fundamentos de los gráficos en 3d - Universidad de Salamanca

FUNDAMENTOS
DE LOS
GRÁFICOS EN 3D
Informática Gráfica
5º Ingeniería Informática
Universidad de Salamanca
Alberto Pastor Nieto
70889752A
Israel García Sánchez
70808913D

Informática Gráfica Alberto Pastor Nieto
Israel García Sánchez
ÍNDICE
ÍNDICE............................................................................................................................. 2
1. INTRODUCCIÓN: LOS GRAFICOS POR ORDENADOR ...................................... 3
2. LA MIRADA TRIDIMENSIONAL ............................................................................ 6
3. LOS ORÍGENES DE LA REPRESENTACIÓN TRIDIMENSIONAL EN EL
RENACIMIENTO............................................................................................................ 7
4. LA IMITACIÓN DE LA PERSPECTIVA NATURAL ............................................ 10
5. LAS COORDENADAS CARTESIANAS................................................................. 12
5.1. La Profundidad, añadiendo la tercera dimensión ................................................ 15
6. PROYECCIONES ESPECIALES.............................................................................. 18
6.1. PERSPECTIVA TRADICIONAL ...................................................................... 21
6.2. PERSPECTIVA CON UN PUNTO DE FUGA O CÓNICA.............................. 22
6.3. PERSPECTIVA CON DOS PUNTOS DE FUGA O CABALLERA................. 23
6.4. PERSPECTIVA CON TRES PUNTOS DE FUGA O ISOMÉTRICA .............. 24
7. EL PROCESO DE CREACIÓN DE UNA IMAGEN TRIDIMENSIONAL POR
ORDENADOR ............................................................................................................... 25
7.1. EL PROCESO DE MODELADO ....................................................................... 26
7.2. EL PROCESO DE LA EXTRUSIÓN PARA GENERAR FORMAS
TRIDIMENSIONALES ............................................................................................. 26
7.3. EL MODELADO DE SECCIONES CRUZADAS............................................. 27
7.4. LA INCORPORACIÓN DE SUPERFICIES A LOS OBJETOS ....................... 27
7.5. EL MAPEO DE IMÁGENES ............................................................................. 27
7.6. EL SOMBREADO DE OBJETOS...................................................................... 28
7.6.1. Sombreado de punto de alambre .................................................................. 29
7.6.2. El sombreado plano ...................................................................................... 29
7.6.3. El sombreado de Gouraud ............................................................................ 29
7.6.4. El sombreado Phong..................................................................................... 29
7.7. PROFUNDIDAD EN IMÁGENES 3D............................................................... 31
7.7.1. EL SOMBREADO ....................................................................................... 32
7.7.2. LA ELEVACIÓN Y LA ALTURA RELATIVA ........................................ 32
7.7.3. SOLAPAMIENTO ....................................................................................... 34
7.7.4. EL BRILLO Y EL COLOR ......................................................................... 36
7.7.5. LAS SOMBRAS .......................................................................................... 37
7.7.6. EL DETALLE .............................................................................................. 38
7.7.7. LA VISIÓN BINOCULAR: ESTEREOSCOPÍA ........................................ 40
7.7.7.1. Método por Anaglífo ............................................................................. 42
7.7.7.2. Sistema de lentes polarizados................................................................ 43
7.7.7.3. Imagen entrelazada................................................................................ 44
7.7.7.4. Efecto Pulfritch...................................................................................... 46
7.8. ELIMINACIÓN DE SUPERFICIES OCULTAS ............................................... 46
7.8.1. EL PROBLEMA .......................................................................................... 47
7.8.2. MÉTODO DEL VECTOR NORMAL AL PLANO .................................... 48
7.8.3 EL ALGORITMO DEL PINTOR ................................................................. 50
7.8.3.1. Problema del solapamiento mutuo ........................................................ 51
7.8.4. EL ALGORITMO Z-BUFFER .................................................................... 52
7.9. EJEMPLO DE MODELADO DE UNA IMAGEN TRIDIMENSIONAL ......... 55
8. CONCLUSIONES...................................................................................................... 62
9. BIBLIOGRAFÍA........................................................................................................ 63
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1. INTRODUCCIÓN: LOS GRAFICOS POR ORDENADOR
Los gráficos por ordenador surgieron a principios de los cincuenta en el MIT
(Instituto Tecnológico de Masachussets). En él se conectó un osciloscopio a uno de sus
ordenadores, de modo que éste podía controlar directamente la posición del haz
catódico. Este sistema podía realizar dibujos simples, moviendo el haz de manera que
fuese trazando las líneas que lo componían. Sin embargo, cuando la complejidad del
gráfico aumentaba, aparecía un problema de difícil solución: el parpadeo. Este surgía
porque el punto trazado por el haz desaparecía unas décimas de segundo después de que
el haz se hubiese movido, lo que obligaba a redibujar constantemente el gráfico (a este
proceso se le denomina refresco). Con figuras de pocas líneas, el dibujo podía ser
refrescado a una velocidad suficiente como para que no hubiese problemas, pero al
aumentar el número de segmentos, el ordenador tardaba más en generar cada imagen, de
modo que cuando empezaba a redibujar una línea, la original ya se había borrado
totalmente. A este problema había que añadirle que el ordenador tenía que dedicar la
totalidad de su tiempo de ejecución a mantener el refresco de la imagen, lo que impedía
la realización de cálculos simultáneos.
Ilustración 1. Osciloscopio
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Posteriormente se ideó un tipo de pantalla que mantenía la luminosidad de un
punto incluso después de que el haz dejase de iluminarlo, usando una especie de
condensador entre el fósforo y el tubo. Para borrar la pantalla, simplemente se
descargaba ese condensador. Este sistema tenía la ventaja de que eliminaba totalmente
el refresco de la imagen, pues ésta se mantenía aunque el haz dejase de pasar. Sin
embargo, tenía el problema de que no se podía borrar una parte de la pantalla, sino que
se debía borrar toda y reescribir la parte común. A esto hay que unir el bajo contraste de
la imagen.
Este sistema de generación de imágenes es denominado VECTORIAL pues sus
imágenes están compuestas por vectores unidos entre sí. Pronto se hizo evidente que
este sistema no era excesivamente práctico, así que se empezó a trabajar en uno más
perfeccionado. El resultado fue el sistema RASTER SCAN. En él, no es la CPU la que
controla el tubo catódico, sino que existe una circuitería independiente que realiza todo
el trabajo. Esta vez, el haz no crea la imagen a partir de segmentos o vectores, sino que
lo hace a partir de puntos (los famosos PIXELS). Para ello, el haz recorre toda la
pantalla en líneas horizontales, de izquierda a derecha y de arriba a abajo. Este
movimiento se realiza con el haz a baja intensidad. Si necesita activar un pixel, aumenta
la intensidad en el momento en que pase encima de él. Dado que el haz tiene que
recorrer siempre toda la pantalla, el parpadeo de la imagen solo dependerá de la
velocidad del rayo, nunca de la complejidad de la imagen. Así mismo, al ser una
circuitería externa a la CPU la que genera la imagen y la refresca, ésta queda totalmente
liberada de esta tarea, pudiendo mantener una imagen en pantalla mientras realiza otros
cálculos. A todo esto hay que unir la posibilidad de conseguir una amplia gama de tonos
y colores, frente a la gran limitación de los sistemas VECTORIALES en este aspecto.
La supremacía de los sistemas RASTER queda demostrada al comprobar que todos los
ordenadores actuales lo usan, sin importar su tamaño y potencia.
La circuitería para la generación de la imagen puede estar diseñada de muy
diversas formas, de modo que acepte más o menos resolución o colores. Sin embargo,
en todas ellas, la imagen es almacenada en una memoria RAM especial, línea a línea, de
modo que, para transferirla a la pantalla solo haya que leerla secuencialmente y
transmitir los datos leídos al haz.
Hay dos posibilidades básicas para la escritura en esa memoria de video: en el
más sofisticado, la placa incorpora un microprocesador propio, y acepta ordenes de alto
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nivel desde la CPU, como trazar rectas, círculos, mover SPRITES automáticamente,
actualizar la paleta de colores, etc. De este modo, la CPU se comunica a través de
puertos. Este sistema tiene la gran ventaja de descargar casi por completo a la CPU
principal del trabajo de la gestión de la pantalla. A esto se le añade que la cantidad de
memoria asignada a la pantalla puede ser superior a la que es capaz de direccionar
directamente el microprocesador principal, sin que surjan problemas de velocidad o de
transferencia de información por necesitar usar técnicas de paginación de memoria.
El otro método consiste en una circuitería que simplemente lee la imagen de la
memoria de video y la plasma en pantalla. La diferencia con el otro es que la CPU
accede directamente a esa memoria y escribe en ella los datos necesarios. Esto significa
que tiene que estar situada dentro del espacio direccionable por la CPU, como una parte
más de la memoria principal. Tiene la ventaja de que es un sistema mucho más barato y
simple que el anterior, y es perfectamente válido, pues es la circuitería extra la que
mantiene el refresco; sin embargo, es la CPU la que tiene que hacer los cálculos
matemáticos para trazar rectas, círculos, etc. Sin embargo, estos inconvenientes se
convierten en ventajas en cuanto se comprende que, de este modo, se dispone de un
control total sobre la imagen presentada, pudiendo realizar sobre ésta todas las
modificaciones que se deseen sin ninguna clase de limitación. Este sistema, por tanto, se
usa por razones de bajo precio o bien por la necesidad de altas prestaciones en pantalla.
