Estadística.
A partir de muestras adecuadas, es posible inferir que:
1. Entre el 20% y el 25% de todos los estudiantes de las Universidades de la
República Mexicana son casados.
2. Existe una relación entre el nivel del colesterol y las enfermedades cardiacas.
3. El 25% de los niños de una determinada colonia del D.F., padecen de caries
dental.
Con frecuencia es imposible estudiar todos los miembros de una población dada, ya sea
porque la población, tal como ha sido definida, tiene un número infinito de miembros, o
porque es tanta que imposibilita un estudio exhaustivo.
Puesto que raras veces se pueden estudiar exhaustivamente las poblaciones, debemos
depender de las muestras como base para llegar a hipótesis concernientes a varias
características, de la población.
Cuando queremos muestrear, podemos utilizar muestras aleatorias y muestras
representativas principalmente. Las muestras aleatorias las podemos obtener con
elementos seleccionados por casualidad. El muestreo representativo es aquel cuyos
elementos son seleccionados de acuerdo con criterios de representatividad.
Existen otros tipos de diseño de muestra, como son el muestreo sistemático,
estratificado y por conglomerado los cuales establecen criterios para poder muestrear de
tal manera que facilite la elección de la muestra deseada.
Así, si queremos saber por cuál partido político votará la población completa de electores
de la Delegación Cuauhtémoc, nos llevaría mucho tiempo y esfuerzo el cuestionar a
todos, así que solo preguntaremos a unos cuantos (muestreo) y así podremos conocer
aproximadamente que partido es el de más agrado en esta Delegación.
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Casi toda investigación utiliza la observación y la medida de un número limitado de
individuos o sucesos. Se supone que estas medidas nos proporcionarán alguna
información sobre la población. Para poder comprender cómo podemos ser capaces de
establecer inferencias sobre una población a partir de una muestra, tenemos que
conocer la distribución de probabilidad teórica de todos los valores posibles de algunos
estadísticos de las muestras que ocurrirían, si fuera posible obtener todas las muestras
del mismo tamaño a partir de esa población dada.
Por ejemplo, ¿Recuerdas todas tus calificaciones desde que ingresaste a estudiar?
Probablemente sean ya bastantes y las puedas considerar como una población de
calificaciones.
Decides obtener muestras de tres calificaciones por año escolar, (tal vez desde la
primaria) y calcular la media y la desviación estándar de cada muestra. Si tuvieras que
obtener todas las muestras posibles en las cuales N = 3, y las representaras en una
gráfica las medias y las desviaciones estándar resultantes, obtendrías dos distribuciones
de muestra: una para las medias y otra para las desviaciones estándar.
Te invitamos a que realices las tablas de frecuencia y te des cuenta cuánto has
evolucionado o involucionado en tus estudios a través del tiempo que llevas estudiando.
¿Porqué es tan importante el concepto de distribución de muestras?. La respuesta es
simple. Cuando quieras que se considere un parámetro de población a partir de una
muestra, nos haremos preguntas tales como: “¿Qué tan buena es la estimación
obtenida?”, ¿Puedo llegar a la conclusión de que el parámetro de población es idéntico
al estadístico de la muestra? o, ¿Es probable que exista algún error? Si es así, ¿Qué tan
grande es este error?
Para responder cada una de estas preguntas, compararemos los resultados obtenidos a
partir de las muestras con los resultados “esperados”.
La muestra debe ser representativa de la población, para que los resultados que se
obtengan puedan utilizarse también para generalizar el comportamiento de la población;
su tamaño debe ser adecuado de acuerdo con criterios de representatividad, pudiendo
variar de un 10 a un 15%, dependiendo del tipo de investigación que se realice.
Una muestra es importante en la Inferencia Estadística, ya que te ayuda a establecer
decisiones que serán consideradas dentro de una población.
Cuando analizamos la muestra obtenida de una población, la prueba de hipótesis
constituye el proceso relacionado con aceptar o rechazar declaraciones en base a la
muestra establecida.
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Seguramente la palabra hipótesis te “suene” conocida, ya que en tus clases de Física y
Métodos de Investigación la utilizaste con frecuencia. Bueno, pues ahora en Estadística
Inferencial la recordarás de nuevo, aunque tal vez no en el mismo sentido que la
utilizaste anteriormente.
En muchas ocasiones, las estadísticas tratan preguntas mediante la formulación de dos
proposiciones opuestas que reciben el nombre de HIPÓTESIS.
Por ejemplo:
1. ¿Qué porcentaje de los alumnos del C.B. continúan el nivel superior?
2. ¿Qué tan eficaz es la receta A con relación a B?
3. ¿Es cierto qué el 30% de las personas compra su marca favorita de pasta para
dientes sin importarle el precio de ésta?
Estas preguntas son de dos tipos. Las preguntas 1 y 2 piden una respuesta numérica. La
última requiere una respuesta de si o no.
Una hipótesis estadística es una afirmación acerca de una población. Una persona
intenta afirmar o negar una pregunta “más allá de toda duda razonable”.
La Inferencia Estadística utiliza Hipótesis Estadísticas, las cuales dan declaración o
afirmación tentativa acerca del valor de un parámetro o parámetros de una población (las
medidas de dispersión y la medida poblacional, son parámetros de población.) Las
pruebas de hipótesis pueden mostrar si una declaración tentativa se ve apoyada o
rechazada por la evidencia de la muestra.
Los ejecutivos de negocios, científicos, estrategas militares, políticos, educadores y
muchas otras personas toman decisiones relativas a parámetros de la población.
Para que una hipótesis sea digna de tomarse en cuenta en cualquier investigación,
principalmente de tipo científico, debe reunir ciertos requisitos:
1. Hay que analizar al establecer nuestras hipótesis si son las adecuadas para el
estudio que vayamos a realizar y si es posible tener acceso a ellas
(reconfirmamos el contexto, buscamos otro o ajustamos las hipótesis.)
2. Los términos (variables) de las hipótesis tienen que ser comprensibles, precisos
y los más concretos posible.
Por ejemplo: “Globalización de la Economía”, “Sinergia Organizacional”, son
conceptos imprecisos y generales, que deben sustituirse por otros más específicos y
concretos.
3. La relación propuesta entre variables por una hipótesis debe ser clara y
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verdadera (lógica) Por ejemplo, una hipótesis como: “La disminución del
consumo del petróleo en los Estados Unidos está relacionada con el grado de
aprendizaje del álgebra por parte de niños que asisten a escuelas públicas en
Buenos Aires”, será inverosímil, no podemos considerarla.
4. Los términos de la hipótesis y la relación planteada entre ellos, deben poder ser
observados y medidos, o sea tener referentes a la realidad. Por ejemplo, “Los
hombres más felices van al cielo” o “La libertad de espíritu está relacionada con
la voluntad creadora”, contienen conceptos o relaciones que no poseen
referentes empíricos; por lo tanto, no son útiles como hipótesis para investigar
estadísticamente ni se pueden someter a prueba en la realidad.
5. Las hipótesis deben estar relacionadas con técnicas disponibles para probarlas.
Para ello, debemos tener técnicas o herramientas de la investigación (instrumentos para
recolectar datos, diseños, análisis estadísticos o cualitativos, etc.), para poder verificarla
si es posible, desarrollarlas, y si se encuentran a nuestro alcance.
Alguien podría pretender probar hipótesis referentes a la desviación presupuestal en el
gasto público de un país latinoamericano o la red de narcotraficantes en la ciudad de
Miami, pero no disponer de formas realistas de obtener sus datos. Entonces su hipótesis,
aunque teóricamente puede ser muy valiosa, no se puede probar en la realidad.
Existen diversas formas de clasificar las hipótesis, las cuales son:
1) Hipótesis de investigación.
2) Hipótesis nulas.
3) Hipótesis alternativas.
4) Hipótesis estadísticas.
En este fascículo, te daremos a conocer la Hipótesis Estadística, que es la que
transforma las hipótesis de investigación, nulas y alternativas en símbolos estadísticos.
Pero, te preguntarás ¿Qué son estas hipótesis?
A continuación, te daremos una pequeña explicación:
Hipótesis Nulas
Constituyen proposiciones acerca de la relación entre variables, solamente que sirven
para refutar o negar lo que afirma la hipótesis de investigación. Por ejemplo, si la
hipótesis de investigación propone: “Los adolescentes le atribuyen más importancia al
atractivo físico en sus relaciones heterosexuales que las mujeres”, la nula postularía:
“Los adolescentes NO le atribuyen más importancia al atractivo físico en sus relaciones
heterosexuales que las mujeres”.
Debido a que este tipo de hipótesis resulta la contrapartida de la hipótesis de
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investigación, hay prácticamente tantas clases de hipótesis nulas como de investigación.
Es decir, la clasificación de hipótesis nulas es similar a la tipología de la hipótesis de
investigación: hipótesis nulas descriptivas de una variable que se va a observar en un
contexto, hipótesis que niegan o contradicen la relación entre dos o más variables,
hipótesis que niegan que haya diferencia entre grupos que se comparan, (es decir,
afirmar que los grupos son iguales) e hipótesis que niegan la relación de casualidad
entre dos o más variables, (en todas sus formas.). Las hipótesis nulas se simbolizan
como Ho.
Te damos algunos ejemplos de hipótesis nulas, que corresponden a ejemplos de
hipótesis de investigación que fueron mencionados;
Ejemplos:
Ho: “La expectativa de ingreso mensual de los trabajadores de la corporación TEAQ no
oscila entre $1,000.00 y $2,500.00”.
Ho:”No hay relación entre la autoestima y el temor de logro”.
Ho: “La percepción de la similitud en religión, valores y creencias no provoca mayor
atracción física”.
Hipótesis Alternativas
Como su nombre lo indica, son posibilidades “alternativas” ante las hipótesis de
investigación y nula. Ofrecen otra descripción o explicación distinta a la que proporciona
este tipo de hipótesis. Por ejemplo, si la hipótesis de investigación establece: “Esta silla
es roja”, la nula afirmará “Esta silla no es roja”, y podrían formularse una o más hipótesis
alternativas: “Esta silla es azul”, “Esta silla es verde”, “Esta silla es amarilla”, etc. Cada
una constituye una descripción distinta a las que proporcionan las hipótesis de
investigación y nula.
Las hipótesis alternativas se simbolizan como Ha y sólo pueden formularse cuando
efectivamente hay otras posibilidades adicionales a las hipótesis de investigación y nula.
De ser así, no pueden existir.
Ejemplos:
Hi: “El candidato ‘A’ obtendrá en la elección para la presidencia del consejo escolar entre
un 50 y un 60% de la votación total”.
Ho: “El candidato ‘A’ no obtendrá en la elección para la presidencia del consejo escolar
entre un 50 y 60% de la votación total”.
Ha: “El candidato ‘A’ obtendrá en la elección para la presidencia del consejo escolar más
del 60% de la población total”.
Si se desea llevar a cabo una prueba estadística, pero no se sabe cuáles son las
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proporciones que se esperan, es posible ESTIMAR el valor de éstas obteniendo una
muestra aleatoria. Por ejemplo, si se desea conocer el número de clientes que son
mujeres de una cafetería, se puede tomar una muestra aleatoria de toda la clientela. Si la
muestra tiene 80 personas, y 60 de éstas son mujeres, entonces la mejor estimación del
porcentaje de clientes que son mujeres será 60/80 = 75%.
En este caso no se afirma que la probabilidad de seleccionar a una mujer sea, de
manera exacta, 0.75, sino más bien que esta cantidad es una estimación razonable del
verdadero valor basada en los datos que se obtuvieron.
Como podrás ver, la hipótesis y la Inferencia Estadística necesitan determinadas
“herramientas” para poder llegar a tomar decisiones, las cuales necesitan ahora
probarse; para esto, la Inferencia Estadística utiliza lo que se llama PRUEBAS DE
HIPÓTESIS, las cuales constituyen el proceso relacionado con aceptar o rechazar
declaraciones en base a los parámetros de la población, así como también utiliza la
ESTIMACIÓN, que se ocupa precisamente de estimar los valores de los parámetros de
la población.
A continuación empezaremos a hablar acerca del proceso de las pruebas de hipótesis y
puedas aprender a utilizarla para tomar decisiones.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS.
1.1.1 Etapas Básicas en Pruebas de Hipótesis
En la prueba de hipótesis iniciamos con un valor supuesto (hipotético) de un parámetro
de población. Después de recoger una muestra aleatoria, comparamos la estadística de
la muestra, tal como la medida de la muestra (X) con el parámetro hipotético, tal como la
media de la población hipotética (µ). Luego aceptamos o rechazamos el valor hipotético.
Este valor hipotético se rechaza sólo si es claramente improbable que ocurra el resultado
de la muestra cuando la hipótesis es verdadera.
PRIMER PASO.
FORMULAR LA HIPÓTESIS NULA Y LA HIPÓTESIS ALTERNATIVA.
La hipótesis nula (Ho) es el valor hipotético del parámetro que se compara con el
resultado de la muestra. Se rechaza solamente si no es probable que ocurra el resultado
de la muestra dada. La hipótesis alternativa (Ha) se acepta si se rechaza la hipótesis
nula. Por ejemplo:
Un auditor quiere probar la suposición de que el valor medio de todas las cuentas por
cobrar en una firma dada es $260.00 tomando una muestra de n = 36. El auditor desea
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echazar el valor supuesto de $260.00, sólo si se contradice al valor medio establecido.
La muestra y, de esta manera, al valor hipotético debe dársele el “beneficio de la duda”
en el procedimiento de prueba. Las hipótesis nula y alternativa para esta prueba son:
Ho: µ = $260.00 y Hi: µ ≠ $260.00
SEGUNDO PASO.
ESPECIFICAR EL NIVEL DE SIGNIFICACIÓN QUE SE VA A UTILIZAR.
El nivel de significación es el estándar estadístico que se específica determinado en
porcentaje, para rechazar la hipótesis nula. Si se especifica un nivel de significación del 5
por ciento, entonces se rechaza la hipótesis nula, sólo si el resultado obtenido con la
muestra es tan diferente del valor hipotético que una diferencia de dicha cantidad
ocurriría con una probabilidad de 0.05. Esto se denomina error de tipo uno (I).
Observa que si se utiliza el nivel de significación del 5 por ciento, hay una probabilidad
de 0.05 por ciento de rechazar la hipótesis nula.
La probabilidad del error de tipo I es siempre igual al nivel de significación que se utiliza
como el estándar para rechazar la hipótesis nula; se designa con la letra minúscula
griega α (alfa); así pues, α también representa el nivel de significación. Los niveles más
comúnmente empleados en la prueba de hipótesis son los niveles del 5% y del 1%.
Un error de tipo II ocurre si se acepta la hipótesis nula cuando es falsa.
TERCER PASO.
SELECCIONAR LA ESTADÍSTICA DE PRUEBA.
La estadística de prueba será la estadística de la muestra, o una versión transformada
de la estadística de la muestra. Por ejemplo, para probar un valor hipotético de la media
de la población, la media de una muestra aleatoria tomada de dicha población podría
servir como estadística de la prueba. Sin embargo, si la distribución de muestreo de la
media es normal, entonces el valor de la media de la muestra se transforma típicamente
en un valor Z.
CUARTO PASO.
ESTABLECER EL VALOR O LOS VALORES CRÍTICOS DE LA ESTADÍSTICA DE
PRUEBA.
Habiendo especificado la hipótesis nula, el nivel de significación y la estadística de
prueba que se van a utilizar, podemos establecer el valor o los valores críticos de la
estadística de prueba. Puede haber uno o dos valores críticos según se efectúe una
prueba de una cola o de dos colas. En el fascículo anterior, te explicamos este tipo de
pruebas. En cualquier caso, un valor crítico identifica el valor de la estadística de prueba
requerido para rechazar la hipótesis nula.
CONSECUENCIAS DE DECISIONES EN LA PRUEBA DE HIPÓTESIS.
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Decisiones posibles
Aceptación de hipótesis nula.
Rechazo de hipótesis nula
ESTADOS POSIBLES
Hipótesis nula
Hipótesis nula falsa
verdadera
Correctamente
aceptada
Error de tipo I
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Error de tipo II
Correctamente
rechazada
En esta tabla podemos apreciar los tipos de decisiones, y los estados posibles, de
acuerdo al segundo paso de las etapas básicas.
QUINTO PASO.
DETERMINAR EL VALOR REAL DE LA ESTADÍSTICA DE PRUEBA.
Por ejemplo, al probar un valor hipotético de la media de la población se toma una
muestra aleatoria y se determina el valor de la media de la muestra. Si el valor crítico se
estableció como un valor Z, entonces la media de la muestra se convierte a un valor Z.
SEXTO PASO.
TOMAR LA DECISIÓN.
El valor observado de la estadística de la muestra se compara con el valor o los valores
críticos de la estadística de la muestra. Entonces, la hipótesis nula se acepta o se
rechaza. Si la hipótesis nula se rechaza, se acepta la hipótesis alternativa. A su vez, esta
decisión será aplicable a otras decisiones que deban tomar los gerentes de operación,
por ejemplo, si se mantiene un patrón de operación, o ¿Cuál de dos estrategias de
mercadeo debe emplearse? o ¿Qué factores intervendrán si se hacen cambios en la
producción? Si serán humanos, o materiales o ambos.
1.1.2 Prueba de un Valor Hipotético de la Media Utilizando la Distribución Normal.
La distribución de probabilidad normal se puede utilizar para probar un valor hipotético
de la media de la población (1) cuando n ≥ 30, o (2) cuando n < 30 y sabemos que la
población está normalmente distribuida y se conoce σ.