Ilustración 2. Dibujo con píxeles
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2. LA MIRADA TRIDIMENSIONAL
Los fundamentos de las imágenes en tres dimensiones se remontan al
Renacimiento. Los artistas de esta época fueron los primeros que aprendieron cómo
engañar al ojo logrando una sensación de profundidad al contemplar una superficie
plana bidimensional. La ilusión conseguida se basaba en un conjunto de conocimientos
que nos retrotrae a la antigua Grecia: la geometría. La geometría es una rama de las
matemáticas que se centra en el análisis de las relaciones, las propiedades y la medición
de sólidos, superficies, líneas y ángulos. También se trata de una teoría del espacio y de
las figuras en el espacio. El artista del Renacimiento aprendió a transformar este
conocimiento en obras que alcanzaban un grado de realismo verdaderamente
asombroso. Antes del Renacimiento los artistas empleaban el arte para expresar ideas.
El artista del Renacimiento emplea el arte para imitar a la realidad. Esto representó un
avance decisivo.
En la actualidad, la expresión fotorrealismo se refiere a imágenes generadas por
ordenador que modelan las propiedades ópticas y físicas del mundo real de forma tan
acertada que, al contemplarlas, algunas personas jurarían que se trata de fotografías.
Los programas de creación de imágenes en 3D codifican en una serie de
algoritmos las leyes de la perspectiva y las complejas interrelaciones entre las
superficies y la iluminación de las mismas. Ocultando los algoritmos de modelado tras
una interfaz sencilla, el programa de creación de imágenes en 3D pone la tecnología en
su sitio, considerándola como otra herramienta en el estudio del artista.
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3. LOS ORÍGENES DE LA REPRESENTACIÓN
TRIDIMENSIONAL EN EL RENACIMIENTO
Si se intenta dibujar una figura tridimensional, es fácil darse cuenta lo difícil que
es crear la ilusión de profundidad en una superficie plana. En efecto, el concepto de
espacio tridimensional resulta tan abstracto que un niño no tiene una comprensión
innata de conceptos tales como profundidad o volumen. Incluso después de haber
aprendido a pensar en tres dimensiones, resulta necesario aprender a aplicar dicho
conocimiento. Aprender a modelar objetos en el espacio tridimensional constituye un
aspecto básico del aprendizaje artístico, hasta tal punto que a menudo olvidamos que los
principios que subyacen en dicha clase de representaciones no siempre fue algo
conocido. Tenemos dos ilustraciones, la primera de ellas fue creada por el artista
florentino Cimabue hacia el año 1280. La segunda corresponde a una pintura realizada
unos 30 años más tarde por el artista Giotto. Como cabe observar, Cimabue estaba
interesado en las representaciones tridimensionales, pero Cimabue no lograba una
representación realista. Giotto nos da una solución más clara, proporcionando al
espectador un punto de vista privilegiado.
Ilustración 3. Madonna de Cimabue
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Ilustración 4. Madonna de Giotto
La Madonna de Giorgione (en la siguiente página) parece ser más pequeña que
las figuras que están delante del trono. Se trata de un principio totalmente contrario al
canon que regía en la Edad Media, cuando la figura más importante del cuadro aparecía
representada con el menor tamaño. El espectador contemporáneo comprende que la
Madonna sólo parece ser más pequeña precisamente porque está muy lejos del
observador.
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Ilustración 5. Madonna de Giorgione
La solidez tridimensional del trono destaca claramente en relación con la visión
panorámica y natural del fondo. El artista ha descubierto algunas de las sutilezas que
implica la representación de los objetos en el espacio tridimensional. Así, por ejemplo,
hay un efecto de niebla en el lejano paisaje que contribuye sobremanera a resaltar la
sensación de profundidad. El detalle está más cuidado en las figuras que aparecen en
primer plano que las que están en el fondo. Los objetos lejanos tienen un color más
desleído. Hay una atención clara hacia el tamaño relativo de los objetos. Por ejemplo,
apenas sí se distingue la silueta de dos personajes que aparecen en la distancia, situados
a la derecha del trono. Sabemos que está muy lejos debido a su tamaño diminuto en
comparación con las figuras colocadas en primer plano.
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4. LA IMITACIÓN DE LA PERSPECTIVA NATURAL
El artista del Renacimiento descubrió como imitar lo que actualmente se
denomina perspectiva natural. El mundo siempre se contempla desde un determinado
punto de vista, el punto de vista en que está situado el ojo. Obsérvese que las líneas
convergen a medida que se produce un desplazamiento desde el marco de la imagen
hacia un punto de fuga.
Ilustración 6. Ilusión de profundidad
Contemplada desde el punto de vista del ojo, una escena con perspectiva natural
presenta el aspecto Todas las líneas que aparecen en la imagen convergen en un punto
de fuga situado en la distancia. De esta manera el ojo resulta “engañado”, creando una
situación de profundidad en donde no la hay.
Giorgione conoce la fórmula para organizar la figura ante el ojo del espectador.
Imaginemos que tenemos el trabajo de Giorgione ante nosotros y que el espectador
sigue con la vista las líneas verticales del suelo. Así, nuestro hombre continúa
recorriendo el trazado de las líneas hasta llegar a la figura de la Madonna. La línea del
horizonte está situada en un punto bastante elevado, de forma tal que las líneas deberían
dirigirse hacia un punto de fuga situado detrás del trono, en las colinas que aparecen en
el fondo. Al colocar la Madonna justo sobre la trayectoria del punto de fuga, Giorgione
está utilizando la perspectiva para alinear el mundo natural con el mundo espiritual
representado con la Madonna.
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Ilustración 7. Perspectiva en la Madonna de Giorgione
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5. LAS COORDENADAS CARTESIANAS
La leyenda dice que el filósofo y matemático francés del siglo XVII, René
Descartes, yacía en su lecho cuando una mosca entró en su habitación y empezó a
revolotear en el techo. Entonces, el matemático concibió el sistema de coordenadas que
actualmente lleva su nombre, si bien ha sido modificado con las formas latinas.
Descartes pensó que la posición de la mosca en cualquier punto del espacio podía
describirse utilizando tres números, cada uno de los cuales serviría para representar la
posición del insecto relativa a un punto preestablecido. Más adelante, desarrolló la
misma idea incluyendo la noción de punto bidimensional en una superficie plana, cuya
posición sólo tendría que ser descrita por dos números. Dicha idea fue publicada en el
extenso apéndice de un volumen publicado por Descartes en 1637. A pesar de que este
importante concepto no despertó interés en aquel momento, el método cartesiano para
representar los puntos en un plano y en el espacio mediante la utilización de
coordenadas numéricas dio lugar a la aparición de una nueva rama de las matemáticas,
en donde se combinan la geometría y el álgebra. Esta fusión se conoce como geometría
analítica.
En geometría, una línea (concepto teórico que no necesariamente tiene que tener
una correspondencia con el mundo “real”) consiste en una serie infinita de puntos.
Además entre dos puntos hay un número infinito de puntos, por lo que cabe concluir
que la línea es infinitamente divisible. No importa cuántas veces la haya cortado, lo
cierto es que siempre podrá cortarla en trozos cada vez más pequeños. Los números
reales en términos generales son números que incluyen valores fraccionados, o en otras
palabras, números con punto decimal. Existe un número infinito de números reales,
tanto positivos como negativos, y entre dos de ellos, un número infinito de números
reales. El sistema de números reales es, al igual que la línea, infinitamente divisible. Por
esta razón, si tenemos una línea infinitamente larga (esto es posible de acuerdo con las
reglas de la geometría), cabe encontrar un punto correspondiente a cada uno de los
números reales. Aunque en la práctica no resulta posible obtener una línea
infinitivamente larga o infinitamente divisible, por ello se realiza una aproximación con
divisiones de longitudes iguales. Tradicionalmente, el valor de los números de dichas
líneas se incrementa hacia la derecha y disminuye hacia la izquierda. Sólo cabe en la
imaginación una línea numérica capaz de extenderse teóricamente a una distancia
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infinita en los sentidos positivo y negativo, ya que todo el papel resulta insuficiente para
representarla. En todo caso, no tendría por qué haber problemas para localizar los
puntos correspondientes. En una línea perfecta y teórica, existe un punto para cada
número real.
El ingenio de Descartes sirvió para establecer una correspondencia entre los
puntos de una línea y los números utilizados por los matemáticos para traducir
conceptos geométricos; en otras palabras, aquellos relacionados con puntos, líneas,
planos, espacio tridimensional, etc. en términos geométricos. En una línea numérica
vertical, los valores aumentan a medida que se asciende y disminuyen a medida que se
desciende La intersección de las líneas se produce en el punto 0 de cada una y el
conjunto que estas forman es lo que se conoce como plano cartesiano. Como se puede
observar, a cada número real le corresponde un punto en ambas líneas y, de la misma
manera, a cada par de números reales le corresponde un punto en el plano rectangular
sobre el cual se encuentran trazadas las líneas.
Un par numérico correspondiente a un punto en un plano cartesiano es
denominado par de coordenadas, o simplemente, coordenadas. La utilización de pares
de coordenadas permitió a Descartes realizar una descripción numérica precisa de todos
aquellos conceptos geométricos que hasta el momento resultaban vagos y confusos. No
sólo cabe describir un punto con un par de coordenadas, sino que, además resulta
posible describir una línea utilizando dos pares de coordenadas que servirán para
representar los extremos de la línea. Asimismo, se pueden describir numéricamente otro
tipo de formas.
Las dos líneas numéricas utilizadas para establecer la posición de los puntos en
un plano se denominan ejes. Por razones históricas, los pares de coordenadas suelen
representarse mediante las variables x e y. Por este motivo, las coordenadas se conocen
como coordenadas x e y.
La similitud entre la pantalla del ordenador y el plano cartesiano reside en el
hecho de que cabe especificar la posición de cualquier punto de la pantalla mediante la
utilización de un par de coordenadas. De hecho, se trata del método más habitual para
especificar las localizaciones de los pixels.
Existen multitud de dispositivos: monitores, impresoras, plotters, etc, cada uno
con sus propias características y capacidades. Por si fuera poco, nos encontramos con
que también existen diferencias entre ellos mismos; así, nos encontramos con tarjetas
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gráficas VGA, SVGA..., con impresoras de distinta resolución, plotters con más o
menos puntos por pulgada, etc. Todo esto hace que, en principio, el software tenga que
estar adaptado a las resoluciones de cada uno. Esto es debido a que trabajamos con las
COORDENADAS ESPECIFICAS del aparato. Por ejemplo, si trabajamos con un
sistema antiguo CGA, las coordenadas tendrán que darse referidas a un origen situado
en la esquina superior izquierda, y con unas dimensiones máximas de 320 x 200 puntos.
Si corriésemos ese programa con una SVGA en el modo 1024 x 768 puntos, el dibujo
saldría más pequeño, pues el programa piensa que tiene simplemente 320 x 200.
Además, al ser distinta la relación entre coordenadas X e Y, las figuras saldrían
deformadas.
El problema se resuelve usando un sistema de COORDENADAS
UNIVERSALES y VISUALES, de modo que el programa trabaja siempre en un modo
fijo, y luego estas coordenadas son traducidas a las específicas del dispositivo justo
antes de ser enviadas.
Las coordenadas universales se usan para definir cada uno de los objetos en la
base de datos. Cada uno se define con el origen de coordenadas en su centro. No existe
un límite máximo en ningún eje, sino que los objetos pueden ser tan grandes como
necesitemos.
A continuación se realiza la conversión a coordenadas visuales. En ellas, el
origen se encuentra, bien en el ojo del observador, bien en el centro del dispositivo de
representación. Aquí lo que se hace es modificar las coordenadas de cada objeto
mediante fórmulas de rotación y traslación para situarlos en el sitio y en la posición del
espacio que le corresponde a cada uno. Al igual que antes, no existe límite en el valor de
estas coordenadas. No olvidemos que trabajamos con todo el espacio.
Por último, llega el momento de convertir las coordenadas visuales en
coordenadas específicas. Para ello, necesitaremos tomar un par de dimensiones
proporcionales al dispositivo. Para hacer esto, hay que tener en cuenta la relación de
aspecto. Veámoslo con detalle:
Cuando trabajamos con cualquier ordenador, la relación de dimensiones X e Y
del tubo catódico es la misma, 3/4 (igual que los televisores normales). Esto hay que
tenerlo en cuenta a la hora de definir la relación de coordenadas universales.
Aunque resulta posible orientar los ejes cartesianos de cualquier manera en la
pantalla (o incluso fuera de la misma), lo más común es considerar la línea de pixels
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situada en la parte superior de la pantalla como el eje de las x, mientras que la línea de
pixels que baja por el extremo izquierdo corresponde al eje de las y. De esta manera, el
píxel situado en la esquina superior izquierda correspondería a las coordenadas (0,0) y
constituiría el origen del sistema. Como se puede observar, en programación se ha
establecido que el eje de las y de la pantalla del ordenador debe crecer en sentido
inverso al del eje y estándar del sistema cartesiano. Probablemente, se debe a que
corresponde al sentido en que las direcciones de los pixels aumentan de valor en la
RAM de video. Esta orientación de los ejes contribuye a simplificar la tarea de calcular
las direcciones de la RAM de video de un píxel en un determinado par de coordenadas.
En los gráficos tridimensionales hace falta introducir una tercera coordenada que
represente la tercera dimensión. Para ajustarse a las convenciones empleadas en los
gráficos cartesianos tridimensionales, se llamará a esta tercera coordenada la
coordenada z.
El eje de las z será perpendicular al eje de las x (correspondiente a la anchura),
así como al eje de las y (correspondiente a la altura), transcurriendo del interior al
exterior de la pantalla.
5.1. La Profundidad, añadiendo la tercera dimensión
En los gráficos de ordenador, la tercera dimensión siempre aporta la
profundidad. En otras palabras, se trata de la dimensión que discurre perpendicular al
plano de la pantalla, aún cuando ésta sea totalmente plana. El objetivo de los gráficos
tridimensionales es proyectar un mundo tridimensional en una pantalla bidimensional,
de tal manera que el observador siempre tenga la sensación de que existe una tercera
dimensión.
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Ilustración 8. Ojo respecto a pantalla con coordenadas

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En figura de la anterior página vemos representada la proyección del punto P, de
coordenadas Y y Z (la X sería perpendicular al gráfico, así que no la representamos). El
punto O es donde está situado el ojo del observador, y la línea vertical del medio es la
pantalla. El punto, por tanto, se encontraría en el interior del monitor. Vemos que, al
unir O con P, la línea corta a la pantalla en el punto P', que será la proyección de P sobre
la pantalla.
Vemos que tenemos unas coordenadas Z, Z', Y e Y', y dos triángulos
equivalentes. Z' es la distancia del observador a la pantalla, así que la llamaremos D. De
este modo, para hallar la coordenada Y', que sería la coordenada Y de la pantalla,
bastará que usemos un poco de trigonometría, y tendremos que:
Luego, tenemos que:
Lo mismo que decimos para la Y se debe aplicar para la X.
La ecuación de arriba presupone que la coordenada (0,0) se halla en la mitad de
la pantalla, cosa que no suele ser así; por tanto, si dx es la dimensión de la pantalla en
horizontal (en pixels) y dy la correspondiente para la vertical:
dx y dy se refieren a las dimensiones X e Y de la pantalla virtual en relación de
aspecto del dispositivo de salida.
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ecuaciones:
Para desplazar el origen hasta la pantalla y evitarnos errores, se usan las
Además de proyectar una figura en pantalla, necesitaremos desplazarla. Para
ello, basta con sumar o restar a las coordenadas originales del objeto una cantidad -dx,
dy, dz-que correspondan a la longitud del desplazamiento respecto del origen de
coordenadas, y proyectar el objeto sobre las nuevas coordenadas así obtenidas.
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6. PROYECCIONES ESPECIALES
Las clases de proyección más utilizadas en el dibujo industrial son las
proyecciones axonométricas. Estas son proyecciones paralelas en las que la dirección
de proyección es perpendicular al plano de visualización. Podemos modificar la
dirección de una proyección axonométrica para obtener una vista diferente del objeto,
siempre que el plano de visualización siga siendo perpendicular a la nueva dirección de
proyección. Supongamos que estamos mirando a un cubo cuyos lados son paralelos a
los ejes de coordenadas. Podemos empezar con una vista perpendicular a una de las
caras del cubo, de tal forma que el cubo parezca un cuadrado.
Si desplazamos la dirección de proyección ligeramente hacia un lado, entonces una de
las caras laterales de cubo se hará visible, mientras que los lados de la cara frontal se
acortan. Si elevamos el ángulo de visión, los lados de la cara superior se alargan
mientras que las aristas de las caras laterales se acortan.
Existe una dirección de proyección en particular en la que todas las aristas
aparecen afectadas por el mismo factor de escala. Esta dirección especial recibe el
nombre de proyección isométrica. Una proyección isométrica de un cubo mostrará una
esquina del cubo en el medio de la imagen rodeada por tres caras idénticas.
Si escogemos una transformación en la que sólo los lados paralelos a dos de los
ejes de coordenadas se ven afectados por el mismo cambio de escala, entonces la
proyección recibe el nombre de dimétrica. Una proyección trimétrica es aquella en la
todos los lados se ven afectados por diferentes factores de escala.
Ilustración 9. Proyección Isométrica
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Ilustración 10. Proyección dimétrica
Ilustración 11. Proyección trimétrica
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Si la dirección de una proyección paralela no es perpendicular al plano de
visualización tenemos lo que se denomina proyección oblicua. Veremos dos casos
especiales de proyecciones oblicuas, la proyección caballera y la proyección de
gabinete.
Supongamos que estamos observando un objeto cuyos lados son paralelos a los
ejes de coordenadas. El plano de visualización será paralelo a la cara frontal (paralelo al
plano xy). Para la perspectiva caballera, la dirección de proyección está inclinada de tal
forma que los puntos con coordenadas z positivas son proyectados abajo y a la izquierda
en el plano de visualización. Los puntos con coordenadas z negativas serán proyectados
arriba a la derecha. El ángulo del eje z proyectado puede ser el que queramos, pero la
distancia a la que el punto está situado en la dirección z proyectada debe ser igual a la
distancia real del punto al plano de visualización. Sin embargo, el resultado es un objeto
que parece alargarse a lo largo del eje z.