Se utiliza una prueba de dos colas cuando estamos interesados en una desviación
posible en cualquier dirección del valor hipotético de la media. La fórmula empleada para
establecer los valores críticos de la media de la muestra es semejante a la fórmula para
determinar los límites de confianza para estimar la media de la población, excepto que el
valor hipotético de la media de la población, µ o , es el punto de referencia y no la media
de la muestra. Los valores críticos de la media de la muestra para una prueba de dos
colas, según se conozca no son:
Ejemplo:
µ o ± σ x ó o x
z
Para la hipótesis nula formada en el ejemplo del auditor, el cual quiere probar la
suposición de que el valor medio de todas las cuentas por cobrar en una firma dada es
de $260.00, tomando una muestra de n = 36, determina los valores críticos de la media
de la muestra para probar la hipótesis a un nivel de significación del 5 por ciento.
Dado que la desviación estándar de las cantidades de las cuentas por cobrar es
σ = $43.00, los valores críticos son:
Hipótesis: Ho: µ = $260.00 ; Ha: µ ≠ $260.00
Nivel de significación: α = 0.05
Estadística de prueba:
x basado en una muestra de n = 36 y con σ = 43.00
x CR = valor crítico de la media de la muestra.
=
µ
± z σ
x CR o x
=
=
260.
00
260.
00
=
260.
00
⎛ 43 ⎞
+ 1.96
⎜
⎟ =
⎝ 36 ⎠
⎛ 43 ⎞
− 1.96
⎜
⎟ =
⎝ 36 ⎠
⎛ σ ⎞
± 1.96 ⎜
⎟
⎝ n ⎠
$ 245.
95
$ 274.
05
Por lo tanto, para rechazar la hipótesis nula media de la muestra se debe tener un valor
que sea menor que $245.95 o mayor que $274.05. De esta manera, existen dos regiones
de rechazo en el caso de una prueba de dos colas.
20
µ
±
z
S