Ilustración 12. Proyección caballera
Una alternativa, que sigue siendo fácil de construir, es llevar sólo la mitad de la
distancia real sobre el eje z proyectado. Esta es la llamada proyección de gabinete.
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6.1. PERSPECTIVA TRADICIONAL
Actualmente se utilizan muchos y diversos métodos empíricos mecánicos y
constructivos para crear imágenes en perspectiva. Estos métodos emplean unos pasos y
procedimientos muy específicos para construir una perspectiva a mano. Por suerte el
software 3D realiza todo esto con el punto de vista de una cámara que podremos situar
en la escena a nuestro antojo. Estas cámaras proporcionan una exactitud que muchos
delineantes son incapaces de conseguir. Los siguientes puntos hacen referencia a
términos de perspectiva que los artistas 3D utilizan en sus composiciones.
La teoría tradicional de la perspectiva sitúa al observador en un punto
estacionario y que mira a otro punto en la distancia denominado centro de visión. Esto
es equivalente al emplazamiento de una cámara y del target (punto hacia el que se dirige
la cámara) es una escena 3D. La línea que une nuestro ojo y el centro de visión
normalmente se denomina línea de visión. El software 3D une automáticamente la
cámara con el target. Este vector nos indica lo que nuestro ojo es capaz de llegar a ver:
si un objeto bloquea esta línea no seremos capaces de ver a través de él. Una técnica útil
es la de utilizar esta línea de visión como referencia cuando se observa la escena desde
una situación superior al target y a la cámara.
Se pueden trazar líneas desde el punto del observador a cualquiera de los objetos
de la escena; estas líneas se proyectan sobre un plano teórico suspendido entre el
observador y la escena y que es determinado por el plano de ésta. Para un artista sería
equivalente a un lienzo sobre el que dibujar. Para un programa 3D es el encuadre del
fotograma final y es lo que la cámara ve.
El plano sobre el que está el observador se denomina plano de tierra, el suelo o
la superficie sobre la que la mayoría de los objetos de la escena descansan. El plano de
tierra se extiende en profundidad hasta la altura de la visión, esto es, hasta la altura del
horizonte.
La altura del punto de visión, o posición de la cámara, es también la altura del
horizonte de la escena. Todas las líneas contenidas en planos paralelos al de tierra
convergen en puntos situados en el horizonte. Se puede pensar en el horizonte como un
plano infinito que ese extiende en la distancia manteniendo siempre la altura respecto
del plano de tierra. A medida que los objetos se alejan en la distancia, parecen estar cada
vez más cercanos a reposar sobre el horizonte.
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El horizonte es importante porque todas las líneas horizontales (líneas que están
sobre planos paralelos al de tierra) visualmente convergen en puntos de fuga situados en
él. Líneas situadas en planos por debajo del punto de vista convergen hacia arriba hasta
la línea del horizonte, mientras que líneas sobre el punto de vista convergen hacia abajo.
Líneas que están directamente a nivel del punto vista coinciden con el horizonte y se
visualizan como una sola línea.
6.2. PERSPECTIVA CON UN PUNTO DE FUGA O CÓNICA
El mundo en el que vivimos está basado primordialmente en ángulos rectos. La
perspectiva tiene su mayor efecto en líneas paralelas y en este tipo de ángulos; por ello,
es bastante común hablar de perspectiva en relación con un simple cubo.
Ilustración 13. Perspectiva cónica
Cuando observamos el cubo de forma paralela a una de sus caras, sólo las líneas
perpendiculares a nosotros convergen en el horizonte. El punto de fuga reposa en esta
línea y coincide con el centro de visión. Las otras aristas del cubo tienen puntos de fuga
a una distancia infinita a cada lado (es decir, no existe punto de fuga). Estas líneas no
convergen y son paralelas al observador y a su horizonte.
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6.3. PERSPECTIVA CON DOS PUNTOS DE FUGA O
CABALLERA
Si no estamos en un plano paralelo al cubo, existirá un punto de fuga para cada
una de las dos caras visibles. Éstos se sitúan fuera del ángulo de visión, en la línea del
horizonte, a izquierda y a derecha...
Mientras que la perspectiva cónica debe ser paralela a una de las caras del cubo,
la perspectiva caballera puede situarse desde cualquier ángulo del mismo plano que la
anterior. Se ha de tener en cuenta que hay que mantener la línea de visión para
cerciorarse que las líneas verticales siguen siéndolo, para ello la cámara y el target
deben estar nivelados con el plano de tierra.
Como estos planos verticales permanecen constantes, es muy fácil para los
delineantes determinar distancias utilizando la perspectiva caballera.
Ilustración 14. Perspectiva caballera
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6.4. PERSPECTIVA CON TRES PUNTOS DE FUGA O
ISOMÉTRICA
Si no observamos el cubo a nivel de la línea de visión, es decir, que lo vemos
desde arriba o desde abajo, las líneas verticales poseen también su punto de fuga. Los
tres planos del cubo ahora poseen tres puntos de fuga. Las aristas verticales del cubo
ahora convergen a un punto de fuga situado en una línea también vertical que parte del
centro de visión. Si observamos desde arriba a un punto por debajo del horizonte, las
aristas verticales del cubo convergen hacia abajo. Estas aristas convergerán hacia arriba
si observamos por debajo del horizonte. Si nos situamos a nivel del horizonte tendremos
una perspectiva caballera.
Todas las líneas tienen puntos de fuga; el cubo tiene tres, uno por cada grupo de
caras paralelas. En un a escena por construir pueden haber cientos de estos grupos. Los
delineantes se suelen centrar en los tres planos básicos y realizar aproximaciones al
resto. Se pueden determinar cada uno de estos puntos de fuga: cada línea paralela al
plano de tierra, o que descansa sobre el suelo, tiene su punto de fuga en el horizonte.
Como podemos apreciar la perspectiva isométrica puede resultar bastante
compleja, por lo que muchos artistas prefieren evitarla. Esta complicación no resulta tal
para un software 3D.
Ilustración 15. Perspectivva isométrica
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7. EL PROCESO DE CREACIÓN DE UNA IMAGEN
TRIDIMENSIONAL POR ORDENADOR
Las nuevas herramientas de diseño gráfico por ordenador en 3D liberan al artista
permitiendo que se concentre en la creación de imágenes tridimensionales en lugar de
tener que pensar en perspectivas y demás aspectos términos.
Las cuatro etapas del proceso creativo son:
• Paso 1: Planificación del proyecto. Al planear y visualizar la escena el artista
realiza un boceto en papel.
• Paso 2: Modelado. El artista crea una versión generada por ordenador del boceto
utilizando las herramientas de modelado. Posteriormente, se configuran los
parámetros mediante los cuales se controla el color, los sombreados y otros
atributos de la superficie en cuestión.
• Paso 3: Puesta en escena. En esta etapa se colocan los diversos objetos en un
“escenario”. Asimismo, se procede a crear un punto de vista colocando una
cámara en la escena. Se añade iluminación para conseguir un efecto real.
• Paso 4: Rendering. Finalmente, la escena se renderiza. Se trata de un proceso que
convierte los datos tridimensionales generados durante las etapas previas en una
imagen que el artista puede guardar en disco como cualquier imagen generada por
ordenador o bien, cabe la posibilidad de generar un video o una película
configurando una serie de fotogramas.
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7.1. EL PROCESO DE MODELADO
Se trata del proceso de creación de la estructura geométrica de los objetos en la
memoria del ordenador y la subsiguiente construcción de superficies. El ordenador se
encarga de realizar las representaciones tridimensionales. En un principio, los artistas
tenían que dibujar literalmente todos y cada uno de los segmentos lineales para definir
un objeto en la pantalla. Actualmente, se utilizan una serie de técnicas de modelado para
generar objetos tridimensionales de forma automática con software especializado.
7.2. EL PROCESO DE LA EXTRUSIÓN PARA GENERAR
FORMAS TRIDIMENSIONALES
Uno de los métodos más comunes para generar objetos tridimensionales consiste
en dibujar el perfil de un objeto determinado en pantalla y proceder a extrudirlo. La
extrusión utiliza la capacidad de procesamiento de la información que brinda el
ordenador para transformar objetos. De esta forma, un cuadro bidimensional se
convierte mediante extrusión en una caja tridimensional. El perfil de una copa de vino
gira sobre su eje para convertirse en una copa de vino tridimensional. Un círculo hueco
se convierte en un cilindro con remate a ambos lados. Un cuadrado vacío se convierte
en una caja.
Ilustración 16. Extrusión
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7.3. EL MODELADO DE SECCIONES CRUZADAS
Existe otra técnica de modelado que consiste en dividir un objeto en secciones
bidimensionales cruzadas sobre las que se dibujan una superficie, como ocurre en la
realidad en la pantalla de una lámpara. La forma del objeto puede modificarse
cambiando la forma y el tamaño de las porciones individuales que definen las secciones
cruzadas que conforman el objeto. Posteriormente, el programa interpola la superficie
que debe dibujarse sobre las porciones individuales.
7.4. LA INCORPORACIÓN DE SUPERFICIES A LOS OBJETOS
Los objetos tridimensionales tienen superficies que están compuestas por
triángulos o polígonos. Se trata de una serie de segmentos lineales que presentan un
aspecto semejante al de una jaula de alambres y que constituye el modo de visualización
por defecto (modelo de alambre) en la mayor parte de los sistemas de creación de
modelados.