f( x )
Y
Región de
rechazo
Los valores z de ± 1.96 se utilizan para establecer los límites críticos porque para la
distribución normal estándar, una porción de 0.05 del área corresponde a las dos colas,
lo que corresponde a la especificación de α = 0.05.
En vez de establecer los valores críticos en términos de la media de la muestra como tal,
los valores críticos en la prueba de hipótesis se especifican típicamente en términos de
valores z. Para el nivel de significación del 5 por ciento, los valores críticos z para una
prueba de dos colas son –1.96 y +1.96, por ejemplo. Cuando se determina el valor de la
media de la muestra, se transforma en valor z para poderlo comparar con los valores
críticos de z. La fórmula de transformación, según se conozca o no σ, es:
x − µ o
z = ó
σ x
21
x − µ
z =
S x
Una prueba de una cola es apropiada cuando se está interesado en las posibles
desviaciones en una sola dirección desde el valor hipotético de la media. El auditor que
quiere probar la suposición de que el valor medio de todas las cuentas por cobrar en una
firma dada es $260.00, tomando una muestra de n = 36, puede no estar interesado en
que el promedio verdadero de todas las cuentas por cobrar exceda $260.00, sino en que
pueda ser menor de $260.00, la hipótesis nula y la hipótesis alternativa son:
Ho: µ ≥ $260.00 y Ha: µ < $260.00
región de aceptación
Sólo hay una región de rechazo para una prueba de una cola, la cual está siempre en la
cola que representa el apoyo de la hipótesis alternativa. Como en el caso anterior, para
una prueba de dos colas, el valor crítico puede determinarse para la media como tal o en
términos de un valor z. Sin embargo, los valores críticos para pruebas de una cola
difieren de los de las pruebas de dos colas porque la porción de área dada está toda en
una cola de la distribución. La siguiente tabla representa los valores de z necesarios para
pruebas de una cola y de dos colas.
o
Región de
rechazo
245.93 260.00 274.05
X