Existen tres formas básicas de añadir superficies a los modelos de alambre
tridimensionales: aplicando una capa de pixels sobre la capa del objeto utilizando un
mapa de referencia, aplicando a la superficie en cuestión un patrón generado
matemáticamente y modelando el efecto de la luz sobre la superficie.
7.5. EL MAPEO DE IMÁGENES
La superficie de un objeto puede asignarse a una textura derivada de una imagen
bidimensional. La imagen se crea en un programa para pintar o bien, se obtiene desde
un escáner o incluso puede tratarse de un fotograma de vídeo capturado con una cámara
o un reproductor de vídeo. El mapeo de imágenes constituye un proceso similar a
envolver una caja de color blanco con papel de regalo. El programa de tratamiento
tridimensional coloca una capa de pixels sobre el objeto proyectando automáticamente
la imagen de referencia sobre un objeto tridimensional.
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Ilustración 17. Mapeo de textura
7.6. EL SOMBREADO DE OBJETOS
El sombreado constituye otro método para definir la manera en que aparecerá la
imagen final. Se procede a asignar un color al objeto en cuestión y el programa
determina la manera en que se generará la sombra en dicho objeto basándose en la
forma en que la luz se proyecta sobre la superficie del objeto. Existen cuatro clases
principales de sombreado: de modelo de alambre, plano, Gouraud, Phong. En la imagen
siguiente hay un ejemplo de cada tipo. Hay una única fuente de iluminación que
alumbra cada una de las escenas. Se puede observar el reflejo de luz en tres de las cuatro
esferas.
Ilustración 18. Sombras en esferas
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7.6.1. Sombreado de punto de alambre
En el sombreado de modelo de alambre sólo se renderizan los bordes del
polígono. Cuando se empezaron a utilizar ordenadores para mostrar imágenes en tres
dimensiones la representación de los objetos se hacía con modelos de alambre.
7.6.2. El sombreado plano
En el sombreado plano se utiliza un único nivel de iluminación para un polígono
dado. En la esfera que tiene sombreado plano se puede ver la forma de los polígonos
que configuran la superficie de dicha esfera. La esfera no presenta un aspecto uniforme
debido a que los polígonos que la conforman tienen tonalidades diferentes. El
sombreado plano no resulta demasiado natural, pero, en contrapartida los objetos
pueden renderizarse rápidamente.
7.6.3. El sombreado de Gouraud
Se trata de la forma más simple de sombreado uniforme, en donde la intensidad
de la luz aplicada es un valor promedio para todo el polígono, normalmente a partir de
valores medidos en los vértices del mismo. En la esfera que tiene sombreado Gouraud
se observa el contorno desdibujado de los polígonos en donde incide la luz, si bien la
esfera nos da una impresión mucho más uniforme que la obtenida en la esfera
renderizada con sombreado plano. El sombreado de Gouraud trata de tomar las
intensidades correspondientes a cada uno de los vértices de la figura, y realizar un
promedio de ellos para cada uno de los puntos de la figura.
7.6.4. El sombreado Phong
La esfera con sombreado Phong refleja la luz de forma mucho más real. En esta
clase de sombreado, cada píxel de la superficie del objeto es calculado en relación con
la fuente de iluminación. El número de cálculos que resulta preciso efectuar en un
objeto con sombreado Phong es mucho mayor que el que hay que hacer en objetos con
sombreado Gouraud, sombreado plano o modelo de alambre. El número de operaciones
matemáticas se multiplica exponencialmente a medida que se incrementa la resolución
espacial de la imagen. Como regla general en el terreno de la generación de imágenes
tridimensionales por ordenador, cuanto más realista sea la escena final, mayor será el
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tiempo de renderización para crear dicha escena. En este sentido, corresponde al usuario
escoger qué clase de sombreado resulta más apropiado en cada caso.
Ilustración 19. Sombreado de Gouraud
Ilustración 20. Sombreado de Phong
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7.7. PROFUNDIDAD EN IMÁGENES 3D
Los pintores renacentistas eran capaces de realizar imágenes con la perspectiva correcta,
esto es, la perspectiva real, aunque a veces la exageraban un poco para cumplir a ciertos
intereses estéticos. Aquí tenemos un ejemplo de Caravaggio, en el que se aplica la
técnica del escorzo.
Ilustración 21. La cena de Emmaus
El escorzo es una representación de un objeto o personaje en sentido perpendicular u
oblicuo con relación al plano del cuadro que contiene la imagen por medio de la
perspectiva, de tal manera que resulte más estrecho y de color menos intenso cuanto
más se distancie del espectador. Da sensación de profundidad y tridimensionalidad.
Las principales técnicas utilizadas, además de los puntos de fuga, para simular la
profundidad en imágenes en 3D son la elevación, el brillo y el color, el detalle en primer
plano y en el fondo de la escena, el tamaño relativo de los objetos conocidos, el
contorno y la visión binocular. De todos ellos hablaremos a continuación, haciendo
énfasis en sus características y poniendo ejemplos.
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7.7.1. EL SOMBREADO
La técnica de sombreado consiste en definir la forma en que los colores de los objetos
interactúan con la luz existente en la escena. La zona del objeto más brillante representa
la zona donde la luz incide directamente. Si el objeto se distancia de la luz o la
superficie no está directamente expuesta a la luz, entonces se vuelve más oscuro. Un
ejemplo de esto lo podemos encontrar en la siguiente imagen.
Ilustración 22. Ejemplo de sombreado
El sombreado nos aporta una sensación del volumen y del tacto de los objetos de la
escena, aportando realismo.
7.7.2. LA ELEVACIÓN Y LA ALTURA RELATIVA
Esta técnica se basa en la sensación que nos aporta el que un objeto sea observado desde
un punto de vista superior al objeto o no. En caso de que estemos mirando el objeto
desde arriba, este nos parecerá más pequeño que si lo miramos desde su misma
horizontal, o desde abajo. No hay que confundir esto con otra técnica utilizada que es la
altura relativa, la cual consiste en que cuanto más alto estén situados los objetos en el
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plano horizontal (cuanto más cerca estén de la línea del horizonte), más lejanos parecen.
Ejemplo:
Ilustración 23. Ejemplo altura relativa
Ahora veremos un ejemplo de elevación, para diferenciarlo de la altura relativa, y ver su
efecto óptico.
Ilustración 24. Figura vista desde abajo, parece más grande
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7.7.3. SOLAPAMIENTO
Ilustración 25. Figura vista desde arriba, parece más pequeña
Esta técnica consiste en la superposición de unos objetos sobre otros. Los objetos más
cercanos al observador ocultarán aquellos que se situan en su misma línea de visión y
que están más lejanos que estos. Para el ejemplo hemos utilizado dos figuras
bidimensionales, un cuadrado y un círculo. En la primera imagen podemos ver que
ambas figuras se situan a la misma profundidad sobre el plano, no ofreciendo ninguna
información tridimensional de profundidad.
Ilustración 26. Círculo y cuadrado como elementos bidimensionales
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Si movemos el círculo sobre el cuadrado se aprecia una sensación de profundidad,
aunque se puede considerar ambigua, puesto que no se puede saber si es el cuadrado el
que está más cerca, o, por el contrario, es el círculo.
Ilustración 27. Círculo y cuadrado con sensación de profundidad
Si consideramos la superficie de ambas figuras y superponemos completamente el
círculo al cuadrado, entonces se elimina esa ambigüedad y conseguimos que se realce la
sensación de profundidad, teniendo el círculo más cercano al observador que el
cuadrado.
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Ilustración 28. Figura circular superpuesta totalmente a la figura cuadrangular
7.7.4. EL BRILLO Y EL COLOR
En la simulación 3D, se utiliza el brillo y el color para, de alguna manera, ubicar los
objetos unos respecto a otros, y todos respecto a la luz de la escena (bien sea uno o
varios focos). De esta forma se puede considerar que los objetos más brillantes son los
que más cerca se encuentran de los focos de luz, así mismo, el color también es más
vivo cuando la luz incide más sobre el objeto. Por lo tanto los objetos menos brillantes,
y con menos intensidad de color se situarán en un plano más lejano de los focos de luz.
Muchas veces la luz suele coincidir con el observador o un punto cercano a él. De esta
forma, los objetos más brillantes y con colores más intensos serán los más cercanos al
observador. A continuación veremos un ejemplo de los efectos del brillo y el color en
las imágenes 3D.
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7.7.5. LAS SOMBRAS
Ilustración 29. Objetos 3D brillo y color
Las sombras es una de las técnicas más utilizadas para dar sensación de profundidad en
imágenes 3D. Muchas de las aplicaciones utilizadas para el tratamiento de la luz dan al
usuario la posibilidad de modelar estas sombras, permitiendo modificar su forma,
intensidad, color, granularidad, ... A continuación se muestran algunos ejemplos de
trabajos con sombras. También se puede apreciar en la anterior Ilustración 29 el uso de
las sombras.
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Ilustración 30. Habitación con sombras y luz proveniente de la ventana
Ilustración 31. Monstruo y esfera. Uso de sombras y brillos
Las sombras van a proporcionar realismo a las escenas, haciendo de nuestras imágenes
3D algo más verdadero y palpable.
7.7.6. EL DETALLE
A medida que nos acercamos a los objetos, el nivel de detalle de los mismos se va
incrementando, hasta el punto de alcanzar su mayor nivel en los objetos que el
observador puede alcanzar. Esta es una técnica que enfatiza la profundidad en las
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escenas 3D, y junto a otras técnicas vistas anteriormente, hacen que las imágenes cobren
un mayor realismo.