VALORES CRÍTICOS DE Z EN UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS
TIPO DE PRUEBA
Nivel de significación Una cola Dos colas
5% ± 1.65 ± 1.96
1% ± 2.33 ± 2.58
La fórmula general para establecer el valor crítico de la media de la muestra para una
prueba de una cola según se conozca (alex) o no es:
µ o + σ x ó o x
z
En estas fórmulas z, puede ser negativo, dando como resultado una resta del segundo
término en cada fórmula
1.1.3 Errores de Tipo I y de Tipo II en Pruebas de Hipótesis
En este fascículo, las pruebas de tipo I y de tipo II, se presentan totalmente con respecto
a las pruebas de una cola para una media hipotética. La probabilidad del error de tipo I
es siempre igual al nivel de significación utilizado al probar la hipótesis nula. Esto es
porque por definición la porción de área en la región de rechazo es igual a la proporción
de los resultados de la muestra que ocurriría en aquella región si la hipótesis nula es
verdadera.
La probabilidad del error de tipo II se designa generalmente con la letra β (“beta”.) Se
puede determinar solamente respecto de un valor específico incluido en el rango de la
hipótesis alternativa.
Ejemplo:
En el ejemplo del auditor, la hipótesis nula que se va a probar es que la media de todas
las cuentas por cobrar es por lo menos $260.00 y esta prueba se va a llevar a cabo a un
nivel de significación de 5%.
El auditor indica que consideraría una media real de $260.00 (o menos) como una
diferencia importante y material del valor hipotético de la media. Como antes σ = $43.00
y el tamaño de la muestra es n = 36 cuentas. La determinación de la probabilidad del
error de tipo II requiere:
22
µ
+
z
S

(1) Formular las hipótesis nula y alternativa para esta situación de prueba,
(2) Determinar el valor crítico de la media de la muestra que se utilizará al probar la
hipótesis nula a un nivel de significación del 5%,
(3) Identificar la probabilidad del error de tipo I asociado con el uso del valor crítico
calculado anteriormente como base para la regla de decisión,
(4) Identificar la probabilidad del error de tipo II asociado con la regla de decisión
dado el valor específico de la media alternativa de $240.00
La solución completa es:
(1) Ho: µ ≥ 260.00 ; Ha: µ < 260.00
(2) x = µ o ± z σx
= 260.
00 + ( −165)
( 7.
17)
= $ 248.
17
CR
⎛ σ ⎞ 43.
00 43
donde σ x =
⎜
⎟ = = = 7.
17
⎝ n ⎠ 36 6
(3) La probabilidad del error de tipo I es igual a 0.05 (el nivel de significación utilizado
para probar la hipótesis nula.)
(4) Identificar la probabilidad del error de tipo II asociado con la regla de decisión, dado
el valor específico de la media alternativa de $240.00.
z
x − µ o
=
σ x
=
248.
17 −
7.
17
240
=
8.
17
7.
17
±
1.
14
P (error de tipo II) = P (z ≥ + 1.14) = 0.5000 − 3.729 = 0.1271 ≈ 0.13
La siguiente figura ilustra el procedimiento seguido en el ejemplo anterior. En general, el
valor crítico de la media determinado con respecto a la hipótesis nula se “reduce” y se
utiliza como el valor crítico respecto de la hipótesis alternativa específica.
f( x )
f( x)
región de rechazo
(error tipo I)
rechazo correcto
hipótesis nula
0.05
248.17
0.13
248.17
región de aceptación
23
260.00
aceptación incorrecta de la
hipótesis nula (error de tipo II)
x
x

Cuando el nivel de significación y el tamaño de la muestra se mantienen constantes, la
probabilidad del error de tipo II disminuye a medida que el valor específico de la
alternativa de la media se coloca más lejos del valor de la hipótesis nula. Una curva
característica de operación (CO) describe gráficamente la probabilidad de aceptación de
la hipótesis nula dados varios valores alternativos de la media verdadera.
La siguiente figura muestra la curva CO aplicable a cualquier prueba de este tipo, porque
los valores sobre el eje horizontal se presentan en unidades del error estándar de la
media. Para todos los valores a la izquierda de µ o , la probabilidad de aceptación indica
la probabilidad del error de tipo II. A la derecha de µ o las probabilidades indican la
aceptación correcta de la hipótesis nula.
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
En la prueba de hipótesis, el concepto de potencia se refiere a la probabilidad de
rechazar una hipótesis nula dado un valor alternativo específico del parámetro (en
nuestros ejemplos, la media de la población). Al designar la probabilidad del error del tipo
II como β, se tiene que la potencia de la prueba es siempre 1 − β.
De acuerdo con la figura anterior, observa que la potencia para valores alternativos de la
media es la diferencia entre el valor indicado por la curva CO y 1.0, y de esta manera se
puede obtener “por sustracción” utilizando la curva CO. Una gráfica construida para
presentar los varios niveles de potencia, dados los valores alternativos de la media, se
denomina curva de potencia.
Ejemplo:
− 50 x − 40 x − 30 x − 20 x −10 x +10 x
De acuerdo con el ejemplo que hemos estado analizando, podemos determinar la
potencia de la prueba dado un valor alternativo específico, de la media de $240.00, de la
siguiente manera:
24
POSICIÓN POSIBLE
DE LA VERDADERA µ

Puesto que β = P(error de tipo II) = 0.13.
Potencia = 1 − β = 1.00 – 0.13 = 0.87
Nota. Esta es la probabilidad de rechazar correctamente la hipótesis nula cuando
µ = $240.00.
25

1.2 ESTIMACIÓN
El segundo tipo de inferencia estadística es la estimación. Este procedimiento utiliza
cuando se responde a una pregunta que pide el valor de una parámetro poblacional. Por
ejemplo, ¿Cuál es la distancia media en un solo sentido que deben viajar los estudiantes
que asisten a cualquier plantel del Colegio de Bachilleres?
Para contestar esta pregunta, hay que tomar una muestra de la población y calcular la
media muestral x.
Imagina que eliges una muestra aleatoria de 100 distancias en un solo sentido y que
resulta una media de 16 Km ¿Cuál es la estimación del valor medio de la población?
Si se toma la media muestral como dicha estimación, se estará efectuando una
estimación puntual.
1.2.1 Estimación Puntual de un Parámetro
Se considera como el valor de estadística muestral correspondiente, es decir, la
muestral, X = 16 Km., es la mejor estimación puntual para la distancia media en un
sentido para esta población. En otras palabras, se ha estimado que la distancia media en
un solo sentido recorrida por todos los estudiantes es igual a 16 Km.
Ello no requiere decir que la media poblacional µ sea exactamente igual a 16 Km., sino
que se interpreta esta estimación como “µ está próxima a 16 Km.” ¿Qué quiere decir
“está próxima?
El término de proximidad es relativo, pero quizá en este caso, “próximo” debe ser
definido arbitrariamente como estar “dentro de un kilómetro” de µ. Si un kilómetro
satisface la idea intuitiva de proximidad, entonces decir “µ está próxima a 16 Km.”es
comparable a decir “µ está entre 15 (16−1) y 17 (16+1) kilómetros”.
Esto indica que se deben hacer estimaciones utilizando intervalos. Este tipo de
estimación utiliza el concepto de intervalo y asigna una medida a la confiabilidad de éste
en la estimación del parámetro en cuestión.
26

1.2.2 Estimación por Intervalo
Un intervalo acotado por dos números se emplea para estimar el valor de un parámetro
poblacional. Los valores que limitan este intervalo son estadísticas calculadas a partir de
la muestra que están sirviendo como base para la estimación.
1.2.3 nivel de confianza 1 – α
Es la probabilidad de que la muestra por seleccionarse produzca valores límite que se
localicen en lados opuestos del parámetro que se estima. Algunas veces el nivel de
confianza se llama coeficiente de confianza.
1.2.4 Intervalo de Confianza
Se considera como la estimación por intervalo con un nivel de confianza específico. El
teorema central de límite es la fuente de información necesaria para obtener
estimaciones por intervalos de confianza. La media X = 16 es un miembro de la
distribución muestral de las medias.
La siguiente figura muestra la distribución de muestreo de las medias a la que pertenece
la media muestral x = 16 (n = 100), suponiendo que σ = 6,
µ (desconocida)
27
σ / n = 6.0 / 100 = 0.6
X