Un ejemplo del uso del detalle en imágenes 3D puede ser el siguiente, en el que vemos
cómo a medida que nos vamos alejando del observador, los objetos van perdiendo
detalle en sus contornos, formas y colores. Así pues, el coche azul tiene un gran nivel de
detalle, el coche amarillo, algo menos, aunque todavía bastante, puesto que se trata de
un objeto cercano y que además forma parte significativa de la escena. Sin embargo,
podemos ver cómo los edificios y las montañas han perdido mucho nivel de detalle (así
como color y brillo) puesto que se encuentran en planos muy alejados del observador.
Ilustración 32. El detalle en las escenas 3D
Para optimizar el uso de esta técnica, conviene desdibujar el contorno de los objetos
distantes desde el primer momento, reduciendo mucho el tiempo empleado en construir
y renderizar toda la escena.
Para conseguir esta falta de detalle, muchas aplicaciones de diseño gráfico proporcionan
filtros capaces de desdibujar contornos y reducir el nivel de detalle.
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7.7.7. LA VISIÓN BINOCULAR: ESTEREOSCOPÍA
La estereoscópica también llamada visión en tres dimensiones, o visión en relieve,
resulta de la capacidad del sistema visual de dar aspecto tridimensional a los objetos a
partir de las imágenes en dos dimensiones obtenidas en cada una de las retinas de los
ojos. Estas imágenes son procesadas y comparadas por el cerebro, el cual acaba creando
una sensación espacial.
Por lo que si tomamos o creamos dos imágenes con un ángulo ligeramente distinto y se
las mostramos a cada ojo por separado, el cerebro podrá reconstruir la distancia y por lo
tanto la sensación de profundidad. De aquí se extrae la conclusión de que las
variaciones horizontales que hacen que las imágenes tengan angulación ligeramente
diferentes pueden ser interpretadas por nuestro cerebro como una realidad con volumen.
Un ejemplo gráfico de la explicación de esta técnica sería el siguiente:
Ilustración 33. Estereoscopía
Este principio ha sido utilizado con mucha frecuencia para la generación de efectos
tridimensionales. El método más común consiste en crear dos imágenes que están
ligeramente desviadas entre sí, asignándoles diversos colores, habitualmente, rojo y
verde. Cuando se contempla la escena a través de unas gafas provistas de una lente de
color rojo y otra de color verde, cada ojo contempla una escena ligeramente diferente y
el cerebro interpreta la imagen como si fuera tridimensional.
El cerebro tiene una forma específica de crear una imágen en 3D. Para ello requiere de
datos sobre la distancia de los objetos, dicha información se obtiene gracias a que
tenemos dos ojos capaces de obtener una vista del mismo objeto desde ángulos
distintos, dando como resultado una triangulación de la cual el cerebro obtiene la
distancia al objeto.
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Si tomamos dos imágenes con un ángulo ligeramente distinto y se la proporcionamos a
cada ojo, el cerebro podrá reconstruir la distancia y por lo tanto la sensación de
profundidad. Así el secreto para obtener la ilusión de profundidad o estereoscopía,
consiste en poder proporcionar una imagen distinta a cada ojo. Actualmente se han
desarrollado varias técnicas para obtener 3D, además existe dos técnicas que permite
simular el efecto.
Ilustración 34. Estereoscopio
Para poder ver 2 imágenes como una sóla capaz de darnos la sensación de profundidad
y tridimensionalidad, necesitaríamos el estereoscopio. Sin embargo también es posible
ver estas imágenes a simple vista, fijando la vista en la línea entre las dos imágenes y
bizqueando de forma que lleguemos a ver 3 imágenes. La imagen que se ve en el centro,
es la mezcla de la otras dos imágenes y tiene un efecto tridimensional.
A continuación se proporcionará una breve descripción de cada técnica relacionada con
este principio de la estereoscopía y que se han utilizado para generar este efecto de
tridimensionalidad.
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7.7.7.1. Método por Anaglífo
Ilustración 35. Escena para ser vista con lentes anaglifo
Con este nombre tan aparatoso, se denomina a la técnica que utiliza filtros de colores
para separar las dos imágenes. Si vemos a través de un filtro rojo, los colores verde o
azul se ven como negro y si utilizamos un filtro verde, azul o cian, el rojo parece negro.
Este principio nos permite mezclar dos imágenes y observarlas a través de las lentes
anaglifo, que son las que utilizan 2 filtros de color, uno verde y otro rojo, uno para cada
ojo, obteniendo un efecto estereoscópico.
Un filtro utiliza el color rojo, y el otro depende del medio utilizado. Así pues, para
impresión se acostumbra a utilizar el azul. Para proyección o para video el filtro es
verde, que es mas brillante.
Hay que añadir un inconveniente a esta técnica, con estos filtros, la imagen parece estar
en blanco y negro. Existe otra variante que utiliza un filtro rojo y otro cian, si la imagen
no esta muy saturada, se puede hacer una separación de color de la imagen, conservando
el componente rojo de la imagen izquierda y los componente verde y azul de la imagen
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derecha. De esta manera se puede conservar el color de la imagen. Sin embargo la
diferencia de luminosidad de las dos imágenes puede resultar muy cansada después de
un tiempo. Si la imagen es demasiado saturada en color, es posible que algunos
elementos no se vean en una de las imágenes, por lo que es necesario bajar la saturación
de color de la imagen.
7.7.7.2. Sistema de lentes polarizados
Ilustración 36. Imagenes polarizadas
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Esta técnica funciona en base a un fenómeno de la física llamado polarización de la luz.
También se utilizan filtros, al igual que la técnica anterior, pero esta vez, se aplican para
permitir o denegar el paso a ondas con una determinada polaridad o dirección. La luz
resultante se denomina luz polarizada.
Partiendo de esto, la técnica sería similar a la anterior, se aplican dos filtros que dejan
pasar la luz con una diferencia de 90 grados el uno al otro. Estos filtros nos van a
generar 2 imágenes polarizadas. Si aplicamos estos filtros, uno a cada ojo, se generará el
deseado efecto de tridimensionalidad.
Los filtros son aún relativamente baratos, el inconvenientes es que sólo funciona con
sistemas de proyección, que generalmente requiere dos proyectores o un proyector
especialmente modificado, y una pantalla especial. Este método es ideal para audiencias
grandes y además las representaciones se pueden ver a color. El principal inconveniente
es que los filtros polarizados oscurecen la imagen por lo que se necesita proyectores
muy luminosos. Existe un problema especial con los proyectores actuales de video, de
cristal liquido, ya que estos polarizan la luz para funcionar, por lo que al colocar los
filtros polarizadores la perdida de luminosidad es aun mayor. Otro problema es que se
requiere un tipo especial de pantalla que no ropa la polarización de la luz, y este tipo de
pantalla es difícil de conseguir en tamaños grandes.
Cuando la producción se hace en cine, las dos imágenes son grabadas lado a lado, de
manera comprimida. Se utiliza un sistema de prismas semejantes al que se utilizan en el
formato cinemascope, para expandir la imagen y poderlas proyectas de manera
simultanea, consiguiendo el efecto deseado.
7.7.7.3. Imagen entrelazada
La técnica de imagen entrelazada utiliza una propiedad del video que se conoce como
barrido o entrelazado. Cuando se inventó la televisión, se encontró que al proyectar a 30
cuadros por segundo (o 25 en pal), se percibía un parpadeo en la imagen que podía ser
molesto, una alternativa hubiera sido aumentar la velocidad de los cuadros (como en las
computadoras actuales), pero la cantidad de información hubiera sido excesiva para la
tecnología de la época, por lo que se recurrió a otra solución, cada cuadro de video se
dividió en dos imágenes, una de ellas consiste en las líneas pares y la otra en las líneas
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impares y a cada una de estas partes se le llamó campo. El resultado es que la imagen se
transmite a 60 campos por segundo, lo cual logra que el parpadeo se reduzca.
Esta propiedad se puede utilizar de manera que un campo tenga la imagen del ojo
izquierdo y el otro campo la imagen del ojo derecho. Para esto se utilizan unos lentes
especiales elaborados con cristal líquido, los cuales se cierran y se abren 60 veces por
segundo, lo que hace posible bloquear un ojo si y el otro no para que cada uno vea la
imagen correspondiente.
Aquí vemos un ejemplo de una imagen entrelazada:
Ilustración 37. Imagen entrelazada
La ventaja de este método es que puede utilizarse en monitores convencionales de video
y computadora, con muy buena calidad, la desventaja es que requiere de lentes
electrónicos con un mayor costo que los lentes de filtros y generalmente se siente dicho
parpadeo. Además si se utiliza un monitor convencional de video, el parpadeo puede
llegar a ser muy molesto.
Una solución a este problema consiste en aumentar la velocidad de barrido de 30 a 60
campos por segundo, pero entonces solo se pueden utilizar monitores de computadora
que soporten esta velocidad y equipo especial que duplique la velocidad de barrido del
video convencional.
Una variante de esta técnica, consiste en grabar a video las dos imágenes lado a lado. De
manera análoga como se hace en cine. En el momento de proyectar un equipo especial
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separa las imágenes para entrelazarlas, pero a una frecuencia mayor que la de video, con
esto se elimina en mucho la vibración, pero tiene el inconveniente de que no se pueden
utilizar monitores o proyectores convencionales de video.
7.7.7.4. Efecto Pulfritch
Este sistema está basado en un dato fisiológico respecto al cerebro y es que este tarda un
poco en procesar las imágenes. El llamado Efecto Pulfrich fue descubierto por el
médico alemán Carl Pulfrich en 1922. El fenómeno es la percepción de un efecto
estereoscópico cuando se observa una imagen en movimiento horizontal sobre un plano
y con un filtro oscuro situado delante de uno de los ojos. Debido a la menor
luminosidad que percibe el ojo con el filtro, la imagen llega al cerebro con un retardo de
unas centésimas de segundo. Por tanto, en la estereopsis el cerebro percibe la misma
imagen pero con una pequeña diferencia de posición horizontal, lo que genera el efecto
estereoscópico.
7.8. ELIMINACIÓN DE SUPERFICIES OCULTAS
Al observar una escena desde un determinado punto de vista, se supone que hay zonas
de los objetos presentes en esta que no se deberían mostrar, siendo ocultados por otros
objetos o por otras partes de los mismos. Para conseguir, por tanto, un mayor realismo
en la escena habría que tener en cuenta qué superficies de los objetos deben permanecer
ocultas al observador desde su punto de vista y cuales no. De esta forma también
evitaremos ambigüedades en la escena.
Para conseguir ocultar estas superficies en cada momento, existen una serie de
algoritmos de líneas y superficies ocultas, que se clasifican bien en función a
definiciones de objetos en forma directa o bien en función a sus imágenes proyectadas.
De esta forma podemos establecer una primera clasificación con 2 grupos bien
diferenciados: Un primer grupo que recoge aquellos métodos que comparan objetos y
partes de los mismos para determinar qué superficies y líneas deben ser ocultas. El
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segundo grupo de esta primera clasificación engloba a aquellos algoritmos de imagenespacio
en los que la visibilidad de los objetos se decide punto por punto en cada
posición sobre el plano de proyección, estudiando la imagen del objeto, en lugar del
propio objeto.
El problema general que consiste en hacer que los objetos se vuelvan opacos en el
mundo de los gráficos tridimensionales se denomina eliminación de las superficies
ocultas, puesto que implica eliminar aquellas superficies del dibujo que habitualmente
permanecerían ocultas. Tras dar forma al problema pasaremos a explicar los distintos
algoritmos que se encargan de solucionarlo.
7.8.1. EL PROBLEMA
La semilla del problema es que el sistema de visualización de video que utilizamos
normalmente es plano (en 2D), y no dispone de un eje para indicar la profundidad de los
objetos en la escena. Cuando procedemos a dibujar un polígono en el sistema de
visualización de video, dicha figura representa una superficie que está situada a una
distancia específica del espectador, siendo representada por las coordenadas z de los
vértices del polígono. Aquellos polígonos que tengan coordenadas z más largas, estarán
colocados más lejos que aquellos polígonos con coordenadas z más pequeñas. En el
mundo real, si un objeto que está situado más cerca se mueve delante de otro situado
más lejos, este último es ocultado (total o parcialmente) por el objeto más cercano
(suponiendo que el objeto más cercano sea opaco). Si bien los polígonos de nuestro
mundo imaginario poseen diferentes coordenadas z, puesto que están situadas a
diferentes distancias con respecto al espectador, los polígonos que se dibujan en la
pantalla de visualización para representar dichos polígonos no poseen coordenadas z. En
efecto, sólo difieren en las coordenadas x e y. Esto ocurre porque el sistema de
visualización de video es plano. De esta manera, no hay nada que indique que un
polígono que represente una figura situada más cerca ocultará necesariamente la figura
de un polígono situado más lejos, puesto que el sistema de visualización de vídeo no
tiene forma de saber qué polígono está más cerca y cuál está más lejos. Esta cuestión
habrá de ser determinada por el programa antes de que se efectúe el dibujo (o, al menos,
antes de que el dibujo se termine de realizar).
Aportemos ahora posibles soluciones a este problema:
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7.8.2. MÉTODO DEL VECTOR NORMAL AL PLANO
Para conseguir ocultar zonas que no deberían verse en la escena, este método está
basado en que las caras que miran hacia atrás del objeto no se pintan. Para definir la
parte delantera del plano, los vértices de éste deben definirse en sentido antihorario por
los motivos que veremos a continuación:
Para empezar necesitamos hallar un vector perpendicular o normal al plano que defina
la cara que estamos tratando. Para ello, cogemos dos segmentos consecutivos, y los
multiplicamos vectorialmente, tomando sus coordenadas como coordenadas de vectores.
Esto nos dará las coordenadas de un vector que cumple la condición de
perpendicularidad a los dos iniciales. Debido a que el producto vectorial no es
conmutativo, para que este vector apunte hacia el exterior de la figura, es necesario que
los vértices de cada plano estén definidos en sentido antihorario.
Por lo tanto, para definir cada plano, debemos imaginarnos la figura de tal modo que el
plano que vamos a traducir a datos esté mirando hacia nosotros, y escribir entonces las
coordenadas de los vértices en sentido antihorario.
Una vez que tenemos las coordenadas de esos vectores normales al plano, llega el
momento de aplicar el algoritmo de visibilidad. Para ello, hallaremos las coordenadas
del vector que une el ojo del observador con un vértice cualquiera de la cara a testear.
Una vez hecho esto, aplicamos el producto escalar de este vector y el normal a la
superficie, y obtendremos un valor dependiente del ángulo que forman. A partir de este
valor, si es uno, entonces el vector apunta hacia el observador, y si es cero, será normal
al vector que une el vértice con el ojo del observador. De aquí deducimos que, si el
valor resultante es positivo, la cara está mirando hacia la parte delantera del objeto, o
sea, hacia nosotros, y entonces la pintaremos.
Si el valor es negativo, la cara está mirando hacia atrás del objeto, así que no la
pintaremos. Si el valor es cero, la cara es normal a nosotros, luego podríamos dejarla sin
pintar, pues quedaría reducida a una simple línea.
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Ventajas e inconvenientes:
Este método tiene la clara ventaja de su rapidez y su relativa simplicidad de aplicación.
Es útil para usar con figuras no excesivamente complicadas, y cuando solo hay una en
pantalla.
Entre sus inconvenientes, el primero es que no funciona bien con figuras convexas, ya
que en éstas, las superficies pueden quedar parcialmente cubiertas por otras, dejando a
la vista sólo una parte de estas. Y aquí llegamos al inconveniente. Este algoritmo es
imcapaz de determinar si las superficies quedan parcialmente ocultas. Sólo puede
decidir si es oculta o no, esto es, si se va a ver o no. De este modo, estas superficies
siempre se pintarían completas, restando credibilidad a la imagen y otorgando cierto
grado de ambigüedad en muchos casos. Otro inconveniente surge cuando se tienen
varios objetos en pantalla. Entonces, aunque en cada objeto se eliminen correctamente
las superficies ocultas, puede ocurrir que uno se superponga sobre otro. Cuando esto
ocurre, se verán los dos, uno a través del otro, como si fuesen transparentes, aunque
cada uno solo tendrá las caras visibles.
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7.8.3 EL ALGORITMO DEL PINTOR
El nombre "algoritmo del pintor" se refiere a un pintor que primero dibuja los elementos
lejanos de una escena y después los cubre con los más cercanos. El algoritmo del pintor
ordena todos los polígonos de una escena en función de su profundidad y después los
pinta en ese orden, pintando encima de las partes que no son visibles y solucionando así
el problema de la visibilidad.
Ilustración 38. Primero las montañas, luego el prado y luego los árboles, en función a la distancia
Este sistema parecería resolver nuestro problema, pero hay una trampa. Si dibujamos
polígonos de atrás hacia adelante, ciertamente contribuiríamos a la eliminación de
superficies ocultas, pero ¿cómo se da este orden de atrás hacia adelante? Se trata de un
problema que resulta más difícil de lo que cabría suponer en un primer momento. La
respuesta obvia consiste en clasificar los polígonos en un orden inverso al de sus
coordenadas z, utilizando un algoritmo de clasificación estándar. Esta operación se
denomina clasificación de profundidades y constituye el primer paso en la
implementación del algoritmo del pintor. Pero cuando se procede a clasificar los
polígonos por las coordenadas z, ¿qué coordenada z hay que utilizar? Es preciso
recordar que cada polígono tiene al menos tres vértices, y que cada uno de estos vértices
posee su coordenada z. En la mayor parte de los casos las tres coordenadas z resultan
diferentes entre sí. ¿Se debería utilizar aquella que corresponde al primer vértice del
listado de vértices? O, ¿quizás resulta necesario buscar la coordenada z máxima entre
todas las coordenadas z de los vértices y luego efectuar la clasificación?.
En realidad, no importa qué coordenada se esté utilizando, siempre y cuando se emplee
la misma para cada polígono, es decir, la elección de la coordenada no afectará al
resultado final siempre que se actúe de forma consistente.
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Ventajas:
La primera ventaja que tiene este método es que elimina todas las caras que no se ven,
mientras que el método anterior, bajo ciertas condiciones, podía dejar caras que
realmente no se verían.
La segunda ventaja es que también elimina trozos de caras parcialmente ocultas por
otras, con lo que arreglamos de un plumazo el principal problema del otro sistema. Por
si fuera poco, el algoritmo también funciona razonablemente bien cuando hay varias
figuras en pantalla solapándose.