Cuando se selecciona aleatoriamente una muestra de tamaño 100 de una población
cuya medida es µ y cuya desviación estándar es 6, ¿Cuál es la probabilidad de que la
media muestral diste de µ menos de una unidad?.En otras palabras, ¿Cuál es
P ( µ − 1 < x < µ + 1)
?
Esta probabilidad la puedes encontrar determinando la distribución de probabilidad
normal de la siguiente manera:
x − µ
z =
σ n
( µ − 1)
− µ −1.
0
Si x = µ − 1 , entonces: z =
= = − 1.
67
0.
6 0.
6
( µ + 1)
− µ 1.
0
Si x = µ + 1 , entonces: z =
= = + 1.
67
0.
6 0.
6
En consecuencia:
P (µ – 1 < X < µ + 1) = P(−1.67 < Z < + 1.67)
= 2⋅P(0 < Z < 1.67)
= 2 (0.4525) = 0.9050
La probabilidad de que la media de una muestra aleatoria esté dentro de una unidad de
esta media poblacional es 0.9050. Así, la probabilidad de que la media poblacional se
halle dentro de una unidad desde la media de una muestra es también igual a 0.9050.
Por lo tanto, el intervalo 15 a 17 es una estimación por intervalo, con un nivel de
confianza de 0.9050 para la distancia media en un solo sentido recorrida por los
estudiantes del C.B.
28
σ / n = 0.6
µ − 1.0 µ µ + 1.0
x

1.2.5 Error de Estimación Máximo, E
Es la mitad de la anchura del intervalo de confianza. En general, E es un múltiplo del
error estándar.
La ilustración precedente comenzó con la asignación de 1 Km. como valor del error
máximo. Típicamente, se determina el error de estimación máximo por el nivel de
confianza que se quiera que tenga el intervalo de confianza. Es decir, 1 − α determinará
el error máximo. El nivel de confianza se dividirá de tal manera que la mitad de 1 − α
este por arriba de la media, y la otra mitad por debajo, como se muestra en la figura:
α/2
CADA COLA CONTIENE α/2
α/2
1 − α
1
(1 − α)
2
Esto determinará la probabilidad α /2 en cada una de las dos colas de la distribución. El
valor Z que limita al intervalo de confianza será Z (α/2). Recuerda que α/2 es la
probabilidad (ó área) bajo la curva a la derecha de este punto. La Z es un número de
desviaciones estándares. En consecuencia, el error, de estimación máximo E es:
29
n
α/2
σ (ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA
α/2
−Z (α/2) 0 Z (α/2)
E, error E, error
máximo máximoi

E
= Z ( α / 2)
⋅
σ
n
σ
n
σ X = (ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA)
El intervalo de confianza 1 − α para µ es
σ
X − Z ( α / 2)
⋅ para
n
X + Z ( α /
2)
⋅
σ
n
X − Z ( α / 2)
⋅
σ
se llama límite de confianza inferior (LCI), Y X + Z ( α / 2)
⋅
n
σ
, límite de
n
confianza superior (LCS), del intervalo de confianza.
En la práctica nos vemos obligados con frecuencia a tomar decisiones relativas a una
población sobre la base de información proveniente de muestras. Tales decisiones se
llaman decisiones estadísticas. Por ejemplo, podemos querer decir, basados en datos
muestrales, si un método pedagógico es mejor que otro o si una moneda es falsa o no.
Al intentar obtener una decisión, es útil hacer hipótesis (o conjeturas) sobre la población
implicada. Tales hipótesis, que pueden ser o no ciertas, se llaman hipótesis estadísticas.
Son, en general, enunciados acerca de las distribuciones de probabilidad de las
poblaciones, que seguramente estudiaste en temas anteriores del curso de Estadística.
En muchos casos realizamos hipótesis estadísticas con el único propósito de rechazarla
o invalidarla. Así, si queremos decidir si una moneda es falsa, hacemos la hipótesis de
que la moneda es buena (o sea, p = 0.5, donde p es la probabilidad de cara).
Análogamente, si deseamos decidir si un procedimiento es mejor que otro, formulamos
la hipótesis de que no hay diferencia entre ellos (o sea, que cualquier diferencia
observada se debe simplemente a fluctuaciones en el muestreo de la misma población).
Tales hipótesis, como recordarás, son las hipótesis nulas y se representa por Ho.
Toda hipótesis que difiere se llama hipótesis alternativas. Por ejemplo: si una hipótesis
es p = 0.5, las hipótesis alternativas podrían ser:
p = 0.7, p ≠ 0.5 ó p > 0.5. Una hipótesis alternativa a la hipótesis nula se representará
por Ha.
30

Si suponemos que una hipótesis particular es cierta pero vemos que los resultados
hallados en una muestra aleatoria difieren notablemente de los esperados bajo tal
hipótesis, entonces diremos que las diferencias observadas son significativas y nos
veríamos inclinados a rechazar la hipótesis (o al menos a no aceptarla ante la evidencia
obtenida). Así, si en 20 tiradas de una moneda salen 16 caras, estaríamos inclinados a
rechazar la hipótesis de que la moneda es buena, aunque cabe la posibilidad de
equivocarnos.
Los procedimientos que nos capacitan para determinar si las muestras observadas
difieren significativamente de los resultados esperados, y por tanto nos ayudan a decidir
si aceptamos o rechazamos la hipótesis, se llaman contrastes (o test) de hipótesis o de
significación o reglas de decisión.
Si rechazamos una hipótesis cuando debiera ser aceptada, diremos que se ha cometido
un error de tipo I. Por otra parte, si aceptamos una hipótesis que debiera ser rechazada,
diremos que se ha obtenido un error de tipo II. En ambos casos se ha producido un caso
erróneo.
Para que las reglas de decisión (o contrastes de hipótesis) sean buenas, deben
diseñarse de modo que minimicen los errores de la decisión. Y no es una cuestión
sencilla, porque para cualquier tamaño de la muestra, un intento de disminuir un tipo de
error puede ser más grave que el otro, y debe alcanzarse un compromiso que disminuya
el error más grave, La única forma de disminuir ambos a la vez es aumentar el tamaño
de la muestra, que no siempre es posible.
Al contrastar una cierta hipótesis, la máxima probabilidad con la que estamos dispuestos
a correr riesgo de cometer un error de tipo I se llama nivel de significación de contraste.
Esta probabilidad, denotada a menudo por α, se suele especificar antes de tomar la
muestra, de manera que los resultados obtenidos no influyan en nuestra elección.
En la práctica, es frecuente un nivel de significación de 0.05 ó 0.01, si bien se usan otros
valores, Si, por ejemplo, se escoge el nivel de significación 0.05 (ó 5%) al diseñar una
regla de decisión, entonces hay unas 5 oportunidades entre 100 de rechazar las
hipótesis cuando debiera haberse aceptado; es decir, tenemos un 95% de confianza de
que hemos adoptado la decisión correcta. En tal caso decimos que la hipótesis ha sido
rechazada al nivel de significación 0.05, lo cual quiere decir que la hipótesis tiene una
probabilidad 0.05 de ser falsa.
Para ilustrar lo explicado anteriormente, suponemos que bajo cierta hipótesis la
distribución de muestreo de un estadístico S es una distribución normal con media µs y
desviación típica σS. Así pues, la distribución de la variable tipificada z dada por z = (S –
µs)/σS, es la distribución normal canónica (media 0, varianza1), como indica la siguiente
figura:
31

REGIÓN CRÍTICA REGIÓN CRÍTICA
0.025
Z = 1.96 Z = 1.96
Como se ve en la figura, podemos tener 95% de confianza de que si la hipótesis es
verdadera, entonces el valor de z para un estadístico muestral S estará entre –1.96 y
1.96 (porque el área bajo la curva normal entre esos valores es 0.95). Sin embargo, si al
escoger una sola muestra al azar hallamos que el valor de z de su estadístico está fuera
de ese rango, debemos concluir que tal suceso podría ocurrir con una probabilidad de
sólo 0.05 (el área total sombreada en la figura) si la hipótesis dada fuera cierta. Diremos
entonces que esta Z difiere de forma significativa de lo que sería de esperar bajo la
hipótesis, y nos veríamos empujados a rechazar la hipótesis.
El área total sombreada 0.05 es el nivel de significación del contraste. Representa la
probabilidad de equivocarnos al rechazar la hipótesis (o sea, la probabilidad de un error
de tipo I), Así pues, decimos que la hipótesis se rechaza a un nivel de significación 0.056
o que el valor de z del estadístico muestral dado es significativo al nivel 0.05.
El conjunto de Z fuera del rango –1.96 a 1.96 se llama la región crítica de la hipótesis,
región de rechazo de la hipótesis, o región de significación. El conjunto de Z en el rango
–1.96 a 1.96 se conoce como región de aceptación de la hipótesis o región de no
significación.
Basados en las anteriores observaciones, podemos formular la siguiente regla de
decisión (o contrate de hipótesis o significación):
Rechazar la hipótesis al nivel de significación 0.05 si el valor de Z para el estadístico S
está fuera del rango –1.96 a 1.96 (o sea, si z > 1.96 ó z < 1.96). Esto equivale a decir
que el estadístico muestral observado es significativo al nivel 0.05.
Aceptar la hipótesis en caso contrario (o, si se desea, no tomar decisión alguna).
Dado que z juega tan importante papel en el contraste de hipótesis, se le llama un
estadístico de contraste.
Hay que hacer notar que se utilizan también otro nivel de significación. Por ejemplo, si se
usa el nivel 0.01, debe sustituirse el 1.96 de antes por 2.58. (observa la siguiente tabla):
32
0.025

NIVEL DE SIGNIFICACIÓN, α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.002
Valores críticos de z para test −1.28 −1.645 −2.33 −2.58 −2.88
unilaterales
ó 1.28 ó 1.645 ó 2.33 ó 2.58 ó 2.88
Valores críticos de z para test −1.645 −1.96 −2.58 −2.81 −3.08
bilaterales
y 1.645 y 1.96 y 2.58 y 2.81 y 3.08
La suma de los niveles de significación y de confianza es 100%.
En el test precedente estábamos interesados en los valores extremos del estadístico S o
en su correspondiente valor z a ambos lados de la media (o sea, en las dos colas de la
distribución). Tales test se llaman contrastes de dos colas o bilaterales.
Con frecuencia, no obstante, estaremos interesados tan sólo en valores extremos a un
lado de la media (o sea, en una de las colas de distribución), tal como sucede cuando se
contrasta la hipótesis de que un proceso es mejor que otro (lo cual no es lo mismo que
contrastar si un proceso es mejor o peor que el otro). Tales contrastes se llaman
unilaterales, o de una cola. En tales situaciones, la región crítica es una región situada a
un lado de la distribución, con área igual al nivel de significación.
La tabla anterior, que da valores críticos de z para contrastes de una o dos colas en
varios niveles de significación, será útil como referencia posterior. Los valores críticos de
z para otros niveles de significación se hallan a partir de la tabla de áreas de la curva
normal que a continuación se muestra:
A menudo adquiere importancia práctica saber cuándo un proceso ha variado tanto que
deben adoptarse medidas para remediar la situación.
Tales problemas aparecen, por ejemplo, en el control de calidad. Los supervisores del
control de calidad han de decidir frecuentemente si los cambios observados se deben
simplemente a fluctuaciones de azar o a cambios reales en un proceso de producción
por deterioro de la maquinaria, descuidos de los empleados, etc. Los gráficos de control
ponen a nuestra disposición un método sencillo y eficaz para enfrentarnos a esa clase de
problemas, por ejemplo:
Se construye una máquina para fabricar bolas de rodamiento con diámetro medio de
0.574 cm. y desviación típica de 0.008 cm. Para determinar si funciona correctamente,
se toma una muestra de 6 bolas cada dos horas y se halla para cada una de las
muestras el diámetro medio.
a) Diseñar una regla de decisión con la que se esté muy seguro de que la calidad
del producto cumple los propósitos exigidos.
b) Ilustrar gráficamente la regla de decisión de (a).
33