La única precaución que hay que tomar en este caso es que, al ordenar los planos del
más alejado al más cercano, no debe hacerse con los de cada objeto por separado, sino
que debe hacerse con todas las caras de todos los objetos en conjunto.
Inconvenientes:
En las implementaciones más básicas, el algoritmo del pintor puede ser poco eficiente,
ya que fuerza al sistema a renderizar cada punto de todos los polígonos visibles, incluso
si estos polígonos están ocultos en la escena final. Esto implica que, en las escenas
detalladas, el algoritmo del pintor puede consumir demasiados recursos.
7.8.3.1. Problema del solapamiento mutuo
Ilustración 39. Solapamiento mutuo
El algoritmo puede fallar en determinados casos. En el ejemplo, los polígonos A, B y C
están superpuestos. No es posible determinar qué polígono está por encima de los otros
o cuándo dos se intersectan en tres dimensiones. En este caso, los polígonos en cuestión
deben ser cortados de alguna manera para permitir su ordenación. El algoritmo de
Newell propuesto en 1972 da una solución para cortar dichos polígonos. También se
han propuesto numerosos métodos en el campo de la geometría computacional.
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7.8.4. EL ALGORITMO Z-BUFFER
Este algoritmo es un método de los que clasificamos en el grupo imagen-espacio, en el
que la visibilidad del objeto se decide punto por punto, estudiando la coordenada de
profundidad del mismo. En cada posición del píxel x,y sobre el plano de visión, la
superficie con la menor coordenada z en esa posición es visible.
Mediante este método se obtiene solución a los problemas observados en el algoritmo
del pintor. Así pues, no sólo cabe la posibilidad de que los polígonos tengan
coordenadas z distintas, sino que cada punto de la superficie de un polígono puede tener
una coordenada z diferente. El único sistema realmente exhaustivo para llevar a cabo
una clasificación de profundidades implicaría determinar la profundidad de cada punto
sobre la superficie de cada polígono en la pantalla y proceder a dibujar sólo los puntos
que estén más cercanos con respecto al espectador.
Pero seguramente, esto no resulta posible. Después de todo, existe un número infinito
en un plano, o incluso, en una sección de un plano, y un polígono constituye una
sección de un plano. No existe la forma de clasificar un número infinito de puntos y
determinar cual está más cerca del espectador. Pero, por suerte, esto no es , sólo es
preciso clasificar aquellos puntos que van a ser dibujados, es decir, aquellos que
corresponden a los pixels situados en el puerto de visualización. Al contrario de lo que
ocurre con el número de puntos de la superficie de un polígono, el número de pixels en
el puerto de visualización es una magnitud finita. Si tuviésemos un sistema para
registrar qué se dibuja en cada píxel del puerto de visualización, podríamos asegurarnos
de que se muestran aquellos pixels que representan los puntos más cercanos con
respecto al espectador. En efecto, estaríamos llevando a cabo una clasificación de
profundidades separada para cada píxel en el área de la pantalla correspondiente al
puerto de visualización.
Esto es exactamente lo que hace el algoritmo z-buffer. Así, determina qué puntos
situados sobre determinados polígonos están más cerca del espectador para cada píxel
en el puerto de visualización, de manera que sólo se muestren dichos puntos. Este
método requiere que el programa configure a parte una serie entera en la cual cada
elemento se corresponda con un píxel en el puerto de visualización. Cada vez que un
punto de la superficie de un polígono se dibuje en el puerto de visualización, la
coordenada z de dicho punto es colocada en el elemento de la serie que corresponde a la
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posición del píxel en la cual se ha dibujado el punto. La siguiente vez que un píxel se ha
dibujado en la misma posición, la coordenada z del punto representada por el nuevo
píxel es comparada con el valor actual en la serie correspondiente en dicha posición. Si
la coordenada z en el buffer es menor que la del nuevo punto, el nuevo píxel no se
dibuja, ya que dicho punto estaría más lejos que el punto anterior y formaría parte de
una superficie oculta. Si la coordenada z en el buffer es mayor que la del nuevo punto,
entonces el nuevo píxel se dibuja sobre la anterior y la coordenada z del nuevo píxel se
coloca, reemplazando al anterior.
Ilustración 40. Distintas coordenadas z para los objetos
Ilustración 41. Uso del z-buffer
La implementación de este algoritmo consume mucho tiempo y espacio, de forma que
se ha optado por implementarlo en Hardware en las tarjetas gráficas para optimizar su
rendimiento.El primero se utiliza para almacenar los valores de z para cada posición x,y
a medida que se comparan las superficies y el segundo almacena los valores de
intensidad de cada posición. Este método es fácil de implementar, pero si disponemos
de un sistema cuya resolución es de 1024 x 1024 pixels se requieren más de un millón
de posiciones en el buffer con profundidad.
En el siguiente ejemplo se trata de explicar cómo funciona el z-buffer:
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Ilustración 42. Explicación z-buffer
Las profundidades vienen representadas por números de tal forma que el cero representa
el punto más alejado del espectador. En el ejemplo se observa que inicialmente el zbuffer
se encuentra vacío. A continuación se añade un polígono con profundidad
constante 5 al z-buffer vacío. En la parte inferior se muestra el resultado de añadir un
nuevo polígono con profundidades distintas en sus puntos sobre el z-buffer obtenido
con anterioridad.
Otro ejemplo donde se cruzan 2 objetos triangulares es el siguiente:
Las profundidades de cada pixel se superponen y se pintarán los píxeles con menor
valor de profundidad, como indica la figura de la parte superior derecha.
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Ilustración 43. Figuras triangulares con z-buffer
7.9. EJEMPLO DE MODELADO DE UNA IMAGEN
TRIDIMENSIONAL
En primer lugar se deben crear las proyecciones ortográficas de la escena a modelar:
Ilustración 44. Vista plana
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Ilustración 45. Vista frontal
Ilustración 46. Vista lateral
Ilustración 47. Proyección axonométrica
Ilustración 48. Proyección en perspectiva
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Ilustración 49. Sensación de profundidad
Ilustración 50. Vectores coloreados
Ilustración 51. Eliminación de líneas ocultas
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Ilustración 52. Eliminación de superficies ocultas
Ilustración 53. Sombreado plano de superficies con reflejo difuso
Ilustración 54. Sombreado Gouraud de superficies con reflejo difuso
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Ilustración 55. Sombreado Gouraud de superficies con reflejo especular
Ilustración 56. Sombreado Phong de superficies con reflejo especular
Ilustración 57. Curveado de superficies
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Ilustración 58. Mejora de la iluminación
Ilustración 59. Mapeo de texturas
Ilustración 60. Desplazamiento de texturas y sombras
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Ilustración 61. Mapeo de reflejos
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8. CONCLUSIONES
El estudio de este tema nos ha revelado mucho sobre las bases de los gráficos en 3D,
desde sus orígenes, en el Renacimiento, hasta las técnicas utilizadas en la actualidad
como por ejemplo el z-buffering.
Un personaje que hizo huella en la generación de imágenes tridimensionales es
Descartes, mediante su propuesta del sistema de coordenadas (que es el actual).
La formación de imágenes 3D parte de imágenes bidimensionales. El problema de
representar en un superficie bidimensional una vista de un objeto tridimensional ya
existía mucho tiempo antes de la aparición de los ordenadores. A la hora de crear
imágenes tridimensionales en el ordenador hay que tener muy clara la diferencia entre
coordenadas universales, visuales y especificas. Lo primero que necesitamos para
realizar gráficos 3D es saber proyectar puntos tridimensionales (los del gráfico) sobre
un plano (la pantalla o monitor). El proceso de modelado de imágenes tridimensionales
trata, fundamentalmente, de la creación de la estructura geométrica de los objetos en la
memoria del ordenador y la subsiguiente construcción de superficies.
Las principales técnicas para simular imágenes tridimensionales y dotarlas de realismo
son, por ejemplo, el sombreado, el mapeado de texturas, el coloreado, el uso del brillo,
la elevación, el detalle, ..., y algoritmos como el del pintor, el z-buffering ..., que
permiten dar una sensación de profundidad y realismo a las imágenes.
El ordenador, en la actualidad, es ampliamente utilizado para la generación de imágenes
en 3D, llegando a su máximo exponente en el cine y los videojuegos.
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9. BIBLIOGRAFÍA
Foley, Van Dam, Feiner, Hughes (1997) Computer Graphics. Principles and practice.
pp. 616, 669 y 670. Shaddock, Philip (1994)
Laboratorio de modelado en 3D. Aprenda a crear modelos tridimensionales de
realismo fotográfico en su PC. pp. 37-71.
Estereoscopía,
http://www.paralax.com.mx/09_video3d.html
Coordenadas universales y visuales,
http://raster.cibermillennium.com/articulo/graf3d/graf3d.html
Proyección puntos en cónico,
http://raster.cibermillennium.com/articulo/graf3d/graf3d.html
Apuntes gráficos, superficies ocultas,
http://www.ii.uam.es/~pedro/graficos/teoria/BackFace/BackFace.htm
Imágenes en 3 dimensiones,
http://216.12.215.150/datos_web/hemeroteca/r_9/nr_133/a_1641/1641.htm
StereoWEB 3D,
http://www.users.inycom.es/~agonzalez/
The Pulfrich Effect,
http://www.siu.edu/~pulfrich/
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