SOLUCIÓN:
a) Con el 99.73% de confianza podemos decir que la media muestral x debe estar entre
µX − 3σX y µX + 3σX o sea µ − 3σ N a µ + 3σ N .
Como µ = 0.574 σ = 0.008 N = 6
Se sigue que con el 99.73% de confianza, la media muestral debería estar entre
0. 574 − 0.
024 6 y 0 . 574 + 0.
024 6 , o entre 0.564 y 0.584 cm. Luego nuestra regla
de decisión es como sigue:
Si una media muestral cae dentro del rango de 0.564 a 0.584, aceptamos que la
máquina funciona bien: Si no, concluimos que no funciona bien e investigamos la razón.
b) Se pueden anotar las observaciones en un gráfico como en la siguiente figura,
llamado un gráfico de control de calidad. Cada vez que se toma una muestra, se
representa por un punto concreto. En tanto que los puntos están entre el límite inferior
(0.564 cm.) y el superior (0.584 cm.), el proceso está bajo control. Cuando un punto
se sale de esos límites de control (como sucede en la tercera muestra tomado el
jueves), existe la posibilidad de que algo falle, y se hace preciso investigarlo.
0.584
0.574
0.564
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
34

RECAPITULACIÓN
A continuación te proporcionamos una síntesis de los conceptos más relevantes que
estudiaste en este fascículo:
INFERENCIA ESTADÍSTICA
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
PRUEBA DE UN VALOR
HIPOTÉTICO DE LA MEDIA
UTILIZANDO LA
DISTRIBUCIÓN NORMAL
ERRORES DE TIPO I y II
ESTIMACIÓN
NIVEL DE CONFIANZA
ERROR DE ESTIMACIÓN
MÁXIMO E
Cada una de las partes que conforman el esquema anterior, se relacionan con la
Inferencia Estadística. Con base en el, elabora una síntesis de cada aspecto,
especificando cómo se interrelacionan.
35
ETAPAS BÁSICAS
PUNTUAL DE UN
PARÁMETRO
POR INTERVALO
INTERVALO DE
CONFIANZA

De acuerdo a lo que has estudiado en el fascículo, te invitamos a que realices los
siguientes ejercicios que te ayudarán a conocer qué tanto aprendiste de la Estadística
Inferencial.
ACTIVIDAD 1
Los Jefes de Manzana de cierta colonia, investigan el ingreso mensual familiar para
crear un centro comercial en la colonia, que es de $2,000.00. Imagina que para el tipo de
colonia en cuestión, el ingreso familiar está distribuido más o menos normalmente y que
la desviación estándar se puede aceptar como igual a σ = $2,000.00, de acuerdo a la
investigación de los jefes de manzana.
Para una muestra aleatoria de n = 15 familias, se ha encontrado que el ingreso medio
por familia es x = $1,500.00. Prueba la hipótesis nula de que µ = $1,500.00,
estableciendo los límites críticos de la media de la muestra en $, utilizando un nivel de
significación del 5%.
ACTIVIDAD 2
En la fábrica de autos Ford, se contempla la compra de un nuevo equipo de diseño de
partes para automóvil, El equipo no debe exigir en promedio más de 10 min. de tiempo
de preparación por cada hora de operación. El agente de compra visita una compañía
donde está instalado el equipo. Por la información que en ella recoge comprueba que 40
horas de operación seleccionadas aleatoriamente incluyen un total de 7 horas y 30
minutos, de tiempo de preparación y que la desviación estándar del tiempo de
preparación por hora fue 3.0 min. Basado en este resultado de la muestra ¿Puede
rechazarse la suposición de que el equipo posee las especificaciones sobre tiempo de
preparación al nivel de significación del 1%.
ACTIVIDAD 3
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN
De 100 estudiantes de tercero y cuarto semestre de un plantel del CB, una muestra
aleatoria de n = 12 estudiantes tiene una calificación promedio de 2.7 (donde aprob. =
4.0), con una desviación estándar de S = -0.4. Se supone que las calificaciones
promedio están normalmente distribuidas. Prueba la hipótesis de que el promedio total
de calificaciones para todos los estudiantes del plantel del C.B. es por lo menos 3.0
utilizando un nivel de significación del 1%.
36

AUTOEVALUACIÓN
1.- Ya que la media de la muestra de X=$1,500.00 está en la región de aceptación de la
hipótesis nula, la información de los jefes de manzana no se puede rechazar a un nivel
de significación del 5%.
2.- Se rechaza la hipótesis nula al nivel de significación del 1% y se acepta la hipótesis
alternativa de que el tiempo promedio de preparación para este equipo es mayor de
10min. por hora de operación.
3.- La Hipótesis nula se rechaza al nivel de significación del 1%. Si se hubiera ignorado
la utilización del factor de corrección finito, el valor calculado t, sería –2.59, y se
aceptaría inapropiadamente la hipótesis nula.
37

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
HABER/Ronyon. Estadística General. Ed. Addison/Wesley, México, 1990
HERNÁNDEZ Santieri, Roberto. Metodología de la Investigación. Ed. Mc Graw-Hill,
México, 1990.
KAZMIER Leonard J. Estadística Aplicada a la Administración y la Economía. Ed. Mc
Graw-Hill, México 1982.
SPIEGEL, Estadística, Ed. Mc Graw-Hill, 2ª. Edición, México 1993.
38